Regelmäßige viereckige Pyramide auf der Basis. Formeln und Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Beim Lösen von Aufgabe C2 mit der Koordinatenmethode stehen viele Schüler vor dem gleichen Problem. Sie können nicht rechnen Punktkoordinaten in der Skalarproduktformel enthalten. Die größten Schwierigkeiten sind Pyramiden. Und wenn die Basispunkte mehr oder weniger normal sind, dann sind die Spitzen eine echte Hölle.

Heute beschäftigen wir uns mit einer regelmäßigen viereckigen Pyramide. Es gibt auch eine dreieckige Pyramide (auch bekannt als - Tetraeder). Dies ist ein komplexeres Design, daher wird ihm eine separate Lektion gewidmet.

Beginnen wir mit der Definition:

Eine regelmäßige Pyramide ist eine, in der:

Die Basis ist ein regelmäßiges Polygon: Dreieck, Quadrat usw.;

Die zur Basis gezogene Höhe geht durch ihren Mittelpunkt.

Insbesondere eignet sich die Grundfläche einer viereckigen Pyramide Quadrat. Genau wie Cheops, nur etwas kleiner.

Nachfolgend finden Sie die Berechnungen für eine Pyramide, bei der alle Kanten gleich 1 sind. Wenn dies bei Ihrem Problem nicht der Fall ist, ändern sich die Berechnungen nicht - nur die Zahlen werden anders sein.

Eckpunkte einer viereckigen Pyramide

Gegeben sei also eine regelmäßige viereckige Pyramide SABCD, wobei S die Spitze ist, die Basis von ABCD ein Quadrat ist. Alle Kanten sind gleich 1. Es ist erforderlich, ein Koordinatensystem einzugeben und die Koordinaten aller Punkte zu finden. Wir haben:

Wir führen ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt A ein:

Die Achse OX ist parallel zur Kante AB gerichtet;
Achse OY – parallel zu AD. Da ABCD ein Quadrat ist, gilt AB ⊥ AD ;
Schließlich ist die OZ-Achse senkrecht zur Ebene ABCD nach oben gerichtet.

Jetzt betrachten wir die Koordinaten. Zusätzliche Konstruktion: SH - Höhe bis zum Sockel gezogen. Der Einfachheit halber nehmen wir die Basis der Pyramide in einer separaten Abbildung heraus. Da die Punkte A , B , C und D in der OXY-Ebene liegen, ist ihre Koordinate z = 0. Wir haben:

A = (0; 0; 0) - stimmt mit dem Ursprung überein;
B = (1; 0; 0) - Schritt um 1 entlang der OX-Achse vom Ursprung;
C = (1; 1; 0) - Schritt um 1 entlang der OX-Achse und um 1 entlang der OY-Achse;
D = (0; 1; 0) - Schritt nur entlang der OY-Achse.
H \u003d (0,5; 0,5; 0) - die Mitte des Quadrats, die Mitte des Segments AC.

Es bleibt, die Koordinaten des Punktes S zu finden. Beachten Sie, dass die x- und y-Koordinaten der Punkte S und H gleich sind, da sie auf einer geraden Linie parallel zur OZ-Achse liegen. Es bleibt die z-Koordinate für den Punkt S zu finden.

Betrachten Sie die Dreiecke ASH und ABH :

AS = AB = 1 durch Bedingung;
Winkel AHS = AHB = 90°, da SH die Höhe und AH ⊥ HB die Diagonalen eines Quadrats sind;
Seite AH - gemeinsam.

Also rechtwinklige Dreiecke ASH und ABH gleich ein Bein und eine Hypotenuse. Also SH = BH = 0,5 BD . Aber BD ist die Diagonale eines Quadrats mit Seite 1. Also haben wir:

Gesamtkoordinaten von Punkt S:

Abschließend schreiben wir die Koordinaten aller Ecken einer regelmäßigen rechteckigen Pyramide auf:

Was tun, wenn die Rippen unterschiedlich sind?

Was aber, wenn die Seitenkanten der Pyramide nicht gleich den Kanten der Basis sind? Betrachten Sie in diesem Fall das Dreieck AHS:

Dreieck AHS- rechteckig, und die Hypotenuse AS ist auch eine Seitenkante der ursprünglichen Pyramide SABCD . Das Bein AH lässt sich leicht berücksichtigen: AH = 0,5 AC. Finden Sie das verbleibende Bein SH nach dem Satz des Pythagoras. Dies ist die z-Koordinate für Punkt S.

Eine Aufgabe. Gegeben sei eine regelmäßige viereckige Pyramide SABCD , an deren Grundfläche ein Quadrat mit der Seite 1 liegt. Seitenkante BS = 3. Bestimme die Koordinaten des Punktes S .

Wir kennen bereits die x- und y-Koordinaten dieses Punktes: x = y = 0,5. Dies folgt aus zwei Tatsachen:

Die Projektion des Punktes S auf die OXY-Ebene ist der Punkt H;
Gleichzeitig ist der Punkt H der Mittelpunkt des Quadrats ABCD, dessen Seiten alle gleich 1 sind.

Es bleibt die Koordinate des Punktes S zu finden. Betrachten Sie das Dreieck AHS. Sie ist rechteckig, mit der Hypotenuse AS = BS = 3, der Schenkel AH ist die halbe Diagonale. Für weitere Berechnungen benötigen wir seine Länge:

Satz des Pythagoras für das Dreieck AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2 . Wir haben:

Also, die Koordinaten des Punktes S:

Einführung

Als wir anfingen, stereometrische Figuren zu studieren, berührten wir das Thema "Pyramide". Uns gefiel dieses Thema, weil die Pyramide sehr oft in der Architektur verwendet wird. Und seit unserem zukünftiger Beruf Architektin, inspiriert von dieser Figur, glauben wir, dass sie uns zu großartigen Projekten anspornen kann.

Die Stärke architektonischer Strukturen, ihre wichtigste Qualität. Assoziiert man Stärke erstens mit den Materialien, aus denen sie hergestellt werden, und zweitens mit den Merkmalen von Designlösungen, stellt sich heraus, dass die Stärke einer Struktur in direktem Zusammenhang mit der geometrischen Form steht, die ihr zugrunde liegt.

Mit anderen Worten, wir redenüber jene geometrische Figur, die als Modell der entsprechenden architektonischen Form betrachtet werden kann. Es stellt sich heraus, dass die geometrische Form auch die Stärke der architektonischen Struktur bestimmt.

Die ägyptischen Pyramiden gelten seit langem als das langlebigste architektonische Bauwerk. Wie Sie wissen, haben sie die Form regelmäßiger viereckiger Pyramiden.

Gerade diese geometrische Form bietet durch die große Grundfläche die größte Stabilität. Andererseits sorgt die Form der Pyramide dafür, dass die Masse mit zunehmender Höhe über dem Boden abnimmt. Es sind diese beiden Eigenschaften, die die Pyramide stabil und daher stark unter den Bedingungen der Schwerkraft machen.

Ziel des Projekts: Neues über die Pyramiden erfahren, Wissen vertiefen und praktische Anwendungen finden.

Um dieses Ziel zu erreichen, mussten folgende Aufgaben gelöst werden:

Erfahren Sie historische Informationen über die Pyramide

Betrachten Sie die Pyramide als eine geometrische Figur

Finden Sie Anwendung im Leben und in der Architektur

Finden Sie die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den Pyramiden, die sich in befinden verschiedene Teile Sveta

Theoretischer Teil

Historische Informationen

Der Beginn der Geometrie der Pyramide wurde jedoch im alten Ägypten und in Babylon gelegt aktive Weiterentwicklung eingegangen Antikes Griechenland. Der erste, der feststellte, wie groß das Volumen der Pyramide ist, war Demokrit, und Eudoxus von Knidus bewies es. Der antike griechische Mathematiker Euklid systematisierte das Wissen über die Pyramide im XII. Band seiner "Anfänge" und brachte auch die erste Definition der Pyramide heraus: eine Körperfigur, die von Ebenen begrenzt wird, die an einem Punkt von einer Ebene zusammenlaufen.

Die Gräber der ägyptischen Pharaonen. Die größten von ihnen - die Pyramiden von Cheops, Khafre und Mikerin in El Gizeh galten in der Antike als eines der sieben Weltwunder. Die Errichtung der Pyramide, in der schon Griechen und Römer ein Denkmal für den beispiellosen Königsstolz und die Grausamkeit sahen, die das gesamte Volk Ägyptens zu sinnlosem Bauen verurteilte, war der wichtigste Kultakt und sollte offenbar Ausdruck dessen sein, die mystische Identität des Landes und seines Herrschers. Die Bevölkerung des Landes arbeitete in der von landwirtschaftlicher Arbeit freien Zeit des Jahres am Bau des Grabes. Eine Reihe von Texten zeugen von der Aufmerksamkeit und Sorgfalt, die die Könige selbst (wenn auch aus späterer Zeit) dem Bau ihres Grabes und seiner Erbauer widmeten. Bekannt ist auch die besondere Kult-Ehrung, die sich als Pyramide selbst herausstellte.

Grundlegendes Konzept

Pyramide Es wird ein Polyeder genannt, dessen Basis ein Polygon ist und dessen verbleibende Flächen Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt sind.

Apothema- Seitenflächenhöhe Richtige Pyramide, von oben gezogen;

Seitenflächen- oben zusammenlaufende Dreiecke;

Seitenrippen- gemeinsame Seiten der Seitenflächen;

Spitze der Pyramide- ein Punkt, der die Seitenkanten verbindet und nicht in der Ebene der Basis liegt;

Höhe- ein Segment einer Senkrechten, das durch die Spitze der Pyramide zur Ebene ihrer Basis gezogen wird (die Enden dieses Segments sind die Spitze der Pyramide und die Basis der Senkrechten);

Diagonalschnitt einer Pyramide- Abschnitt der Pyramide, der durch die Spitze und die Diagonale der Basis verläuft;

Base- ein Polygon, das nicht zur Spitze der Pyramide gehört.

Die Haupteigenschaften der richtigen Pyramide

Seitenkanten, Seitenflächen und Apotheme sind jeweils gleich.

Die Diederwinkel an der Basis sind gleich.

Die Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt.

Jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt.

Grundlegende Pyramidenformeln

Der Bereich der seitlichen und vollen Oberfläche der Pyramide.

Die Fläche der Seitenfläche der Pyramide (voll und abgeschnitten) ist die Summe der Flächen aller ihrer Seitenflächen, die Gesamtfläche ist die Summe der Flächen aller ihrer Flächen.

Satz: Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem halben Produkt aus dem Umfang der Basis und dem Apothem der Pyramide.

p- Umfang der Basis;

h- Apothem.

Die Fläche der Seiten- und Vollflächen eines Pyramidenstumpfes.

p1, p 2 - Basisperimeter;

h- Apothem.

R- Gesamtfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S-Seite- Bereich der Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes;

S1 + S2- Grundfläche

Pyramidenvolumen

Bilden Die Volumenskala wird für Pyramiden jeglicher Art verwendet.

H ist die Höhe der Pyramide.

Winkel der Pyramide

Die Winkel, die von der Seitenfläche und der Basis der Pyramide gebildet werden, heißen Diederwinkel an der Basis der Pyramide.

Ein Diederwinkel wird durch zwei Senkrechte gebildet.

Um diesen Winkel zu bestimmen, müssen Sie häufig den Satz der drei Senkrechten verwenden.

Die Winkel, die durch eine Seitenkante und ihre Projektion auf die Ebene der Basis gebildet werden, werden als bezeichnet Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Basis.

Der Winkel, der von zwei Seitenflächen gebildet wird, wird genannt Diederwinkel am seitlichen Rand der Pyramide.

Der Winkel, der durch zwei Seitenkanten einer Fläche der Pyramide gebildet wird, wird genannt Ecke an der Spitze der Pyramide.

Abschnitte der Pyramide

Die Oberfläche einer Pyramide ist die Oberfläche eines Polyeders. Jede ihrer Flächen ist eine Ebene, daher ist der durch die Sekantenebene gegebene Abschnitt der Pyramide eine unterbrochene Linie, die aus separaten geraden Linien besteht.

Diagonalschnitt

Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht auf derselben Fläche liegen, wird als Pyramide bezeichnet Diagonalschnitt Pyramiden.

Parallele Abschnitte

Satz:

Wenn die Pyramide von einer Ebene parallel zur Basis gekreuzt wird, werden die Seitenkanten und Höhen der Pyramide durch diese Ebene in proportionale Teile geteilt;

Der Schnitt dieser Ebene ist ein Polygon ähnlich der Basis;

Die Flächen des Abschnitts und der Basis verhalten sich zueinander wie die Quadrate ihrer Abstände von der Spitze.

Arten von Pyramiden

Korrekte Pyramide- eine Pyramide, deren Basis ein regelmäßiges Polygon ist und deren Spitze in die Mitte der Basis projiziert wird.

An der richtigen Pyramide:

1. Seitenrippen sind gleich

2. Seitenflächen sind gleich

3. Apotheme sind gleich

4. Diederwinkel an der Basis gleich

5. Diederwinkel an den Seitenkanten sind gleich

6. jeder Höhenpunkt ist von allen Basiseckpunkten gleich weit entfernt

7. jeder Höhenpunkt ist von allen Seitenflächen gleich weit entfernt

Pyramidenstumpf- der Teil der Pyramide, der zwischen ihrer Basis und einer zur Basis parallelen Schnittebene eingeschlossen ist.

Die Basis und der entsprechende Abschnitt eines Pyramidenstumpfes werden genannt Basen eines Pyramidenstumpfes.

Eine Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zur Ebene einer anderen gezogen wird, heißt die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Aufgaben

Nr. 1. In einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist Punkt O die Mitte der Basis, SO = 8 cm, BD = 30 cm. Finden Sie die Seitenkante SA.

Probleme lösen

Nr. 1. In einer regelmäßigen Pyramide sind alle Flächen und Kanten gleich.

Betrachten wir OSB: OSB-rechteckiges Rechteck, weil.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramide in der Architektur

Pyramide - eine monumentale Struktur in Form einer gewöhnlichen regelmäßigen geometrischen Pyramide, bei der die Seiten an einem Punkt zusammenlaufen. Je nach funktionalem Zweck waren die Pyramiden in der Antike ein Ort der Bestattung oder Anbetung. Die Basis einer Pyramide kann dreieckig, viereckig oder polygonal mit einer beliebigen Anzahl von Ecken sein, aber die häufigste Version ist die viereckige Basis.

Es ist eine beträchtliche Anzahl von Pyramiden bekannt, die von verschiedenen Kulturen der Antike gebaut wurden, hauptsächlich als Tempel oder Denkmäler. Die größten Pyramiden sind die ägyptischen Pyramiden.

Überall auf der Erde sieht man architektonische Strukturen in Form von Pyramiden. Pyramidenbauten erinnern an die Antike und sehen sehr schön aus.

Pyramiden von Ägypten die größten Baudenkmäler antikes Ägypten, unter denen eines der "Sieben Weltwunder" die Cheops-Pyramide ist. Vom Fuß bis zur Spitze erreicht er 137,3 m, und bevor er die Spitze verlor, betrug seine Höhe 146,7 m.

Das Gebäude des Radiosenders in der Hauptstadt der Slowakei, das einer umgekehrten Pyramide ähnelt, wurde 1983 erbaut. Neben Büros und Serviceräumen befindet sich im Inneren des Volumens ein ziemlich geräumiger Konzertsaal, der eine der größten Orgeln in der Slowakei hat .

Der Louvre, der „so still und majestätisch wie eine Pyramide ist“, hat im Laufe der Jahrhunderte viele Veränderungen erfahren, bevor er zum größten Museum der Welt wurde. Es wurde als Festung geboren, die 1190 von Philipp Augustus errichtet wurde und sich bald in eine königliche Residenz verwandelte. 1793 wurde der Palast ein Museum. Sammlungen werden durch Nachlässe oder Ankäufe bereichert.

Studenten begegnen dem Konzept einer Pyramide lange vor dem Studium der Geometrie. Geben Sie den berühmten großen ägyptischen Weltwundern die Schuld. Daher stellen sich die meisten Studenten, wenn sie mit dem Studium dieses wunderbaren Polyeders beginnen, es bereits klar vor. Alle oben genannten Sehenswürdigkeiten sind in der richtigen Form. Was rechte Pyramide, und welche Eigenschaften es hat und wird weiter diskutiert.

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Definition

Es gibt viele Definitionen einer Pyramide. Seit der Antike erfreut es sich großer Beliebtheit.

Zum Beispiel definierte Euklid es als eine feste Figur, bestehend aus Ebenen, die von einer Ebene ausgehend an einem bestimmten Punkt zusammenlaufen.

Heron lieferte eine genauere Formulierung. Er bestand darauf, dass es sich um eine Figur handelte hat eine Basis und Flugzeuge hinein Dreiecke, an einem Punkt zusammenlaufen.

Verlassen auf moderne Deutung, wird die Pyramide als räumliches Polyeder dargestellt, bestehend aus einem bestimmten k-Eck und k flachen Figuren dreieckige Form einen gemeinsamen Punkt haben.

Lass uns genauer hinschauen, Aus welchen Elementen besteht es?

k-gon gilt als Grundlage der Figur;
3-eckige Figuren ragen als Seiten des Seitenteils hervor;
der obere Teil, aus dem die Seitenelemente stammen, wird als Top bezeichnet;
alle Segmente, die den Scheitelpunkt verbinden, heißen Kanten;
Wenn eine gerade Linie in einem Winkel von 90 Grad von oben auf die Ebene der Figur abgesenkt wird, entspricht ihr vom Innenraum eingeschlossener Teil der Höhe der Pyramide.
In jedem Seitenelement neben unserem Polyeder können Sie eine Senkrechte zeichnen, die als Apotheme bezeichnet wird.

Die Anzahl der Kanten wird mit der Formel 2*k berechnet, wobei k die Anzahl der Seiten des k-Ecks ist. Wie viele Flächen ein Polyeder wie eine Pyramide hat, lässt sich durch den Ausdruck k + 1 bestimmen.

Wichtig! Pyramide korrekte Form wird eine stereometrische Figur genannt, deren Grundebene ein k-Eck mit gleichen Seiten ist.

Grundeigenschaften

Korrekte Pyramide hat viele Eigenschaften, die für sie einzigartig sind. Lassen Sie uns sie auflisten:

Die Basis ist eine Figur der richtigen Form.
Die Kanten der Pyramide, die die Seitenelemente begrenzen, haben gleiche Zahlenwerte.
Die Seitenelemente sind gleichschenklige Dreiecke.
Die Basis der Höhe der Figur fällt in die Mitte des Polygons, während sie gleichzeitig der Mittelpunkt des Eingeschriebenen und Beschriebenen ist.
Alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Basisebene geneigt.
Alle Seitenflächen haben gegenüber der Basis den gleichen Neigungswinkel.

Dank aller aufgeführten Eigenschaften wird die Durchführung von Elementberechnungen stark vereinfacht. Anhand der oben genannten Eigenschaften achten wir darauf zwei Zeichen:

Wenn das Polygon in einen Kreis passt, haben die Seitenflächen eine Basis gleiche Winkel.
Bei der Beschreibung eines Kreises um ein Polygon müssen alle Kanten der Pyramide von der Spitze ausgehen Gleiche Länge und gleiche Winkel mit der Basis.

Das Quadrat basiert

Regelmäßige viereckige Pyramide - ein Polyeder basierend auf einem Quadrat.

Es hat vier Seitenflächen, die gleichschenklig aussehen.

Auf einer Ebene wird ein Quadrat abgebildet, aber sie basieren auf allen Eigenschaften eines regelmäßigen Vierecks.

Wenn es beispielsweise erforderlich ist, die Seite eines Quadrats mit seiner Diagonalen zu verbinden, wird die folgende Formel verwendet: Die Diagonale ist gleich dem Produkt aus der Seite des Quadrats und der Quadratwurzel aus zwei.

Basierend auf einem regelmäßigen Dreieck

Eine regelmäßige Dreieckspyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein regelmäßiges 3-Eck ist.

Wenn die Basis ein regelmäßiges Dreieck ist und die Seitenkanten gleich den Kanten der Basis sind, dann eine solche Figur Tetraeder genannt.

Alle Flächen eines Tetraeders sind gleichseitige 3-Ecke. In diesem Fall müssen Sie einige Punkte kennen und beim Berechnen keine Zeit damit verschwenden:

der Neigungswinkel der Rippen zu jeder Basis beträgt 60 Grad;
der Wert aller Innenflächen beträgt ebenfalls 60 Grad;
jedes Gesicht kann als Basis dienen;
innerhalb der Figur gezeichnet sind gleiche Elemente.

Abschnitte eines Polyeders

In jedem Polyeder gibt es mehrere Arten von Abschnitten Flugzeug. Oft drin Schulkurs Geometrien arbeiten mit zwei:

axial;
parallele Basis.

Ein Axialschnitt wird erhalten, indem ein Polyeder mit einer Ebene geschnitten wird, die durch den Scheitel, die Seitenkanten und die Achse verläuft. In diesem Fall ist die Achse die Höhe, die vom Scheitelpunkt aus gezogen wird. Die Schnittebene wird durch die Schnittlinien mit allen Flächen begrenzt, was ein Dreieck ergibt.

Aufmerksamkeit! Bei einer regelmäßigen Pyramide ist der Achsenschnitt ein gleichschenkliges Dreieck.

Wenn die Schnittebene parallel zur Basis verläuft, dann ist das Ergebnis die zweite Option. In diesem Fall haben wir im Kontext eine Figur ähnlich der Basis.

Wenn beispielsweise die Grundfläche ein Quadrat ist, dann ist auch der Abschnitt parallel zur Grundfläche ein Quadrat, nur von geringerer Größe.

Bei der Lösung von Problemen unter dieser Bedingung werden Zeichen und Eigenschaften der Ähnlichkeit von Figuren verwendet, basierend auf dem Satz von Thales. Zunächst ist es notwendig, den Ähnlichkeitskoeffizienten zu bestimmen.

Wenn die Ebene parallel zur Basis gezeichnet wird, schneidet sie ab oberer Teil Polyeder, dann entsteht im unteren Teil ein regelmäßiger Pyramidenstumpf. Dann werden die Basen des abgeschnittenen Polyeders als ähnliche Polygone bezeichnet. In diesem Fall sind die Seitenflächen gleichschenklige Trapeze. Der Axialschnitt ist ebenfalls gleichschenklig.

Um die Höhe eines Polyederstumpfes zu bestimmen, ist es notwendig, die Höhe in einem Axialschnitt, also in einem Trapez, zu zeichnen.

Oberflächenbereiche

Hauptsächlich geometrische Probleme, die in einem Schulgeometriekurs gelöst werden müssen, sind das Finden der Oberfläche und des Volumens einer Pyramide.

Es gibt zwei Arten von Oberflächen:

Bereich der Seitenelemente;
die gesamte Fläche.

Schon der Titel macht deutlich, worum es geht. Die Seitenfläche umfasst nur die Seitenelemente. Daraus folgt, dass Sie, um es zu finden, einfach die Flächen der Seitenebenen, dh die Flächen gleichschenkliger 3-Ecke, addieren müssen. Versuchen wir die Formel für die Fläche der Seitenelemente herzuleiten:

Die Fläche eines gleichschenkligen 3-Ecks ist Str=1/2(aL), wobei a die Seite der Basis ist, L das Apothem.
Die Anzahl der Seitenebenen hängt von der Art des K-Ecks an der Basis ab. Beispielsweise hat eine regelmäßige viereckige Pyramide vier seitliche Ebenen. Daher ist es notwendig, die Flächen von vier Figuren Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L zu addieren . Der Ausdruck wird auf diese Weise vereinfacht, da der Wert 4a=POS ist, wobei POS der Umfang der Basis ist. Und der Ausdruck 1/2 * Rosn ist sein Halbumfang.
Wir schließen also, dass die Fläche der Seitenelemente einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus dem Halbumfang der Basis und dem Apothem ist: Sside \u003d Rosn * L.

Die Fläche der gesamten Oberfläche der Pyramide besteht aus der Summe der Flächen der seitlichen Ebenen und der Basis: Sp.p. = Sside + Sbase.

Für die Fläche der Basis wird hier die Formel entsprechend dem Polygontyp verwendet.

Volumen einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem Produkt aus der Grundflächenfläche und der Höhe dividiert durch drei: V=1/3*SBasis*H, wobei H die Höhe des Polyeders ist.

Was ist eine regelmäßige Pyramide in der Geometrie?

Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Wenn jemand das Wort "Pyramide" hört, erinnert er sich sofort an die majestätischen ägyptischen Strukturen. Die antiken Steinriesen sind jedoch nur einer der Vertreter der Pyramidenklasse. In diesem Artikel betrachten wir aus geometrischer Sicht die Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide.

Was ist eine Pyramide im Allgemeinen?

In der Geometrie versteht man darunter eine dreidimensionale Figur, die man erhält, indem man alle Eckpunkte eines flachen Vielecks mit einem einzigen Punkt verbindet, der in einer anderen Ebene als dieses Vieleck liegt. Die folgende Abbildung zeigt 4 Abbildungen, die zufriedenstellend sind diese Definition.

Wir sehen, dass die erste Figur hat dreieckige Basis, die zweite ist viereckig. Die letzten beiden werden durch eine fünf- und sechseckige Basis dargestellt. Die Seitenfläche aller Pyramiden wird jedoch von Dreiecken gebildet. Ihre Anzahl ist genau gleich der Anzahl der Seiten oder Eckpunkte des Polygons an der Basis.

Eine besondere Art von Pyramiden, die sich von anderen Vertretern der Klasse durch perfekte Symmetrie unterscheiden, sind regelmäßige Pyramiden. Damit die Abbildung korrekt ist, müssen die folgenden beiden Voraussetzungen erfüllt sein:

die Basis muss ein regelmäßiges Vieleck sein;
Die Seitenfläche der Figur sollte aus gleichen gleichschenkligen Dreiecken bestehen.

Beachten Sie, dass die zweite erforderliche Bedingung kann durch eine andere ersetzt werden: Die von der Spitze der Pyramide (dem Schnittpunkt der seitlichen Dreiecke) zur Basis gezogene Senkrechte muss diese Basis in ihrem geometrischen Mittelpunkt schneiden.

Kommen wir nun zum Thema des Artikels und überlegen uns, welche Eigenschaften eine regelmäßige viereckige Pyramide charakterisieren. Lassen Sie uns zunächst in der Abbildung zeigen, wie diese Abbildung aussieht.

Seine Grundfläche ist ein Quadrat. Die Seiten stellen 4 identische gleichschenklige Dreiecke dar (sie können auch gleichseitig sein mit einem bestimmten Verhältnis von Seitenlänge des Quadrats und Höhe der Figur). Die von der Spitze der Pyramide abgesenkte Höhe schneidet das Quadrat in seiner Mitte (dem Schnittpunkt der Diagonalen).

Diese Pyramide hat 5 Flächen (ein Quadrat und vier Dreiecke), 5 Ecken (vier davon gehören zur Basis) und 8 Kanten. der vierten Ordnung, die die Höhe der Pyramide durchläuft, übersetzt sie in sich selbst, indem sie sich um 90 ° dreht.

Die ägyptischen Pyramiden von Gizeh sind regelmäßig viereckig.

Vier grundlegende lineare Parameter

Beginnen wir die Betrachtung der mathematischen Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide mit den Formeln für Höhe, Seitenlänge der Grundfläche, Seitenkante und Apothem. Nehmen wir gleich an, dass alle diese Größen miteinander in Beziehung stehen, also reicht es aus, nur zwei davon zu kennen, um die verbleibenden zwei eindeutig zu berechnen.

Angenommen, die Höhe h der Pyramide und die Länge a der Seite der quadratischen Grundfläche sind bekannt, dann ist die Seitenkante b gleich:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

Jetzt geben wir die Formel für die Länge a b des Apothems (die Höhe des Dreiecks, zur Seite der Basis abgesenkt) an:

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

Offensichtlich ist die Seitenkante b immer größer als der Apothem a b .

Mit beiden Ausdrücken lassen sich alle vier linearen Kennlinien bestimmen, wenn die anderen beiden Parameter bekannt sind, beispielsweise a, b und h.

Fläche und Volumen einer Figur

Dies sind zwei weitere wichtige Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide. Die Basis der Figur hat folgende Fläche:

Diese Formel kennt jeder Schüler. Der Flächeninhalt der Seitenfläche, die von vier identischen Dreiecken gebildet wird, lässt sich durch das Apothem a b der Pyramide wie folgt bestimmen:

Ist a b unbekannt, so kann es nach den Formeln aus dem vorigen Absatz durch die Höhe h bzw. die Kante b bestimmt werden.

Die Gesamtfläche der betrachteten Figur ist die Summe der Flächen S o und S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Die berechnete Fläche aller Flächen der Pyramide ist in der folgenden Abbildung als Sweep dargestellt.

Die Beschreibung der Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist nicht vollständig, wenn Sie die Formel zur Bestimmung ihres Volumens nicht berücksichtigen. Dieser Wert für die betrachtete Pyramide errechnet sich wie folgt:

Das heißt, V ist gleich dem dritten Teil des Produkts aus der Höhe der Figur und der Fläche ihrer Basis.

Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes

Sie können diese Figur aus der ursprünglichen Pyramide erhalten. Dazu muss der obere Teil der Pyramide mit einem Hobel abgeschnitten werden. Die unter der Schnittebene verbleibende Figur wird als Pyramidenstumpf bezeichnet.

Es ist am bequemsten, die Eigenschaften eines Pyramidenstumpfes zu untersuchen, wenn seine Basen parallel zueinander sind. In diesem Fall sind die unteren und oberen Basen ähnliche Polygone. Da die Basis in einer viereckigen regelmäßigen Pyramide ein Quadrat ist, wird der während des Schnitts gebildete Abschnitt ebenfalls ein Quadrat sein, aber von kleinerer Größe.

Die Seitenfläche der abgeschnittenen Figur wird nicht von Dreiecken, sondern von gleichschenkligen Trapezen gebildet.

Eine der wichtigen Eigenschaften dieser Pyramide ist ihr Volumen, das nach folgender Formel berechnet wird:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Dabei ist h der Abstand zwischen den Basen der Figur, S o1, S o2 sind die Flächen der unteren und oberen Basen.

Definition

Pyramide ist ein Polyeder, das aus einem Polygon \(A_1A_2...A_n\) und \(n\) Dreiecken mit einem gemeinsamen Eckpunkt \(P\) (der nicht in der Ebene des Polygons liegt) und gegenüberliegenden Seiten, die mit den Seiten von zusammenfallen, zusammengesetzt ist das Vieleck.
Bezeichnung: \(PA_1A_2...A_n\) .
Beispiel: fünfeckige Pyramide \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Dreiecke \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) usw. genannt Seitenflächen Pyramiden, Segmente \(PA_1, PA_2\) usw. - Seitenrippen, Vieleck \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – Basis, Punkt \(P\) – Gipfel.

Höhe Pyramiden sind eine Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis fällt.

Eine Pyramide mit einem Dreieck an der Basis wird genannt Tetraeder.

Die Pyramide heißt Korrekt, wenn seine Basis ein regelmäßiges Polygon ist und eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

\((a)\) Seitenkanten der Pyramide sind gleich;

\((b)\) die Höhe der Pyramide geht durch den Mittelpunkt des umschriebenen Kreises in der Nähe der Basis;

\((c)\) Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Basisebene geneigt.

\((d)\) Seitenflächen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.

regelmäßiger Tetraeder ist eine dreieckige Pyramide, deren Flächen alle gleichseitige Dreiecke sind.

Satz

Die Bedingungen \((a), (b), (c), (d)\) sind äquivalent.

Nachweisen

Zeichne die Höhe der Pyramide \(PH\) . Sei \(\alpha\) die Ebene der Basis der Pyramide.

1) Beweisen wir, dass \((a)\) impliziert \((b)\) . Sei \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Da \(PH\perp \alpha\) , dann steht \(PH\) senkrecht auf jeder Linie, die in dieser Ebene liegt, also sind die Dreiecke rechtwinklig. Diese Dreiecke sind also gleich im gemeinsamen Schenkel \(PH\) und Hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Also \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Das bedeutet, dass die Punkte \(A_1, A_2, ..., A_n\) vom Punkt \(H\) gleich weit entfernt sind, also auf demselben Kreis mit Radius \(A_1H\) liegen. Dieser Kreis wird per Definition um das Polygon \(A_1A_2...A_n\) umschrieben.

2) Beweisen wir, dass \((b)\) \((c)\) impliziert.

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und gleich in zwei Beinen. Daher sind auch ihre Winkel gleich, also \(\Winkel PA_1H=\Winkel PA_2H=...=\Winkel PA_nH\).

3) Beweisen wir, dass \((c)\) impliziert \((a)\) .

Ähnlich wie beim ersten Punkt, Dreiecke \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rechteckig und entlang des Beins und spitzen Winkel. Das bedeutet, dass auch ihre Hypotenusen gleich sind, also \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Beweisen wir, dass \((b)\) \((d)\) impliziert.

Da fallen bei einem regelmäßigen Vieleck die Mittelpunkte des umschriebenen und des einbeschriebenen Kreises zusammen (allgemein nennt man diesen Punkt Mittelpunkt eines regelmäßigen Vielecks), dann ist \(H\) der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises. Zeichnen wir Senkrechte vom Punkt \(H\) zu den Seiten der Basis: \(HK_1, HK_2\) usw. Dies sind die Radien des Inkreises (per Definition). Dann ist gemäß der TTP (\(PH\) ist eine Senkrechte zur Ebene, \(HK_1, HK_2\) usw. sind Projektionen senkrecht zu den Seiten) schräg \(PK_1, PK_2\) usw. senkrecht zu den Seiten \(A_1A_2, A_2A_3\), usw. beziehungsweise. Also per Definition \(\Winkel PK_1H, \Winkel PK_2H\) gleich den Winkeln zwischen den Seitenflächen und der Basis. Da Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich sind (wie rechtwinklig auf zwei Beinen), dann die Winkel \(\Winkel PK_1H, \Winkel PK_2H, ...\) sind gleich.

5) Beweisen wir, dass \((d)\) \((b)\) impliziert.

Ähnlich wie beim vierten Punkt sind die Dreiecke \(PK_1H, PK_2H, ...\) gleich (als rechtwinkliges Bein und spitzer Winkel), was bedeutet, dass die Segmente \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sind gleich. Daher ist \(H\) per Definition der Mittelpunkt eines Kreises, der in die Basis eingeschrieben ist. Aber seit bei regelmäßigen Polygonen fallen die Mittelpunkte des eingeschriebenen und des umschriebenen Kreises zusammen, dann ist \(H\) der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Chtd.

Folge

Die Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind gleichschenklige Dreiecke.

Definition

Die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gezeichnet von ihrer Spitze, wird genannt Apothema.
Die Apotheme aller Seitenflächen einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich und sind auch Seitenhalbierende und Winkelhalbierende.

Wichtige Notizen

1. Die Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide fällt auf den Schnittpunkt der Höhen (oder Halbierenden oder Mittellinien) der Basis (die Basis ist ein regelmäßiges Dreieck).

2. Die Höhe einer regelmäßigen viereckigen Pyramide fällt auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Basis (die Basis ist ein Quadrat).

3. Die Höhe einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide fällt auf den Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche (die Grundfläche ist ein regelmäßiges Sechseck).

4. Die Höhe der Pyramide steht senkrecht auf jeder geraden Linie, die an der Basis liegt.

Definition

Die Pyramide heißt rechteckig wenn eine seiner Seitenkanten senkrecht zur Ebene der Basis steht.

Wichtige Notizen

1. Bei einer rechteckigen Pyramide ist die Kante senkrecht zur Basis die Höhe der Pyramide. Das heißt, \(SR\) ist die Höhe.

2. Weil \(SR\) senkrecht zu jeder Linie von der Basis, dann \(\triangle SRM, \triangle SRP\) sind rechtwinklige Dreiecke.

3. Dreiecke \(\triangle SRN, \triangle SRK\) sind ebenfalls rechteckig.
Das heißt, jedes Dreieck, das durch diese Kante und die Diagonale gebildet wird, die aus dem Scheitelpunkt dieser Kante kommt, der an der Basis liegt, ist rechtwinklig.

\[(\Large(\text(Volumen und Oberfläche der Pyramide)))\]

Satz

Das Volumen einer Pyramide entspricht einem Drittel des Produkts aus der Grundfläche und der Höhe der Pyramide: \

Konsequenzen

Sei \(a\) die Seite der Basis, \(h\) die Höhe der Pyramide.

1. Das Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ist \(V_(\text(rechtwinkliges Dreieck pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Das Volumen einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ist \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Das Volumen einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Das Volumen eines regelmäßigen Tetraeders ist \(V_(\text(rechter Tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Satz

Die Fläche der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Umfang der Basis und dem Apothem.

\[(\Large(\text(Pyramidenstumpf)))\]

Definition

Betrachten Sie eine beliebige Pyramide \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Lassen Sie uns eine Ebene parallel zur Basis der Pyramide durch einen bestimmten Punkt ziehen, der auf der Seitenkante der Pyramide liegt. Diese Ebene teilt die Pyramide in zwei Polyeder, von denen eines eine Pyramide (\(PB_1B_2...B_n\) ) ist und das andere heißt Pyramidenstumpf(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Die abgeschnittene Pyramide hat zwei Basen - Polygone \(A_1A_2...A_n\) und \(B_1B_2...B_n\) , die einander ähnlich sind.

Die Höhe eines Pyramidenstumpfes ist eine Senkrechte, die von einem Punkt der oberen Basis zur Ebene der unteren Basis gezogen wird.

Wichtige Notizen

1. Alle Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze.

2. Das Segment, das die Mitten der Basen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes (dh einer Pyramide, die durch einen Abschnitt einer regelmäßigen Pyramide erhalten wird) verbindet, ist die Höhe.