Zeichnen auf zwei Seiten und einem Winkel dazwischen. Konstruktion eines Dreiecks aus drei Elementen

Klasse: 7

Unterrichtsziele:

• den Schülern den zu studierenden Stoff so weit wie möglich vermitteln;
• Denken, Gedächtnis und die Fähigkeit entwickeln, einen Kompass frei zu benutzen;
• Versuchen Sie, die Aktivität und Unabhängigkeit der Schüler bei der Erledigung von Aufgaben zu steigern.

Ausrüstung:

• Schulkompass
• Winkelmesser,
• Lineal,
• Karten zum Selbststudium.

WÄHREND DER KLASSEN

Thema der Lektion: "Probleme für den Bau."

Heute lernen wir, wie man Dreiecke aus drei vorgegebenen Elementen mit Zirkel und Lineal baut.

Um ein Dreieck zu bauen, müssen Sie zuerst in der Lage sein, ein Segment zu bauen, das einem gegebenen entspricht, und einen Winkel, der einem gegebenen entspricht. Natürlich geht das mit einem Lineal mit Teilung und einem Winkelmesser, aber in der Mathematik muss man auch mit Zirkel und Lineal ohne Teilung konstruieren können.

Jede Bauaufgabe umfasst vier Hauptphasen:

• Analyse;
• Gebäude;
• nachweisen;
• lernen.

Analyse und Untersuchung des Problems sind ebenso notwendig wie die Konstruktion selbst. Es ist notwendig zu sehen, in welchen Fällen das Problem eine Lösung hat und in welchen es keine Lösung gibt.

1. Konstruktion eines Segments gleich dem gegebenen.

2. Wir bauen mit einem Zirkel und einem Lineal einen Winkel auf, der dem angegebenen entspricht.

Kommen wir nun zur Konstruktion von Dreiecken nach drei Elementen.

3. Konstruktion eines Dreiecks auf zwei Seiten und einem Winkel dazwischen.

Schema Nr. 3.

Gegeben	Erforderlich zum Bauen	Gebäude
1. Konstruieren Sie den Winkel A gleich dem gegebenen Winkel. 2. Markieren Sie auf einer Seite der Ecke den Punkt C, so dass das Segment AC gleich dem gegebenen Segment b ist. 3. Markieren Sie Punkt B auf der anderen Seite der Ecke, sodass das Segment AB gleich dem gegebenen Segment c ist. 4. Verbinden Sie die Punkte B und C mit einem Lineal. Ein Dreieck ACB wird mit zwei Seiten und einem Winkel dazwischen konstruiert.

Selbständiges Arbeiten nach Schema 3.

Variante 1.

Konstruiere ein Dreieck BCH, wenn BC = 3 cm, CH = 4 cm, C = 35º.

Option 2.

Konstruieren Sie ein Dreieck SDE mit DS = 4 cm, DE = 5 cm, D = 110є.

Hinweis. Bevor Sie ein Dreieck konstruieren, müssen Sie eine "Freihand" -Zeichnung eines Dreiecks erstellen, die alle angegebenen Elemente zeigt.

4. Konstruktion eines Dreiecks an der Seite und angrenzender Winkel.

Gegeben	Erforderlich zum Bauen	Gebäude
1. Zeichne willkürlich eine Strecke AB gleich der gegebenen Strecke c. 2. Konstruieren Sie den Winkel A gleich dem gegebenen. 3. Konstruieren Sie den Winkel B gleich dem gegebenen. Der Schnittpunkt der beiden Seiten der Winkel A und B ist die Spitze des Dreiecks C. Konstruiere ein Dreieck DAB mit einer gegebenen Seite und zwei gegebenen Winkeln.

Selbständiges Arbeiten nach Schema 4.

Variante 1

Konstruieren Sie ein KMO-Dreieck, wenn KO = 6 cm, K = 130º, O = 20º.

Option 2

Konstruieren Sie ein HRV-Dreieck, wenn C = 15º, D = 50º, SD = 3 cm.

5. Konstruktion eines Dreiecks auf drei Seiten.

Ihre Essenz besteht darin, jedes geometrische Objekt auf einem beliebigen ausreichenden Satz von Anfangsbedingungen mit nur einem Kompass und einem Lineal zur Hand zu bauen. Betrachten Sie das allgemeine Schema zum Ausführen solcher Aufgaben:

Aufgabenanalyse.

Dieser Teil beinhaltet die Herstellung einer Verbindung zwischen den zu bauenden Elementen und den Anfangsbedingungen des Problems. Nachdem wir diesen Punkt abgeschlossen haben, sollten wir einen Plan zur Lösung unseres Problems haben.

Konstruktion.

Hier bauen wir nach dem Plan, den wir oben erstellt haben.

Nachweisen.

Hier beweisen wir, dass die von uns konstruierte Figur die Anfangsbedingungen des Problems wirklich erfüllt.

Lernen.

Hier finden wir heraus, unter welchen Daten das Problem eine Lösung hat, unter welchen es mehrere gibt und unter welchen keine.

Als nächstes betrachten wir Probleme für die Konstruktion von Dreiecken für verschiedene drei Elemente. Hier werden wir elementare Konstruktionen wie ein Segment, einen Winkel usw. nicht betrachten. Inzwischen sollten Sie diese Fähigkeiten bereits besitzen.

Konstruktion eines Dreiecks mit zwei Seiten und einem Winkel zwischen ihnen

Beispiel 1

Konstruiere ein Dreieck, wenn wir zwei Seiten und einen Winkel zwischen diesen Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien Segmente $AB$ und $AC$ und ein Winkel $α$. Wir müssen das Dreieck $ABC$ mit dem Winkel $C$ gleich $α$ konstruieren.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Wenn wir $AB$ als eine der Seiten des Winkels nehmen, setzen wir davon den Winkel $BAM$ ab, der gleich dem Winkel $α$ ist.
2. Auf der Linie $AM$ zeichnen wir das Segment $AC$.
3. Verbinden Sie die Punkte $B$ und $C$.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung nach dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 1).

Nachweisen.

Lernen.

Da die Summe der Winkel eines Dreiecks $180^\circ$ ist. Das heißt, wenn der Winkel α größer oder gleich $180^\circ$ ist, hat das Problem keine Lösung.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da die Linie $a$ eine beliebige Linie ist, gibt es unendlich viele solcher Dreiecke. Aber da sie im ersten Zeichen alle gleich sind, nehmen wir an, dass die Lösung dieses Problems einzigartig ist.

Ein Dreieck mit drei Seiten bauen

Beispiel 2

Konstruiere ein Dreieck, wenn uns drei seiner Seiten gegeben sind.

Analyse.

Gegeben seien die Segmente $AB$ und $AC$ und $BC$. Wir müssen das Dreieck $ABC$ bauen.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Zeichnen Sie eine Linie $a$ und konstruieren Sie darauf ein Segment $AB$.
2. Konstruieren wir $2$ Kreise: der erste mit Zentrum $A$ und Radius $AC$, und der zweite mit Zentrum $B$ und Radius $BC$.
3. Verbinden Sie einen der Schnittpunkte der Kreise (das wird der Punkt $C$) mit den Punkten $A$ und $B$.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung nach dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 2).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion ist ersichtlich, dass alle Anfangsbedingungen erfüllt sind.

Lernen.

Aus der Dreiecksungleichung wissen wir, dass jede Seite kleiner sein muss als die Summe der beiden anderen. Wenn eine solche Ungleichung für die ursprünglichen drei Segmente nicht erfüllt ist, wird das Problem daher keine Lösung haben.

Da die Kreise aus der Konstruktion zwei Schnittpunkte haben, können wir zwei solche Dreiecke konstruieren. Da sie aber im dritten Kriterium gleich sind, nehmen wir an, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Konstruktion eines Dreiecks mit einer Seite und zwei angrenzenden Winkeln

Beispiel 3

Konstruiere ein Dreieck, wenn wir eine Seite und die daran angrenzenden Winkel $α$ und $β$ haben.

Analyse.

Gegeben seien eine Strecke $BC$ und die Winkel $α$ und $β$. Wir müssen ein Dreieck $ABC$ konstruieren, wobei $∠B=α$ und $∠C=β$.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Zeichnen Sie eine Linie $a$ und konstruieren Sie darauf ein Segment $BC$.
2. Konstruieren wir einen Winkel $∠ K=α$ am Scheitelpunkt $B$ zur Seite $BC$.
3. Konstruieren wir einen Winkel $∠ M=β$ am Scheitelpunkt $C$ zur Seite $BC$.
4. Verbinden Sie den Schnittpunkt (das wird der Punkt $A$) der Strahlen $∠ K$ und $∠ M$ mit den Punkten $C$ und $B$,

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung nach dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 3).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion ist ersichtlich, dass alle Anfangsbedingungen erfüllt sind.

Lernen.

Da die Winkelsumme eines Dreiecks $180^\circ$ ist, dann hat das Problem keine Lösung, wenn $α+β≥180^\circ$ ist.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da wir Winkel von zwei Seiten bauen können, können wir zwei solche Dreiecke bauen. Da sie aber im zweiten Kriterium gleich sind, nehmen wir an, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Bild 3 aus der Präsentation "Triangle 2" zum Geometrieunterricht zum Thema "Dreieck"

Abmessungen: 720 x 540 Pixel, Format: jpg. Um ein Bild für eine Geometriestunde kostenlos herunterzuladen, klicken Sie mit der rechten Maustaste auf das Bild und klicken Sie auf "Bild speichern unter...". Um Bilder in der Lektion zu zeigen, können Sie auch die vollständige Präsentation "Triangle 2.ppt" mit allen Bildern in einem Zip-Archiv kostenlos herunterladen. Archivgröße - 16 KB.

Dreieck

"Vektoren im Raum" - Gleichgerichtete Vektoren. k (a+b) = ka + kb - 1. Distributivgesetz. a+b=b+a (Verschiebungsgesetz). Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl. Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke. Vektoren im Raum. Kodirektionale Vektoren sind Vektoren, die die gleiche Richtung haben. Wenn die Vektoren kodirektional sind und ihre Längen gleich sind, dann werden diese Vektoren als gleich bezeichnet.

"Winkel zwischen Vektoren" - Koordinaten von Vektoren. Der Richtungsvektor ist gerade. Visuelle Analyse von Aufgaben aus dem Lehrbuch. Einführung eines Koordinatensystems. Betrachten wir die geraden Linien D1B und CB1. Wie wird der Abstand zwischen Punkten ermittelt? Finden Sie den Winkel zwischen den Linien BD und CD1. Winkel zwischen den Linien AB und CD. Winkel zwischen Vektoren. Wie finde ich die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke?

"Große Mathematiker" - Das von Descartes vorgeschlagene Koordinatensystem erhielt seinen Namen. Descartes drückte das Gesetz der Impulserhaltung aus und gab den Begriff des Kraftimpulses. „Method“ (oder „Ephod“) und „Regular Heptagon“. Leibniz Gottfried Wilhelm. Keldysh Mstislaw Wsewolodowitsch. Isaac Newton. Pythagoras von Samos. Gauß promovierte 1799 an der Universität Helmstedt.

„Mathematik als Wissenschaft“ - Wettbewerb „Zählmaschine“. Mathematik und Geschichte sind zwei untrennbare Wissensgebiete. Zhukovsky Nikolai Yegorovich. Sobolev wurde am 22. Oktober 1793 in der Provinz Nischni Nowgorod geboren. Lyubachevsky ist Professor an der Moskauer Universität und der Imperial Technical School Rebuses Leonard Euler Numerator Alexandrovs Eltern waren Schullehrer.

"Triangles Equal Triangles" - Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende. Gleichseitiges und gleichschenkliges Dreieck. Ein Dreieck ist die einfachste flache Figur. Dreieck. Die Höhe des Dreiecks. Zeichen der Gleichheit von Dreiecken. Das Studium des Dreiecks führte zur Wissenschaft der Trigonometrie. Jedes Dreieck hat drei Höhen. Eine Senkrechte, die von einem Eckpunkt eines Dreiecks zu einer Linie gezogen wird.

"Funktion Sinus" - Graph des Sonnenuntergangs. Das Datum. Der Vorgang des Sonnenuntergangs wird durch die trigonometrische Sinusfunktion beschrieben. Die durchschnittliche Sonnenuntergangszeit beträgt 18 Uhr. Mit einem Abreißkalender ist es einfach, den Moment des Sonnenuntergangs zu markieren. Ziel. Schlussfolgerungen. Zeit. Sonnenuntergang. Verschiedene Trigonometrie.

Insgesamt im Thema 42 Präsentationen

Wir präsentieren Ihnen ein Video-Tutorial zum Thema "Konstruieren eines Dreiecks aus drei Elementen". Sie können mehrere Beispiele aus der Klasse der Konstruktionsaufgaben lösen. Der Lehrer wird das Problem des Aufbaus eines Dreiecks aus drei Elementen detailliert analysieren und sich auch an den Satz über die Gleichheit von Dreiecken erinnern.

Dieses Thema hat eine breite praktische Anwendung, daher werden wir einige Arten der Problemlösung betrachten. Denken Sie daran, dass alle Konstruktionen ausschließlich mit Hilfe eines Kompasses und eines Lineals ausgeführt werden.

Beispiel 1:

Konstruiere ein Dreieck mit zwei Seiten und einem Winkel dazwischen.

Gegeben: Angenommen, das analysierte Dreieck sieht so aus

Reis. 1.1. Analysiertes Dreieck zum Beispiel 1

Die gegebenen Segmente seien c und a und der gegebene Winkel sei

Reis. 1.2. Gegebene Elemente zum Beispiel 1

Gebäude:

Zuerst sollten Sie Ecke 1 beiseite legen

Reis. 1.3. Verzögerte Ecke 1 zum Beispiel 1

Dann legen wir auf den Seiten eines bestimmten Winkels zwei bestimmte Seiten mit einem Kompass beiseite: Wir messen die Länge der Seite mit einem Kompass a und platzieren Sie die Spitze des Zirkels am Scheitelpunkt von Winkel 1, und mit dem anderen Teil machen wir eine Kerbe an der Seite von Winkel 1. Wir machen das gleiche Verfahren mit der Seite Mit

Reis. 1.4. Seiten verschoben a und Mit zum Beispiel 1

Dann verbinden wir die resultierenden Kerben und erhalten das gewünschte Dreieck ABC

Reis. 1.5. Konstruiertes Dreieck ABC zum Beispiel 1

Wird dieses Dreieck gleich dem erwarteten sein? Das wird es, weil die Elemente des resultierenden Dreiecks (zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen) jeweils gleich den beiden Seiten und dem Winkel zwischen ihnen sind, die in der Bedingung angegeben sind. Daher ist nach der ersten Eigenschaft der Gleichheit von Dreiecken - - die gewünschte.

Bau abgeschlossen.

Notiz:

Erinnern Sie sich, wie man einen Winkel gleich einem gegebenen beiseite legt.

Beispiel 2

Setze neben dem gegebenen Strahl einen Winkel gleich dem gegebenen. Winkel A und Strahl OM sind gegeben. Bauen .

Gebäude:

Reis. 2.1. Bedingung für Beispiel 2

1. Konstruiere einen Kreis Okr(A, r = AB). Punkte B und C - sind die Schnittpunkte mit den Seiten des Winkels A

Reis. 2.2. Lösung für Beispiel 2

1. Konstruiere einen Kreis Okr(D, r = CB). Punkte E und M - sind die Schnittpunkte mit den Seiten des Winkels A

Reis. 2.3. Lösung für Beispiel 2

1. Der Winkel MOE ist der gewünschte, da .

Bau abgeschlossen.

Beispiel 3

Konstruiere ein Dreieck ABC mit gegebener Seite und zwei benachbarten Winkeln.

Lassen Sie das analysierte Dreieck so aussehen:

Reis. 3.1. Bedingung für Beispiel 3

Dann sehen die gegebenen Segmente so aus

Reis. 3.2. Bedingung für Beispiel 3

Gebäude:

Legen Sie den Winkel auf der Ebene beiseite

Reis. 3.3. Lösung für Beispiel 3

Auf der Seite des gegebenen Winkels zeichnen wir die Seitenlänge auf a

Reis. 3.4. Lösung für Beispiel 3

Dann verschieben wir den Winkel vom Scheitelpunkt C. Nicht gemeinsame Seiten der Winkel γ und α schneiden sich im Punkt A

Reis. 3.5. Lösung für Beispiel 3

Ist das konstruierte Dreieck das gewünschte? Sie ist, da die Seite und zwei an sie angrenzende Winkel des konstruierten Dreiecks jeweils gleich der Seite und dem Winkel zwischen ihnen sind, in der Bedingung gegeben

Erforderlich durch das zweite Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken

Aufbau fertig

Beispiel 4

Konstruiere ein Dreieck auf 2 Beinen

Lassen Sie das analysierte Dreieck so aussehen

Reis. 4.1. Bedingung zum Beispiel 4

Bekannte Elemente - Beine

Reis. 4.2. Bedingung zum Beispiel 4

Diese Aufgabe unterscheidet sich von den vorherigen darin, dass der Winkel zwischen den Seiten standardmäßig bestimmt werden kann - 90 0

Gebäude:

Legen Sie einen Winkel gleich 90 0 beiseite. Wir werden dies genauso tun, wie in Beispiel 2 gezeigt.

Reis. 4.3. Lösung für Beispiel 4

Dann legen wir an den Seiten dieses Winkels die Längen der Seiten beiseite a und b, in der Bedingung angegeben

Reis. 4.4. Lösung für Beispiel 4

Als Ergebnis ist das resultierende Dreieck das gewünschte, da seine beiden Seiten und der Winkel zwischen ihnen jeweils gleich den beiden Seiten und dem Winkel zwischen ihnen sind, die in der Bedingung angegeben sind

Beachten Sie, dass Sie den Winkel 90 0 verschieben können, indem Sie zwei senkrechte Linien konstruieren. Wie diese Aufgabe ausgeführt wird, sehen Sie in einem zusätzlichen Beispiel

Zusätzliches Beispiel

Stellen Sie die Senkrechte zur Linie p wieder her, die durch den Punkt A verläuft,

Linie p und Punkt A, der auf dieser Linie liegt

Reis. 5.1. Bedingung für weiteres Beispiel

Gebäude:

Lassen Sie uns zuerst einen Kreis mit beliebigem Radius bauen, der bei Punkt A zentriert ist

Reis. 5.2. Lösung für zusätzliches Beispiel

Dieser Kreis schneidet die Linie R an den Punkten K und E. Dann konstruieren wir zwei Kreise Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE). Diese Kreise schneiden sich an den Punkten C und B. Die Strecke SV ist die gewünschte,

Reis. 5.3. Antwort auf zusätzliches Beispiel

1. Eine einzige Sammlung digitaler Bildungsressourcen ().
2. Mathe Nachhilfelehrer ().

1. Nr. 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. herausgegeben von Tikhonov A. N. Geometry grades 7-9. M.: Aufklärung. 2010
2. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck auf der Seite und dem Winkel gegenüber der Basis.
3. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck bei gegebener Hypotenuse und spitzem Winkel
4. Konstruieren Sie ein Dreieck mit gegebenem Winkel, Höhe und Winkelhalbierende, die vom Scheitelpunkt des gegebenen Winkels gezogen werden.