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Erste Ebene

Koordinaten und Vektoren. Umfassender Leitfaden (2019)

In diesem Artikel werden Sie und ich eine Diskussion über einen „Zauberstab“ beginnen, mit dem Sie viele Probleme in der Geometrie auf einfache Arithmetik reduzieren können. Dieser „Zauberstab“ kann Ihnen das Leben erheblich erleichtern, besonders wenn Sie sich beim Bauen von räumlichen Figuren, Schnitten usw. unsicher fühlen. All dies erfordert eine gewisse Vorstellungskraft und praktisches Geschick. Die Methode, die wir hier zu betrachten beginnen, ermöglicht es Ihnen, fast vollständig von jeder Art zu abstrahieren geometrische Konstruktionen und Argumentation. Die Methode wird aufgerufen "Koordinatenmethode". In diesem Artikel werden wir uns mit den folgenden Fragen befassen:

1. Koordinatenebene
2. Punkte und Vektoren in der Ebene
3. Aufbau eines Vektors aus zwei Punkten
4. Vektorlänge (Abstand zwischen zwei Punkten).
5. Mittelpunktkoordinaten
6. Skalarprodukt von Vektoren
7. Winkel zwischen zwei Vektoren

Ich denke, Sie haben bereits erraten, warum die Koordinatenmethode so heißt? Es hat zwar einen solchen Namen bekommen, da es nicht mit geometrischen Objekten operiert, sondern mit deren numerischen Eigenschaften (Koordinaten). Und die Transformation selbst, die den Übergang von der Geometrie zur Algebra ermöglicht, besteht in der Einführung eines Koordinatensystems. Wenn die ursprüngliche Figur flach war, dann sind die Koordinaten zweidimensional, und wenn die Figur dreidimensional ist, dann sind die Koordinaten dreidimensional. In diesem Artikel betrachten wir nur den zweidimensionalen Fall. Und der Hauptzweck des Artikels besteht darin, Ihnen beizubringen, wie Sie einige grundlegende Techniken der Koordinatenmethode anwenden (sie erweisen sich manchmal als nützlich, wenn Sie Probleme in der Planimetrie in Teil B der Einheitlichen Staatsprüfung lösen). Die folgenden zwei Abschnitte zu diesem Thema sind der Diskussion von Methoden zur Lösung von Problemen C2 (das Problem der Stereometrie) gewidmet.

Wo wäre es logisch, mit der Diskussion der Koordinatenmethode anzufangen? Wahrscheinlich mit dem Konzept eines Koordinatensystems. Erinnere dich, als du sie zum ersten Mal getroffen hast. Mir scheint, dass Sie in der 7. Klasse zum Beispiel von der Existenz einer linearen Funktion erfahren haben. Ich möchte Sie daran erinnern, dass Sie es Punkt für Punkt aufgebaut haben. Erinnerst du dich? Sie haben eine beliebige Zahl gewählt, sie in die Formel eingesetzt und so berechnet. Zum Beispiel, wenn, dann, wenn, dann usw. Was haben Sie als Ergebnis erhalten? Und Sie haben Punkte mit Koordinaten erhalten: und. Als nächstes zeichneten Sie ein „Kreuz“ (Koordinatensystem), wählten eine Skala darauf (wie viele Zellen Sie als einzelnes Segment haben werden) und markierten die Punkte, die Sie darauf erhielten, die Sie dann mit einer geraden Linie verbanden, das Ergebnis Linie ist der Graph der Funktion.

Es gibt ein paar Dinge, die Ihnen etwas genauer erklärt werden müssen:

1. Sie wählen aus Bequemlichkeitsgründen ein einzelnes Segment, damit alles schön und kompakt ins Bild passt

2. Es wird angenommen, dass die Achse von links nach rechts und die Achse von unten nach oben verläuft

3. Sie schneiden sich im rechten Winkel, und der Punkt ihres Schnittpunkts wird Ursprung genannt. Es ist mit einem Buchstaben gekennzeichnet.

4. In der Aufzeichnung der Koordinaten eines Punktes steht beispielsweise links in Klammern die Koordinate des Punktes entlang der Achse und rechts entlang der Achse. Insbesondere bedeutet einfach, dass der Punkt

5. Um einen beliebigen Punkt auf der Koordinatenachse festzulegen, müssen Sie seine Koordinaten angeben (2 Zahlen)

6. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

7. Für jeden Punkt, der auf der Achse liegt,

8. Die Achse wird als x-Achse bezeichnet

9. Die Achse wird als y-Achse bezeichnet

Jetzt gehen wir mit Ihnen den nächsten Schritt: Markieren Sie zwei Punkte. Verbinde diese beiden Punkte mit einer Linie. Und lassen Sie uns den Pfeil so platzieren, als würden wir ein Segment von Punkt zu Punkt zeichnen: Das heißt, wir werden unser Segment gerichtet machen!

Erinnern Sie sich, was ein anderer Name für ein gerichtetes Segment ist? Das ist richtig, es heißt Vektor!

Wenn wir also einen Punkt mit einem Punkt verbinden, und der Anfang wird Punkt A sein, und das Ende wird Punkt B sein, dann bekommen wir einen Vektor. Du hast diese Konstruktion auch in der 8. Klasse gemacht, erinnerst du dich?

Es stellt sich heraus, dass Vektoren wie Punkte durch zwei Zahlen bezeichnet werden können: Diese Zahlen werden die Koordinaten des Vektors genannt. Frage: Glauben Sie, dass es ausreicht, die Koordinaten des Anfangs und des Endes des Vektors zu kennen, um seine Koordinaten zu finden? Es stellt sich heraus, dass ja! Und es geht ganz einfach:

Da also im Vektor der Punkt der Anfang und das Ende ist, hat der Vektor die folgenden Koordinaten:

Zum Beispiel, wenn, dann die Koordinaten des Vektors

Jetzt machen wir das Gegenteil, finden die Koordinaten des Vektors. Was müssen wir dafür ändern? Ja, Sie müssen Anfang und Ende vertauschen: Jetzt befindet sich der Anfang des Vektors an einem Punkt und das Ende an einem Punkt. Dann:

Schauen Sie genau hin, was ist der Unterschied zwischen Vektoren und? Ihr einziger Unterschied sind die Vorzeichen in den Koordinaten. Sie sind gegenüber. Diese Tatsache wird so geschrieben:

Wenn nicht ausdrücklich angegeben ist, welcher Punkt der Anfang und welcher das Ende des Vektors ist, werden die Vektoren manchmal nicht mit zwei Großbuchstaben, sondern mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet, z. B.: usw.

Jetzt ein bisschen trainieren und finde die Koordinaten der folgenden Vektoren:

Untersuchung:

Lösen Sie nun das Problem etwas schwieriger:

Ein Vektortorus mit on-cha-scrap an einem Punkt hat co-or-di-on-you. Find-di-te abs-cis-su-Punkte.

Trotzdem ganz prosaisch: Seien die Koordinaten des Punktes. Dann

Ich habe das System kompiliert, indem ich die Koordinaten eines Vektors ermittelt habe. Dann hat der Punkt Koordinaten. Uns interessiert die Abszisse. Dann

Antworten:

Was kann man sonst noch mit Vektoren machen? Ja, fast alles ist wie bei gewöhnliche Zahlen(es sei denn, Sie können nicht dividieren, aber Sie können auf zwei Arten multiplizieren, eine davon werden wir hier etwas später besprechen)

1. Vektoren können miteinander gestapelt werden
2. Vektoren können voneinander subtrahiert werden
3. Vektoren können mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multipliziert (oder dividiert) werden
4. Vektoren können miteinander multipliziert werden

Alle diese Operationen haben eine ziemlich visuelle geometrische Darstellung. Zum Beispiel die Dreiecks- (oder Parallelogramm-) Regel für Addition und Subtraktion:

Ein Vektor dehnt oder schrumpft oder ändert die Richtung, wenn er mit einer Zahl multipliziert oder dividiert wird:

Hier interessiert uns jedoch die Frage, was mit den Koordinaten passiert.

1. Beim Addieren (Subtrahieren) zweier Vektoren addieren (subtrahieren) wir ihre Koordinaten Element für Element. Also:

2. Beim Multiplizieren (Dividieren) eines Vektors mit einer Zahl werden alle seine Koordinaten mit dieser Zahl multipliziert (dividiert):

Zum Beispiel:

· Find-di-die Summe von ko-or-di-nat von Jahrhundert zu Ra.

Lassen Sie uns zuerst die Koordinaten jedes der Vektoren finden. Beide haben denselben Ursprung – den Ursprungspunkt. Ihre Enden sind unterschiedlich. Dann, . Jetzt berechnen wir die Koordinaten des Vektors Dann ist die Summe der Koordinaten des resultierenden Vektors gleich.

Antworten:

Lösen Sie nun selbst folgendes Problem:

· Finden Sie die Summe der Koordinaten des Vektors

Wir überprüfen:

Betrachten wir nun das folgende Problem: Wir haben zwei Punkte auf der Koordinatenebene. Wie finde ich den Abstand zwischen ihnen? Lassen Sie den ersten Punkt sein und den zweiten. Lassen Sie uns den Abstand zwischen ihnen als bezeichnen. Machen wir zur Verdeutlichung folgende Zeichnung:

Was ich getan habe? Ich habe zuerst verbunden Punkte und a zeichnete auch eine Linie parallel zur Achse vom Punkt und zeichnete eine Linie parallel zur Achse vom Punkt. Schnitten sie sich an einem Punkt und bildeten eine wunderbare Figur? Warum ist sie wunderbar? Ja, Sie und ich wissen fast alles darüber rechtwinkliges Dreieck. Nun, der Satz des Pythagoras, sicher. Das gewünschte Segment ist die Hypotenuse dieses Dreiecks, und die Segmente sind die Schenkel. Wie lauten die Koordinaten des Punktes? Ja, sie sind anhand des Bildes leicht zu finden: Da die Segmente parallel zu den Achsen sind bzw. ihre Längen leicht zu finden sind: Wenn wir die Längen der Segmente jeweils durch bezeichnen, dann

Wenden wir nun den Satz des Pythagoras an. Wir kennen die Beinlängen, wir finden die Hypotenuse:

Somit ist der Abstand zwischen zwei Punkten die Wurzelsumme der quadrierten Differenzen von den Koordinaten. Oder - der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Länge des sie verbindenden Segments. Es ist leicht zu sehen, dass der Abstand zwischen den Punkten nicht von der Richtung abhängt. Dann:

Daraus ziehen wir drei Schlussfolgerungen:

Lassen Sie uns ein wenig üben, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet:

Zum Beispiel, wenn, dann ist der Abstand zwischen und

Oder gehen wir anders vor: Finden Sie die Koordinaten des Vektors

Und finde die Länge des Vektors:

Wie Sie sehen können, ist es das gleiche!

Üben Sie jetzt ein wenig alleine:

Aufgabe: Finden Sie den Abstand zwischen den angegebenen Punkten:

Wir überprüfen:

Hier sind ein paar weitere Probleme für die gleiche Formel, obwohl sie etwas anders klingen:

1. Find-di-te das Quadrat der Länge des Augenlids-zu-ra.

2. Nai-di-te-Quadrat der Augenlidlänge-zu-ra

Ich schätze, du kannst sie leicht handhaben? Wir überprüfen:

1. Und das dient der Aufmerksamkeit) Die Koordinaten der Vektoren haben wir bereits vorher gefunden: . Dann hat der Vektor Koordinaten. Das Quadrat seiner Länge ist:

2. Finde die Koordinaten des Vektors

Dann ist das Quadrat seiner Länge

Nichts kompliziertes, oder? Einfache Arithmetik, mehr nicht.

Die folgenden Rätsel lassen sich nicht eindeutig einordnen, sie dienen eher der allgemeinen Gelehrsamkeit und der Fähigkeit, einfache Bilder zu zeichnen.

1. Finden-di-diese Sinus des Winkels auf-klo-auf-von-Schnitt, verbinden-einen-n-ten-ten Punkt mit der Abszissenachse.

und

Wie machen wir das hier? Sie müssen den Sinus des Winkels zwischen und der Achse finden. Und wo können wir nach dem Sinus suchen? Richtig, in einem rechtwinkligen Dreieck. Was müssen wir also tun? Baue dieses Dreieck!

Da die Koordinaten des Punktes und, dann das Segment gleich ist, und das Segment. Wir müssen den Sinus des Winkels finden. Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Sinus das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse ist

Was bleibt uns noch zu tun? Finden Sie die Hypotenuse. Sie können dies auf zwei Arten tun: mit dem Satz des Pythagoras (die Beine sind bekannt!) oder mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten (eigentlich die gleiche wie bei der ersten Methode!). Ich gehe den zweiten Weg:

Antworten:

Die nächste Aufgabe wird Ihnen noch einfacher erscheinen. Sie - auf den Koordinaten des Punktes.

Aufgabe 2. Von diesem Punkt aus wird das Per-Pen-Di-Ku-Lar auf die Abs-Ciss-Achse abgesenkt. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Machen wir eine Zeichnung:

Die Basis der Senkrechten ist der Punkt, an dem sie die x-Achse (Achse) schneidet, für mich ist dies ein Punkt. Die Abbildung zeigt, dass es Koordinaten hat: . Uns interessiert die Abszisse – also die „X“-Komponente. Sie ist gleich.

Antworten: .

Aufgabe 3. Finden Sie unter den Bedingungen der vorherigen Aufgabe die Summe der Entfernungen vom Punkt zu den Koordinatenachsen.

Die Aufgabe ist im Allgemeinen elementar, wenn Sie wissen, wie groß der Abstand eines Punktes zu den Achsen ist. Du weisst? Ich hoffe, aber dennoch erinnere ich dich:

In meiner etwas höher gelegenen Zeichnung habe ich also bereits eine solche Senkrechte dargestellt? Welche Achse ist es? zur Achse. Und wie lang ist sie dann? Sie ist gleich. Zeichne nun selbst eine Senkrechte zur Achse und bestimme ihre Länge. Es wird gleich sein, oder? Dann ist ihre Summe gleich.

Antworten: .

Aufgabe 4. Finden Sie unter den Bedingungen von Aufgabe 2 die Ordinate des Punktes, der symmetrisch zum Punkt um die x-Achse liegt.

Ich denke, Sie verstehen intuitiv, was Symmetrie ist? Sehr viele Gegenstände haben sie: viele Gebäude, Tische, Flächen, viele geometrische Formen: eine Kugel, ein Zylinder, ein Quadrat, eine Raute usw. Grob gesagt kann Symmetrie wie folgt verstanden werden: Eine Figur besteht aus zwei (oder mehr) identische Hälften. Diese Symmetrie wird axial genannt. Was ist denn eine Achse? Das ist genau die Linie, entlang der die Figur relativ gesehen in identische Hälften „geschnitten“ werden kann (in diesem Bild ist die Symmetrieachse gerade):

Kommen wir nun zu unserer Aufgabe zurück. Wir wissen, dass wir einen Punkt suchen, der symmetrisch zur Achse ist. Dann ist diese Achse die Symmetrieachse. Wir müssen also einen Punkt markieren, damit die Achse das Segment in zwei gleiche Teile schneidet. Versuchen Sie, selbst einen solchen Punkt zu markieren. Jetzt vergleiche mit meiner Lösung:

Hast du das auch gemacht? Gut! Am gefundenen Punkt interessiert uns die Ordinate. Sie ist gleich

Antworten:

Sagen Sie mir jetzt, nachdem Sie eine Sekunde nachgedacht haben, was wird die Abszisse des Punktes sein, der symmetrisch zu Punkt A um die y-Achse ist? Wie ist deine Antwort? Korrekte Antwort: .

Im Allgemeinen kann die Regel wie folgt geschrieben werden:

Ein Punkt symmetrisch zu einem Punkt um die x-Achse hat die Koordinaten:

Ein Punkt, der symmetrisch zu einem Punkt um die y-Achse ist, hat Koordinaten:

Nun, jetzt ist es wirklich beängstigend. eine Aufgabe: Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, der relativ zum Ursprung symmetrisch zu einem Punkt ist. Denken Sie zuerst selbst nach und schauen Sie sich dann meine Zeichnung an!

Antworten:

Jetzt Parallelogrammproblem:

Aufgabe 5: Die Punkte sind ver-shi-na-mi-pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te oder-dee-on-tu Punkte.

Sie können dieses Problem auf zwei Arten lösen: Logik und die Koordinatenmethode. Ich werde zuerst die Koordinatenmethode anwenden und Ihnen dann sagen, wie Sie anders entscheiden können.

Es ist ziemlich klar, dass die Abszisse des Punktes gleich ist. (er liegt auf der vom Punkt zur x-Achse gezogenen Senkrechten). Wir müssen die Ordinate finden. Nutzen wir die Tatsache, dass unsere Figur ein Parallelogramm ist, was das bedeutet. Ermitteln Sie die Länge des Segments mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Wir senken die Senkrechte, die den Punkt mit der Achse verbindet. Der Schnittpunkt ist mit einem Buchstaben gekennzeichnet.

Die Länge des Segments ist gleich. (finden Sie das Problem selbst, wo wir diesen Moment besprochen haben), dann finden wir die Länge des Segments mit dem Satz des Pythagoras:

Die Länge des Segments ist genau gleich seiner Ordinate.

Antworten: .

Eine andere Lösung (ich werde nur ein Bild bereitstellen, das es veranschaulicht)

Lösungsfortschritt:

1. Verbringen

2. Finden Sie Punktkoordinaten und Länge

3. Beweisen Sie das.

Noch eine Schnittlängenproblem:

Die Punkte sind-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Finde die Länge seiner Mittellinie, par-ral-lel-noy.

Erinnerst du dich, was es ist Mittellinie Dreieck? Dann ist diese Aufgabe für Sie elementar. Wenn Sie sich nicht erinnern, erinnere ich Sie daran: Die Mittellinie eines Dreiecks ist eine Linie, die die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Es ist parallel zur Basis und gleich der Hälfte davon.

Die Basis ist ein Segment. Die Länge mussten wir vorher suchen, sie ist gleich. Dann ist die Länge der Mittellinie halb so lang und gleich.

Antworten: .

Bemerkung: Dieses Problem kann auch auf andere Weise gelöst werden, worauf wir uns später noch beziehen werden.

In der Zwischenzeit haben wir hier ein paar Aufgaben für Sie, üben Sie sie, sie sind recht einfach, aber sie helfen, Ihre Hand mit der Koordinatenmethode zu „füllen“!

1. Die Punkte erscheinen-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Finde die Länge seiner Mittellinie.

2. Punkte und yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Find-dee-te oder-dee-on-tu Punkte.

3. Finden Sie die Länge aus dem Schnitt, verbinden Sie den zweiten Punkt und

4. Finden-di-te den Bereich für-den-roten-shen-noy-fi-gu-ry auf der ko-or-di-nat-noy-Ebene.

5. Ein Kreis mit dem Mittelpunkt na-cha-le ko-or-di-nat verläuft durch einen Punkt. Finde-de-te ihren Ra-di-Schnurrbart.

6. Nai-di-te ra-di-us Kreis-no-sti, beschreibe-san-noy in der Nähe des rechten Winkels-no-ka, die Spitzen-shi-ny von etwas-ro-go haben Co-oder - di-na-you co-von-antwort-aber

Lösungen:

1. Es ist bekannt, dass die Mittellinie eines Trapezes gleich der Hälfte der Summe seiner Basen ist. Die Basis ist gleich, aber die Basis. Dann

Antworten:

2. Der einfachste Weg, dieses Problem zu lösen, besteht darin, dies zu beachten (Parallelogramm-Regel). Berechnen Sie die Koordinaten der Vektoren und ist nicht schwierig: . Beim Addieren von Vektoren werden die Koordinaten addiert. Dann hat Koordinaten. Der Punkt hat die gleichen Koordinaten, da der Anfang des Vektors ein Punkt mit Koordinaten ist. Uns interessiert die Ordinate. Sie ist gleich.

Antworten:

3. Wir handeln sofort nach der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten:

Antworten:

4. Betrachten Sie das Bild und sagen Sie, zwischen welchen beiden Figuren ist die schraffierte Fläche „eingeklemmt“? Es ist zwischen zwei Quadraten eingeklemmt. Dann ist die Fläche der gewünschten Figur gleich der Fläche des großen Quadrats minus der Fläche des kleinen. Die Seite des kleinen Quadrats ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge ist

Dann ist die Fläche des kleinen Quadrats

Das Gleiche machen wir mit einem großen Quadrat: Seine Seite ist ein Segment, das die Punkte verbindet, und seine Länge ist gleich

Dann ist die Fläche des großen Quadrats

Die Fläche der gewünschten Figur ergibt sich aus der Formel:

Antworten:

5. Wenn der Kreis den Ursprung als Mittelpunkt hat und durch einen Punkt verläuft, ist sein Radius genau gleich der Länge des Segments (machen Sie eine Zeichnung und Sie werden verstehen, warum dies offensichtlich ist). Finden Sie die Länge dieses Segments:

Antworten:

6. Es ist bekannt, dass der Radius eines um ein Rechteck umschriebenen Kreises gleich der Hälfte seiner Diagonale ist. Lassen Sie uns die Länge einer der beiden Diagonalen finden (schließlich sind sie in einem Rechteck gleich!)

Antworten:

Na, hast du alles geschafft? Es war nicht so schwer, es herauszufinden, oder? Hier gibt es nur eine Regel - sich ein visuelles Bild machen und einfach alle Daten daraus „lesen“ zu können.

Wir haben sehr wenig übrig. Es gibt buchstäblich zwei weitere Punkte, die ich diskutieren möchte.

Lassen Sie uns versuchen, dieses einfache Problem zu lösen. Lassen Sie zwei Punkte und gegeben werden. Finden Sie die Koordinaten der Mitte des Segments. Die Lösung dieses Problems lautet wie folgt: Der Punkt sei die gewünschte Mitte, dann hat er Koordinaten:

Also: Koordinaten der Segmentmitte = arithmetisches Mittel der entsprechenden Koordinaten der Segmentenden.

Diese Regel ist sehr einfach und bereitet den Schülern normalerweise keine Schwierigkeiten. Mal sehen, in welchen Problemen und wie es verwendet wird:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-th point and

2. Die Punkte sind yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Find-di-te or-di-na-tu Punkte von re-re-se-che-niya seines dia-go-on-lei.

3. Find-di-te abs-cis-su der Mitte des Kreises, beschreibe-san-noy in der Nähe des Rechtecks-no-ka, die Spitzen-shi-wir haben etwas-ro-go co-or-di- na-du-vom-tierarzt-stvenno-aber.

Lösungen:

1. Die erste Aufgabe ist nur ein Klassiker. Wir handeln sofort, indem wir den Mittelpunkt des Segments bestimmen. Sie hat Koordinaten. Die Ordinate ist gleich.

Antworten:

2. Es ist leicht zu sehen, dass das gegebene Viereck ein Parallelogramm (sogar eine Raute!) ist. Sie können es selbst beweisen, indem Sie die Seitenlängen berechnen und miteinander vergleichen. Was weiß ich über ein Parallelogramm? Seine Diagonalen werden durch den Schnittpunkt halbiert! Aha! Was ist also der Schnittpunkt der Diagonalen? Dies ist die Mitte einer der Diagonalen! Ich werde insbesondere die Diagonale wählen. Dann hat der Punkt Koordinaten, die Ordinate des Punktes ist gleich.

Antworten:

3. Was ist der Mittelpunkt des um das Rechteck umschriebenen Kreises? Sie fällt mit dem Schnittpunkt ihrer Diagonalen zusammen. Was weißt du über die Diagonalen eines Rechtecks? Sie sind gleich und der Schnittpunkt wird halbiert. Die Aufgabe wurde auf die vorherige reduziert. Nehmen wir zum Beispiel die Diagonale. Wenn also der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises ist, dann ist die Mitte. Ich suche Koordinaten: Die Abszisse ist gleich.

Antworten:

Üben Sie jetzt ein wenig auf eigene Faust, ich werde nur die Antworten zu jeder Aufgabe geben, damit Sie sich selbst überprüfen können.

1. Nai-di-te ra-di-us Kreis-no-sti, beschreiben-san-noy in der Nähe des Dreiecks-no-ka, die Spitzen von jemandem-ro-go haben ko-oder-di-no-Herren

2. Finde-di-te oder-di-na-tu die Mitte des Kreises, beschreibe die san-noy in der Nähe des Dreiecks-no-ka, die Tops-shi-wir haben etwas-ro-go-Koordinaten

3. Welche Art von ra-di-y-sa sollte es einen Kreis mit einem Mittelpunkt an einem Punkt geben, so dass er die Abs-Ziss-Achse berührt?

4. Find-di-te oder-di-an-diesem Punkt des Re-re-se-che-ing der Achse und von-cut, connect-nya-yu-th-th-Punkt und

Antworten:

Hat alles geklappt? Ich hoffe sehr darauf! Jetzt - der letzte Stoß. Seien Sie jetzt besonders vorsichtig. Das Material, das ich jetzt erklären werde, ist nicht nur für die Probleme der einfachen Koordinatenmethode in Teil B relevant, sondern findet sich auch überall in Problem C2.

Welche meiner Versprechen habe ich noch nicht gehalten? Erinnern Sie sich, welche Operationen auf Vektoren ich versprochen habe einzuführen und welche ich schließlich eingeführt habe? Bin ich sicher, dass ich nichts vergessen habe? Vergessen! Ich habe vergessen zu erklären, was Multiplikation von Vektoren bedeutet.

Es gibt zwei Möglichkeiten, einen Vektor mit einem Vektor zu multiplizieren. Je nach gewählter Methode erhalten wir Objekte unterschiedlicher Art:

Das Vektorprodukt ist ziemlich knifflig. Wie das geht und warum es notwendig ist, werden wir im nächsten Artikel mit Ihnen besprechen. Und dabei konzentrieren wir uns auf das Skalarprodukt.

Es gibt bereits zwei Möglichkeiten, die es uns ermöglichen, es zu berechnen:

Wie Sie erraten haben, sollte das Ergebnis dasselbe sein! Schauen wir uns also zuerst den ersten Weg an:

Skalarprodukt durch Koordinaten

Finden Sie: - Gemeinsame Notation für Skalarprodukt

Die Formel für die Berechnung lautet wie folgt:

Das Skalarprodukt = die Summe der Produkte der Koordinaten der Vektoren!

Beispiel:

Find-dee-te

Lösung:

Finden Sie die Koordinaten jedes der Vektoren:

Wir berechnen das Skalarprodukt nach der Formel:

Antworten:

Sie sehen, absolut nichts kompliziertes!

Probieren Sie es jetzt selbst aus:

Find-di-te skalar-noe pro-von-ve-de-nie Jahrhundert bis Graben und

Hast du es geschafft? Vielleicht ist ihm ein kleiner Trick aufgefallen? Lass uns das Prüfen:

Vektorkoordinaten, wie in der vorherigen Aufgabe! Antworten: .

Neben der Koordinate gibt es noch eine andere Möglichkeit, das Skalarprodukt zu berechnen, nämlich über die Längen der Vektoren und den Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

Bezeichnet den Winkel zwischen den Vektoren und.

Das heißt, das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Wozu brauchen wir diese zweite Formel, wenn wir die erste haben, die viel einfacher ist, zumindest keine Kosinuszahlen enthält. Und wir brauchen es, damit wir aus der ersten und zweiten Formel ableiten können, wie man den Winkel zwischen Vektoren findet!

Merken Sie sich dann die Formel für die Länge eines Vektors!

Wenn ich diese Daten dann in die Punktproduktformel einsetze, erhalte ich:

Aber auf der anderen Seite:

Was haben wir also? Wir haben jetzt eine Formel, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen! Manchmal wird es der Kürze halber auch so geschrieben:

Das heißt, der Algorithmus zum Berechnen des Winkels zwischen Vektoren lautet wie folgt:

1. Wir berechnen das Skalarprodukt durch die Koordinaten
2. Finde die Längen von Vektoren und multipliziere sie
3. Teilen Sie das Ergebnis von Punkt 1 durch das Ergebnis von Punkt 2

Üben wir mit Beispielen:

1. Finden Sie den Winkel zwischen den Augenlidern-zu-ra-mi und. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

2. Finden Sie unter den Bedingungen der vorherigen Aufgabe den Kosinus zwischen den Vektoren

Lass uns das tun: Ich helfe dir, das erste Problem zu lösen, und versuche, das zweite selbst zu lösen! Ich stimme zu? Dann fangen wir an!

1. Diese Vektoren sind unsere alten Freunde. Wir haben bereits ihr Skalarprodukt betrachtet und es war gleich. Ihre Koordinaten sind: , . Dann finden wir ihre Längen:

Dann suchen wir den Kosinus zwischen den Vektoren:

Was ist der Kosinus des Winkels? Das ist die Ecke.

Antworten:

Nun, jetzt lösen Sie das zweite Problem selbst und vergleichen Sie dann! Ich gebe nur eine sehr kurze Lösung:

2. hat Koordinaten, hat Koordinaten.

Sei der Winkel zwischen den Vektoren und dann

Antworten:

Zu beachten ist, dass die Aufgaben direkt an den Vektoren und das Koordinatenverfahren in Teil B der Prüfungsarbeit eher selten sind. Die überwiegende Mehrheit der C2-Probleme kann jedoch leicht durch die Einführung eines Koordinatensystems gelöst werden. Sie können diesen Artikel also als Grundlage betrachten, auf deren Grundlage wir recht knifflige Konstruktionen erstellen, die wir zur Lösung komplexer Probleme benötigen.

KOORDINATEN UND VEKTOREN. MITTELSTUFE

Sie und ich studieren weiterhin die Methode der Koordinaten. Im letzten Teil haben wir eine Reihe wichtiger Formeln hergeleitet, die Folgendes ermöglichen:

1. Finden Sie Vektorkoordinaten
2. Finden Sie die Länge eines Vektors (alternativ: den Abstand zwischen zwei Punkten)
3. Vektoren addieren, subtrahieren. Multipliziere sie mit einer reellen Zahl
4. Finden Sie den Mittelpunkt eines Segments
5. Skalarprodukt von Vektoren berechnen
6. Finde den Winkel zwischen Vektoren

In diese 6 Punkte passt natürlich nicht das gesamte Koordinatenverfahren. Ihr liegt eine Wissenschaft wie die Analytische Geometrie zugrunde, die Sie an der Universität kennenlernen werden. Ich möchte nur eine Grundlage schaffen, die es Ihnen ermöglicht, Probleme in einem einzigen Zustand zu lösen. Prüfung. Wir haben die Aufgaben von Teil B in herausgefunden. Jetzt ist es an der Zeit, sich auf eine qualitativ neue Ebene zu begeben! Dieser Artikel widmet sich einem Verfahren zur Lösung solcher C2-Probleme, bei denen es sinnvoll wäre, auf das Koordinatenverfahren umzusteigen. Diese Angemessenheit wird dadurch bestimmt, was in dem Problem gefunden werden muss und welche Zahl angegeben wird. Also würde ich die Koordinatenmethode verwenden, wenn die Fragen lauten:

1. Finde den Winkel zwischen zwei Ebenen
2. Finden Sie den Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene
3. Finde den Winkel zwischen zwei Geraden
4. Finden Sie die Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene
5. Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie
6. Finden Sie den Abstand von einer geraden Linie zu einer Ebene
7. Finden Sie den Abstand zwischen zwei Linien

Wenn die in der Aufgabenstellung angegebene Figur ein Rotationskörper ist (Kugel, Zylinder, Kegel ...)

Geeignete Zahlen für das Koordinatenverfahren sind:

1. Quader
2. Pyramide (dreieckig, viereckig, sechseckig)

Auch nach meiner Erfahrung Es ist ungeeignet, die Koordinatenmethode für zu verwenden:

1. Finden der Bereiche von Abschnitten
2. Berechnungen von Volumen von Körpern

Gleichwohl sei gleich darauf hingewiesen, dass drei „ungünstige“ Situationen für das Koordinatenverfahren in der Praxis eher selten sind. Bei den meisten Aufgaben kann es Ihr Retter werden, besonders wenn Sie in dreidimensionalen Konstruktionen (die manchmal ziemlich kompliziert sind) nicht sehr stark sind.

Was sind all die Zahlen, die ich oben aufgelistet habe? Sie sind nicht mehr flach wie Quadrat, Dreieck, Kreis, sondern voluminös! Dementsprechend müssen wir nicht ein zweidimensionales, sondern ein dreidimensionales Koordinatensystem betrachten. Es ist ganz einfach aufgebaut: Nur zusätzlich zu Abszisse und Ordinate führen wir eine weitere Achse ein, die Applikatachse. Die Abbildung zeigt schematisch ihre relative Position:

Alle von ihnen sind senkrecht zueinander und schneiden sich an einem Punkt, den wir den Ursprung nennen werden. Die Abszissenachse wird wie zuvor bezeichnet, die Ordinatenachse mit - und die eingeführte Anwendungsachse mit - .

Wenn früher jeder Punkt in der Ebene durch zwei Zahlen gekennzeichnet war - die Abszisse und die Ordinate, dann wird jeder Punkt im Raum bereits durch drei Zahlen beschrieben - die Abszisse, die Ordinate, die Applikate. Zum Beispiel:

Dementsprechend ist die Abszisse des Punktes gleich, die Ordinate ist , und die Anwendung ist .

Manchmal wird die Abszisse eines Punktes auch als Projektion des Punktes auf die Abszissenachse bezeichnet, die Ordinate ist die Projektion des Punktes auf die Ordinatenachse und die Anwendung ist die Projektion des Punktes auf die Anwendungsachse. Wenn also ein Punkt gegeben ist, dann ein Punkt mit Koordinaten:

heißt die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

heißt die Projektion eines Punktes auf eine Ebene

Es stellt sich natürlich die Frage: Sind alle für den zweidimensionalen Fall hergeleiteten Formeln im Raum gültig? Die Antwort ist ja, sie sind gerecht und haben das gleiche Aussehen. Für ein kleines Detail. Ich denke du hast schon erraten welche. In allen Formeln müssen wir einen weiteren Term hinzufügen, der für die Anwendungsachse verantwortlich ist. Nämlich.

1. Wenn zwei Punkte gegeben sind: , dann:

• Vektorkoordinaten:
• Abstand zwischen zwei Punkten (oder Vektorlänge)
• Die Mitte des Segments hat Koordinaten

2. Wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann:

• Ihr Skalarprodukt ist:
• Der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist:

Allerdings ist der Raum nicht so einfach. Wie Sie verstehen, bringt das Hinzufügen einer weiteren Koordinate eine erhebliche Vielfalt in das Spektrum der Figuren, die in diesem Raum „leben“. Und für die weitere Erzählung muss ich, grob gesagt, eine „Verallgemeinerung“ der geraden Linie einführen. Diese "Verallgemeinerung" wird ein Flugzeug sein. Was weißt du über Flugzeuge? Versuchen Sie, die Frage zu beantworten: Was ist ein Flugzeug? Es ist sehr schwer zu sagen. Wir alle stellen uns jedoch intuitiv vor, wie es aussieht:

Grob gesagt ist dies eine Art endloses „Blatt“, das in den Weltraum geschoben wird. "Unendlich" sollte so verstanden werden, dass sich die Ebene in alle Richtungen erstreckt, das heißt, ihre Fläche ist gleich unendlich. Diese Erklärung "an den Fingern" gibt jedoch nicht die geringste Vorstellung von der Struktur des Flugzeugs. Und wir werden daran interessiert sein.

Erinnern wir uns an eines der grundlegenden Axiome der Geometrie:

• Eine Gerade geht durch zwei verschiedene Punkte auf einer Ebene, außerdem nur einen:

Oder sein Analogon im Weltraum:

Sie erinnern sich natürlich, wie man die Gleichung einer geraden Linie aus zwei gegebenen Punkten ableitet, das ist überhaupt nicht schwierig: Wenn der erste Punkt Koordinaten hat: und der zweite, dann lautet die Gleichung der geraden Linie wie folgt:

Du hast das in der siebten Klasse durchgemacht. Im Raum sieht die Geradengleichung so aus: Nehmen wir zwei Punkte mit den Koordinaten: , dann hat die Geradengleichung, die durch sie geht, die Form:

Zum Beispiel verläuft eine Linie durch Punkte:

Wie ist das zu verstehen? Dies ist wie folgt zu verstehen: Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn seine Koordinaten folgendes System erfüllen:

Wir werden uns nicht sehr für die Gleichung einer geraden Linie interessieren, aber wir müssen sehr darauf achten wichtiges Konzept Richtungsvektor gerade. - jeder Nicht-Null-Vektor, der auf einer gegebenen Linie oder parallel dazu liegt.

Beispielsweise sind beide Vektoren Richtungsvektoren einer Geraden. Sei ein Punkt, der auf einer geraden Linie liegt, und sein Richtungsvektor. Dann kann die Geradengleichung in folgender Form geschrieben werden:

Auch hier werde ich mich nicht sehr für die Gleichung einer geraden Linie interessieren, aber Sie müssen sich wirklich daran erinnern, was ein Richtungsvektor ist! Noch einmal: es ist JEDER Nicht-Null-Vektor, der auf einer Linie oder parallel dazu liegt.

Abheben Dreipunktgleichung einer Ebene ist nicht mehr so ​​trivial, und in der Regel wird dieses Thema im Kurs nicht berücksichtigt weiterführende Schule. Aber vergeblich! Diese Technik ist unerlässlich, wenn wir auf die Koordinatenmethode zurückgreifen, um komplexe Probleme zu lösen. Ich nehme aber an, dass Sie voller Lust sind, etwas Neues zu lernen? Außerdem können Sie Ihren Lehrer an der Universität beeindrucken, wenn sich herausstellt, dass Sie bereits wissen, wie man die Technik anwendet, die normalerweise im Kurs der analytischen Geometrie studiert wird. Also lasst uns anfangen.

Die Gleichung einer Ebene unterscheidet sich nicht allzu sehr von der Gleichung einer geraden Linie auf einer Ebene, sie hat nämlich die Form:

einige Zahlen (nicht alle gleich Null), sondern Variablen, zum Beispiel: etc. Wie Sie sehen können, unterscheidet sich die Gleichung einer Ebene nicht sehr von der Gleichung einer geraden Linie (lineare Funktion). Erinnern Sie sich jedoch, was wir mit Ihnen gestritten haben? Wir haben gesagt, dass, wenn wir drei Punkte haben, die nicht auf einer geraden Linie liegen, die Gleichung der Ebene eindeutig aus ihnen wiederhergestellt wird. Aber wie? Ich versuche es dir zu erklären.

Da die Ebenengleichung lautet:

Und die Punkte gehören zu dieser Ebene, wenn wir dann die Koordinaten jedes Punktes in die Gleichung der Ebene einsetzen, sollten wir die richtige Identität erhalten:

Es müssen also bereits drei Gleichungen mit Unbekannten gelöst werden! Dilemma! Davon können wir aber immer ausgehen (dazu müssen wir dividieren durch). Somit erhalten wir drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

Wir werden ein solches System aber nicht lösen, sondern den daraus folgenden kryptischen Ausdruck aufschreiben:

Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte geht

\[\links| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Halt! Was ist das noch? Ein sehr ungewöhnliches Modul! Das Objekt, das Sie vor sich sehen, hat jedoch nichts mit dem Modul zu tun. Dieses Objekt wird Determinante dritter Ordnung genannt. Wenn Sie sich von nun an mit der Methode der Koordinaten in der Ebene beschäftigen, werden Sie oft auf genau diese Determinanten stoßen. Was ist eine Determinante dritter Ordnung? Seltsamerweise ist es nur eine Zahl. Es bleibt zu verstehen, welche spezifische Zahl wir mit der Determinante vergleichen werden.

Schreiben wir zunächst die Determinante dritter Ordnung in more Gesamtansicht:

Wo sind einige Zahlen. Außerdem meinen wir mit dem ersten Index die Zeilennummer und mit dem Index die Spaltennummer. Zum Beispiel bedeutet dies, dass die angegebene Zahl am Schnittpunkt der zweiten Reihe und der dritten Spalte liegt. Lasst uns nächste Frage: Wie genau werden wir eine solche Determinante berechnen? Das heißt, mit welcher spezifischen Zahl werden wir es vergleichen? Für die Determinante gerade dritter Ordnung gibt es eine heuristische (visuelle) Dreiecksregel, sie sieht so aus:

1. Das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ zur Hauptdiagonale bilden Diagonale
2. Das Produkt der Elemente der Nebendiagonale (von der oberen rechten Ecke nach der unteren linken Ecke) Das Produkt der Elemente, die das erste Dreieck „senkrecht“ der Nebendiagonale bilden Das Produkt der Elemente, die das zweite Dreieck „senkrecht“ bilden der Nebendiagonale
3. Dann ist die Determinante gleich der Differenz zwischen den im Schritt erhaltenen Werten und

Wenn wir das alles in Zahlen schreiben, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:

Sie müssen sich die Berechnungsmethode in dieser Form jedoch nicht merken, es reicht aus, nur die Dreiecke im Kopf zu behalten und die Vorstellung davon, was zu was hinzugefügt und was dann von was abgezogen wird).

Lassen Sie uns die Dreiecksmethode an einem Beispiel veranschaulichen:

1. Berechnen Sie die Determinante:

Lassen Sie uns herausfinden, was wir addieren und was wir subtrahieren:

Begriffe, die mit einem „Plus“ versehen sind:

Dies ist die Hauptdiagonale: das Produkt der Elemente ist

Das erste Dreieck, "senkrecht zur Hauptdiagonale: das Produkt der Elemente ist

Das zweite Dreieck, "senkrecht zur Hauptdiagonale: das Produkt der Elemente ist

Wir addieren drei Zahlen:

Begriffe mit einem „Minus“

Dies ist eine Seitendiagonale: das Produkt der Elemente ist

Das erste Dreieck, "senkrecht zur Nebendiagonale: das Produkt der Elemente ist

Das zweite Dreieck, "senkrecht zur Nebendiagonale: das Produkt der Elemente ist

Wir addieren drei Zahlen:

Es bleibt nur noch, von der Summe der Plus-Terme die Summe der Minus-Terme abzuziehen:

Auf diese Weise,

Wie Sie sehen können, ist die Berechnung von Determinanten dritter Ordnung nichts Kompliziertes und Übernatürliches. Es ist einfach wichtig, sich an Dreiecke zu erinnern und keine Rechenfehler zu machen. Versuchen Sie nun, selbst zu rechnen:

Wir überprüfen:

1. Das erste Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonalen:
2. Das zweite Dreieck senkrecht zur Hauptdiagonalen:
3. Die Summe der Plusterme:
4. Erstes Dreieck senkrecht zur Seitendiagonalen:
5. Das zweite Dreieck, senkrecht zur Seitendiagonalen:
6. Die Summe der Terme mit einem Minus:
7. Summe der Plusterme minus Summe der Minusterme:

Hier noch ein paar Determinanten für dich, berechne deren Werte selbst und vergleiche mit den Antworten:

Antworten:

Na, hat alles gepasst? Super, dann kann es weitergehen! Wenn es Schwierigkeiten gibt, dann mein Rat: Im Internet gibt es eine Reihe von Programmen, um die Determinante online zu berechnen. Alles, was Sie brauchen, ist, Ihre eigene Determinante zu finden, sie selbst zu berechnen und sie dann mit dem zu vergleichen, was das Programm berechnet. Und so weiter, bis die Ergebnisse übereinstimmen. Ich bin sicher, dieser Moment wird nicht lange auf sich warten lassen!

Kehren wir nun zu der Determinante zurück, die ich aufgeschrieben habe, als ich über die Gleichung einer Ebene gesprochen habe, die durch drei gegebene Punkte verläuft:

Alles, was Sie tun müssen, ist, seinen Wert direkt zu berechnen (mit der Dreiecksmethode) und das Ergebnis gleich Null zu setzen. Da es sich um Variablen handelt, erhalten Sie natürlich einen Ausdruck, der von ihnen abhängt. Dieser Ausdruck ist die Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte geht, die nicht auf einer geraden Linie liegen!

Veranschaulichen wir dies an einem einfachen Beispiel:

1. Konstruieren Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte geht

Wir bilden eine Determinante für diese drei Punkte:

Vereinfachung:

Jetzt berechnen wir es direkt nach der Dreiecksregel:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ rechts| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Somit lautet die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte geht:

Versuchen Sie jetzt, ein Problem selbst zu lösen, und dann besprechen wir es:

2. Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte geht

Nun, lassen Sie uns jetzt die Lösung besprechen:

Wir machen eine Determinante:

Und berechne seinen Wert:

Dann hat die Ebenengleichung die Form:

Oder durch Reduktion um erhalten wir:

Nun zwei Aufgaben zur Selbstkontrolle:

1. Konstruieren Sie die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht:

Antworten:

Hat alles gepasst? Auch hier, wenn es gewisse Schwierigkeiten gibt, dann mein Rat: Nimm dir drei Punkte aus dem Kopf (mit Größtenteils Wahrscheinlichkeit liegen sie nicht auf einer geraden Linie), baut man darauf ein Flugzeug. Und dann überprüfen Sie sich online. Zum Beispiel auf der Website:

Mit Hilfe von Determinanten werden wir jedoch nicht nur die Gleichung der Ebene konstruieren. Denken Sie daran, ich habe Ihnen gesagt, dass für Vektoren nicht nur das Skalarprodukt definiert ist. Es gibt auch einen Vektor sowie ein Mischprodukt. Und wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren eine Zahl ist, dann ist das Vektorprodukt zweier Vektoren ein Vektor, und dieser Vektor steht senkrecht zu den gegebenen:

Und sein Modul wird sein gleich Fläche Parallelogramm aufgebaut auf Vektoren und. Wir benötigen diesen Vektor, um die Entfernung von einem Punkt zu einer Linie zu berechnen. Wie können wir das Kreuzprodukt von Vektoren berechnen und wenn ihre Koordinaten gegeben sind? Dabei kommt uns wieder die Determinante dritter Ordnung zu Hilfe. Bevor ich jedoch zum Algorithmus zur Berechnung des Kreuzprodukts übergehe, muss ich einen kleinen lyrischen Exkurs machen.

Dieser Exkurs betrifft die Basisvektoren.

Schematisch sind sie in der Abbildung dargestellt:

Warum denkst du, dass sie Basic genannt werden? Die Sache ist die :

Oder auf dem Bild:

Die Gültigkeit dieser Formel ist offensichtlich, denn:

Vektorprodukt

Jetzt kann ich mit der Einführung des Kreuzprodukts beginnen:

Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist ein Vektor, der nach folgender Regel berechnet wird:

Lassen Sie uns nun einige Beispiele für die Berechnung des Kreuzprodukts geben:

Beispiel 1: Finden Sie das Kreuzprodukt von Vektoren:

Lösung: Ich mache eine Determinante:

Und ich rechne es aus:

Jetzt, nachdem ich durch Basisvektoren geschrieben habe, kehre ich zur üblichen Vektorschreibweise zurück:

Auf diese Weise:

Versuchen Sie es jetzt.

Bereit? Wir überprüfen:

Und traditionell zwei zu kontrollierende Aufgaben:

1. Finden Sie das Kreuzprodukt der folgenden Vektoren:
2. Finden Sie das Kreuzprodukt der folgenden Vektoren:

Antworten:

Mischprodukt aus drei Vektoren

Die letzte Konstruktion, die ich brauche, ist das gemischte Produkt von drei Vektoren. Es ist wie ein Skalar eine Zahl. Es gibt zwei Möglichkeiten, es zu berechnen. - durch die Determinante, - durch das Mischprodukt.

Nehmen wir nämlich an, wir haben drei Vektoren:

Dann kann das gemischte Produkt dreier Vektoren, bezeichnet mit berechnet werden als:

1. - das heißt, das Mischprodukt ist das Skalarprodukt eines Vektors und das Vektorprodukt zweier anderer Vektoren

Zum Beispiel ist das gemischte Produkt von drei Vektoren:

Versuchen Sie, es mit dem Vektorprodukt selbst zu berechnen, und achten Sie darauf, dass die Ergebnisse übereinstimmen!

Und nochmal - zwei Beispiele für eine unabhängige Entscheidung:

Antworten:

Wahl des Koordinatensystems

Nun, jetzt haben wir alle notwendigen Wissensgrundlagen, um komplexe stereometrische Probleme in der Geometrie zu lösen. Bevor ich jedoch direkt zu den Beispielen und Algorithmen zu ihrer Lösung übergehe, glaube ich, dass es nützlich sein wird, auf die folgende Frage einzugehen: wie genau Wählen Sie ein Koordinatensystem für eine bestimmte Figur. Denn die Wahl der relativen Lage des Koordinatensystems und der Figur im Raum entscheidet letztendlich darüber, wie umständlich die Berechnungen werden.

Ich erinnere Sie daran, dass wir in diesem Abschnitt die folgenden Zahlen betrachten:

1. Quader
2. Gerades Prisma (dreieckig, sechseckig…)
3. Pyramide (dreieckig, viereckig)
4. Tetraeder (dasselbe wie dreieckige Pyramide)

Für einen Quader oder Würfel empfehle ich folgende Konstruktion:

Das heißt, ich werde die Figur „in die Ecke“ stellen. Der Würfel und das Parallelepiped sind sehr gute Zahlen. Für sie können Sie immer leicht die Koordinaten ihrer Scheitelpunkte finden. Zum Beispiel, wenn (wie im Bild gezeigt)

dann sind die Scheitelpunktkoordinaten:

Das müssen Sie sich natürlich nicht merken, aber denken Sie daran, wie Sie den Würfel am besten positionieren bzw Quader- wünschenswert.

gerades Prisma

Prisma - mehr schädliche Figur. Sie können es auf verschiedene Arten im Raum anordnen. Ich denke jedoch, dass die folgende Option die beste Option ist:

Dreieckiges Prisma:

Das heißt, wir legen eine der Seiten des Dreiecks vollständig auf die Achse und eine der Ecken fällt mit dem Ursprung zusammen.

Sechskantprisma:

Das heißt, einer der Scheitelpunkte fällt mit dem Ursprung zusammen und eine der Seiten liegt auf der Achse.

Viereckige und sechseckige Pyramide:

Eine Situation ähnlich wie bei einem Würfel: Wir kombinieren zwei Seiten der Basis mit den Koordinatenachsen, wir kombinieren einen der Eckpunkte mit dem Ursprung. Die einzige kleine Schwierigkeit besteht darin, die Koordinaten des Punktes zu berechnen.

Für eine sechseckige Pyramide - dasselbe wie für ein sechseckiges Prisma. Die Hauptaufgabe besteht wieder darin, die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden.

Tetraeder (dreieckige Pyramide)

Die Situation ist sehr ähnlich wie die, die ich für das Dreiecksprisma angegeben habe: Ein Scheitelpunkt fällt mit dem Ursprung zusammen, eine Seite liegt auf der Koordinatenachse.

Nun, jetzt sind Sie und ich endlich kurz davor, Probleme zu lösen. Aus dem, was ich ganz am Anfang des Artikels gesagt habe, könnte man folgende Schlussfolgerung ziehen: Die meisten C2-Probleme fallen in 2 Kategorien: Probleme für den Winkel und Probleme für die Entfernung. Zuerst betrachten wir Probleme zum Finden eines Winkels. Sie wiederum werden (mit zunehmender Komplexität) in folgende Kategorien eingeteilt:

Probleme beim Finden von Ecken

1. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Geraden
2. Ermitteln des Winkels zwischen zwei Ebenen

Betrachten wir diese Probleme der Reihe nach: Beginnen wir damit, den Winkel zwischen zwei geraden Linien zu finden. Komm schon, denk dran, hast du und ich ähnliche Beispiele schon einmal gelöst? Sie erinnern sich, denn wir hatten schon etwas Ähnliches ... Wir haben nach einem Winkel zwischen zwei Vektoren gesucht. Ich erinnere Sie daran, wenn zwei Vektoren gegeben sind: und, dann wird der Winkel zwischen ihnen aus der Beziehung gefunden:

Jetzt haben wir ein Ziel - den Winkel zwischen zwei geraden Linien zu finden. Kommen wir zum „flachen Bild“:

Wie viele Winkel erhalten wir, wenn sich zwei Geraden schneiden? Schon Sachen. Allerdings sind nur zwei von ihnen nicht gleich, während andere senkrecht zu ihnen stehen (und daher mit ihnen übereinstimmen). Welchen Winkel sollten wir also als Winkel zwischen zwei Geraden betrachten: oder? Hier gilt die Regel: Der Winkel zwischen zwei Geraden beträgt immer nicht mehr als Grad. Das heißt, wir werden von zwei Winkeln immer den Winkel mit dem kleinsten Gradmaß wählen. Das heißt, in diesem Bild ist der Winkel zwischen den beiden Linien gleich. Um nicht jedes Mal den kleinsten der beiden Winkel suchen zu müssen, schlugen listige Mathematiker vor, das Modul zu verwenden. Somit wird der Winkel zwischen zwei Geraden durch die Formel bestimmt:

Sie als aufmerksamer Leser hätten eine Frage haben müssen: Woher bekommen wir eigentlich genau diese Zahlen, die wir brauchen, um den Kosinus eines Winkels zu berechnen? Antwort: Wir nehmen sie aus den Richtungsvektoren der Linien! Der Algorithmus zum Ermitteln des Winkels zwischen zwei Linien lautet also wie folgt:

1. Wir wenden Formel 1 an.

Oder ausführlicher:

1. Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors der ersten Geraden
2. Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors der zweiten Linie
3. Berechnen Sie den Modul ihres Skalarprodukts
4. Wir suchen die Länge des ersten Vektors
5. Wir suchen die Länge des zweiten Vektors
6. Multiplizieren Sie die Ergebnisse von Punkt 4 mit den Ergebnissen von Punkt 5
7. Wir teilen das Ergebnis von Punkt 3 durch das Ergebnis von Punkt 6. Wir erhalten den Kosinus des Winkels zwischen den Linien
8. Wenn ein gegebenes Ergebnis Damit Sie den Winkel genau berechnen können, suchen wir danach
9. Ansonsten schreiben wir durch den Arkuskosinus

So, jetzt geht es an die Aufgaben: Ich werde die Lösung der ersten beiden ausführlich demonstrieren, die Lösung einer weiteren stelle ich in vor Zusammenfassung, und für die letzten beiden Probleme werde ich nur Antworten geben, Sie müssen alle Berechnungen dafür selbst durchführen.

Aufgaben:

1. Finde im rechten tet-ra-ed-re den Winkel zwischen dir-so-dass tet-ra-ed-ra und der me-di-a-noy bo-ko-how Seite.

2. In der rechten Vorwärts-Sechs-Kohle-Pi-Ra-Mi-De sind die Hundert-Ro-Na-Os-No-Va-Niya irgendwie gleich und die Seitenrippen sind gleich, finden Sie den Winkel zwischen der Geraden Linien u.

3. Die Längen aller Kanten des rechtshändigen Four-you-rech-coal-noy pi-ra-mi-dy sind gleich. Finden Sie den Winkel zwischen den geraden Linien und wenn from-re-zok - you-so-that gegeben pi-ra-mi-dy, ist der Punkt se-re-di-auf ihrer bo-ko-ten Rippe

4. Auf der Kante des Würfels von-mich-zu einem Punkt, so dass Find-di-te den Winkel zwischen den geraden Linien und

5. Punkt - se-re-di-an den Kanten des Würfels Nai-di-te der Winkel zwischen den geraden Linien und.

Es ist kein Zufall, dass ich die Aufgaben in dieser Reihenfolge angeordnet habe. Während Sie noch keine Zeit hatten, sich mit der Koordinatenmethode zurechtzufinden, werde ich selbst die „problematischsten“ Zahlen analysieren und Sie mit dem einfachsten Würfel befassen! Nach und nach muss man lernen mit den ganzen Figuren zu arbeiten, ich werde die Komplexität der Aufgaben von Thema zu Thema steigern.

Fangen wir an, Probleme zu lösen:

1. Zeichnen Sie ein Tetraeder und platzieren Sie es im Koordinatensystem, wie ich es bereits vorgeschlagen habe. Da das Tetraeder regelmäßig ist, sind alle seine Flächen (einschließlich der Basis) regelmäßige Dreiecke. Da uns die Seitenlänge nicht vorgegeben ist, kann ich sie gleich nehmen. Ich denke, Sie verstehen, dass der Winkel nicht wirklich davon abhängt, wie stark unser Tetraeder "gestreckt" wird. Ich werde auch die Höhe und den Median in den Tetraeder einzeichnen. Unterwegs werde ich seine Basis zeichnen (es wird uns auch nützlich sein).

Ich muss den Winkel zwischen und finden. Was wissen wir? Wir kennen nur die Koordinate des Punktes. Also müssen wir mehr Koordinaten der Punkte finden. Jetzt denken wir: Ein Punkt ist ein Schnittpunkt von Höhen (oder Halbierenden oder Seitenhalbierenden) eines Dreiecks. Ein Punkt ist ein erhöhter Punkt. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Dann müssen wir endlich finden: die Koordinaten der Punkte: .

Beginnen wir mit dem Einfachsten: Punktkoordinaten. Betrachten Sie die Abbildung: Es ist klar, dass die Anwendbarkeit eines Punktes gleich Null ist (der Punkt liegt auf einer Ebene). Seine Ordinate ist gleich (weil es der Median ist). Es ist schwieriger, seine Abszisse zu finden. Dies ist jedoch auf der Grundlage des Satzes des Pythagoras leicht zu bewerkstelligen: Betrachten Sie ein Dreieck. Seine Hypotenuse ist gleich und eines der Beine ist gleich Dann:

Endlich haben wir:

Lassen Sie uns nun die Koordinaten des Punktes finden. Es ist klar, dass seine Anwendung wieder gleich Null ist und seine Ordinate die gleiche wie die eines Punktes ist. Finden wir seine Abszisse. Dies geschieht ziemlich trivial, wenn man sich daran erinnert die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks werden durch den Schnittpunkt im Verhältnis geteilt von oben zählen. Da: , dann die gesuchte Abszisse des Punktes, gleich der Länge Segment ist gleich: . Somit sind die Koordinaten des Punktes:

Finden wir die Koordinaten des Punktes. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes zusammenfallen. Und die Applikation entspricht der Länge des Segments. - Dies ist einer der Schenkel des Dreiecks. Die Hypotenuse eines Dreiecks ist ein Segment - ein Bein. Es wird nach den Gründen gesucht, die ich fett hervorgehoben habe:

Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Dann müssen wir uns die Formel für die Koordinaten der Segmentmitte merken:

Das war's, jetzt können wir die Koordinaten der Richtungsvektoren suchen:

Nun, alles ist bereit: Wir setzen alle Daten in die Formel ein:

Auf diese Weise,

Antworten:

Sie sollten sich vor solchen "schrecklichen" Antworten nicht fürchten: Bei Problemen C2 ist dies eine gängige Praxis. Ich würde mich eher über die "schöne" Antwort in diesem Teil wundern. Außerdem habe ich, wie Sie bemerkt haben, praktisch auf nichts anderes als den Satz des Pythagoras und die Eigenschaft der Höhen eines gleichseitigen Dreiecks zurückgegriffen. Das heißt, um das stereometrische Problem zu lösen, habe ich ein Minimum an Stereometrie verwendet. Der Gewinn darin wird teilweise durch ziemlich umständliche Berechnungen "ausgelöscht". Aber sie sind ziemlich algorithmisch!

2. Zeichnen Sie eine regelmäßige sechseckige Pyramide zusammen mit dem Koordinatensystem und ihrer Basis:

Wir müssen den Winkel zwischen den Linien und finden. Somit reduziert sich unsere Aufgabe darauf, die Koordinaten von Punkten zu finden: . Wir finden die Koordinaten der letzten drei aus der kleinen Zeichnung, und wir finden die Koordinate des Scheitelpunkts durch die Koordinate des Punkts. Viel Arbeit, aber es muss losgehen!

a) Koordinate: Es ist klar, dass ihre Anwendung und Ordinate Null sind. Finden wir die Abszisse. Betrachten Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck. Leider kennen wir darin nur die Hypotenuse, die gleich ist. Wir werden versuchen, das Bein zu finden (weil es klar ist, dass die doppelte Länge des Beins uns die Abszisse des Punktes gibt). Wie können wir danach suchen? Erinnern wir uns, was für eine Figur wir am Fuß der Pyramide haben? Dies ist ein regelmäßiges Sechseck. Was bedeutet das? Das bedeutet, dass alle Seiten und alle Winkel gleich sind. Wir müssen eine solche Ecke finden. Irgendwelche Ideen? Es gibt viele Ideen, aber es gibt eine Formel:

Die Summe der Winkel eines regelmäßigen n-Ecks ist .

Die Summe der Winkel eines regelmäßigen Sechsecks ist also Grad. Dann ist jeder der Winkel gleich:

Schauen wir uns das Bild noch einmal an. Es ist klar, dass das Segment die Winkelhalbierende ist. Dann ist der Winkel Grad. Dann:

Wo dann.

Es hat also Koordinaten

b) Jetzt können wir leicht die Koordinate des Punktes finden: .

c) Finde die Koordinaten des Punktes. Da ihre Abszisse mit der Länge des Segments zusammenfällt, ist sie gleich. Die Bestimmung der Ordinate ist auch nicht sehr schwierig: Wenn wir die Punkte und verbinden und den Schnittpunkt der Linie bezeichnen, sagen wir for. (Do it yourself einfacher Aufbau). Dann ist also die Ordinate von Punkt B gleich der Summe der Längen der Segmente. Schauen wir uns das Dreieck noch einmal an. Dann

Then seit Then hat der Punkt Koordinaten

d) Finden Sie nun die Koordinaten des Punktes. Betrachten Sie ein Rechteck und beweisen Sie: Somit sind die Koordinaten des Punktes:

e) Es bleibt, die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden. Es ist klar, dass seine Abszisse und Ordinate mit der Abszisse und Ordinate des Punktes zusammenfallen. Lassen Sie uns eine App finden. Seit damals. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck. Durch den Zustand des Problems, der seitlichen Kante. Das ist die Hypotenuse meines Dreiecks. Dann ist die Höhe der Pyramide das Bein.

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Das war's, ich habe die Koordinaten aller für mich interessanten Punkte. Ich suche die Koordinaten der Richtungsvektoren der Geraden:

Wir suchen den Winkel zwischen diesen Vektoren:

Antworten:

Auch bei der Lösung dieses Problems habe ich keine raffinierten Tricks angewandt, außer der Formel für die Winkelsumme eines regelmäßigen n-Ecks sowie der Definition von Kosinus und Sinus eines rechtwinkligen Dreiecks.

3. Da uns die Kantenlängen in der Pyramide wieder nicht gegeben sind, betrachte ich sie gleich eins. Da also ALLE Kanten und nicht nur die Seitenkanten gleich sind, liegt an der Basis der Pyramide und mir ein Quadrat, und die Seitenflächen sind regelmäßige Dreiecke. Lassen Sie uns eine solche Pyramide sowie ihre Basis in einer Ebene darstellen und alle im Text des Problems angegebenen Daten markieren:

Wir suchen den Winkel zwischen und. Ich werde sehr kurze Berechnungen anstellen, wenn ich nach den Koordinaten von Punkten suche. Sie müssen sie "entschlüsseln":

b) - die Mitte des Segments. Ihre Koordinaten:

c) Ich werde die Länge des Segments mit dem Satz des Pythagoras in einem Dreieck finden. Ich werde durch den Satz des Pythagoras in einem Dreieck finden.

Koordinaten:

d) - die Mitte des Segments. Seine Koordinaten sind

e) Vektorkoordinaten

f) Vektorkoordinaten

g) Winkel suchen:

Der Würfel ist die einfachste Figur. Ich bin sicher, Sie können es selbst herausfinden. Die Lösungen zu den Aufgaben 4 und 5 lauten wie folgt:

Ermitteln des Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene

Nun, die Zeit für einfache Rätsel ist vorbei! Jetzt werden die Beispiele noch schwieriger. Um den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene zu finden, gehen wir wie folgt vor:

1. Mit drei Punkten bauen wir die Gleichung der Ebene auf
   ,
   mit einer Determinante dritter Ordnung.
2. Durch zwei Punkte suchen wir die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden:
3. Wir wenden die Formel an, um den Winkel zwischen einer geraden Linie und einer Ebene zu berechnen:

Wie Sie sehen können, ist diese Formel derjenigen sehr ähnlich, die wir verwendet haben, um die Winkel zwischen zwei Linien zu finden. Die Struktur der rechten Seite ist genauso, und auf der linken Seite suchen wir jetzt nach einem Sinus und nicht wie zuvor nach einem Kosinus. Nun, eine böse Aktion wurde hinzugefügt - die Suche nach der Gleichung der Ebene.

Lassen Sie uns nicht beiseite legen Lösungsbeispiele:

1. Os-no-va-ni-em direkt-mein Preis-wir sind-la-et-xia gleich-aber-arm-ren-ny Dreieck-nicke dich-mit-diesem Preis-wir sind gleich. Finde den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene

2. In einem rechteckigen pa-ral-le-le-pi-pe-de aus dem Westen Nai-di-te der Winkel zwischen der geraden Linie und der Ebene

3. Im rechtshändigen Sechs-Kohle-Prisma sind alle Kanten gleich. Finde den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene.

4. Im rechten Dreieck pi-ra-mi-de mit dem os-but-va-ni-em aus dem Westen der Rippe Nai-di-te Winkel, ob-ra-zo-van -ny Ebene des os -no-va-niya und straight-my, durch das se-re-di-na der Rippen und

5. Die Längen aller Kanten des rechten viereckigen Pi-ra-mi-dy mit der Spitze sind gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der geraden Linie und der Ebene, wenn der Punkt se-re-di-auf der Bo-ko-in-th-Kante des Pi-ra-mi-dy ist.

Auch hier werde ich die ersten beiden Probleme im Detail lösen, das dritte - kurz, und die letzten beiden überlasse ich Ihnen, um sie selbst zu lösen. Außerdem musste man sich schon mit dreieckigen und viereckige Pyramiden, aber mit Prismen - noch nicht.

Lösungen:

1. Zeichnen Sie ein Prisma sowie seine Basis. Kombinieren wir es mit dem Koordinatensystem und markieren alle Daten, die in der Problemstellung angegeben sind:

Ich entschuldige mich für die Nichteinhaltung der Proportionen, aber für die Lösung des Problems ist dies eigentlich nicht so wichtig. Das Flugzeug ist nur " Rückwand» meines Prismas. Es reicht aus, einfach zu erraten, dass die Gleichung einer solchen Ebene die Form hat:

Dies kann aber auch direkt angezeigt werden:

Wir wählen drei willkürliche Punkte auf dieser Ebene: zum Beispiel .

Stellen wir die Gleichung der Ebene auf:

Übung für Sie: Berechnen Sie diese Determinante selbst. Warst du erfolgreich? Dann hat die Ebenengleichung die Form:

Oder einfach

Auf diese Weise,

Um das Beispiel zu lösen, muss ich die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden finden. Da der Punkt mit dem Ursprung zusammenfällt, fallen die Koordinaten des Vektors einfach mit den Koordinaten des Punktes zusammen.Um dies zu tun, finden wir zuerst die Koordinaten des Punktes.

Betrachten Sie dazu ein Dreieck. Lassen Sie uns eine Höhe (es ist auch ein Median und eine Winkelhalbierende) von oben zeichnen. Da ist dann die Ordinate des Punktes gleich. Um die Abszisse dieses Punktes zu finden, müssen wir die Länge des Segments berechnen. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

Dann hat der Punkt Koordinaten:

Ein Punkt ist ein „Raised“ auf einem Punkt:

Dann die Koordinaten des Vektors:

Antworten:

Wie Sie sehen können, ist die Lösung solcher Probleme grundsätzlich nicht schwierig. Tatsächlich vereinfacht die „Geradheit“ einer Figur wie eines Prismas den Prozess ein wenig mehr. Kommen wir nun zum nächsten Beispiel:

2. Wir zeichnen ein Parallelepiped, zeichnen eine Ebene und eine gerade Linie darin und zeichnen auch separat seine untere Basis:

Zuerst finden wir die Gleichung der Ebene: Die Koordinaten der drei darin liegenden Punkte:

(Die ersten beiden Koordinaten werden auf offensichtliche Weise erhalten, und Sie können die letzte Koordinate leicht aus dem Bild vom Punkt aus finden). Dann stellen wir die Gleichung der Ebene auf:

Wir rechnen:

Wir suchen die Koordinaten des Richtungsvektors: Es ist klar, dass seine Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes zusammenfallen, oder? Wie findet man Koordinaten? Dies sind die Koordinaten des Punktes, um eins erhöht entlang der Anwendungsachse! . Dann suchen wir den gewünschten Winkel:

Antworten:

3. Zeichnen Sie eine regelmäßige sechseckige Pyramide und zeichnen Sie dann eine Ebene und eine gerade Linie darin.

Hier ist es sogar problematisch, eine Ebene zu zeichnen, ganz zu schweigen von der Lösung dieses Problems, aber die Koordinatenmethode kümmert sich nicht darum! In seiner Vielseitigkeit liegt sein Hauptvorteil!

Das Flugzeug geht durch drei Punkte: . Wir suchen ihre Koordinaten:

eines) . Lassen Sie sich die Koordinaten für die letzten beiden Punkte selbst anzeigen. Dazu musst du das Problem mit einer sechseckigen Pyramide lösen!

2) Wir bilden die Gleichung der Ebene:

Wir suchen die Koordinaten des Vektors: . (Siehe noch einmal Dreieckspyramidenproblem!)

3) Wir suchen einen Winkel:

Antworten:

Wie Sie sehen können, gibt es bei diesen Aufgaben nichts übernatürlich Schwieriges. Sie müssen nur sehr vorsichtig mit den Wurzeln sein. Zu den letzten beiden Problemen werde ich nur Antworten geben:

Wie Sie sehen können, ist die Technik zum Lösen von Problemen überall gleich: Die Hauptaufgabe besteht darin, die Koordinaten der Scheitelpunkte zu finden und sie in einige Formeln einzusetzen. Es bleibt uns noch, eine weitere Klasse von Problemen zur Berechnung von Winkeln zu betrachten, nämlich:

Winkel zwischen zwei Ebenen berechnen

Der Lösungsalgorithmus lautet wie folgt:

1. Für drei Punkte suchen wir die Gleichung der ersten Ebene:
2. Für die anderen drei Punkte suchen wir die Gleichung der zweiten Ebene:
3. Wir wenden die Formel an:

Wie Sie sehen können, ist die Formel den beiden vorherigen sehr ähnlich, mit deren Hilfe wir nach Winkeln zwischen geraden Linien und zwischen einer geraden Linie und einer Ebene gesucht haben. Es wird Ihnen also nicht schwer fallen, sich an diesen zu erinnern. Kommen wir gleich zum Problem:

1. Ein Hundert-Ro-auf der Basis des rechten dreieckigen Prismas ist gleich, und die Diagonale der Seitenfläche ist gleich. Finden Sie den Winkel zwischen der Ebene und der Ebene der Basis des Preises.

2. In der rechten Vorwärts-Vier-du-wieder-Kohle-noy Pi-ra-mi-de sind alle Kanten von jemandem gleich, finden Sie den Sinus des Winkels zwischen der Ebene und der Ebene Ko-Stu, die durchgeht der Punkt von per-pen-di-ku-lyar-aber direkt-mein.

3. In einem regulären Prisma mit vier Kohlen sind die Seiten des Os-no-va-nia gleich und die Seitenkanten sind gleich. Am Rande von-mir-che-auf den Punkt damit. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen und

4. Beim rechten viereckigen Prisma sind die Seiten der Basen gleich und die Seitenkanten gleich. Auf der Kante von-mir-che-zu einem Punkt, damit Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen und.

5. Finden Sie im Würfel den Cosinus des Winkels zwischen den Ebenen und

Problemlösungen:

1. Ich zeichne das richtige (an der Basis ist ein gleichseitiges Dreieck) dreieckiges Prisma und ich markiere darauf die Flugzeuge, die im Zustand des Problems erscheinen:

Wir müssen die Gleichungen zweier Ebenen finden: Die Basisgleichung erhält man trivial: Sie können die entsprechende Determinante für drei Punkte aufstellen, aber ich werde die Gleichung gleich aufstellen:

Lassen Sie uns nun die Gleichung finden Der Punkt hat Koordinaten Der Punkt - Da - der Median und die Höhe des Dreiecks, ist es leicht, durch den Satz des Pythagoras in einem Dreieck zu finden. Dann hat der Punkt Koordinaten: Finden Sie die Anwendung des Punktes Dazu betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck

Dann erhalten wir die folgenden Koordinaten: Wir bilden die Gleichung der Ebene.

Wir berechnen den Winkel zwischen den Ebenen:

Antworten:

2. Anfertigen einer Zeichnung:

Am schwierigsten ist es zu verstehen, was für eine mysteriöse Ebene es ist, die senkrecht durch einen Punkt verläuft. Naja, Hauptsache was ist das? Hauptsache Achtsamkeit! Tatsächlich ist die Linie senkrecht. Die Linie ist auch senkrecht. Dann steht die Ebene, die durch diese beiden Linien geht, senkrecht zur Linie und geht übrigens durch den Punkt. Diese Ebene geht auch durch die Spitze der Pyramide. Dann das gewünschte Flugzeug - Und schon ist das Flugzeug bei uns. Wir suchen nach Koordinaten von Punkten.

Wir finden die Koordinate des Punktes durch den Punkt. Aus einer kleinen Zeichnung lässt sich leicht ableiten, dass die Koordinaten des Punktes wie folgt sein werden: Was muss nun noch gefunden werden, um die Koordinaten der Spitze der Pyramide zu finden? Die Höhe muss noch berechnet werden. Dies geschieht mit dem gleichen Satz des Pythagoras: Beweisen Sie zuerst, dass (trivialerweise aus kleinen Dreiecken, die an der Basis ein Quadrat bilden). Da wir nach Bedingung haben:

Jetzt ist alles fertig: Scheitelkoordinaten:

Wir bilden die Gleichung der Ebene:

Sie sind bereits Experte in der Berechnung von Determinanten. Ganz einfach erhalten Sie:

Oder anders (wenn wir beide Teile mit der Wurzel aus zwei multiplizieren)

Lassen Sie uns nun die Gleichung der Ebene finden:

(Sie haben nicht vergessen, wie wir die Gleichung der Ebene erhalten, oder? Wenn Sie nicht verstehen, woher dieses Minus kommt, dann gehen Sie zurück zur Definition der Gleichung der Ebene! Es stellte sich einfach immer heraus, dass meine Flugzeug gehörte zum Ursprung!)

Wir berechnen die Determinante:

(Sie werden vielleicht bemerken, dass die Gleichung der Ebene mit der Gleichung der geraden Linie übereinstimmt, die durch die Punkte geht und! Überlegen Sie warum!)

Jetzt berechnen wir den Winkel:

Wir müssen den Sinus finden:

Antworten:

3. Eine knifflige Frage: Was ist ein rechteckiges Prisma, was denkst du? Es ist nur ein bekanntes Parallelepiped für Sie! Sofort zeichnen! Sie können die Basis nicht einmal separat darstellen, hier hat sie wenig Nutzen:

Wie bereits erwähnt, wird die Ebene als Gleichung geschrieben:

Jetzt bauen wir ein Flugzeug

Wir stellen sofort die Gleichung der Ebene auf:

Auf der Suche nach einem Winkel

Nun die Antworten zu den letzten beiden Aufgaben:

Nun, jetzt ist es an der Zeit, eine Pause einzulegen, denn Sie und ich sind großartig und haben einen großartigen Job gemacht!

Koordinaten und Vektoren. Fortgeschrittenes Level

In diesem Artikel besprechen wir mit Ihnen eine weitere Klasse von Problemen, die mit der Koordinatenmethode gelöst werden können: Entfernungsprobleme. Wir werden nämlich überlegen folgende Fälle:

1. Berechnen des Abstands zwischen schrägen Linien.

Ich habe die gegebenen Aufgaben nach zunehmender Komplexität geordnet. Am einfachsten ist es zu finden Abstand zwischen Punkt und Ebene und das Schwierigste ist das Finden Abstand zwischen sich schneidenden Linien. Obwohl natürlich nichts unmöglich ist! Lassen Sie uns nicht zögern und sofort mit der Betrachtung der ersten Klasse von Problemen fortfahren:

Berechnung der Entfernung von einem Punkt zu einer Ebene

Was brauchen wir, um dieses Problem zu lösen?

1. Punktkoordinaten

Sobald wir also alle notwendigen Daten haben, wenden wir die Formel an:

Sie sollten bereits wissen, wie wir die Gleichung der Ebene aus den vorherigen Problemen aufbauen, die ich im letzten Teil analysiert habe. Kommen wir gleich zur Sache. Das Schema lautet wie folgt: 1, 2 - Ich helfe Ihnen bei der Entscheidung und im Detail 3, 4 - nur die Antwort, Sie treffen die Entscheidung selbst und vergleichen. Gestartet!

Aufgaben:

1. Gegeben ist ein Würfel. Die Kantenlänge des Würfels ist Find-di-te-Entfernung von se-re-di-ny von geschnitten zu flach

2. Angesichts der Rechts-vil-naya vier-du-rekh-kohle-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe Kante hundert-ro-auf der os-no-va-nia ist gleich. Find-di-jene Abstände von einem Punkt zu einer Ebene, wo - se-re-di-an den Rändern.

3. Im rechten dreieckigen Pi-ra-mi-de mit os-aber-va-ni-em ist die andere Kante gleich, und einhundert-ro-on os-no-vaniya ist gleich. Finde-di-diese Abstände von der Spitze zur Ebene.

4. Im rechtshändigen Sechs-Kohle-Prisma sind alle Kanten gleich. Finde-di-diese Abstände von einem Punkt zu einer Ebene.

Lösungen:

1. Zeichne einen Würfel mit einzelnen Kanten, baue ein Segment und eine Ebene, bezeichne die Mitte des Segments mit dem Buchstaben

.

Beginnen wir zunächst mit einem einfachen: Finden Sie die Koordinaten eines Punktes. Seitdem (Koordinaten der Segmentmitte merken!)

Jetzt setzen wir die Gleichung der Ebene auf drei Punkte zusammen

\[\links| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Jetzt kann ich anfangen, die Entfernung zu finden:

2. Wir beginnen wieder mit einer Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren!

Bei einer Pyramide wäre es sinnvoll, ihre Basis separat zu zeichnen.

Selbst die Tatsache, dass ich wie eine Hühnerpfote zeichne, wird uns nicht daran hindern, dieses Problem leicht zu lösen!

Jetzt ist es einfach, die Koordinaten eines Punktes zu finden

Da die Koordinaten des Punktes

2. Da die Koordinaten des Punktes a die Mitte der Strecke sind, dann

Wir können leicht die Koordinaten von zwei weiteren Punkten auf der Ebene finden.Wir stellen die Gleichung der Ebene auf und vereinfachen sie:

\[\links| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Da der Punkt Koordinaten hat: , berechnen wir die Entfernung:

Antwort (sehr selten!):

Na, hast du verstanden? Es scheint mir, dass hier alles genauso technisch ist wie in den Beispielen, die wir mit Ihnen im vorherigen Teil betrachtet haben. Ich bin mir also sicher, dass es Ihnen, wenn Sie dieses Material beherrschen, nicht schwer fallen wird, die verbleibenden zwei Probleme zu lösen. Ich gebe Ihnen nur die Antworten:

Berechnung der Entfernung von einer Linie zu einer Ebene

Eigentlich gibt es hier nichts Neues. Wie können eine Linie und eine Ebene relativ zueinander lokalisiert werden? Sie haben alle Möglichkeiten: sich zu schneiden, oder eine Gerade ist parallel zur Ebene. Was denken Sie, ist der Abstand von der Linie zu der Ebene, mit der sich die gegebene Linie schneidet? Es scheint mir klar zu sein, dass ein solcher Abstand gleich Null ist. Uninteressanter Fall.

Der zweite Fall ist kniffliger: Hier ist der Abstand bereits ungleich Null. Da die Linie jedoch parallel zur Ebene ist, ist jeder Punkt der Linie gleich weit von dieser Ebene entfernt:

Auf diese Weise:

Und das bedeutet, dass meine Aufgabe auf die vorherige reduziert wurde: Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie, wir suchen die Gleichung der Ebene, wir berechnen die Entfernung vom Punkt zur Ebene. Tatsächlich sind solche Aufgaben in der Prüfung äußerst selten. Ich habe es geschafft, nur ein Problem zu finden, und die darin enthaltenen Daten waren so, dass die Koordinatenmethode darauf nicht sehr anwendbar war!

Kommen wir nun zu einer anderen, viel wichtigeren Klasse von Problemen:

Berechnung der Entfernung eines Punktes zu einer Linie

Was werden wir brauchen?

1. Die Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf einer geraden Linie liegt

3. Richtungsvektorkoordinaten der Geraden

Welche Formel verwenden wir?

Was bedeutet dir der Nenner dieses Bruchs und damit sollte klar sein: Das ist die Länge des Richtungsvektors der Geraden. Hier ist ein sehr kniffliger Zähler! Der Ausdruck bedeutet Modul (Länge) des Vektorprodukts von Vektoren und Wie man das Vektorprodukt berechnet, haben wir im vorherigen Teil der Arbeit untersucht. Frischen Sie Ihr Wissen auf, es wird uns jetzt sehr nützlich sein!

Somit lautet der Algorithmus zum Lösen von Problemen wie folgt:

1. Wir suchen die Koordinaten des Punktes, von dem aus wir die Entfernung suchen:

2. Wir suchen die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie, zu der wir die Entfernung suchen:

3. Erstellen eines Vektors

4. Wir bilden den Richtungsvektor der Geraden

5. Berechnen Sie das Kreuzprodukt

6. Wir suchen die Länge des resultierenden Vektors:

7. Distanz berechnen:

Wir haben viel Arbeit und die Beispiele werden ziemlich komplex sein! Konzentrieren Sie sich jetzt also ganz auf Ihre Aufmerksamkeit!

1. Dana ist ein rechtshändiges dreieckiges Pi-ra-mi-da mit einer Spitze. Einhundert-ro-auf dem os-no-va-niya pi-ra-mi-dy ist gleich, du-so-ta ist gleich. Find-di-diese Abstände vom se-re-di-ny der bo-ko-ten Kante zur geraden Linie, wo die Punkte und das se-re-di-ny der Rippen und co-von-vet sind -stven-aber.

2. Die Längen der Rippen und des rechten Winkels-no-para-ral-le-le-pi-pe-da sind jeweils gleich und Find-di-te-Abstand von top-shi-ny bis straight-my

3. Im rechten Sechs-Kohle-Prisma haben alle Kanten eines Schwarms den gleichen Abstand von einem Punkt zu einer geraden Linie

Lösungen:

1. Wir machen eine ordentliche Zeichnung, auf der wir alle Daten markieren:

Wir haben viel Arbeit für Sie! Ich möchte zunächst in Worten beschreiben, was wir suchen werden und in welcher Reihenfolge:

1. Koordinaten von Punkten und

2. Punktkoordinaten

3. Koordinaten von Punkten und

4. Koordinaten von Vektoren und

5. Ihr Kreuzprodukt

6. Vektorlänge

7. Die Länge des Vektorprodukts

8. Entfernung von bis

Nun, wir haben viel zu tun! Krempeln wir die Ärmel hoch!

1. Um die Koordinaten der Höhe der Pyramide zu finden, müssen wir die Koordinaten des Punktes kennen, dessen Applikat Null ist und dessen Ordinate gleich seiner Abszisse ist. Endlich haben wir die Koordinaten:

Punktkoordinaten

2. - Mitte des Segments

3. - die Mitte des Segments

Mittelpunkt

4.Koordinaten

Vektorkoordinaten

5. Berechnen Sie das Vektorprodukt:

6. Die Länge des Vektors: Der einfachste Weg ist, zu ersetzen, dass das Segment die Mittellinie des Dreiecks ist, was bedeutet, dass es gleich der Hälfte der Basis ist. So dass.

7. Wir betrachten die Länge des Vektorprodukts:

8. Finden Sie schließlich die Entfernung:

Puh, das ist alles! Ich sage es Ihnen ehrlich: die Lösung für dieses Problem traditionelle Methoden(über Builds) wäre viel schneller. Aber hier habe ich alles auf einen fertigen Algorithmus reduziert! Ich denke, dass Ihnen der Lösungsalgorithmus klar ist? Daher werde ich Sie bitten, die verbleibenden zwei Probleme selbst zu lösen. Antworten vergleichen?

Ich wiederhole noch einmal: Es ist einfacher (schneller), diese Probleme durch Konstruktionen zu lösen, als auf die Koordinatenmethode zurückzugreifen. Ich habe diese Art der Lösung nur demonstriert, um Ihnen eine universelle Methode zu zeigen, die es Ihnen ermöglicht, „nichts zu beenden“.

Betrachten Sie schließlich die letzte Klasse von Problemen:

Berechnen des Abstands zwischen schrägen Linien

Hier wird der Algorithmus zum Lösen von Problemen dem vorherigen ähnlich sein. Was wir haben:

3. Beliebiger Vektor, der die Punkte der ersten und zweiten Linie verbindet:

Wie finden wir den Abstand zwischen Linien?

Die Formel lautet:

Der Zähler ist das Modul des gemischten Produkts (wir haben es im vorherigen Teil eingeführt), und der Nenner ist derselbe wie in der vorherigen Formel (das Modul des Vektorprodukts der Richtungsvektoren der Linien, der Abstand zwischen denen wir sind auf der Suche nach).

Ich werde dich daran erinnern

dann Die Abstandsformel kann umgeschrieben werden als:

Teilen Sie diese Determinante durch die Determinante! Wobei ich hier ehrlich gesagt nicht auf Witze aus bin! Diese Formel ist in der Tat sehr umständlich und führt zu ziemlich komplizierten Berechnungen. Wenn ich Sie wäre, würde ich es nur als letzten Ausweg verwenden!

Versuchen wir, ein paar Probleme mit der obigen Methode zu lösen:

1. Im rechten Dreiecksprisma sind alle Kanten irgendwie gleich, finde den Abstand zwischen den geraden Linien und.

2. Bei einem rechts-vorne-förmigen dreieckigen Prisma sind alle Kanten der os-no-va-niya von jemandem gleich Se-che-tion, die durch die andere Rippe gehen, und se-re-di-nu-Rippen sind yav-la-et-sya quadrat-ra-tom. Find-di-te dis-sto-i-nie zwischen Straight-we-mi und

Ich entscheide über Ersteres, und basierend darauf entscheidest du über Zweites!

1. Ich zeichne ein Prisma und markiere die Linien und

Punkt C Koordinaten: dann

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Punktkoordinaten

Vektorkoordinaten

Vektorkoordinaten

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Wir betrachten das Kreuzprodukt zwischen den Vektoren und

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Nun betrachten wir seine Länge:

Antworten:

Versuchen Sie nun, die zweite Aufgabe sorgfältig zu erledigen. Die Antwort darauf wird lauten:.

Koordinaten und Vektoren. Kurze Beschreibung und grundlegende Formeln

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment. - der Anfang des Vektors, - das Ende des Vektors.
Der Vektor wird mit oder bezeichnet.

Absoluter Wert Vektor - die Länge des Segments, das den Vektor darstellt. Bezeichnet als.

Vektorkoordinaten:

,
wo sind die Enden des Vektors \displaystyle a .

Summe der Vektoren: .

Das Produkt von Vektoren:

Skalarprodukt von Vektoren:

Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden ist die Länge der Senkrechten zwischen dem Punkt und der Geraden. In der Darstellenden Geometrie wird sie nach folgendem Algorithmus grafisch bestimmt.

Algorithmus

1. Die gerade Linie wird in eine Position versetzt, in der sie parallel zu einer beliebigen Projektionsebene ist. Wenden Sie dazu die Methoden der Transformation orthogonaler Projektionen an.
2. Zeichnen Sie eine Senkrechte von einem Punkt zu einer Linie. Diese Konstruktion basiert auf dem Satz der rechtwinkligen Projektion.
3. Die Länge einer Senkrechten wird durch Umrechnen ihrer Projektionen oder mit der Methode des rechtwinkligen Dreiecks bestimmt.

Die folgende Abbildung zeigt eine komplexe Zeichnung von Punkt M und Linie b, definiert durch das Liniensegment CD. Sie müssen den Abstand zwischen ihnen finden.

Gemäß unserem Algorithmus ist das erste, was zu tun ist, die Linie an die Position zu verschieben parallel zur Ebene Projektionen. Es ist wichtig zu verstehen, dass sich nach den Transformationen der tatsächliche Abstand zwischen dem Punkt und der Linie nicht ändern sollte. Deshalb bietet es sich an, hier die Ebene-Ersetzungs-Methode zu verwenden, bei der keine Figuren im Raum bewegt werden.

Die Ergebnisse der ersten Bauphase sind unten dargestellt. Die Figur zeigt, wie parallel zu b eine zusätzliche Frontalebene P 4 eingeführt wird. BEI neues System(P 1 , P 4) Die Punkte C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 haben denselben Abstand von der X 1 -Achse wie C"", D"", M"" von der X-Achse.

Beim Ausführen des zweiten Teils des Algorithmus senken wir von M"" 1 die Senkrechte M"" 1 N"" 1 auf die gerade Linie b"" 1, da der rechte Winkel MND zwischen b und MN auf die Ebene P 4 projiziert wird in voller Größe. Wir bestimmen die Position des Punktes N" entlang der Kommunikationslinie und zeichnen die Projektion M"N" des Segments MN.

Auf der letzte Stufe es ist notwendig, den Wert des Segments MN durch seine Projektionen M"N" und M"" 1 N"" 1 zu bestimmen. Dazu bauen wir ein rechtwinkliges Dreieck M"" 1 N"" 1 N 0, in dem der Schenkel N"" 1 N 0 gleich der Differenz (Y M 1 - Y N 1) der Entfernung von Punkten M ist " und N" von der X 1 -Achse. Die Länge der Hypotenuse M"" 1 N 0 des Dreiecks M"" 1 N"" 1 N 0 entspricht dem gewünschten Abstand von M nach b.

Der zweite Lösungsweg

• Parallel zu CD führen wir eine neue Frontalebene П 4 ein. Sie schneidet P 1 entlang der X 1 -Achse und X 1 ∥ C"D". Gemäß dem Verfahren zum Ersetzen von Ebenen bestimmen wir die Projektionen der Punkte C "" 1, D "" 1 und M "" 1, wie in der Figur gezeigt.
• Senkrecht zu C "" 1 D "" 1 bauen wir eine zusätzliche horizontale Ebene P 5, auf der die gerade Linie b auf den Punkt C" 2 \u003d b" 2 projiziert wird.
• Der Abstand zwischen dem Punkt M und der Geraden b wird durch die Länge des rot markierten Segments M "2 C" 2 bestimmt.

Verwandte Aufgaben:

Oh-oh-oh-oh-oh ... na ja, es ist blechern, als würde man den Satz vor sich hin lesen =) Dann hilft aber Entspannung, zumal ich heute passendes Zubehör gekauft habe. Fahren wir also mit dem ersten Abschnitt fort. Ich hoffe, dass ich am Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.

Gegenseitige Anordnung zweier Geraden

Der Fall, wenn der Saal im Chor mitsingt. Zwei Zeilen können:

1) Übereinstimmung;

2) parallel sein: ;

3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .

Hilfe für Dummies : Bitte denken Sie an das mathematische Zeichen der Schnittmenge , es wird sehr oft vorkommen. Der Eintrag bedeutet, dass sich die Linie mit der Linie am Punkt schneidet.

Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Linien fallen genau dann zusammen, wenn ihre jeweiligen Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine solche Zahl "Lambda", dass die Gleichheiten

Betrachten wir gerade Linien und stellen aus den entsprechenden Koeffizienten drei Gleichungen auf: . Aus jeder Gleichung folgt also, dass diese Geraden zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung mit -1 multiplizieren (Vorzeichen ändern) und alle Koeffizienten der Gleichung um 2 reduzieren, erhalten Sie die gleiche Gleichung: .

Der zweite Fall, wenn die Linien parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten bei den Variablen proportional sind: , aber.

Betrachten Sie als Beispiel zwei gerade Linien. Wir überprüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Es ist jedoch klar, dass.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten der Variablen NICHT proportional sind, das heißt, es gibt KEINEN solchen Wert von "Lambda", dass die Gleichheiten erfüllt sind

Für gerade Linien werden wir also ein System zusammenstellen:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass , und aus der zweiten Gleichung: , also Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten an den Variablen nicht proportional.

Fazit: Geraden schneiden sich

Bei praktischen Problemen kann das eben betrachtete Lösungsschema verwendet werden. Übrigens ist es dem Algorithmus zum Überprüfen von Vektoren auf Kollinearität sehr ähnlich, den wir in der Lektion betrachtet haben. Das Konzept der linearen (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis. Aber es gibt ein zivilisierteres Paket:

Beispiel 1

Finden Sie die relative Position der Linien heraus:

Lösung basierend auf der Untersuchung von Richtungsvektoren von Geraden:

a) Aus den Gleichungen finden wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, also sind die Vektoren nicht kollinear und die Linien schneiden sich.

Für alle Fälle werde ich einen Stein mit Hinweisen an die Kreuzung stellen:

Der Rest springt über den Stein und folgt weiter, direkt zu Kashchei the Deathless =)

b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Die Linien haben denselben Richtungsvektor, was bedeutet, dass sie entweder parallel oder gleich sind. Hier ist die Determinante nicht notwendig.

Offensichtlich sind die Koeffizienten der Unbekannten proportional, während .

Lassen Sie uns herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Lassen Sie uns die Determinante berechnen, die sich aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammensetzt:
, daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätsfaktor "Lambda" ist direkt aus dem Verhältnis kollinearer Richtungsvektoren ersichtlich. Es kann jedoch auch durch die Koeffizienten der Gleichungen selbst gefunden werden: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung (jede Zahl erfüllt sie im Allgemeinen).

Somit fallen die Linien zusammen.

Antworten:

Sehr bald werden Sie lernen (oder sogar schon gelernt haben), das betrachtete Problem in Sekundenschnelle buchstäblich verbal zu lösen. Insofern sehe ich keinen Grund, etwas für eine eigenständige Lösung anzubieten, es ist besser, einen weiteren wichtigen Stein in die geometrische Grundlage zu legen:

Wie zeichnet man eine Linie parallel zu einer gegebenen?

Für die Unkenntnis dieser einfachsten Aufgabe wird die Nachtigall der Räuber streng bestraft.

Beispiel 2

Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Linie, die durch den Punkt verläuft.

Lösung: Kennzeichnen Sie die unbekannte Zeile mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand dazu? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Linien parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Linie "ce" auch geeignet ist, die Linie "te" zu konstruieren.

Wir entnehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung:

Antworten:

Die Geometrie des Beispiels sieht einfach aus:

Die analytische Verifizierung besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien denselben Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, dann sind die Vektoren kollinear).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

Die analytische Überprüfung ist in den meisten Fällen einfach mündlich durchzuführen. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an und viele von Ihnen werden schnell herausfinden, wie die Linien ohne Zeichnung parallel sind.

Beispiele für Selbstlösungen werden heute kreativ sein. Weil Sie immer noch mit Baba Yaga konkurrieren müssen, und Sie wissen, dass sie eine Liebhaberin aller möglichen Rätsel ist.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden if verläuft

Es gibt einen rationalen und einen nicht sehr rationalen Lösungsweg. Der kürzeste Weg ist am Ende der Stunde.

Wir haben ein wenig mit parallelen Linien gearbeitet und werden später darauf zurückkommen. Der Fall der Linienüberschneidung ist von geringem Interesse, also betrachten wir ein Problem, das Ihnen aus dem Schullehrplan gut bekannt ist:

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade im Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Geraden? Löse das System.

Hier ist für Sie geometrische bedeutung zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten sind zwei sich schneidende (meistens) gerade Linien in einer Ebene.

Beispiel 4

Finden Sie den Schnittpunkt von Linien

Lösung: Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten - grafisch und analytisch.

Der grafische Weg besteht darin, einfach die angegebenen Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung zu ermitteln:

Hier ist unser Punkt: . Zur Überprüfung sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung einer geraden Linie einsetzen, sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten, die Koordinaten eines Punktes sind die Lösung des Systems . Tatsächlich haben wir eine grafische Lösung in Erwägung gezogen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, der Punkt ist nicht, dass Siebtklässler so entscheiden, der Punkt ist, dass es Zeit braucht, um eine korrekte und EXAKTE Zeichnung zu erstellen. Außerdem sind einige Linien nicht so einfach zu konstruieren, und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Königreich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es zweckmäßiger, den Schnittpunkt durch das analytische Verfahren zu suchen. Lösen wir das System:

Zur Lösung des Systems wurde die Methode der termweisen Addition von Gleichungen verwendet. Um die relevanten Fähigkeiten zu entwickeln, besuchen Sie die Lektion Wie löst man ein Gleichungssystem?

Antworten:

Die Überprüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Beispiel 5

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Die Aufgabe kann bequem in mehrere Phasen unterteilt werden. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass es notwendig ist:
1) Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden.
2) Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden.
3) Finden Sie die relative Position der Linien heraus.
4) Wenn sich die Linien schneiden, dann finde den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist für viele typisch geometrische Probleme, und darauf werde ich mich immer wieder konzentrieren.

Komplette Lösung und die Antwort am Ende der Lektion:

Ein Paar Schuhe ist noch nicht abgenutzt, als wir zum zweiten Abschnitt der Lektion kamen:

Senkrechte Linien. Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Linien

Beginnen wir mit einem typischen und sehr wichtige Aufgabe. Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zur gegebenen baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:

Wie zeichnet man eine Linie senkrecht zu einer gegebenen?

Beispiel 6

Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Schreiben Sie eine Gleichung für eine senkrechte Linie, die durch einen Punkt geht.

Lösung: Es ist durch Annahme bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Geraden zu finden. Da die Linien senkrecht sind, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.

Wir setzen die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen:

Antworten:

Lassen Sie uns die geometrische Skizze entfalten:

Hmmm... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.

Analytischer Nachweis der Lösung:

1) Extrahieren Sie die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und mit hilfe Skalarprodukt von Vektoren wir schließen daraus, dass die Linien tatsächlich senkrecht stehen: .

Übrigens, Sie können normale Vektoren verwenden, es ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt .

Die Überprüfung ist wiederum leicht mündlich durchzuführen.

Beispiel 7

Finden Sie den Schnittpunkt von senkrechten Linien, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Es gibt mehrere Aktionen in der Aufgabe, daher ist es bequem, die Lösung Punkt für Punkt anzuordnen.

Unsere spannende Reise geht weiter:

Abstand von Punkt zu Linie

Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, ihn auf dem kürzesten Weg zu erreichen. Es gibt keine Hindernisse und die optimalste Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Linie ist die Länge des senkrechten Segments.

Der Abstand in der Geometrie wird traditionell mit dem griechischen Buchstaben „ro“ bezeichnet, zum Beispiel: - der Abstand vom Punkt „em“ zur geraden Linie „de“.

Abstand von Punkt zu Linie wird durch die Formel ausgedrückt

Beispiel 8

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Lösung: Alles, was Sie brauchen, ist, die Zahlen sorgfältig in die Formel einzusetzen und die Berechnungen durchzuführen:

Antworten:

Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie ist genau die Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit anfertigen. \u003d 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten Sie eine andere Aufgabe nach derselben Zeichnung:

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten des Punktes zu finden, der bezüglich der Linie symmetrisch zum Punkt ist . Ich schlage vor, die Aktionen selbst durchzuführen, werde jedoch den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zu einer Linie ist.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Linien: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Durch Formeln für die Koordinaten der Segmentmitte finden .

Es ist nicht überflüssig zu überprüfen, ob der Abstand auch gleich 2,2 Einheiten ist.

Bei Berechnungen können hier Schwierigkeiten auftreten, aber im Turm hilft ein Mikrorechner sehr, mit dem Sie zählen können gemeinsame Brüche. Habe schon oft beraten und werde es wieder weiterempfehlen.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Dies ist ein weiteres Beispiel für eine unabhängige Lösung. Kleiner Hinweis: Es gibt unendlich viele Lösungsmöglichkeiten. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber versuchen Sie besser selbst zu raten, ich denke, Sie haben es geschafft, Ihren Einfallsreichtum gut zu zerstreuen.

Winkel zwischen zwei Geraden

Egal welche Ecke, dann der Pfosten:


In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als KLEINERER Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar bzw gegensätzlich orientiert purpurrote Ecke.

Wenn die Linien senkrecht sind, kann jeder der 4 Winkel als Winkel zwischen ihnen genommen werden.

Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung des "Scrollens" der Ecke grundlegend wichtig. Zweitens wird ein negativ orientierter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, z. B. wenn .

Warum habe ich das gesagt? Es scheint, dass Sie mit dem üblichen Konzept eines Winkels auskommen können. Tatsache ist, dass in den Formeln, mit denen wir die Winkel finden, leicht ein negatives Ergebnis erhalten werden kann, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. In der Zeichnung für einen negativen Winkel muss die Ausrichtung (im Uhrzeigersinn) unbedingt mit einem Pfeil angegeben werden.

Wie findet man den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Lösung und Methode eins

Betrachten Sie zwei gerade Linien, die durch Gleichungen in allgemeiner Form gegeben sind:

Wenn gerade nicht senkrecht, dann orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner - das ist genau Skalarprodukt Richtungsvektoren von Geraden:

Wenn , dann verschwindet der Nenner der Formel, und die Vektoren sind orthogonal und die Linien senkrecht. Deshalb wurde ein Vorbehalt gegen die Nicht-Rechtwinkligkeit der Linien in der Formulierung gemacht.

Basierend auf dem Vorhergehenden wird die Lösung praktischerweise in zwei Schritten formalisiert:

1) Berechnen Sie das Skalarprodukt von Richtungsvektoren von Geraden:
Die Linien sind also nicht senkrecht.

2) Wir finden den Winkel zwischen den Linien durch die Formel:

Mit Hilfe Umkehrfunktion leicht, die Ecke selbst zu finden. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arcustangens (siehe Abb. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):

Antworten:

In der Antwort geben wir den genauen Wert sowie den ungefähren Wert (vorzugsweise sowohl in Grad als auch in Bogenmaß) an, der mit einem Taschenrechner berechnet wird.

Nun, Minus, also Minus, es ist okay. Hier ist eine geometrische Darstellung:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich herausstellte, dass der Winkel eine negative Ausrichtung hatte, da die erste Zahl im Zustand des Problems eine gerade Linie ist und die „Verdrehung“ des Winkels genau von ihr aus begann.

Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die geraden Linien vertauschen, dh die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung nehmen , und nehmen Sie die Koeffizienten aus der ersten Gleichung . Kurz gesagt, Sie müssen mit einem direkten beginnen .