Dreiecke Typen und Eigenschaften. Dreieckseigenschaften

Heute fahren wir ins Land der Geometrie, wo wir verschiedene Arten von Dreiecken kennenlernen werden.

Untersuchen Sie die geometrischen Formen und finden Sie das „Extra“ darunter (Abb. 1).

Reis. 1. Abbildung zum Beispiel

Wir sehen, dass die Figuren Nr. 1, 2, 3, 5 Vierecke sind. Jeder von ihnen hat einen eigenen Namen (Abb. 2).

Reis. 2. Vierecke

Das bedeutet, dass die „zusätzliche“ Figur ein Dreieck ist (Abb. 3).

Reis. 3. Illustration zum Beispiel

Ein Dreieck ist eine Figur, die aus drei Punkten besteht, die nicht auf derselben Geraden liegen, und drei Segmenten, die diese Punkte paarweise verbinden.

Die Punkte werden aufgerufen dreieck ecken, Segmente - sein Parteien. Die Seiten des Dreiecks bilden sich An den Ecken eines Dreiecks befinden sich drei Winkel.

Die Hauptmerkmale eines Dreiecks sind drei Seiten und drei Ecken. Dreiecke werden nach dem Winkel klassifiziert spitz, rechteckig und stumpf.

Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn alle drei Winkel spitz sind, also kleiner als 90° (Abb. 4).

Reis. 4. Akute Dreieck

Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn einer seiner Winkel 90° beträgt (Abb. 5).

Reis. 5. Rechtes Dreieck

Ein Dreieck heißt stumpf, wenn einer seiner Winkel stumpf ist, also größer als 90° (Abb. 6).

Reis. 6. Stumpfes Dreieck

Entsprechend der Anzahl gleicher Seiten sind Dreiecke gleichseitig, gleichschenklig, ungleichmäßig.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, in dem zwei Seiten gleich sind (Abb. 7).

Reis. 7. Gleichschenkliges Dreieck

Diese Seiten werden aufgerufen seitlich, Dritte Seite - Basis. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.

Gleichschenklige Dreiecke sind akut und stumpf(Abb. 8) .

Reis. 8. Spitze und stumpfe gleichschenklige Dreiecke

Man nennt ein gleichseitiges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind (Abb. 9).

Reis. 9. Gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel sind gleich. Gleichseitige Dreiecke stets spitzwinklig.

Als vielseitig bezeichnet man ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten unterschiedlich lang sind (Abb. 10).

Reis. 10. Ungleichmäßiges Dreieck

Die Aufgabe erledigen. Teilen Sie diese Dreiecke in drei Gruppen (Abb. 11).

Reis. 11. Illustration für die Aufgabe

Lassen Sie uns zunächst nach der Größe der Winkel verteilen.

Akute Dreiecke: Nr. 1, Nr. 3.

Rechtwinklige Dreiecke: #2, #6.

Stumpfe Dreiecke: #4, #5.

Diese Dreiecke werden nach der Anzahl gleicher Seiten in Gruppen eingeteilt.

Ungleichmäßige Dreiecke: Nr. 4, Nr. 6.

Gleichschenklige Dreiecke: Nr. 2, Nr. 3, Nr. 5.

Gleichseitiges Dreieck: Nr. 1.

Überprüfen Sie die Zeichnungen.

Überlegen Sie, aus welchem ​​Stück Draht jedes Dreieck besteht (Abb. 12).

Reis. 12. Illustration für die Aufgabe

So kann man argumentieren.

Das erste Stück Draht wird in drei gleiche Teile geteilt, sodass Sie daraus ein gleichseitiges Dreieck machen können. Es ist in der Figur an dritter Stelle dargestellt.

Das zweite Stück Draht ist in drei verschiedene Teile geteilt, sodass Sie daraus ein ungleichmäßiges Dreieck machen können. Es ist zuerst auf dem Bild zu sehen.

Das dritte Stück Draht ist in drei Teile geteilt, wobei die beiden Teile gleich lang sind, sodass Sie daraus ein gleichschenkliges Dreieck machen können. Es ist in der Figur an zweiter Stelle dargestellt.

Heute haben wir im Unterricht verschiedene Arten von Dreiecken kennengelernt.

Referenzliste

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3. Do.gendocs.ru ().

Hausaufgaben

1. Beenden Sie die Sätze.

a) Ein Dreieck ist eine Figur, die aus ... besteht, die nicht auf derselben Geraden liegen, und ..., die diese Punkte paarweise verbinden.

b) Die Punkte werden genannt … , Segmente - sein … . Die Seiten eines Dreiecks bilden sich an den Eckpunkten eines Dreiecks ….

c) Dreiecke sind nach der Größe des Winkels ..., ..., ....

d) Dreiecke sind nach der Anzahl gleicher Seiten ..., ..., ....

2. Zeichnen

a) rechtwinkliges Dreieck;

b) ein spitzes Dreieck;

c) ein stumpfes Dreieck;

d) ein gleichseitiges Dreieck;

e) ungleichmäßiges Dreieck;

e) ein gleichschenkliges Dreieck.

3. Machen Sie eine Aufgabe zum Thema der Lektion für Ihre Kameraden.

Während des Mathematikstudiums lernen die Schüler verschiedene Arten geometrischer Formen kennen. Heute werden wir darüber sprechen verschiedene Arten Dreiecke.

Definition

Geometrische Figuren, die aus drei Punkten bestehen, die nicht auf derselben Geraden liegen, nennt man Dreiecke.

Die Liniensegmente, die die Punkte verbinden, werden als Seiten bezeichnet, und die Punkte werden als Scheitelpunkte bezeichnet. Scheitelpunkte sind mit groß gekennzeichnet mit lateinischen Buchstaben, zum Beispiel: A, B, C.

Die Seiten werden durch die Namen der beiden Punkte angezeigt, aus denen sie bestehen - AB, BC, AC. Sich schneidend bilden die Seiten Winkel. Die Unterseite gilt als Basis der Figur.

Reis. 1. Dreieck ABC.

Arten von Dreiecken

Dreiecke werden nach Winkeln und Seiten klassifiziert. Jeder Dreieckstyp hat seine eigenen Eigenschaften.

Es gibt drei Arten von Dreiecken in den Ecken:

• spitzwinklig;
• rechteckig;
• stumpf.

Alle Winkel spitzwinklig Dreiecke sind spitz, das heißt, das Gradmaß von jedem ist nicht größer als 90 0.

Rechteckig das Dreieck enthält einen rechten Winkel. Die anderen beiden Winkel werden immer spitz sein, da sonst die Summe der Winkel des Dreiecks 180 Grad überschreitet, was unmöglich ist. Die gegenüberliegende Seite rechter Winkel, heißt die Hypotenuse, und die anderen beiden Beine. Die Hypotenuse ist immer größer als das Bein.

stumpf das Dreieck enthält einen stumpfen Winkel. Das heißt, ein Winkel größer als 90 Grad. Die anderen beiden Winkel in einem solchen Dreieck sind spitz.

Reis. 2. Arten von Dreiecken in den Ecken.

Ein pythagoräisches Dreieck ist ein Rechteck mit den Seiten 3, 4, 5.

Außerdem ist die größere Seite die Hypotenuse.

Diese Dreiecke werden oft zum Formen verwendet einfache Aufgaben in Geometrie. Denken Sie also daran: Wenn zwei Seiten eines Dreiecks 3 sind, dann ist die dritte definitiv 5. Dies vereinfacht die Berechnungen.

Arten von Dreiecken an den Seiten:

• gleichseitig;
• gleichschenklig;
• vielseitig.

Gleichseitig Ein Dreieck ist ein Dreieck, in dem alle Seiten gleich sind. Alle Winkel eines solchen Dreiecks sind gleich 60 0, das heißt, es ist immer spitzwinklig.

Gleichschenklig Ein Dreieck ist ein Dreieck mit nur zwei gleichen Seiten. Diese Seiten werden seitlich genannt und die dritte - die Basis. Außerdem sind die Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks gleich und immer spitz.

Vielseitig oder ein beliebiges Dreieck ist ein Dreieck, in dem alle Längen und alle Winkel nicht gleich sind.

Wenn es keine Klarstellungen zur Zahl im Problem gibt, wird dies allgemein akzeptiert wir redenüber ein beliebiges Dreieck.

Reis. 3. Arten von Dreiecken an den Seiten.

Die Summe aller Winkel eines Dreiecks, unabhängig von seinem Typ, ist 1800.

Dem größeren Winkel gegenüber liegt die größere Seite. Und auch die Länge einer Seite ist immer kleiner als die Summe ihrer beiden anderen Seiten. Diese Eigenschaften werden durch den Dreiecksungleichungssatz bestätigt.

Es gibt ein Konzept eines goldenen Dreiecks. Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten proportional zur Basis und gleich einer bestimmten Zahl sind. In einer solchen Figur sind die Winkel proportional zum Verhältnis 2:2:1.

Eine Aufgabe:

Gibt es ein Dreieck mit den Seitenlängen 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Lösung:

Um diese Aufgabe zu lösen, müssen Sie die Ungleichung a verwenden

Was haben wir gelernt?

Aus dieses Material Aus dem Mathematikkurs der 5. Klasse haben wir gelernt, dass Dreiecke nach Seiten und Winkeln klassifiziert werden. Dreiecke haben bestimmte Eigenschaften, die beim Lösen von Problemen verwendet werden können.

Standardnotationen

Dreieck mit Eckpunkten EIN, B und C bezeichnet als (siehe Abb.). Das Dreieck hat drei Seiten:

Die Seitenlängen eines Dreiecks werden durch lateinische Kleinbuchstaben (a, b, c) angegeben:

Das Dreieck hat folgende Winkel:

Die Winkel an den entsprechenden Eckpunkten werden traditionell mit griechischen Buchstaben (α, β, γ) bezeichnet.

Zeichen der Gleichheit von Dreiecken

Ein Dreieck auf der euklidischen Ebene kann eindeutig (bis zur Kongruenz) durch die folgenden Tripletts von Grundelementen definiert werden:

1. a, b, γ (Gleichheit auf zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel);
2. a, β, γ (Seitengleichheit und zwei benachbarte Winkel);
3. a, b, c (Gleichheit auf drei Seiten).

Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke:

1. entlang des Beins und der Hypotenuse;
2. auf zwei Beinen;
3. entlang des Beins und des spitzen Winkels;
4. Hypotenuse und spitzer Winkel.

Einige Punkte im Dreieck sind "gepaart". Beispielsweise gibt es zwei Punkte, von denen aus alle Seiten entweder in einem Winkel von 60° oder in einem Winkel von 120° einsehbar sind. Sie werden gerufen Punkte Torricelli. Es gibt auch zwei Punkte, deren Projektionen an den Seiten an den Ecken eines regelmäßigen Dreiecks liegen. Das - Punkte des Apollonius. Punkte und dergleichen werden genannt Brocard-Punkte.

Direkte

In jedem Dreieck liegen der Schwerpunkt, das Orthozentrum und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises auf derselben Geraden, genannt Euler-Linie.

Die Linie, die durch die Mitte des umschriebenen Kreises und den Lemoine-Punkt verläuft, wird genannt Brokars Achse. Darauf liegen Apollonius-Punkte. Auch die Torricelli-Punkte und der Lemoine-Punkt liegen auf derselben Geraden. Die Basen der äußeren Winkelhalbierenden der Winkel eines Dreiecks liegen auf derselben Geraden, genannt Achse der äußeren Winkelhalbierenden. Die Schnittpunkte der Seitenlinien des Orthodreiecks mit den Seitenlinien des Dreiecks liegen ebenfalls auf derselben Linie. Diese Zeile heißt orthozentrische Achse, sie steht senkrecht auf der Euler-Linie.

Wenn wir einen Punkt auf dem umschriebenen Kreis eines Dreiecks nehmen, liegen seine Projektionen an den Seiten des Dreiecks auf einer geraden Linie, genannt Simsons gerade Linie gegebener Punkt. Simsons Linien von diametral gegenüberliegenden Punkten sind senkrecht.

Dreiecke

• Ein Dreieck mit Eckpunkten an den Basen von Cevianern, die durch einen bestimmten Punkt gezogen werden, wird aufgerufen cevianisches Dreieck dieser Punkt.
• Ein Dreieck mit Ecken in den Projektionen eines gegebenen Punktes auf die Seiten heißt unter der Haut oder Pedaldreieck dieser Punkt.
• Ein Dreieck mit Ecken an den zweiten Schnittpunkten der durch die Ecken gezogenen Linien und dem gegebenen Punkt mit dem umschriebenen Kreis wird aufgerufen cevianisches Dreieck. Ein Cevian-Dreieck ähnelt einem subdermalen Dreieck.

Kreise

• Eingeschriebener Kreis ist ein Kreis, der alle drei Seiten des Dreiecks berührt. Sie ist die Einzige. Der Mittelpunkt des Inkreises wird genannt Im zentrum.
• Umschriebener Kreis- ein Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft. Auch der umschriebene Kreis ist einzigartig.
• Exkreis- ein Kreis, der eine Seite eines Dreiecks tangiert und die Verlängerung der beiden anderen Seiten. In einem Dreieck gibt es drei solcher Kreise. Ihr Radikalzentrum ist das Zentrum des einbeschriebenen Kreises des mittleren Dreiecks, genannt Spiekers Punkt.

Die Mittelpunkte der drei Seiten eines Dreiecks, die Basen seiner drei Höhen und die Mittelpunkte der drei Liniensegmente, die seine Eckpunkte mit dem Orthozentrum verbinden, liegen auf einem einzigen Kreis, der als Dreieck bezeichnet wird Kreis aus neun Punkten oder Eulerscher Kreis. Der Mittelpunkt des Neun-Punkte-Kreises liegt auf der Euler-Linie. Ein Kreis aus neun Punkten berührt einen eingeschriebenen Kreis und drei Exkreise. Der Kontaktpunkt zwischen einem eingeschriebenen Kreis und einem Kreis aus neun Punkten wird genannt Feuerbach Punkt. Wenn wir von jedem Scheitelpunkt aus Dreiecke auf geraden Linien mit Seiten auslegen, Orthesen gleicher Länge wie gegenüberliegende Seiten, dann liegen die resultierenden sechs Punkte auf einem Kreis - Conway kreist. In jedes Dreieck können drei Kreise so eingeschrieben werden, dass jeder von ihnen zwei Seiten des Dreiecks und zwei weitere Kreise berührt. Solche Kreise werden genannt Malfatti-Kreise. Die Mittelpunkte der umschriebenen Kreise der sechs Dreiecke, in die das Dreieck durch Mittellinien unterteilt ist, liegen auf einem Kreis, der als Lamun-Kreis.

Ein Dreieck hat drei Kreise, die zwei Seiten des Dreiecks und den umschriebenen Kreis berühren. Solche Kreise werden genannt halb beschriftet oder Verrier-Kreise. Die Segmente, die die Berührungspunkte der Verrier-Kreise mit dem umschriebenen Kreis verbinden, schneiden sich in einem Punkt, genannt Verrier-Punkt. Er dient als Mittelpunkt der Homothetie, die den umschriebenen Kreis zum Inkreis führt. Die Berührungspunkte der Verrierkreise mit den Seiten liegen auf einer Geraden, die durch den Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises geht.

Die Liniensegmente, die die Tangentenpunkte des einbeschriebenen Kreises mit den Eckpunkten verbinden, schneiden sich in einem Punkt, genannt Gergonne-Punkt, und die Segmente, die die Scheitelpunkte mit den Kontaktpunkten der Exkreise verbinden - in Nagel Punkt.

Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

Eingeschriebener Kegel (Ellipse) und seine Perspektive

Einem Dreieck können unendlich viele Kegelschnitte (Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln) einbeschrieben werden. Wenn wir einem Dreieck einen beliebigen Kegelschnitt einschreiben und die Berührungspunkte mit gegenüberliegenden Eckpunkten verbinden, schneiden sich die resultierenden Linien an einem Punkt, genannt Perspektive Kegel. Für jeden Punkt der Ebene, der nicht auf einer Seite oder auf ihrer Verlängerung liegt, gibt es einen einbeschriebenen Kegelschnitt mit einer Perspektive an diesem Punkt.

Steiners Ellipse umschrieben und Ceviane, die durch ihre Brennpunkte gehen

Eine Ellipse kann in ein Dreieck eingeschrieben werden, das die Seiten in den Mittelpunkten berührt. Eine solche Ellipse heißt Steiner beschriftete Ellipse(seine Perspektive ist der Schwerpunkt des Dreiecks). Die beschriebene Ellipse, die Linien tangiert, die durch Scheitelpunkte parallel zu den Seiten verlaufen, wird aufgerufen umschrieben durch die Steiner-Ellipse. Wenn eine affine Transformation ("Schiefe") das Dreieck in ein reguläres Dreieck übersetzt, dann wird seine eingeschriebene und umschriebene Steiner-Ellipse in einen eingeschriebenen und umschriebenen Kreis übergehen. Cevianer, die durch die Brennpunkte der beschriebenen Steiner-Ellipse (Skutin-Punkte) gezogen werden, sind gleich (Satz von Skutin). Von allen umschriebenen Ellipsen hat die umschriebene Steiner-Ellipse die kleinste Fläche, und von allen eingeschriebenen Ellipsen hat die nach Steiner eingeschriebene Ellipse die größte Fläche.

Brocards Ellipse und ihr Perspektor - Lemoine-Punkt

Eine Ellipse mit Brennpunkten an Brokars Punkten wird aufgerufen Brocard-Ellipse. Seine Perspektive ist der Lemoine-Punkt.

Eigenschaften einer einbeschriebenen Parabel

Kiepert-Parabel

Die Perspektiven der eingeschriebenen Parabeln liegen auf der umschriebenen Steiner-Ellipse. Der Fokus einer einbeschriebenen Parabel liegt auf dem umschriebenen Kreis, und die Leitlinie verläuft durch das Orthozentrum. Eine Parabel, die in ein Dreieck eingeschrieben ist, dessen Leitlinie die Euler-Linie ist, wird als Euler-Linie bezeichnet Kiepertsche Parabel. Seine Perspektive ist der vierte Schnittpunkt des umschriebenen Kreises und der umschriebenen Steiner-Ellipse, genannt Steiner Punkt.

Cyperts Übertreibung

Wenn die beschriebene Hyperbel durch den Schnittpunkt der Höhen verläuft, ist sie gleichseitig (dh ihre Asymptoten stehen senkrecht). Der Schnittpunkt der Asymptoten einer gleichseitigen Hyperbel liegt auf einem Kreis aus neun Punkten.

Transformationen

Wenn die Linien, die durch die Scheitelpunkte verlaufen und einige Punkte, die nicht auf den Seiten liegen, und ihre Verlängerungen in Bezug auf die entsprechenden Winkelhalbierenden gespiegelt werden, schneiden sich ihre Bilder auch an einem Punkt, der aufgerufen wird isogonal konjugieren die ursprüngliche (wenn der Punkt auf dem umschriebenen Kreis lag, sind die resultierenden Linien parallel). Viele Paare bemerkenswerter Punkte sind isogonal konjugiert: der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises und das Orthozentrum, der Schwerpunkt und der Lemoine-Punkt, die Brocard-Punkte. Die Apollonius-Punkte sind isogonal konjugiert zu den Torricelli-Punkten, und das Zentrum des Inkreises ist isogonal konjugiert zu sich selbst. Unter der Wirkung der isogonalen Konjugation gehen gerade Linien in umschriebene Kegelschnitte und umschriebene Kegelschnitte in gerade Linien über. So sind die Kiepert-Hyperbel und die Brocard-Achse, die Enzhabek-Hyperbel und die Euler-Linie, die Feuerbach-Hyperbel und die Mittelpunktslinie des Inkreises isogonal konjugiert. Die umschriebenen Kreise subdermaler Dreiecke isogonal konjugierter Punkte fallen zusammen. Die Brennpunkte der einbeschriebenen Ellipsen sind isogonal konjugiert.

Nimmt man statt eines symmetrischen Cevians einen Cevian, dessen Basis genauso weit von der Seitenmitte entfernt ist wie die Basis des ursprünglichen, so werden sich auch solche Cevianer in einem Punkt schneiden. Die resultierende Transformation wird aufgerufen isotomische Konjugation. Es bildet auch Linien auf umschriebene Kegelschnitte ab. Die Gergonne- und Nagelpunkte sind isotomisch konjugiert. Bei affinen Transformationen gehen isotomisch konjugierte Punkte in isotomisch konjugierte über. Bei der Isotomie-Konjugation geht die beschriebene Steiner-Ellipse in die Gerade im Unendlichen über.

Wenn in die von den Seiten des Dreiecks vom umschriebenen Kreis abgeschnittenen Segmente Kreise eingeschrieben sind, die die Seiten an den Basen der durch einen bestimmten Punkt gezogenen Cevianer berühren, und dann die Berührungspunkte dieser Kreise mit dem verbunden werden umschriebener Kreis mit gegenüberliegenden Ecken, dann schneiden sich solche Linien in einem Punkt. Die Transformation der Ebene, die den ursprünglichen Punkt an den resultierenden Punkt anpasst, wird aufgerufen isozirkulare Transformation. Die Zusammensetzung der isogonalen und isotomischen Konjugationen ist die Zusammensetzung der isozirkularen Transformation mit sich selbst. Diese Komposition ist eine projektive Transformation, die die Seiten des Dreiecks an Ort und Stelle lässt und die Achse der äußeren Winkelhalbierenden in eine gerade Linie im Unendlichen übersetzt.

Wenn wir die Seiten des Cevian-Dreiecks an einem Punkt fortsetzen und ihre Schnittpunkte mit den entsprechenden Seiten nehmen, liegen die resultierenden Schnittpunkte auf einer geraden Linie, genannt trilinear polar Startpunkt. Orthozentrische Achse - trilinearer Pol des Orthozentrums; die trilineare Polare des Zentrums des einbeschriebenen Kreises ist die Achse der äußeren Winkelhalbierenden. Die dreipoligen Polare der auf dem umschriebenen Kegelschnitt liegenden Punkte schneiden sich in einem Punkt (beim umschriebenen Kreis ist dies der Lemoine-Punkt, bei der umschriebenen Steiner-Ellipse der Schwerpunkt). Die Zusammensetzung der isogonalen (oder isotomischen) Konjugation und der trilinearen Polare ist eine Dualitätstransformation (wenn der Punkt isogonal (isotomisch) konjugiert zum Punkt liegt auf der trilinearen Polare des Punktes , dann ist die trilineare Polare des Punktes isogonal (isotomisch) konjugiert zum Punkt liegt auf der trilinearen Polare des Punktes ).

Würfel

Beziehungen in einem Dreieck

Notiz: in diesem Abschnitt ist Länge von drei Seiten des Dreiecks und , , sind die diesen drei Seiten jeweils gegenüberliegenden Winkel (Gegenwinkel).

Dreiecksungleichung

Bei einem nicht entarteten Dreieck ist die Summe der Längen seiner beiden Seiten größer als die Länge der dritten Seite, bei einem entarteten Dreieck ist sie gleich. Mit anderen Worten, die Längen der Seiten eines Dreiecks hängen durch die folgenden Ungleichungen zusammen:

Die Dreiecksungleichung ist eines der Axiome der Metrik.

Dreieckswinkelsummensatz

Sinussatz

wobei R der Radius des um das Dreieck umschriebenen Kreises ist. Aus dem Satz folgt, dass wenn a< b < c, то α < β < γ.

Kosinussatz

Tangentensatz

Andere Verhältnisse

Metrische Verhältnisse in einem Dreieck sind angegeben für:

Dreiecke lösen

Die Berechnung unbekannter Seiten und Winkel eines Dreiecks auf der Grundlage bekannter Seiten wurde historisch als "Dreieckslösungen" bezeichnet. In diesem Fall werden die obigen allgemeinen trigonometrischen Theoreme verwendet.

Fläche eines Dreiecks

Für die Fläche gelten folgende Ungleichungen:

Berechnung der Fläche eines Dreiecks im Raum mit Vektoren

Die Eckpunkte des Dreiecks seien an den Punkten , , .

Wir führen den Flächenvektor ein. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Dreiecks und ist entlang der Normalen zur Ebene des Dreiecks gerichtet:

Seien , wobei , , die Projektionen des Dreiecks auf die Koordinatenebenen sind. Dabei

und ebenfalls

Die Fläche des Dreiecks ist .

Eine Alternative besteht darin, die Seitenlängen (mit dem Satz des Pythagoras) zu berechnen und dann die Heron-Formel zu verwenden.

Dreieckssätze

Satz von Desargues: Wenn zwei Dreiecke perspektivisch sind (die Linien, die durch die entsprechenden Eckpunkte der Dreiecke verlaufen, schneiden sich in einem Punkt), dann schneiden sich ihre jeweiligen Seiten auf einer geraden Linie.

Satz von Sond: Wenn zwei Dreiecke perspektivisch und ortholog sind (Senkrechte, die von den Eckpunkten eines Dreiecks auf die den entsprechenden Eckpunkten des Dreiecks gegenüberliegenden Seiten fallen und umgekehrt), dann beide Orthologiezentren (Schnittpunkte dieser Senkrechten) und das perspektivische Zentrum liegen auf einer Geraden senkrecht zur Perspektivachse (Gerade aus dem Satz von Desargues).

Mehr Kinder Vorschulalter wissen, wie ein Dreieck aussieht. Aber mit dem, was sie sind, fangen die Jungs schon in der Schule an zu verstehen. Ein Typ ist ein stumpfes Dreieck. Um zu verstehen, was es ist, ist es am einfachsten, ein Bild mit seinem Bild zu sehen. Und theoretisch nennen sie das das "einfachste Polygon" mit drei Seiten und Eckpunkten, von denen einer es ist

Konzepte verstehen

In der Geometrie gibt es solche Arten von Figuren mit drei Seiten: spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. Außerdem sind die Eigenschaften dieser einfachsten Polygone für alle gleich. Für alle aufgeführten Arten wird also eine solche Ungleichheit beobachtet. Die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten ist notwendigerweise größer als die Länge der dritten Seite.

Aber um sicherzugehen, dass es sich um eine vollständige Figur handelt und nicht um eine Menge einzelner Eckpunkte, muss überprüft werden, ob die Hauptbedingung erfüllt ist: Die Summe der Winkel eines stumpfen Dreiecks beträgt 180 °. Dasselbe gilt für andere Arten von Figuren mit drei Seiten. Richtig, in einem stumpfen Dreieck wird einer der Winkel sogar größer als 90° sein, und die verbleibenden zwei werden notwendigerweise spitz sein. In diesem Fall ist es der größte Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt. Dies sind zwar bei weitem nicht alle Eigenschaften eines stumpfen Dreiecks. Aber selbst wenn Schüler nur diese Merkmale kennen, können sie viele Probleme in der Geometrie lösen.

Für jedes Polygon mit drei Eckpunkten gilt auch, dass wir durch Fortsetzen einer der Seiten einen Winkel erhalten, dessen Größe sein wird ist gleich der Summe zwei innere Ecken, die nicht daran angrenzen. Der Umfang eines stumpfen Dreiecks wird auf die gleiche Weise wie bei anderen Formen berechnet. Sie ist gleich der Summe der Längen aller ihrer Seiten. Um die Mathematiker zu bestimmen, wurden verschiedene Formeln hergeleitet, je nachdem, welche Daten ursprünglich vorlagen.

Korrekter Stil

Eine der wichtigsten Voraussetzungen für das Lösen von Problemen in der Geometrie ist die richtige Zeichnung. Mathematiklehrer sagen oft, dass es nicht nur hilft, zu visualisieren, was gegeben und was von Ihnen verlangt wird, sondern auch der richtigen Antwort 80 % näher kommt. Deshalb ist es wichtig zu wissen, wie man ein stumpfes Dreieck konstruiert. Wenn Sie nur eine hypothetische Figur möchten, können Sie ein beliebiges Polygon mit drei Seiten zeichnen, sodass einer der Winkel größer als 90 Grad ist.

Wenn bestimmte Werte der Seitenlängen oder Winkelgrade angegeben sind, muss ein stumpfwinkliges Dreieck entsprechend gezeichnet werden. Gleichzeitig muss versucht werden, die Winkel so genau wie möglich darzustellen, sie mit Hilfe eines Winkelmessers zu berechnen und die Seiten proportional zu den gegebenen Bedingungen in der Aufgabe anzuzeigen.

Hauptlinien

Für Schulkinder reicht es oft nicht aus, nur zu wissen, wie bestimmte Figuren aussehen sollen. Sie können sich nicht auf Informationen darüber beschränken, welches Dreieck stumpf und welches rechtwinklig ist. Der Studiengang Mathematik sieht vor, dass ihre Kenntnisse über die Hauptmerkmale der Figuren vollständiger werden sollen.

Daher sollte jeder Schüler die Definition der Winkelhalbierenden, der Mittellinie, der senkrechten Winkelhalbierenden und der Höhe verstehen. Außerdem muss er ihre grundlegenden Eigenschaften kennen.

Die Winkelhalbierenden teilen also den Winkel in zwei Hälften und die gegenüberliegende Seite in Segmente, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind.

Der Median teilt jedes Dreieck in zwei gleiche Flächen. An der Stelle, an der sie sich kreuzen, ist jede von ihnen in 2 Segmente im Verhältnis 2: 1 geteilt, von der Spitze aus gesehen, von der sie ausgegangen sind. In diesem Fall wird der größte Median immer zu seiner kleinsten Seite gezogen.

Nicht weniger Aufmerksamkeit wird der Höhe geschenkt. Dies ist senkrecht zur gegenüberliegenden Seite der Ecke. Die Höhe eines stumpfen Dreiecks hat seine eigenen Eigenschaften. Wenn es von einem scharfen Scheitelpunkt gezogen wird, fällt es nicht auf die Seite dieses einfachsten Polygons, sondern auf seine Verlängerung.

Die Mittelsenkrechte ist das Liniensegment, das aus der Mitte der Fläche des Dreiecks herauskommt. Gleichzeitig befindet es sich im rechten Winkel dazu.

Arbeiten mit Kreisen

Zu Beginn des Studiums der Geometrie reicht es aus, wenn Kinder verstehen, wie man ein stumpfwinkliges Dreieck zeichnet, es von anderen Typen unterscheidet und sich an seine grundlegenden Eigenschaften erinnert. Aber für Gymnasiasten reicht dieses Wissen nicht aus. Beispielsweise gibt es bei der Prüfung oft Fragen zu umschriebenen und einbeschriebenen Kreisen. Der erste von ihnen berührt alle drei Eckpunkte des Dreiecks, und der zweite hat einen gemeinsamen Punkt mit allen Seiten.

Das Konstruieren eines einbeschriebenen oder umschriebenen stumpfwinkligen Dreiecks ist schon viel schwieriger, denn dazu müssen Sie zuerst herausfinden, wo der Mittelpunkt des Kreises und sein Radius liegen sollen. Übrigens, Notwendiges Werkzeug In diesem Fall wird nicht nur ein Bleistift mit Lineal, sondern auch ein Kompass.

Die gleichen Schwierigkeiten ergeben sich beim Konstruieren von einbeschriebenen Polygonen mit drei Seiten. Mathematiker haben verschiedene Formeln entwickelt, mit denen Sie ihren Standort möglichst genau bestimmen können.

Eingeschriebene Dreiecke

Wenn der Kreis, wie bereits erwähnt, durch alle drei Eckpunkte verläuft, wird dies als umschriebener Kreis bezeichnet. Seine Haupteigenschaft ist, dass es das einzige ist. Um herauszufinden, wie sich der umschriebene Kreis eines stumpfen Dreiecks befinden sollte, muss daran erinnert werden, dass sein Mittelpunkt am Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten liegt, die zu den Seiten der Figur verlaufen. Wenn in einem spitzwinkligen Polygon mit drei Eckpunkten dieser Punkt darin liegt, dann in einem stumpfwinkligen - außerhalb davon.

Wenn man zum Beispiel weiß, dass eine der Seiten eines stumpfen Dreiecks gleich seinem Radius ist, kann man den Winkel finden, der der bekannten Fläche gegenüberliegt. Sein Sinus ist gleich dem Ergebnis der Division der Länge der bekannten Seite durch 2R (wobei R der Radius des Kreises ist). Das heißt, die Sünde des Winkels ist gleich ½. Der Winkel beträgt also 150 o.

Wenn Sie den Radius des umschriebenen Kreises eines stumpfwinkligen Dreiecks finden müssen, benötigen Sie Informationen über die Länge seiner Seiten (c, v, b) und seine Fläche S. Schließlich wird der Radius wie folgt berechnet : (c x v x b): 4 x S. Übrigens spielt es keine Rolle, welche Art von Figur Sie haben: ein vielseitiges stumpfes Dreieck, gleichschenklig, rechts oder spitz. Dank der obigen Formel können Sie in jeder Situation die Fläche eines bestimmten Polygons mit drei Seiten ermitteln.

Umschriebene Dreiecke

Es ist auch durchaus üblich, mit eingeschriebenen Kreisen zu arbeiten. Nach einer der Formeln entspricht der Radius einer solchen Figur, multipliziert mit der Hälfte des Umfangs, der Fläche des Dreiecks. Richtig, um es herauszufinden, müssen Sie die Seiten eines stumpfen Dreiecks kennen. Um die Hälfte des Umfangs zu bestimmen, müssen ihre Längen addiert und durch 2 geteilt werden.

Um zu verstehen, wo der Mittelpunkt eines in ein stumpfes Dreieck eingeschriebenen Kreises sein sollte, müssen drei Winkelhalbierende gezeichnet werden. Dies sind die Linien, die die Ecken halbieren. An ihrem Schnittpunkt befindet sich der Mittelpunkt des Kreises. In diesem Fall wird es von jeder Seite gleich weit entfernt sein.

Der Radius eines solchen in ein stumpfes Dreieck eingeschriebenen Kreises ist gleich dem Quotienten (p-c) x (p-v) x (p-b) : p. Außerdem ist p der halbe Umfang des Dreiecks, c, v, b sind seine Seiten.

Dreieck - Definition und allgemeine Konzepte

Ein Dreieck ist so ein einfaches Vieleck, das aus drei Seiten besteht und gleich viele Ecken hat. Seine Ebenen werden durch 3 Punkte und 3 Segmente begrenzt, die diese Punkte paarweise verbinden.

Alle Eckpunkte eines Dreiecks, unabhängig von seiner Art, werden durch lateinische Großbuchstaben gekennzeichnet, und seine Seiten werden durch die entsprechenden Bezeichnungen gegenüberliegender Eckpunkte dargestellt, nur nicht in Großbuchstaben, sondern in Kleinbuchstaben. So hat zum Beispiel ein Dreieck mit den Ecken A, B und C die Seiten a, b, c.

Wenn wir ein Dreieck im euklidischen Raum betrachten, dann ist dies eine solche geometrische Figur, die aus drei Segmenten gebildet wurde, die drei Punkte verbinden, die nicht auf einer geraden Linie liegen.

Schauen Sie sich das Bild oben genau an. Darauf sind die Punkte A, B und C die Eckpunkte dieses Dreiecks, und seine Segmente werden die Seiten des Dreiecks genannt. Jeder Eckpunkt dieses Polygons bildet Ecken darin.

Arten von Dreiecken

Je nach Größe und Winkeln von Dreiecken werden sie in folgende Sorten unterteilt: Rechteckig;
spitzwinklig;
stumpf.

Rechtwinklige Dreiecke sind Dreiecke, die einen rechten Winkel und die anderen zwei spitze Winkel haben.

Spitzwinklige Dreiecke sind solche, bei denen alle Winkel spitz sind.

Und wenn ein Dreieck einen stumpfen Winkel hat und die anderen beiden Winkel spitz sind, dann gehört ein solches Dreieck zu den stumpfen Winkeln.

Jeder von Ihnen ist sich bewusst, dass nicht alle Dreiecke gleiche Seiten haben. Und nach der Länge seiner Seiten können Dreiecke unterteilt werden in:

gleichschenklig;
Gleichseitig;
Vielseitig.

Aufgabe: Zeichnen verschiedene Typen Dreiecke. Geben Sie ihnen eine Definition. Welchen Unterschied siehst du zwischen ihnen?

Grundlegende Eigenschaften von Dreiecken

Obwohl sich diese einfachen Polygone in der Größe der Winkel oder Seiten voneinander unterscheiden können, gibt es in jedem Dreieck grundlegende Eigenschaften, die für diese Figur charakteristisch sind.

In jedem Dreieck:

Die Summe aller seiner Winkel beträgt 180º.
Wenn es zu gleichseitig gehört, dann ist jeder seiner Winkel gleich 60º.
Ein gleichseitiges Dreieck hat identische und gleiche Winkel zueinander.
Wie kleinere Seite Polygon, je kleiner der Winkel gegenüberliegt und umgekehrt, gegenüber der größeren Seite liegt ein größerer Winkel.
Wenn die Seiten gleich sind, befinden sie sich gegenüber gleiche Winkel, umgekehrt.
Wenn wir ein Dreieck nehmen und seine Seite verlängern, bilden wir am Ende einen Außenwinkel. Er ist gleich der Summe der Innenwinkel.
In jedem Dreieck ist seine Seite, egal welche Sie wählen, immer noch kleiner als die Summe der anderen 2 Seiten, aber mehr als ihre Differenz:

1.a< b + c, a >b-c;
2.b< a + c, b >a-c;
3.c< a + b, c >a-b.

Übung

Die Tabelle zeigt die bereits bekannten zwei Winkel des Dreiecks. Wenn Sie die Gesamtsumme aller Winkel kennen, finden Sie heraus, was der dritte Winkel des Dreiecks ist, und tragen Sie in die Tabelle ein:

1. Wie viel Grad hat der dritte Winkel?
2. Zu welcher Art von Dreiecken gehört es?

Äquivalenzdreiecke

ich unterschreibe

II Zeichen

III-Zeichen

Höhe, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende eines Dreiecks

Die Höhe eines Dreiecks - die Senkrechte, die von der Oberseite der Figur zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird, wird als Höhe des Dreiecks bezeichnet. Alle Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Der Schnittpunkt aller 3 Höhen eines Dreiecks ist sein Orthozentrum.

Ein Segment, das von einem bestimmten Scheitelpunkt gezogen und in der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbunden wird, ist der Median. Die Seitenhalbierenden sowie die Höhen eines Dreiecks haben einen gemeinsamen Schnittpunkt, den sogenannten Schwerpunkt des Dreiecks oder Schwerpunkts.

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist ein Segment, das den Scheitelpunkt eines Winkels und einen Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet und diesen Winkel auch halbiert. Alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als Mittelpunkt des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises bezeichnet wird.

Das Segment, das die Mittelpunkte der beiden Seiten des Dreiecks verbindet, wird als Mittellinie bezeichnet.

Geschichtlicher Bezug

Eine solche Figur wie ein Dreieck war in der Antike bekannt. Diese Figur und ihre Eigenschaften wurden vor viertausend Jahren auf ägyptischen Papyri erwähnt. Wenig später wechselte das Studium der Eigenschaften eines Dreiecks dank des Satzes von Pythagoras und der Formel von Heron zu mehr hohes Niveau, aber dennoch geschah es vor mehr als zweitausend Jahren.

Im XV- XVI Jahrhundert begann, viel über die Eigenschaften des Dreiecks zu forschen, und als Ergebnis entstand eine Wissenschaft wie die Planimetrie, die als "Neue Dreiecksgeometrie" bezeichnet wurde.

Ein Wissenschaftler aus Russland, N. I. Lobachevsky, hat einen großen Beitrag zur Kenntnis der Eigenschaften von Dreiecken geleistet. Seine Arbeiten fanden später sowohl in der Mathematik als auch in der Physik und Kybernetik Anwendung.

Dank der Kenntnis der Eigenschaften von Dreiecken entstand eine Wissenschaft wie die Trigonometrie. Es hat sich für eine Person in ihren praktischen Bedürfnissen als notwendig erwiesen, da ihre Verwendung einfach beim Erstellen von Karten, beim Messen von Gebieten und sogar beim Entwerfen verschiedener Mechanismen erforderlich ist.

Was ist das berühmteste Dreieck? Das ist natürlich das Bermuda-Dreieck! Es erhielt seinen Namen in den 50er Jahren aufgrund der geografischen Lage der Punkte (Eckpunkte des Dreiecks), innerhalb derer nach der bestehenden Theorie damit verbundene Anomalien auftraten. Die Gipfel des Bermuda-Dreiecks sind Bermuda, Florida und Puerto Rico.

Aufgabe: Welche Theorien über das Bermuda-Dreieck kennst du?

Wussten Sie, dass in der Theorie von Lobatschewski beim Addieren der Winkel eines Dreiecks ihre Summe immer ein Ergebnis von weniger als 180º ergibt? In der Riemannschen Geometrie ist die Summe aller Winkel eines Dreiecks größer als 180º, während sie in Euklids Schriften gleich 180 Grad ist.

Hausaufgaben

Lösen Sie ein Kreuzworträtsel zu einem vorgegebenen Thema

Kreuzworträtselfragen:

1. Wie heißt die Senkrechte, die vom Scheitelpunkt des Dreiecks zur Geraden auf der gegenüberliegenden Seite gezogen wird?
2. Wie kann man in einem Wort die Summe der Seitenlängen eines Dreiecks nennen?
3. Nennen Sie ein Dreieck, dessen zwei Seiten gleich sind?
4. Nennen Sie ein Dreieck mit einem Winkel von 90°?
5. Wie heißt die größere Seite des Dreiecks?
6. Name der Seite eines gleichschenkligen Dreiecks?
7. In jedem Dreieck gibt es immer drei davon.
8. Wie heißt ein Dreieck, bei dem einer der Winkel 90° überschreitet?
9. Der Name des Segments, das die Oberseite unserer Figur mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet?
10. In einem einfachen Vieleck ABC ist der Großbuchstabe A …?
11. Wie heißt das Segment, das den Winkel des Dreiecks halbiert?

Fragen zu Dreiecken:

1. Geben Sie eine Definition an.
2. Wie viele Höhen hat es?
3. Wie viele Winkelhalbierende hat ein Dreieck?
4. Wie groß ist seine Winkelsumme?
5. Welche Arten dieses einfachen Vielecks kennst du?
6. Nennen Sie die Punkte der Dreiecke, die wunderbar genannt werden.
7. Welches Instrument kann den Winkel messen?
8. Wenn die Zeiger der Uhr 21 Stunden anzeigen. Welchen Winkel bilden die Stundenzeiger?
9. In welchem ​​Winkel dreht sich eine Person, wenn ihr das Kommando „nach links“, „um“ gegeben wird?
10. Welche anderen Definitionen kennen Sie, die mit einer Figur verbunden sind, die drei Winkel und drei Seiten hat?