صيغة للعثور على أرقام n في التقدم الحسابي. كيفية العثور على الفرق في التقدم الحسابي: الصيغ وأمثلة الحلول

الأهداف:

1. التعريف بمفهوم التقدم الحسابي.
2. النظر في الأنواع الرئيسية من المشاكل باستخدام صيغة الحد n من التقدم الحسابي.
3. استخدام عناصر التعلم التنموي في الدرس.
4. تنمية التفكير التحليلي لدى الطلاب.

خلال الفصول الدراسية

مدرس.قدمنا ​​في الدرس السابق مفهوم التسلسل العددي اللانهائي كدالة محددة في مجموعة الأعداد الطبيعيةواكتشف أن المتتاليات يمكن أن تكون لا نهائية ومحدودة، ومتزايدة ومتناقصة، وتعلمت أيضًا طرق تعريفها. قائمة بهم.

طلاب.

1. تحليلي (باستخدام صيغة).
2. لفظي (تحديد تسلسل مع الوصف).
3. متكرر (عندما يتم التعبير عن أي عضو في التسلسل، بدءا من بعض، من خلال الأعضاء السابقة).

التمرين 1.وضح، إن أمكن، الحد السابع من كل تسلسل.

(ن): 6؛ 10؛ 14؛ 18؛ 22؛ 26;…
(مليار): 49؛ 25؛ 81؛ 4؛ 121؛ 64...
(cn): 22؛ 17؛ 12؛ 7؛ 2؛ -3...
(ن): -3.8؛ -2.6؛ -1.4؛ -0.2؛ 1؛ 2.2…
(ص ن): -12؛ 7؛ 8؛ 14؛ -23؛ 41…

مدرس. لماذا من المستحيل الإجابة على سؤال التسلسل b n و y n؟

طلاب. ولا يوجد نمط محدد في هذه المتتابعات، بالرغم من أن (ب ن) يتكون من مربعات من الأعداد الطبيعية، إلا أنها تؤخذ بترتيب اعتباطي، و(ص ن) عبارة عن سلسلة عشوائية من الأرقام، لذا فإن أي رقم يمكن أن يكون في المركز السابع.

مدرس.للتسلسلات (ن)؛ (ن)؛ (x n) تمكنتم جميعًا من العثور على الحد السابع بشكل صحيح.

المهمة 2.ابتكر مثالك الخاص لمثل هذا التسلسل. أشر إلى أول 4 أعضاء. تبادل دفاتر الملاحظات مع جارك في المكتب وحدد الحد الخامس من هذا التسلسل.

مدرس.ماذا الملكية المشتركةلها تسلسلات مماثلة؟

طالب. ويختلف كل مصطلح لاحق عن السابق بنفس الرقم.

مدرس.تسمى التسلسلات من هذا النوع بالتقدم الحسابي. وسيكونون موضوع دراستنا اليوم. صياغة موضوع الدرس.

(يستطيع الطالب صياغة الجزء الأول من الموضوع بسهولة ويمكن للمعلم صياغة الجزء الثاني بنفسه)

مدرس. صياغة أهداف الدرس بناء على هذا الموضوع.

(من المهم أن يقوم الطلاب بصياغة أهدافهم التعليمية بشكل كامل ودقيق قدر الإمكان، ثم يقبلونها ويسعون جاهدين لتحقيقها)

طلاب.

1. تعريف التقدم الحسابي.
2. اشتق صيغة الحد n من التقدم الحسابي.
3. تعلم كيفية حل المشكلات المتعلقة بموضوع ما (فكر في أنواع مختلفةمهام).

ومن المفيد بعد ذلك عرض أهداف المعلم للطلاب على الشاشة للتأكد من أن لديهم أهدافًا مشتركة.

مدرس.قليلا من التاريخ. مصطلح "التقدم" يأتي من الكلمة اللاتينية Progression، والتي تعني "المضي قدمًا"، وقد قدمها المؤلف الروماني بوثيوس في القرن السادس الميلادي. وتلقى مزيد من التطويرفي أعمال فيبوناتشي وشوكيه وجاوس وغيرهم من العلماء.

تعريف.المتوالية الحسابية هي تسلسل يكون فيه كل عضو، بدءًا من الثاني، مساويًا للعضو السابق المضاف إلى نفس العدد. ويسمى هذا الرقم فرق التقدم الحسابي ويشار إليه بـ d.

(ن): أ 1؛ أ 2 ؛ أ 3 ؛ ... ن ... التقدم الحسابي.
د = أ 2 – أ 1 = أ 3 – أ 2 = … = أ ن+1 - أ ن

المهمة 3.دع 1 = 7؛ د = 0.

قم بتسمية الحدود الثلاثة التالية في المتتابعة.

طلاب. 7; 7; 7

مدرس. تسمى هذه التسلسلات ثابتة أو ثابتة.

دع 1 = -12؛ د = 3. قم بتسمية 3 أعضاء من هذا التسلسل.

طالب. -9; -6; -3

مدرس. هل سأكون على حق إذا قمت بتسمية الأرقام: -15؛ -18؛ -21؟

كقاعدة عامة، يعتقد معظم الطلاب أن هذا صحيح. ثم عليك أن تطلب منهم تحديد عدد كل عضو. نظرًا لأنه يجب التعبير عن رقم عضو التسلسل كرقم طبيعي، فلا يمكن أن تكون الأرقام المسماة موجودة في هذا التسلسل.

المهمة 4.في التقدم الحسابي أ 1 ; أ 2 ؛ 6؛ 4؛ 5 تجد 1 ; أ 2 ؛ 5.

يتم إكمال المهمة في أزواج، حيث يقوم أحد الطلاب بإكمالها من الجزء الخلفي من اللوحة إذا رغبت في ذلك.

حل:

د = 4 - 6 = -2
أ 5 = أ 4 + د = 4 – 2 = 2
أ 2 = أ 3 – د = 6 – (-2) = 8
أ 1 = أ 2 – د = 8 – (-2) = 10

حدد لهذا التسلسل 8 و 126

طلاب. يمكن تحديد 8 = -4 و126، لكن حسابها يستغرق وقتًا طويلاً.

مدرس.هذا يعني أننا بحاجة إلى إيجاد طريقة تسمح لنا بالعثور سريعًا على أي عضو في التسلسل. حاول استخلاص صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي.

يمكنك استدعاء طالب قوي إلى المجلس، ومن خلال الأسئلة المطروحة بوضوح ومساعدة الفصل، يمكنك استخلاص الصيغة.

اشتقاق الصيغة:

أ 2 = أ 1 + د
أ 3 = أ 2 + د = أ 1 + 2 د
أ 4 = أ 3 + د = أ 1 + ثلاثي د
إلخ.

أن = أ 1 + (ن – 1) د- معادلةالحد n من التقدم الحسابي.

مدرس. إذًا، ما الذي تحتاج إلى معرفته لتحديد أي عضو في المتوالية الحسابية؟

طلاب. أ 1 و د

مدرس.باستخدام هذه الصيغة، أوجد العدد 126.

طلاب.أ 126 = أ 1 + 125د = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

المهمة 5. Let (b n): متوالية حسابية يكون فيها b 1 هو الحد الأول وd هو الفرق. البحث عن الأخطاء:

المهمة 6.دعونا نفكر في صيغة الحد n من التقدم الحسابي. دعنا نتعرف على أنواع المشكلات التي يمكن حلها باستخدام هذه الصيغة. صياغة مشكلة مباشرة.

طلاب.بالنظر إلى قيم a 1 و d، ابحث عن n.

مدرس.ما هي المشاكل العكسية التي يمكن تعيينها؟

طلاب.

1. نظرا ل 1 و ن. ابحث عن د.
2. نظرا د و ن. العثور على 1.
3. نظرا ل 1، د و ن. ابحث عن ن.

المهمة 7. أوجد فرق المتتابعة الحسابية حيث y 1 = 10؛ ص 5 = 22

الحل في المجلس:

ص 5 = ص 1 + 4 د
22 = 10 + 4د
4 د = 12
د = 3

المهمة 8. هل يحتوي التقدم الحسابي على 2؛ 9؛ ... رقم 156؟

تحليل: من خلال المنطق نصل إلى نتيجة مفادها أن كل رقم في التسلسل له رقمه الخاص، معبرًا عنه برقم طبيعي، فأنت بحاجة إلى العثور على رقم عضو التسلسل ومعرفة ما إذا كان ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. إذا كان ينتمي، فإن التسلسل يحتوي على الرقم المحدد، وإلا فلن يكون كذلك.

الحل في المجلس:

أ ن = أ 1 + (ن – 1) د
156 = 2 + 7 (ن – 1)
7 (ن - 1) = 154
ن – 1 = 22
ن = 23

الجواب: أ 23 = 156

المهمة 9.أوجد الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الحسابية التي فيها

أ 1 + أ 5 = 24؛
أ 2 ∙ أ 3 = 60

نقوم بتحليل المهمة وإنشاء نظام من المعادلات التي نقترح حلها في المنزل.

أ 1 + أ 1 + 4 د = 24؛
(أ ١ + د)∙(أ ١ + ٤د)= ٦٠.

تلخيص لما سبق المجموع درس.

ما الجديد الذي تعلمته في الفصل اليوم؟ ماذا تعلمت؟

العمل في المنزل. اقرأ المادة في الفقرة 25 من الكتاب المدرسي. تعرف على تعريف المتوالية الحسابية وصيغة الحد النوني. تكون قادرة على التعبير من صيغة جميع الكميات المدرجة فيها. حل نظام المهمة 9. اتبع الكتاب المدرسي رقم 575 (أ، ب)؛ 576؛ 578(أ)؛ 579 (أ).

مهمة تقييم إضافية: دع 1 ؛ أ 2 ؛ أ 3 ؛ ... ن ... التقدم الحسابي. أثبت أن n+1 = (a n + a n+2) : 2

تعليمات

المتوالية الحسابية هي تسلسل على الشكل a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. رقم د الخطوة التقدمومن الواضح أن عموم الحد n التعسفي من الحساب التقدمله الشكل: An = A1+(n-1)d. ومن ثم التعرف على أحد الأعضاء التقدم، عضو التقدموالخطوة التقدم، يمكنك، أي عدد أعضاء التقدم. من الواضح أنه سيتم تحديده بالصيغة n = (An-A1+d)/d.

دعونا الآن نعرف المصطلح mth التقدموعضو آخر التقدم- ن، ولكن ن كما في الحالة السابقة، ولكن من المعلوم أن ن و م لا يتطابقان التقدميمكن حسابها باستخدام الصيغة: d = (An-Am)/(n-m). ثم n = (An-Am+md)/d.

إذا كان مجموع عدة عناصر من المعادلة الحسابية معروفا التقدموكذلك أوله وآخره، فيمكن أيضًا تحديد عدد هذه العناصر. التقدمسيكون مساوياً لـ: S = ((A1+An)/2)n. ثم n = 2S/(A1+An) - chdenov التقدم. باستخدام حقيقة أن An = A1+(n-1)d، يمكن إعادة كتابة هذه الصيغة على النحو التالي: n = 2S/(2A1+(n-1)d). من هذا يمكننا التعبير عن n عن طريق حل معادلة من الدرجة الثانية.

المتتابعة الحسابية هي مجموعة مرتبة من الأرقام، يختلف كل عضو فيها، باستثناء الأول، عن سابقه بنفس المقدار. تسمى هذه القيمة الثابتة فرق التقدم أو خطوته ويمكن حسابها من المصطلحات المعروفة للتقدم الحسابي.

تعليمات

إذا كانت قيمتي الأول والثاني أو أي زوج آخر من الحدود المتجاورة معروفة من شروط المشكلة، لحساب الفرق (د) فما عليك سوى طرح السابق من الحد اللاحق. يمكن أن تكون القيمة الناتجة إيجابية أو عدد السلبي- يعتمد ذلك على ما إذا كان التقدم يتزايد. بشكل عام، اكتب الحل لزوج عشوائي (aᵢ وaᵢ₊₁) من الحدود المتجاورة للتقدم كما يلي: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

بالنسبة لزوجين من مثل هذا التقدم، أحدهما هو الأول (a₁)، والآخر هو أي مصطلح آخر تم اختياره بشكل تعسفي، فمن الممكن أيضًا إنشاء صيغة لإيجاد الفرق (d). ومع ذلك، في هذه الحالة، يجب معرفة الرقم التسلسلي (i) للعضو الذي تم اختياره بشكل عشوائي في التسلسل. لحساب الفرق، قم بإضافة كلا الرقمين وتقسيم النتيجة الناتجة على الرقم الترتيبي لمصطلح عشوائي مخفض بمقدار واحد. في منظر عاماكتب هذه الصيغة على النحو التالي: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

إذا كان عضوًا آخر ذو الرقم الترتيبي u معروفًا، بالإضافة إلى عضو عشوائي في تقدم حسابي بالرقم الترتيبي i، فقم بتغيير الصيغة من الخطوة السابقة وفقًا لذلك. في هذه الحالة، سيكون الفرق (د) في التقدم هو مجموع هذين الحدين مقسومًا على الفرق بينهما الأرقام التسلسلية: د = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

تصبح صيغة حساب الفرق (d) أكثر تعقيدًا إلى حد ما إذا كانت شروط المشكلة تعطي قيمة الحد الأول (a₁) والمجموع (Sᵢ) لعدد معين (i) من الحدود الأولى للتسلسل الحسابي. للحصول على القيمة المطلوبة، قم بتقسيم المجموع على عدد المصطلحات التي يتكون منها، واطرح قيمة الرقم الأول في التسلسل، وضاعف النتيجة. اقسم القيمة الناتجة على عدد الحدود التي تشكل المجموع المخفض بمقدار واحد. بشكل عام، اكتب صيغة حساب المميز كما يلي: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

لقد سمع الكثير من الناس عن التقدم الحسابي، ولكن ليس لدى الجميع فكرة جيدة عن ماهيته. في هذه المقالة، سنقدم التعريف المقابل، وننظر أيضًا في مسألة كيفية العثور على الفرق في التقدم الحسابي، ونقدم عددًا من الأمثلة.

التعريف الرياضي

حتى إذا نحن نتحدث عنفيما يتعلق بالمتتابعة الحسابية أو الجبرية (هذه المفاهيم تعرف نفس الشيء)، فهذا يعني أن هناك سلسلة أرقام معينة تحقق القانون التالي: كل رقمين متجاورين في السلسلة يختلفان بنفس القيمة. رياضيا يتم كتابته على النحو التالي:

هنا n يعني عدد العنصر a n في التسلسل، والرقم d هو الفرق في التقدم (يتبع اسمه من الصيغة المقدمة).

ماذا يعني معرفة الفرق د؟ حول مدى "بعد" الأرقام المجاورة عن بعضها البعض. ومع ذلك، فإن معرفة d هي شرط ضروري ولكنه ليس كافيًا لتحديد (استعادة) التقدم بأكمله. من الضروري معرفة رقم آخر، والذي يمكن أن يكون على الإطلاق أي عنصر من عناصر السلسلة قيد النظر، على سبيل المثال، 4، a10، ولكن كقاعدة عامة، يستخدمون الرقم الأول، أي 1.

صيغ لتحديد عناصر التقدم

بشكل عام، المعلومات الواردة أعلاه كافية بالفعل للانتقال إلى حل مشكلات محددة. ومع ذلك، قبل تقديم التقدم الحسابي، وسيكون من الضروري إيجاد الفرق بينه، سنقدم بعض الصيغ المفيدة، وبالتالي تسهيل العملية اللاحقة لحل المشكلات.

من السهل توضيح أنه يمكن العثور على أي عنصر من عناصر التسلسل بالرقم n على النحو التالي:

أ ن = أ 1 + (ن - 1) * د

في الواقع، يمكن لأي شخص التحقق من هذه الصيغة عن طريق البحث البسيط: إذا استبدلت n = 1، فستحصل على العنصر الأول، وإذا استبدلت n = 2، فإن التعبير يعطي مجموع الرقم الأول والفرق، وهكذا.

تتكون شروط العديد من المسائل بطريقة تجعل من الضروري، في ضوء زوج معروف من الأرقام، والتي يتم تقديم أرقامها أيضًا في التسلسل، إعادة بناء سلسلة الأرقام بأكملها (ابحث عن الفرق والعنصر الأول). الآن سوف نحل هذه المشكلة بشكل عام.

لذلك، دعونا نعطي عنصرين برقمين n وm. باستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك إنشاء نظام من معادلتين:

أ ن = أ 1 + (ن - 1) * د؛

أ م = أ 1 + (م - 1) * د

للعثور على الكميات المجهولة نستخدم المعلومة خدعة بسيطةالحلول لمثل هذا النظام: طرح الجانبين الأيسر والأيمن في أزواج، ستبقى المساواة صحيحة. لدينا:

أ ن = أ 1 + (ن - 1) * د؛

أ ن - أ م = (ن - 1) * د - (م - 1) * د = د * (ن - م)

وبذلك استبعدنا مجهولاً (أ١). الآن يمكننا كتابة التعبير النهائي لتحديد d:

د = (أ ن - أ م) / (ن - م)، حيث ن > م

لقد حصلنا على صيغة بسيطة للغاية: من أجل حساب الفرق d وفقًا لشروط المشكلة، من الضروري فقط أخذ نسبة الاختلافات بين العناصر نفسها وأرقامها التسلسلية. يجب الانتباه إلى واحد نقطة مهمةانتباه: يتم أخذ الاختلافات بين الأعضاء "الأقدم" و"الأصغر"، أي n > m ("الأقدم" تعني الوقوف بعيدًا عن بداية التسلسل، قيمه مطلقهقد يكون أكبر أو أصغر من العنصر "الأصغر").

يجب استبدال عبارة تقدم الفرق d في أي من المعادلات في بداية حل المشكلة للحصول على قيمة الحد الأول.

في عصر تطوير تكنولوجيا الكمبيوتر لدينا، يحاول العديد من تلاميذ المدارس إيجاد حلول لمهامهم على الإنترنت، لذلك غالبا ما تنشأ أسئلة من هذا النوع: ابحث عن الفرق في التقدم الحسابي عبر الإنترنت. لمثل هذا الطلب، سيعود محرك البحث بعدد من صفحات الويب، من خلال الانتقال إليها ستحتاج إلى إدخال البيانات المعروفة من الشرط (يمكن أن يكون هذا إما فترتين من التقدم أو مجموع عدد معين منهما ) واحصل على إجابة على الفور. ومع ذلك، فإن هذا النهج في حل المشكلة غير مثمر من حيث تطوير الطالب وفهم جوهر المهمة الموكلة إليه.

الحل دون استخدام الصيغ

دعونا نحل المشكلة الأولى دون استخدام أي من الصيغ المعطاة. لنعطي عناصر المتسلسلة: a6 = 3، a9 = 18. أوجد فرق المتتابعة الحسابية.

العناصر المعروفة تقف بالقرب من بعضها البعض على التوالي. كم مرة يجب إضافة الفرق d إلى الأصغر للحصول على الأكبر؟ ثلاث مرات (في المرة الأولى التي نضيف فيها d، نحصل على العنصر السابع، في المرة الثانية - الثامنة، أخيرا، المرة الثالثة - التاسعة). ما العدد الذي يجب إضافته إلى ثلاثة ثلاث مرات للحصول على ١٨؟ وهذا هو الرقم خمسة. حقًا:

وبالتالي فإن الفرق المجهول د = 5.

بالطبع، كان من الممكن تنفيذ الحل بالصيغة المناسبة، لكن ذلك لم يتم عن قصد. شرح مفصليجب أن يصبح حل المشكلة مثالاً واضحًا وحيويًا لما هو التقدم الحسابي.

مهمة مشابهة للمهمة السابقة

الآن دعونا نحل مشكلة مماثلة، ولكن نغير البيانات المدخلة. لذلك، يجب أن تجد إذا كان a3 = 2، a9 = 19.

بالطبع، يمكنك اللجوء مرة أخرى إلى طريقة الحل "المباشر". ولكن بما أن عناصر السلسلة مذكورة، وهي بعيدة نسبيا عن بعضها البعض، فإن هذه الطريقة لن تكون مريحة تماما. لكن استخدام الصيغة الناتجة سيقودنا بسرعة إلى الإجابة:

د = (أ 9 - أ 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

لقد قمنا هنا بتقريب الرقم النهائي. يمكن الحكم على مدى أدى هذا التقريب إلى الخطأ من خلال التحقق من النتيجة:

أ 9 = أ 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

وتختلف هذه النتيجة بنسبة 0.1% فقط عن القيمة الواردة في الشرط. لذلك، يمكن اعتبار التقريب المستخدم لأقرب جزء من مائة خيارًا ناجحًا.

المشاكل التي تنطوي على تطبيق الصيغة للمصطلح

لنفكر في مثال كلاسيكي لمسألة تحديد المجهول d: أوجد فرق التقدم الحسابي إذا كان a1 = 12، a5 = 40.

عندما يتم إعطاء رقمين من تسلسل جبري غير معروف، وأحدهما هو العنصر a 1، فلن تحتاج إلى التفكير لفترة طويلة، ولكن يجب عليك تطبيق صيغة الحد n على الفور. في هذه الحالة لدينا:

أ 5 = أ 1 + د * (5 - 1) => د = (أ 5 - أ 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

لقد حصلنا على العدد الدقيق عند القسمة، فلا فائدة من التحقق من دقة النتيجة المحسوبة، كما حدث في الفقرة السابقة.

دعونا نحل مشكلة أخرى مشابهة: نحتاج إلى إيجاد الفرق بين المتتابعة الحسابية إذا كان a1 = 16، a8 = 37.

نستخدم طريقة مشابهة للطريقة السابقة ونحصل على:

أ 8 = أ 1 + د * (8 - 1) => د = (أ 8 - أ 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

ماذا يجب أن تعرفه أيضًا عن التقدم الحسابي؟

بالإضافة إلى مسائل العثور على فرق مجهول أو عناصر فردية، غالبًا ما يكون من الضروري حل مسائل مجموع الحدود الأولى للمتتابعة. ومع ذلك، فإن النظر في هذه المهام يقع خارج نطاق المقالة من أجل اكتمال المعلومات التي نقدمها صيغة عامةلمجموع أرقام n في السلسلة:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

ماذا النقطة الأساسيةالصيغ؟

هذه الصيغة تسمح لك بالعثور على أي برقمه" ن" .

وبطبيعة الحال، تحتاج أيضا إلى معرفة الفصل الأول أ 1وفارق التقدم دحسنًا، بدون هذه المعلمات، لا يمكنك كتابة تقدم معين.

إن حفظ (أو حفظ) هذه الصيغة ليس كافيًا. أنت بحاجة إلى فهم جوهرها وتطبيق الصيغة في مختلف المشاكل. وأيضا لا ننسى في اللحظة المناسبة، نعم...) كيف لا تنسى- لا أعرف. و هنا كيف تتذكرإذا لزم الأمر، سأنصحك بالتأكيد. لمن أكمل الدرس حتى النهاية.)

لذا، دعونا نلقي نظرة على صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي.

ما هي الصيغة بشكل عام؟ بالمناسبة، ألق نظرة إذا لم تكن قد قرأته. كل شيء بسيط هناك. يبقى لمعرفة ما هو عليه الفصل الدراسي التاسع.

التقدم بشكل عام يمكن كتابته كسلسلة من الأرقام:

أ 1، أ 2، أ 3، أ 4، أ 5، .....

أ 1- يشير إلى الحد الأول من التقدم الحسابي، أ 3- العضو الثالث، أ 4- الرابع وهكذا. إذا كنا مهتمين بالفصل الخامس، فلنفترض أننا نعمل مع 5إذا مائة وعشرون ق 120.

وكيف يمكننا تعريفه بعبارات عامة؟ أيمصطلح التقدم الحسابي، مع أيرقم؟ بسيط جدا! مثله:

ن

هذا ما هو عليه الحد n من التقدم الحسابي.يخفي الحرف n جميع أرقام الأعضاء مرة واحدة: 1، 2، 3، 4، وهكذا.

وماذا يعطينا هذا السجل؟ فكر فقط، بدلاً من الرقم، كتبوا رسالة...

يمنحنا هذا الترميز أداة قوية للتعامل مع التقدم الحسابي. باستخدام التدوين ن، يمكننا أن نجد بسرعة أيعضو أيالمتوالية العددية. وحل مجموعة من مشاكل التقدم الأخرى. سترى بنفسك أبعد من ذلك.

في صيغة الحد n من التقدم الحسابي:

أ 1- الحد الأول من التقدم الحسابي؛

ن- رقم عضوية.

تربط الصيغة المعلمات الرئيسية لأي تقدم: ن ; أ 1 ؛ دو ن. جميع مشاكل التقدم تدور حول هذه المعلمات.

يمكن أيضًا استخدام صيغة المصطلح n لكتابة تقدم محدد. على سبيل المثال، قد تقول المشكلة أن التقدم محدد بالشرط:

أ ن = 5 + (ن-1) 2.

يمكن أن تكون مثل هذه المشكلة طريقًا مسدودًا... لا يوجد سلسلة ولا فرق... ولكن بمقارنة الحالة بالصيغة، من السهل أن نفهم أنه في هذا التقدم أ 1 = 5، و د = 2.

ويمكن أن يكون الأمر أسوأ!) إذا أخذنا نفس الشرط: أ ن = 5 + (ن-1) 2،نعم افتح القوسين وأحضر مثلهما؟ نحصل على صيغة جديدة:

ن = 3 + 2ن.

هذا ليس عامًا فحسب، بل لتقدم محدد. وهنا يكمن المأزق. يعتقد بعض الناس أن الحد الأول هو ثلاثة. على الرغم من أن الحد الأول في الواقع هو خمسة... أقل قليلاً سنعمل بمثل هذه الصيغة المعدلة.

في مشاكل التقدم هناك تدوين آخر - ن+1. هذا، كما خمنت، هو مصطلح "n plus first" للتقدم. معناها بسيط وغير ضار.) وهذا عضو في التقدم الذي عدده المزيد من العددن لكل وحدة. على سبيل المثال، إذا كنا في بعض المشاكل نأخذ نالولاية الخامسة إذن ن+1سيكون العضو السادس. إلخ.

في أغلب الأحيان التعيين ن+1وجدت في صيغ التكرار. لا تخف من هذه الكلمة المخيفة!) هذه مجرد وسيلة للتعبير عن عضو في التقدم الحسابي من خلال السابق.لنفترض أننا حصلنا على تقدم حسابي في هذا النموذج، باستخدام صيغة متكررة:

ن+1 = ن+3

أ 2 = أ 1 + 3 = 5+3 = 8

أ 3 = أ 2 + 3 = 8+3 = 11

الرابع - حتى الثالث، والخامس - حتى الرابع، وهكذا. كيف يمكننا أن نحسب على الفور، على سبيل المثال، الحد العشرين؟ 20؟ ولكن لا توجد طريقة!) وإلى أن نكتشف الحد التاسع عشر، لا يمكننا عد الحد العشرين. هذا هو الفرق الأساسي بين الصيغة المتكررة وصيغة الحد النوني. المتكررة تعمل فقط من خلال سابقالحد، وصيغة الحد n من خلال أولاًويسمح حالاالعثور على أي عضو عن طريق رقمه. دون حساب سلسلة الأرقام بأكملها بالترتيب.

في التقدم الحسابي، من السهل تحويل الصيغة المتكررة إلى صيغة عادية. عد زوجا من الحدود المتتالية، وحساب الفرق د،ابحث، إذا لزم الأمر، عن الفصل الأول أ 1، اكتب الصيغة بشكلها المعتاد، واعمل بها. غالبًا ما تتم مواجهة مثل هذه المهام في أكاديمية الدولة للعلوم.

تطبيق صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على التطبيق المباشر للصيغة. في نهاية الدرس السابق حدثت مشكلة:

يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن). أوجد 121 إذا كان 1 = 3 و d = 1/6.

يمكن حل هذه المشكلة بدون أي صيغ، وذلك ببساطة بناءً على معنى التقدم الحسابي. أضف وأضف... ساعة أو ساعتين.)

ووفقا للصيغة، سيستغرق الحل أقل من دقيقة. يمكنك تحديد الوقت.) فلنقرر.

توفر الشروط جميع البيانات لاستخدام الصيغة: أ 1 = 3، د = 1/6.يبقى لمعرفة ما هو متساو ن.لا مشكلة! نحن بحاجة الى العثور عليها 121. لذلك نكتب:

من فضلك إنتبه! بدلا من الفهرس نظهر رقم محدد: 121. وهو أمر منطقي تمامًا.) نحن مهتمون بعضو التقدم الحسابي العدد مائة وواحد وعشرون.هذا سيكون لنا ن.هذا هو المعنى ن= 121 سوف نعوض أكثر في الصيغة، بين قوسين. نستبدل جميع الأرقام في الصيغة ونحسب:

أ 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

هذا كل شيء. وبنفس السرعة يمكن العثور على الحد الخمسمائة والعاشر، والألف والثالث، أي واحد. نضع بدلا من ذلك ن الرقم المطلوبفي فهرس الرسالة " أ"وبين قوسين، ونحن نعول.

اسمحوا لي أن أذكرك بنقطة: هذه الصيغة تسمح لك بالعثور عليها أيمصطلح التقدم الحسابي برقمه" ن" .

دعونا نحل المشكلة بطريقة أكثر دهاءً. دعونا نواجه المشكلة التالية:

أوجد الحد الأول من المتوالية الحسابية (a n)، إذا كان a 17 = -2؛ د=-0.5.

لو واجهتك أي صعوبات سأخبرك بالخطوة الأولى. اكتب صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية!نعم نعم. اكتب بيديك مباشرة في دفترك:

والآن، بالنظر إلى أحرف الصيغة، نفهم ما هي البيانات التي لدينا وما هي البيانات المفقودة؟ متاح د=-0.5،هناك عضو السابع عشر...هل هذا هو؟ إذا كنت تعتقد أن هذا هو الحال، فلن تحل المشكلة، نعم...

لا يزال لدينا رقم ن! في حالة أ 17 = -2مختفي معلمتين.وهذه هي قيمة الحد السابع عشر (-2) ورقمه (17). أولئك. ن = 17.غالبًا ما ينزلق هذا "التافه" من الرأس، وبدونه (بدون "التافه"، وليس الرأس!) لا يمكن حل المشكلة. على الرغم من ... وبدون رأس أيضًا.)

الآن يمكننا ببساطة استبدال بياناتنا بغباء في الصيغة:

أ 17 = أ 1 + (17-1)·(-0.5)

نعم بالتأكيد، 17ونحن نعلم أنه -2. حسنًا، لنستبدل:

-2 = أ 1 + (17-1)·(-0.5)

هذا كل شيء في الأساس. يبقى التعبير عن الحد الأول للتقدم الحسابي من الصيغة وحسابه. الجواب سيكون: أ 1 = 6.

تعد هذه التقنية - كتابة صيغة واستبدال البيانات المعروفة ببساطة - مساعدة كبيرة في المهام البسيطة. حسنًا، بالطبع، يجب أن تكون قادرًا على التعبير عن متغير من صيغة، ولكن ماذا تفعل!؟ وبدون هذه المهارة لا يمكن دراسة الرياضيات على الإطلاق...

لغز شعبي آخر:

أوجد فرق المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 1 = 2؛ أ 15 = 12.

ماذا نفعل؟ سوف تتفاجأ، نحن نكتب الصيغة!)

لنتأمل فيما نعرفه: 1 =2؛ 15 = 12؛ و (سأسلط الضوء بشكل خاص!) ن = 15. لا تتردد في استبدال هذا في الصيغة:

12=2 + (15-1)د

نحن نفعل الحساب.)

12=2 + 14د

د=10/14 = 5/7

هذا هو الجواب الصحيح.

لذلك، المهام ل أ ن، أ 1و دمقرر. كل ما تبقى هو معرفة كيفية العثور على الرقم:

الرقم 99 هو عضو في المتتابعة الحسابية (a n)، حيث 1 = 12؛ د = 3. ابحث عن رقم هذا العضو

نعوض بالكميات المعروفة لدينا في صيغة الحد n:

أ ن = 12 + (ن-1) 3

للوهلة الأولى، هناك كميتين غير معروفتين هنا: ن و ن.لكن ن- هذا عضو في التقدم برقم ن...ونحن نعرف هذا العضو من التقدم! إنه 99. لا نعرف رقمه. ن،إذن هذا الرقم هو ما تحتاج إلى إيجاده. نستبدل مصطلح التقدم 99 في الصيغة:

99 = 12 + (ن-1) 3

نعبر عن الصيغة ن، نحن نعتقد. نحصل على الجواب: ن = 30.

والآن مشكلة حول نفس الموضوع، ولكن أكثر إبداعا):

تحديد ما إذا كان الرقم 117 عضوًا في المتوالية الحسابية (أ ن):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

دعونا نكتب الصيغة مرة أخرى. ماذا، لا توجد معلمات؟ حسنًا... لماذا أُعطينا عيونًا؟) هل نرى الفصل الأول من التقدم؟ نحن نرى. هذا هو -3.6. يمكنك الكتابة بأمان: أ 1 = -3.6.اختلاف دهل يمكنك معرفة ذلك من المسلسل؟ الأمر سهل إذا كنت تعرف ما هو الفرق بين التقدم الحسابي:

د = -2.4 - (-3.6) = 1.2

لذلك، قمنا بأبسط شيء. يبقى التعامل مع الرقم المجهول نوالعدد غير المفهوم 117. وفي المشكلة السابقة على الأقل كان معروفا أن مصطلح التتابع هو الذي ورد. لكننا هنا لا نعرف حتى... ماذا نفعل!؟ حسنًا، كيف تكون، كيف تكون... قم بتشغيل قدراتك الإبداعية!)

نحن يفترضأن 117 هو، بعد كل شيء، عضو في تقدمنا. مع عدد غير معروف ن. وكما في المسألة السابقة، فلنحاول العثور على هذا الرقم. أولئك. نكتب الصيغة (نعم، نعم!)) ونستبدل أرقامنا:

117 = -3.6 + (ن-1) 1.2

مرة أخرى نعبر من الصيغةن، نحسب ونحصل على:

أُووبس! تبين الرقم كسور!مائة وواحد ونصف. والأعداد الكسرية في التقدم لا يمكن.ما هو الاستنتاج الذي يمكننا استخلاصه؟ نعم! رقم 117 ليسعضو في تقدمنا. وهو يقع في مكان ما بين الحدين المئة والأولى والمائة والثانية. إذا تبين أن العدد طبيعي، أي. هو عدد صحيح موجب، فإن الرقم سيكون عضوًا في التقدم مع الرقم الموجود. وفي حالتنا سيكون جواب المشكلة: لا.

مهمة مبنية على نسخة حقيقية من GIA:

يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط:

ن = -4 + 6.8ن

أوجد الحدين الأول والعاشر من التقدم.

هنا يتم تعيين التقدم بطريقة غير عادية. نوع من الصيغة... يحدث ذلك.) ومع ذلك، هذه الصيغة (كما كتبت أعلاه) - وأيضا صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي!كما أنها تسمح العثور على أي عضو في التقدم من خلال رقمه.

نحن نبحث عن العضو الأول. الشخص الذي يفكر. أن الحد الأول هو ناقص أربعة خطأ فادح!) لأن الصيغة في المشكلة تم تعديلها. الفصل الأول من المتوالية الحسابية فيه مختفي.لا بأس، سنجده الآن.)

كما في المسائل السابقة، نستبدل ن = 1في هذه الصيغة:

أ 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

هنا! الحد الأول هو 2.8 وليس -4!

ونبحث عن الحد العاشر بنفس الطريقة:

أ 10 = -4 + 6.8 10 = 64

هذا كل شيء.

والآن، بالنسبة لأولئك الذين قرأوا هذه السطور، المكافأة الموعودة.)

لنفترض، في موقف قتالي صعب في امتحان الدولة أو امتحان الدولة الموحد، أنك نسيت الصيغة المفيدة للحد التاسع من التقدم الحسابي. أتذكر شيئا، ولكن بطريقة غير مؤكدة إلى حد ما... أو نهناك، أو ن+1، أو ن-1...كيف تكون!؟

هادئ! من السهل استخلاص هذه الصيغة. ليس بدقة شديدة، ولكن من أجل الثقة و القرار الصائبيكفي بالتأكيد!) للتوصل إلى نتيجة، يكفي أن تتذكر المعنى الأولي للتقدم الحسابي وأن يكون لديك بضع دقائق من الوقت. تحتاج فقط إلى رسم صورة. للتوضيح.

ارسم خط أرقام وضع علامة على الرقم الأول عليه. الثانية والثالثة وما إلى ذلك. أعضاء. ونلاحظ الفرق دبين الأعضاء. مثله:

ننظر إلى الصورة ونفكر: ماذا يساوي الحد الثاني؟ ثانية واحد د:

أ 2 =أ1+ 1 د

ما هو المصطلح الثالث؟ ثالثالحد يساوي الحد الأول زائد اثنين د.

أ 3 =أ1+ 2 د

هل حصلت عليه؟ ليس من قبيل الصدفة أن أسلط الضوء على بعض الكلمات بخط عريض بخط سميك. حسنًا، خطوة أخرى).

ما هو الحد الرابع؟ الرابعالحد يساوي الحد الأول زائد ثلاثة د.

أ 4 =أ1+ 3 د

لقد حان الوقت لندرك أن عدد الفجوات، أي. د، دائماً واحد أقل من عدد العضو الذي تبحث عنه ن. أي إلى العدد ن، عدد المسافاتسوف ن-1.لذلك ستكون الصيغة (بدون اختلافات!):

بشكل عام، الصور المرئية مفيدة جدًا في حل العديد من المشكلات في الرياضيات. لا تهمل الصور. ولكن إذا كان من الصعب رسم صورة، إذن... مجرد صيغة!) بالإضافة إلى ذلك، تسمح لك صيغة الحد n بربط ترسانة الرياضيات القوية بأكملها بالحل - المعادلات والمتباينات والأنظمة وما إلى ذلك. لا يمكنك إدراج صورة في المعادلة...

مهام الحل المستقل.

القيام بالتسخين:

1. في التقدم الحسابي (أ ن) أ 2 =3؛ أ 5 =5.1. العثور على 3 .

تلميح: حسب الصورة، يمكن حل المشكلة في 20 ثانية... حسب الصيغة، يبدو الأمر أكثر صعوبة. ولكن لإتقان الصيغة، يكون الأمر أكثر فائدة.) في القسم 555، يتم حل هذه المشكلة باستخدام كل من الصورة والصيغة. تشعر الفرق!)

وهذا لم يعد الاحماء.)

2. في المتوالية الحسابية (أ ن) أ 85 = 19.1؛ أ 236 = 49, 3. أوجد أ 3 .

ماذا، ألا تريد رسم صورة؟) بالطبع! أفضل وفقا للصيغة، نعم...

3. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط:أ 1 = -5.5؛ ن+1 = ن +0.5. أوجد الحد المائة والخامس والعشرين من هذا التقدم.

في هذه المهمة، يتم تحديد التقدم بطريقة متكررة. لكن العد حتى الحد المائة والخامس والعشرين... ليس كل شخص قادر على القيام بمثل هذا العمل الفذ.) لكن صيغة الحد التاسع في متناول الجميع!

4. بالنظر إلى التقدم الحسابي (أ ن):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

أوجد رقم أصغر حد موجب للتقدم.

5. وفقًا لشروط المهمة 4، ابحث عن مجموع أصغر الحدود الإيجابية وأكبر الحدود السلبية للتقدم.

6. حاصل ضرب الحدين الخامس والثاني عشر من التقدم الحسابي المتزايد يساوي -2.5، ومجموع الحدين الثالث والحادي عشر يساوي صفرًا. العثور على 14 .

ليست المهمة الأسهل، نعم...) لن تعمل طريقة "أطراف الإصبع" هنا. سيكون عليك كتابة الصيغ وحل المعادلات.

الإجابات (في حالة من الفوضى):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

حدث؟ جميل!)

ليس كل شيء يعمل؟ يحدث. بالمناسبة، هناك لحظة واحدة خفية في المهمة الأخيرة. ستكون هناك حاجة إلى الحذر عند قراءة المشكلة. والمنطق.

وقد تمت مناقشة حل كل هذه المشاكل بالتفصيل في المادة 555. وعنصر الخيال للرابع، واللحظة الدقيقة للسادس، و النهج العامةلحل أي مسائل تتعلق بصيغة الحد النوني - كل شيء مكتوب. أوصي.

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

الحد العام للتسلسل هو $u_n=n^2$. بالتعويض $n=1$ نحصل على:

$$ u_1=1^2=1. $$

هذا هو الحد الأول من المتتابعة. بالتعويض $n=2$ في $u_n=n^2$، نحصل على الحد الثاني من التسلسل:

$$ u_2=2^2=4. $$

إذا عوضنا $n=3$، فسنحصل على الحد الثالث من المتتابعة:

$$ u_3=3^2=9. $$

وبنفس الطريقة نجد الحدود الرابعة والخامسة والسادسة وغيرها من حدود المتتابعة. هذه هي الطريقة التي نحصل بها على الأرقام المقابلة:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64؛ \;81; \lالنقاط $$

ومن الجدير أيضًا أن نأخذ في الاعتبار شروط التسلسل $u_n=n^3$. وهنا بعض من أعضائها الأوائل:

\begin(المعادلة)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(معادلة)

بالإضافة إلى ذلك، لتشكيل الحد العام للسلسلة، غالبًا ما يتم استخدام التسلسل $u_n=n!$، والمصطلحات القليلة الأولى هي كما يلي:

\begin(المعادلة)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040؛ \ldots \end(معادلة)

تسجيل "ن!" (اقرأ "en Factorial") يشير إلى حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى n، أي.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

حسب التعريف، من المفترض أن $0!=1!=1$. على سبيل المثال، دعونا نجد 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

غالبًا ما يتم استخدام التقدم الحسابي والهندسي. إذا كان الحد الأول للتقدم الحسابي يساوي $a_1$، والفرق يساوي $d$، فسيتم كتابة الحد العام للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة التالية:

\begin(المعادلة)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(المعادلة)

ما هو التقدم الحسابي؟ اظهر المخفي

التقدم الحسابي هو سلسلة من الأرقام يكون فيها الفرق بين الحدين التالي والسابق ثابتًا. ويسمى هذا الاختلاف المستمر اختلاف التقدم

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52؛ \lالنقاط $$

يرجى ملاحظة أنه بغض النظر عن زوج العناصر المتجاورة الذي نأخذه، فإن الفرق بين العناصر اللاحقة والسابقة سيكون دائمًا ثابتًا ويساوي 7:

\begin(محاذاة) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(محاذاة)

هذا الرقم، أي. 7، وهناك فرق التقدم. وعادة ما يشار إليه بالحرف $d$، أي. $د=7$. العنصر الأول للتقدم هو $a_1=3$. نكتب المصطلح العام لهذا التقدم باستخدام الصيغة. بالاستبدال $a_1=3$ و $d=7$ فيه، سيكون لدينا:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

من أجل الوضوح، دعونا نستخدم الصيغة $a_n=7n-4$ للعثور على الحدود القليلة الأولى للتقدم الحسابي:

\begin(محاذاة) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end(محاذاة)

من خلال استبدال أي قيمة للرقم $n$ في الصيغة $a_n=7n-4$، يمكنك الحصول على أي عضو في التقدم الحسابي.

ومن الجدير بالذكر أيضًا التقدم الهندسي. إذا كان الحد الأول للتقدم يساوي $b_1$، والمقام يساوي $q$، فسيتم إعطاء الحد العام للتقدم الهندسي بالصيغة التالية:

\begin(المعادلة)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(المعادلة)

ماذا حدث المتوالية الهندسية؟ اظهر المخفي

التقدم الهندسي هو سلسلة من الأرقام تكون فيها العلاقة بين الحدود اللاحقة والسابقة ثابتة. وتسمى هذه العلاقة المستمرة القاسم من التقدم. على سبيل المثال، النظر في التسلسل التالي:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374؛ \lالنقاط $$

يرجى ملاحظة أنه بغض النظر عن زوج العناصر المتجاورة الذي نأخذه، فإن نسبة العنصر التالي إلى العنصر السابق ستكون دائمًا ثابتة وتساوي 3:

\begin(محاذاة) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end(محاذاة)

هذا الرقم، أي. 3 هو قاسم التقدم. يُشار إليه عادة بالحرف $q$، أي. $س=3$. العنصر الأول للتقدم هو $b_1=6$. نكتب المصطلح العام لهذا التقدم باستخدام الصيغة. بالاستبدال $b_1=6$ و $q=3$ فيه، سيكون لدينا:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

من أجل الوضوح، دعونا نستخدم الصيغة $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ للعثور على الحدود القليلة الأولى للتقدم الهندسي:

\begin(محاذاة) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end(محاذاة)

من خلال استبدال أي قيمة للرقم $n$ في الصيغة $b_n=6\cdot 3^(n-1)$، يمكنك الحصول على أي حد من المتوالية الهندسية.

في جميع الأمثلة أدناه، سوف نشير إلى أعضاء السلسلة بالحروف $u_1$ (العضو الأول في السلسلة)، $u_2$ (العضو الثاني في السلسلة)، وهكذا. سوف تشير العلامة $u_n$ إلى المصطلح الشائع للسلسلة.

المثال رقم 1

أوجد الحد المشترك للمتسلسلة $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

جوهر هذه المهام هو ملاحظة النمط المتأصل في الأعضاء الأوائل في السلسلة. وبناءً على هذا النمط، استنتج نوع العضو المشترك. ماذا تعني عبارة "ابحث عن المصطلح المشترك"؟ وهذا يعني أنه من الضروري العثور على مثل هذا التعبير، واستبدال $n=1$ الذي نحصل فيه على الحد الأول من السلسلة، أي. $\frac(1)(7)$; بالتعويض $n=2$ نحصل على الحد الثاني من السلسلة، أي. $\frac(2)(9)$; بالتعويض $n=3$ نحصل على الحد الثالث من السلسلة، أي. $\frac(3)(11)$وهكذا. نحن نعرف الحدود الأربعة الأولى من السلسلة:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

دعونا نتحرك تدريجيا. جميع أعضاء المتسلسلة المعروفة لنا عبارة عن كسور، لذا فمن المعقول أن نفترض أن العضو المشترك في المتسلسلة يمثله أيضًا كسر:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

مهمتنا هي معرفة ما هو مخفي تحت علامات الاستفهام في البسط والمقام. دعونا ننظر إلى البسط أولا. بسطات المتسلسلة المعروفة لدينا هي الأعداد 1، 2، 3، 4. لاحظ أن رقم كل عضو في المتسلسلة يساوي البسط. الحد الأول به واحد، والثاني به اثنان، والثالث به ثلاثة، والرابع به أربعة.

من المنطقي أن نفترض أن الحد n سيكون له $n$ في بسطه:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

بالمناسبة، يمكننا أن نصل إلى هذا الاستنتاج بطريقة أخرى، وأكثر رسمية. ما هو التسلسل 1، 2، 3، 4؟ لاحظ أن كل عضو لاحق في هذا التسلسل أكبر بمقدار 1 من العضو السابق. نحن نتعامل مع أربعة حدود للمتوالية الحسابية، الحد الأول منها هو $a_1=1$، والفرق هو $d=1$. باستخدام الصيغة، نحصل على التعبير عن المصطلح العام للتقدم:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

لذا، فإن التخمين أو الحساب الرسمي هو مسألة ذوق. الشيء الرئيسي هو أننا كتبنا بسط الحد المشترك للمتسلسلة. دعنا ننتقل إلى القاسم.

في المقامات لدينا التسلسل 7، 9، 11، 13. هذه أربعة حدود للتقدم الحسابي، الحد الأول منها يساوي $b_1=7$، والفرق هو $d=2$. نجد المصطلح العام للتقدم باستخدام الصيغة:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

التعبير الناتج، أي. $2n+5$، وسيكون مقام الحد المشترك للسلسلة. لذا:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

تم الحصول على المصطلح العام للسلسلة. دعونا نتحقق مما إذا كانت الصيغة التي وجدناها $u_n=\frac(n)(2n+5)$ مناسبة لحساب حدود السلسلة المعروفة بالفعل. لنبحث عن المصطلحات $u_1$ و$u_2$ و$u_3$ و$u_4$ باستخدام الصيغة $u_n=\frac(n)(2n+5)$. ومن الطبيعي أن تتطابق النتائج مع الحدود الأربعة الأولى في المتسلسلة المعطاة لنا حسب الشرط.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

هذا صحيح، النتائج هي نفسها. يمكن الآن كتابة السلسلة المحددة في الشرط بالشكل التالي: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. الحد العام للسلسلة له الشكل $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\lالنقاط $$

أليس لمثل هذه السلسلة الحق في الوجود؟ لا يزال لديه. ولهذه السلسلة يمكننا أن نكتب ذلك

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (ن≥ 5). $$

يمكنك كتابة استمرار آخر. على سبيل المثال، هذا:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

ومثل هذا الاستمرار لا يتعارض مع أي شيء. في هذه الحالة، يمكننا كتابة ذلك

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (ن≥ 5). $$

إذا بدا لك الخياران الأولان رسميًا للغاية، فسأقترح عليك خيارًا ثالثًا. لنكتب المصطلح الشائع كما يلي:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

لنحسب الحدود الأربعة الأولى من السلسلة باستخدام صيغة الحد العام المقترحة:

\begin(محاذاة) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4) )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end(محاذاة)

كما ترون، فإن الصيغة المقترحة للمصطلح العام صحيحة تمامًا. ويمكنك التوصل إلى عدد لا حصر له من هذه الاختلافات، وعددها غير محدود. في الأمثلة القياسيةيستخدم بالطبع مجموعة قياسيةبعض التسلسلات المعروفة (التقدم، الدرجات، المضروب، الخ). ومع ذلك، في مثل هذه المهام هناك دائما عدم اليقين، ومن المستحسن أن نتذكر ذلك.

في جميع الأمثلة اللاحقة لن يتم تحديد هذا الغموض. سوف نقوم بحل المشكلة باستخدام الطرق القياسية المقبولة في معظم كتب المسائل.

إجابة: المصطلح الشائع للمتسلسلة: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

المثال رقم 2

اكتب الحد الشائع للمتسلسلة $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

نحن نعرف الحدود الخمسة الأولى من السلسلة:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

جميع حدود المتسلسلة المعروفة لدينا هي كسور، مما يعني أننا سنبحث عن الحد المشترك للمتسلسلة على شكل كسر:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

دعونا ننتبه على الفور إلى البسط. تحتوي جميع البسط على وحدات، وبالتالي فإن بسط الحد المشترك للمتسلسلة سيحتوي أيضًا على وحدة واحدة، أي.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

الآن دعونا نلقي نظرة على القاسم. تحتوي مقامات الحدود الأولى من المتسلسلة المعروفة لدينا على حاصل ضرب الأعداد: $1\cdot 5$، $3\cdot 8$، $5\cdot 11$، $7\cdot 14$، $9\cdot 17$. أول هذه الأرقام هو: 1، 3، 5، 7، 9. هذا التسلسل له الحد الأول $a_1=1$، ويتم الحصول على كل رقم لاحق من الرقم السابق بإضافة الرقم $d=2$. بمعنى آخر، هذه هي الحدود الخمسة الأولى للتقدم الحسابي، والتي يمكن كتابة الحد العام لها باستخدام الصيغة:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

في المنتجات $1\cdot 5$، $3\cdot 8$، $5\cdot 11$، $7\cdot 14$، $9\cdot 17$، الأرقام الثانية هي: 5، 8، 11، 14، 17. هذه هي عناصر المتوالية الحسابية، الحد الأول منها هو $b_1=5$، والمقام هو $d=3$. نكتب المصطلح العام لهذا التقدم باستخدام نفس الصيغة:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

دعونا نضع النتائج معا. حاصل الضرب في مقام الحد المشترك للمتسلسلة هو: $(2n-1)(3n+2)$. والمصطلح العام للسلسلة نفسها له الشكل التالي:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

للتحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها، نستخدم الصيغة $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ للعثور على الحدود الأربعة الأولى التي نعرفها من المتسلسلة:

\begin(محاذاة) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ فارك(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4) +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1) )(9\cdot 17). \end(محاذاة)

لذا، فإن الصيغة $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ تسمح لك بحساب حدود المتسلسلة المعروفة من الشرط بدقة. إذا رغبت في ذلك، يمكن كتابة السلسلة المعطاة على النحو التالي:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1) )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

إجابة: المصطلح الشائع للمتسلسلة: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

وسنواصل هذا الموضوع في الجزأين الثاني والثالث.