Um einen Bruch mit einem Bruch oder einen Bruch mit einer Zahl richtig zu multiplizieren, müssen Sie es wissen einfache Regeln. Wir werden diese Regeln nun im Detail analysieren.
Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.
Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner dieser Brüche berechnen.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Betrachten Sie ein Beispiel:
Wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs, und wir multiplizieren auch den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ mal 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)
Der Bruch \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) wurde um 3 gekürzt.
Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren.
Beginnen wir mit der Regel jede Zahl kann als Bruch dargestellt werden \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Lassen Sie uns diese Regel für die Multiplikation verwenden.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Unechter Bruch \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) umgewandelt in einen gemischten Bruch.
Mit anderen Worten, Wenn Sie eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren, multiplizieren Sie die Zahl mit dem Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert. Beispiel:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Multiplikation gemischter Brüche.
Um gemischte Brüche zu multiplizieren, musst du zuerst jeden gemischten Bruch als unechten Bruch darstellen und dann die Multiplikationsregel anwenden. Der Zähler wird mit dem Zähler multipliziert, der Nenner mit dem Nenner.
Beispiel:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Multiplikation von reziproken Brüchen und Zahlen.
Der Bruch \(\bf \frac(a)(b)\) ist das Inverse des Bruchs \(\bf \frac(b)(a)\), sofern a≠0,b≠0.
Die Brüche \(\bf \frac(a)(b)\) und \(\bf \frac(b)(a)\) heißen Kehrwerte. Das Produkt der reziproken Brüche ist 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Beispiel:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Verwandte Fragen:
Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?
Antwort: Das Produkt gewöhnlicher Brüche ist die Multiplikation des Zählers mit dem Zähler, des Nenners mit dem Nenner. Um das Produkt gemischter Brüche zu erhalten, musst du sie in einen unechten Bruch umwandeln und gemäß den Regeln multiplizieren.
Wie man Brüche mit multipliziert verschiedene Nenner?
Antwort: Es spielt keine Rolle, ob die Nenner von Brüchen gleich oder verschieden sind, die Multiplikation erfolgt gemäß der Regel zum Ermitteln des Produkts des Zählers mit dem Zähler, des Nenners mit dem Nenner.
Wie multipliziert man gemischte Brüche?
Antwort: Zuerst musst du den gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln und dann das Produkt nach den Regeln der Multiplikation finden.
Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Bruch?
Antwort: Wir multiplizieren die Zahl mit dem Zähler und lassen den Nenner gleich.
Beispiel 1:
Berechnen Sie das Produkt: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)
Lösung:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rot) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Beispiel #2:
Berechnen Sie das Produkt aus einer Zahl und einem Bruch: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Lösung:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Beispiel #3:
Den Kehrwert von \(\frac(1)(3)\) schreiben?
Antwort: \(\frac(3)(1) = 3\)
Beispiel #4:
Berechnen Sie das Produkt zweier reziproker Brüche: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Lösung:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Beispiel #5:
Können umgekehrte Brüche sein:
a) beide echten Brüche;
b) gleichzeitig unechte Brüche;
c) gleichzeitig natürliche Zahlen?
Lösung:
a) Lassen Sie uns ein Beispiel verwenden, um die erste Frage zu beantworten. Der Bruch \(\frac(2)(3)\) ist echt, sein Kehrwert ist gleich \(\frac(3)(2)\) - ein unechter Bruch. Antwort: nein.
b) bei fast allen Aufzählungen von Brüchen ist diese Bedingung nicht erfüllt, aber es gibt einige Zahlen, die gleichzeitig die Bedingung erfüllen, ein unechter Bruch zu sein. Zum Beispiel ist der unechte Bruch \(\frac(3)(3)\) , sein Kehrwert ist \(\frac(3)(3)\). Wir erhalten zwei unechte Brüche. Antwort: nicht immer unter bestimmten Bedingungen, wenn Zähler und Nenner gleich sind.
c) Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die wir beim Zählen verwenden, zum Beispiel 1, 2, 3, .... Wenn wir die Zahl \(3 = \frac(3)(1)\ nehmen, dann ist ihr Kehrwert \(\frac(1)(3)\). Der Bruch \(\frac(1)(3)\) ist keine natürliche Zahl. Wenn wir alle Zahlen durchgehen, ist der Kehrwert immer ein Bruch, außer 1. Wenn wir die Zahl 1 nehmen, dann ist ihr Kehrwert \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Nummer 1 natürliche Zahl. Antwort: Sie können nur in einem Fall gleichzeitig natürliche Zahlen sein, wenn diese Zahl 1 ist.
Beispiel #6:
Bilden Sie das Produkt gemischter Brüche: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Lösung:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1). )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Beispiel #7:
Können zwei reziproke Zahlen gleichzeitig gemischte Zahlen sein?
Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir einen gemischten Bruch \(1\frac(1)(2)\, finden seinen Kehrwert, dazu übersetzen wir ihn in einen unechten Bruch \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Sein Kehrwert ist gleich \(\frac(2)(3)\) . Der Bruch \(\frac(2)(3)\) ist ein echter Bruch. Antwort: Zwei zueinander inverse Brüche können nicht gleichzeitig gemischte Zahlen sein.
Gewöhnliche Bruchzahlen begegnen Schulkindern erst in der 5. Klasse und begleiten sie durch ihr ganzes Leben, da es im Alltag oft notwendig ist, einen Gegenstand nicht vollständig, sondern in Einzelteilen zu betrachten oder zu verwenden. Der Beginn des Studiums dieses Themas - teilen. Aktien sind gleiche Teile in die ein Objekt unterteilt ist. Schließlich ist es nicht immer möglich, beispielsweise die Länge oder den Preis eines Produkts als ganze Zahl auszudrücken, man sollte Teile oder Anteile eines beliebigen Maßes berücksichtigen. Gebildet aus dem Verb „zermalmen“ – in Teile teilen, und mit arabischen Wurzeln, tauchte im VIII. Jahrhundert das Wort „Fraktion“ selbst auf Russisch auf.
Bruchausdrücke galten lange Zeit als der schwierigste Teil der Mathematik. Als im 17. Jahrhundert die ersten mathematischen Lehrbücher erschienen, wurden sie als „gebrochene Zahlen“ bezeichnet, was für das Verständnis der Menschen sehr schwer darzustellen war.
moderner Look einfache gebrochene Reste, von denen Teile genau durch eine horizontale Linie getrennt sind, wurden zuerst zu Fibonacci - Leonardo von Pisa - beigetragen. Seine Schriften sind auf das Jahr 1202 datiert. Aber der Zweck dieses Artikels ist es, dem Leser einfach und klar zu erklären, wie die Multiplikation von gemischten Brüchen mit unterschiedlichen Nennern erfolgt.
Brüche mit unterschiedlichen Nennern multiplizieren
Zunächst ist es notwendig, festzustellen Sorten von Brüchen:
- Korrekt;
- falsch;
- gemischt.
Als nächstes müssen Sie sich daran erinnern, wie die Multiplikation erfolgt. Bruchzahlen mit gleichen Nennern. Die eigentliche Regel dieses Prozesses lässt sich leicht unabhängig formulieren: Das Ergebnis der Multiplikation einfacher Brüche mit denselben Nennern ist ein Bruchausdruck, dessen Zähler das Produkt der Zähler und der Nenner das Produkt der Nenner dieser Brüche ist . Das heißt, der neue Nenner ist anfangs das Quadrat eines der vorhandenen.
Beim Multiplizieren einfache Brüche mit verschiedenen Nennern für zwei oder mehr Faktoren ändert sich die Regel nicht:
a/b * c/d = a * c / b * d.
Der einzige Unterschied besteht darin, dass die gebildete Zahl unter dem Bruchstrich das Produkt verschiedener Zahlen ist und natürlich nicht als Quadrat eines numerischen Ausdrucks bezeichnet werden kann.
Es lohnt sich, die Multiplikation von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern anhand von Beispielen zu betrachten:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
In den Beispielen werden Möglichkeiten zum Reduzieren von Bruchausdrücken verwendet. Sie können nur die Zahlen des Zählers mit den Zahlen des Nenners kürzen, benachbarte Faktoren über oder unter dem Bruchstrich können nicht gekürzt werden.
Neben einfachen Bruchzahlen gibt es das Konzept der gemischten Brüche. Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil, ist also die Summe dieser Zahlen:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Wie funktioniert die Multiplikation?
Mehrere Beispiele werden zur Betrachtung bereitgestellt.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Das Beispiel verwendet die Multiplikation einer Zahl mit gewöhnlicher Bruchteil, können Sie die Regel für diese Aktion durch die Formel aufschreiben:
a* b/c = a*b /c.
Tatsächlich ist ein solches Produkt die Summe identischer Bruchreste, und die Anzahl der Glieder gibt diese natürliche Zahl an. Besonderer Fall:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Es gibt eine weitere Möglichkeit, die Multiplikation einer Zahl mit einem Bruchrest zu lösen. Sie müssen nur den Nenner durch diese Zahl teilen:
d* e/f = e/f: d.
Diese Technik ist sinnvoll, wenn der Nenner durch eine natürliche Zahl ohne Rest oder, wie man so sagt, vollständig dividiert wird.
Wandeln Sie gemischte Zahlen in unechte Brüche um und erhalten Sie das Produkt auf die zuvor beschriebene Weise:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Dieses Beispiel beinhaltet eine Möglichkeit, einen gemischten Bruch als unechten Bruch darzustellen, er kann auch als dargestellt werden allgemeine Formel:
a bc = a*b+ c / c, wobei der Nenner des neuen Bruchs gebildet wird, indem der ganzzahlige Teil mit dem Nenner multipliziert und zum Zähler des ursprünglichen Bruchrests addiert wird und der Nenner gleich bleibt.
Dieser Vorgang funktioniert auch umgekehrt. Um den ganzzahligen Teil und den Bruchrest auszuwählen, müssen Sie den Zähler eines unechten Bruchs durch seinen Nenner mit einer „Ecke“ teilen.
Multiplikation von unechten Brüchen in gewohnter Weise hergestellt. Wenn die Eingabe unter einem einzelnen Bruchstrich erfolgt, müssen Sie bei Bedarf die Brüche kürzen, um die Zahlen mit dieser Methode zu reduzieren und das Ergebnis einfacher zu berechnen.
Im Internet gibt es viele Assistenten, um auch komplexe mathematische Probleme in verschiedenen Programmvarianten zu lösen. Eine ausreichende Anzahl solcher Dienste bieten ihre Hilfe beim Zählen der Multiplikation von Brüchen an verschiedene Nummern in Nennern - die sogenannten Online-Rechner zur Berechnung von Brüchen. Sie können nicht nur multiplizieren, sondern auch alle anderen einfachen Rechenoperationen mit gewöhnlichen Brüchen und gemischten Zahlen ausführen. Es ist nicht schwierig, damit zu arbeiten, die entsprechenden Felder werden auf der Site-Seite ausgefüllt, das Vorzeichen der mathematischen Aktion ausgewählt und „Berechnen“ gedrückt. Das Programm zählt automatisch.
Das Thema Rechenoperationen mit Bruchzahlen ist in der gesamten Bildung der Mittel- und Oberstufe relevant. In der High School betrachten sie nicht mehr die einfachste Art, aber ganzzahlige Bruchausdrücke, aber die früher erlangten Kenntnisse der Transformations- und Berechnungsregeln werden in ihrer ursprünglichen Form angewendet. Gut erlerntes Grundwissen gibt volles Vertrauen in die erfolgreiche Lösung komplexester Aufgabenstellungen.
Abschließend ist es sinnvoll, die Worte von Leo Tolstoi zu zitieren, der schrieb: „Der Mensch ist ein Bruchteil. Es liegt nicht in der Macht des Menschen, seinen Zähler – seine eigenen Verdienste – zu erhöhen, aber jeder kann seinen Nenner – seine Meinung von sich selbst – verringern und durch diese Verringerung seiner Vollkommenheit näher kommen.
Im Mittel- und Oberstufenkurs beschäftigten sich die Schüler mit dem Thema "Brüche". Allerdings ist dieser Begriff viel weiter gefasst als im Lernprozess vorgegeben. Heutzutage trifft man häufig auf das Konzept eines Bruchs, und nicht jeder kann einen Ausdruck berechnen, z. B. das Multiplizieren von Brüchen.
Was ist ein Bruch?
Es geschah historisch, dass Bruchzahlen aufgrund der Notwendigkeit des Messens auftauchten. Wie die Praxis zeigt, gibt es oft Beispiele für die Bestimmung der Länge eines Segments, des Volumens eines rechteckigen Rechtecks.
Zunächst wird den Studierenden ein solches Konzept als Aktie vorgestellt. Wenn Sie beispielsweise eine Wassermelone in 8 Teile teilen, erhält jeder ein Achtel einer Wassermelone. Dieser eine Teil von acht wird als Aktie bezeichnet.
Ein Anteil, der ½ eines beliebigen Wertes entspricht, wird als Hälfte bezeichnet; ⅓ - Drittel; ¼ - ein Viertel. Einträge wie 5/8, 4/5, 2/4 werden gemeinsame Brüche genannt. Ein gewöhnlicher Bruch wird in einen Zähler und einen Nenner geteilt. Zwischen ihnen befindet sich eine Bruchlinie oder eine Bruchlinie. Ein Bruchstrich kann entweder als horizontale oder als schräge Linie gezeichnet werden. In diesem Fall steht es für das Divisionszeichen.
Der Nenner stellt dar, in wie viele gleiche Anteile der Wert, das Objekt geteilt wird; und der Zähler gibt an, wie viele gleiche Anteile genommen werden. Der Zähler steht über dem Bruchstrich, der Nenner darunter.
Es ist am bequemsten, gewöhnliche Brüche auf einem Koordinatenstrahl darzustellen. Wenn ein einzelnes Segment in 4 gleiche Teile geteilt wird, bezeichnen Sie jeden Anteil Lateinischer Buchstabe, kann das Ergebnis eine hervorragende visuelle Hilfe sein. Punkt A zeigt also einen Anteil von 1/4 des gesamten Einheitssegments und Punkt B markiert 2/8 dieses Segments.
Sorten von Fraktionen
Brüche sind gewöhnliche, dezimale und gemischte Zahlen. Außerdem können Brüche in echte und unechte Brüche unterteilt werden. Diese Klassifikation ist besser geeignet für gewöhnliche Fraktionen.
Ein echter Bruch ist eine Zahl, deren Zähler kleiner als der Nenner ist. Dementsprechend ist ein unechter Bruch eine Zahl, deren Zähler größer als der Nenner ist. Die zweite Art wird normalerweise als gemischte Zahl geschrieben. Ein solcher Ausdruck besteht aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil. Zum Beispiel 1½. 1 - ganzzahliger Teil, ½ - Bruchzahl. Wenn Sie jedoch einige Manipulationen mit dem Ausdruck durchführen müssen (Brüche dividieren oder multiplizieren, kürzen oder umwandeln), wird die gemischte Zahl in einen unechten Bruch umgewandelt.
Ein korrekter Bruchausdruck ist immer kleiner als eins und ein falscher immer größer oder gleich 1.
Unter diesem Ausdruck verstehen sie einen Datensatz, in dem eine beliebige Zahl dargestellt wird, deren Nenner des Bruchausdrucks durch Eins mit mehreren Nullen ausgedrückt werden kann. Stimmt der Bruch, dann der ganze Teil Dezimalschreibweise wird gleich null sein.
Um eine Dezimalzahl zu schreiben, müssen Sie zuerst den ganzzahligen Teil schreiben, ihn durch ein Komma vom Bruch trennen und dann den Bruchausdruck schreiben. Es ist zu beachten, dass der Zähler nach dem Komma so viele Ziffern enthalten muss, wie Nullen im Nenner vorhanden sind.
Beispiel. Stellen Sie den Bruch 7 21 / 1000 in Dezimalschreibweise dar.
Algorithmus zur Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl und umgekehrt
Es ist falsch, einen unechten Bruch in die Lösung der Aufgabe zu schreiben, also muss er in eine gemischte Zahl umgewandelt werden:
- Teilen Sie den Zähler durch den vorhandenen Nenner;
- in konkretes Beispiel unvollständiger Quotient - ganz;
- und der Rest ist der Zähler des Bruchteils, wobei der Nenner unverändert bleibt.
Beispiel. Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln: 47 / 5 .
Lösung. 47: 5. Der unvollständige Quotient ist 9, der Rest = 2. Also 47 / 5 = 9 2 / 5.
Manchmal müssen Sie eine gemischte Zahl als unechten Bruch darstellen. Dann müssen Sie den folgenden Algorithmus verwenden:
- der ganzzahlige Teil wird mit dem Nenner des Bruchausdrucks multipliziert;
- das resultierende Produkt wird zum Zähler addiert;
- das Ergebnis wird in den Zähler geschrieben, der Nenner bleibt unverändert.
Beispiel. Darstellen einer Zahl in Mischform als unechter Bruch: 9 8 / 10 .
Lösung. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ist der Zähler.
Antworten: 98 / 10.
Multiplikation gewöhnlicher Brüche
Du kannst verschiedene algebraische Operationen mit gewöhnlichen Brüchen durchführen. Um zwei Zahlen zu multiplizieren, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren. Außerdem unterscheidet sich die Multiplikation von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern nicht vom Produkt von Brüchen mit gleichen Nennern.
Es kommt vor, dass Sie nach dem Finden des Ergebnisses den Bruch reduzieren müssen. Es ist zwingend erforderlich, den resultierenden Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen. Natürlich kann man nicht sagen, dass ein falscher Bruch in der Antwort ein Fehler ist, aber es ist auch schwierig, ihn die richtige Antwort zu nennen.
Beispiel. Finde das Produkt zweier gewöhnlicher Brüche: ½ und 20/18.
Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, erhält man nach Auffinden des Produkts eine reduzierbare Bruchschreibweise. Sowohl der Zähler als auch der Nenner sind in diesem Fall durch 4 teilbar, und das Ergebnis ist die Antwort 5 / 9.
Dezimalbrüche multiplizieren
Das Produkt von Dezimalbrüchen unterscheidet sich in seinem Prinzip stark vom Produkt gewöhnlicher Brüche. Das Multiplizieren von Brüchen ist also wie folgt:
- zwei Dezimalbrüche müssen so untereinander geschrieben werden, dass die Ziffern ganz rechts untereinander stehen;
- Sie müssen die geschriebenen Zahlen trotz Kommas multiplizieren, dh als natürliche Zahlen.
- zählen Sie die Anzahl der Ziffern nach dem Komma in jeder der Zahlen;
- in dem nach der Multiplikation erhaltenen Ergebnis müssen Sie rechts so viele Ziffern zählen, wie in der Summe beider Faktoren nach dem Komma enthalten sind, und ein Trennzeichen setzen;
- wenn das Produkt weniger Ziffern enthält, dann müssen so viele Nullen davor geschrieben werden, um diese Zahl abzudecken, ein Komma setzen und einen ganzzahligen Teil gleich Null zuweisen.
Beispiel. Berechne das Produkt zweier Dezimalstellen: 2,25 und 3,6.
Lösung.
Multiplikation gemischter Brüche
Um das Produkt zweier gemischter Brüche zu berechnen, müssen Sie die Regel zum Multiplizieren von Brüchen verwenden:
- wandle gemischte Zahlen in unechte Brüche um;
- finde das Produkt von Zählern;
- finden Sie das Produkt der Nenner;
- schreibe das Ergebnis auf;
- Vereinfachen Sie den Ausdruck so weit wie möglich.
Beispiel. Finde das Produkt von 4½ und 6 2 / 5.
Eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren (Brüche mit einer Zahl)
Neben dem Finden des Produkts zweier Brüche, gemischter Zahlen, gibt es Aufgaben, bei denen Sie mit einem Bruch multiplizieren müssen.
Also, um die Arbeit zu finden Dezimalbruch und einer natürlichen Zahl benötigen Sie:
- schreibe die Zahl so unter den Bruch, dass die Ziffern ganz rechts übereinander stehen;
- finden Sie die Arbeit trotz des Kommas;
- Trennen Sie im erhaltenen Ergebnis den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma und zählen Sie rechts die Anzahl der Zeichen nach dem Dezimalkomma im Bruch.
Um einen gewöhnlichen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, solltest du das Produkt aus dem Zähler und dem natürlichen Faktor finden. Wenn die Antwort ein reduzierbarer Bruch ist, sollte er umgewandelt werden.
Beispiel. Berechne das Produkt aus 5 / 8 und 12.
Lösung. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Antworten: 7 1 / 2.
Wie Sie im vorherigen Beispiel sehen können, war es notwendig, das resultierende Ergebnis zu reduzieren und den falschen Bruchausdruck in eine gemischte Zahl umzuwandeln.
Außerdem gilt die Multiplikation von Brüchen auch für die Suche nach dem Produkt einer Zahl in gemischter Form und einem Naturfaktor. Um diese beiden Zahlen zu multiplizieren, sollten Sie den ganzzahligen Teil des gemischten Faktors mit der Zahl multiplizieren, den Zähler mit demselben Wert multiplizieren und den Nenner unverändert lassen. Gegebenenfalls müssen Sie das Ergebnis so weit wie möglich vereinfachen.
Beispiel. Finden Sie das Produkt von 9 5 / 6 und 9.
Lösung. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.
Antworten: 88 1 / 2.
Multiplikation mit den Faktoren 10, 100, 1000 oder 0,1; 0,01; 0,001
Das folgt aus dem vorigen Absatz nächste Regel. Um einen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000, 10000 usw. zu multiplizieren, müssen Sie das Komma um so viele Ziffern nach rechts verschieben, wie im Multiplikator nach Eins Nullen stehen.
Beispiel 1. Finden Sie das Produkt von 0,065 und 1000.
Lösung. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Antworten: 65.
Beispiel 2. Finden Sie das Produkt von 3,9 und 1000.
Lösung. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Antworten: 3900.
Wenn Sie eine natürliche Zahl und 0,1 multiplizieren müssen; 0,01; 0,001; B. 0,0001 usw., sollten Sie im resultierenden Produkt das Komma um so viele Ziffern nach links verschieben, wie Nullen vor Eins stehen. Gegebenenfalls werden einer natürlichen Zahl ausreichend viele Nullen vorangestellt.
Beispiel 1. Finden Sie das Produkt von 56 und 0,01.
Lösung. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Antworten: 0,56.
Beispiel 2. Finden Sie das Produkt von 4 und 0,001.
Lösung. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Antworten: 0,004.
Das Auffinden des Produkts verschiedener Brüche sollte also keine Schwierigkeiten verursachen, außer vielleicht die Berechnung des Ergebnisses; Auf einen Taschenrechner kann man in diesem Fall einfach nicht verzichten.
) und der Nenner durch den Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts).
Bruchmultiplikationsformel:
Zum Beispiel:
Bevor Sie mit der Multiplikation von Zählern und Nennern fortfahren, müssen Sie die Möglichkeit einer Bruchkürzung prüfen. Wenn Sie es schaffen, den Bruch zu reduzieren, können Sie leichter weiterrechnen.
Division eines gewöhnlichen Bruchs durch einen Bruch.
Division von Brüchen mit einer natürlichen Zahl.
Es ist nicht so beängstigend, wie es scheint. Wie bei der Addition wandeln wir eine ganze Zahl in einen Bruch mit einer Einheit im Nenner um. Zum Beispiel:
Multiplikation gemischter Brüche.
Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):
- wandle gemischte Brüche in unechte um;
- multipliziere die Zähler und Nenner von Brüchen;
- wir reduzieren den Bruch;
- Wenn wir einen unechten Bruch erhalten, wandeln wir den unechten Bruch in einen gemischten um.
Beachten Sie! Um einen gemischten Bruch mit einem anderen gemischten Bruch zu multiplizieren, müssen Sie sie zuerst in die Form von unechten Brüchen bringen und dann gemäß der Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche multiplizieren.
Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.
Es ist bequemer, die zweite Multiplikationsmethode zu verwenden gemeinsamer Bruchteil zur Nummer.
Beachten Sie! Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, ist es notwendig, den Nenner des Bruchs durch diese Zahl zu dividieren und den Zähler unverändert zu lassen.
Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl dividiert wird.
Mehrstufige Brüche.
In der High School werden oft dreistöckige (oder mehr) Fraktionen gefunden. Beispiel:
Um einen solchen Bruch auf seine übliche Form zu bringen, wird eine Division durch 2 Punkte verwendet:
Beachten Sie! Beim Teilen von Brüchen ist die Reihenfolge der Teilung sehr wichtig. Achtung, hier kommt man leicht durcheinander.
Beachten Sie, zum Beispiel:
Wenn Sie eins durch einen beliebigen Bruch dividieren, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt:
Praktische Tipps zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:
1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, konzentriert und klar durch. Es ist besser, ein paar zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als sich in den Berechnungen im Kopf zu verirren.
2. In Aufgaben mit verschiedene Typen Brüche - gehen Sie in die Form gewöhnlicher Brüche.
3. Wir kürzen alle Brüche, bis eine Kürzung nicht mehr möglich ist.
4. Wir bringen mehrstufige Bruchausdrücke in gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch 2 Punkte verwenden.
5. Wir teilen die Einheit gedanklich in einen Bruch auf, indem wir einfach den Bruch umdrehen.
