كيفية ضرب أرقام مختلفة بنفس القوى. قواعد ضرب القوى بأساسات مختلفة

كيفية مضاعفة القوى؟ ما هي القوى التي يمكن مضاعفتها وأيها لا يمكن؟ كيفية ضرب رقم في القوة؟

في الجبر، يمكنك إيجاد حاصل ضرب القوى في حالتين:

1) إذا كانت الدرجات لها نفس الأساس.

2) إذا كانت الدرجات لها نفس المؤشرات.

عند ضرب القوى بنفس الأساس، يجب ترك الأساس كما هو، ويجب إضافة الأسس:

عند ضرب الدرجات بنفس المؤشرات يمكن إخراج المؤشر الإجمالي من الأقواس:

دعونا نلقي نظرة على كيفية مضاعفة القوى باستخدام أمثلة محددة.

الوحدة لا تكتب في الأس، لكن عند ضرب القوى يراعى:

عند الضرب، يمكن أن يكون هناك أي عدد من القوى. يجب أن نتذكر أنه ليس عليك كتابة علامة الضرب قبل الحرف:

في التعبيرات، يتم الأس أولاً.

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في قوة، فيجب عليك إجراء الضرب الأسي أولاً، ثم الضرب فقط:

www.algebraclass.ru

الجمع والطرح والضرب وتقسيم القوى

إضافة وطرح السلطات

ومن الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات القوى مثل الكميات الأخرى وذلك بإضافتها واحدة تلو الأخرى مع علاماتها.

إذن، مجموع أ 3 و ب 2 هو أ 3 + ب 2.
مجموع أ 3 - ب ن و ح 5 - د 4 هو أ 3 - ب ن + ح 5 - د 4.

احتمال القوى المتساوية للمتغيرات المتطابقةيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن، مجموع 2a 2 و 3a 2 يساوي 5a 2.

ومن الواضح أيضًا أنه إذا أخذت مربعين أ، أو ثلاثة مربعات أ، أو خمسة مربعات أ.

لكن درجات متغيرات مختلفةو درجات مختلفة متغيرات متطابقة، فيجب تأليفها بإضافتها مع علاماتها.

إذن، مجموع 2 و 3 هو مجموع 2 + أ 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يساوي ضعف مربع a، بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحوتتم القوى بنفس طريقة الجمع، إلا أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2أ4 - (-6أ4) = 8أ4
3س 2 ب 6 — 4 س 2 ب 6 = -ح 2 ب 6
5(أ - ح) 6 - 2(أ - ح) 6 = 3(أ - ح) 6

مضاعفة القوى

يمكن ضرب الأعداد ذات القوى كغيرها من الكميات، وذلك بكتابتها واحدة تلو الأخرى، مع وجود علامة الضرب بينها أو بدونها.

وبالتالي، فإن نتيجة ضرب 3 في ب 2 هي 3 ب 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3أ 6 ص 2 ⋅ (-2س) = -6أ 6 ص 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يؤدي الى المثال الأخيريمكن طلبها عن طريق إضافة متغيرات متطابقة.
سيأخذ التعبير الشكل: a 5 b 5 y 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) بالقوى، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي اثنين منها، فإن النتيجة هي رقم (متغير) بقوة تساوي كميةدرجات المصطلحات.

إذن، أ 2 .أ 3 = أ.أأ = أأأ = أ 5 .

هنا 5 هي قوة نتيجة الضرب، وهي تساوي 2 + 3، مجموع قوى الحدود.

إذًا، a n .a m = a m+n .

بالنسبة لـ n، يتم أخذ a كعامل عدة مرات مثل قوة n؛

ويتم أخذ m كعامل عدة مرات بقدر ما تساوي الدرجة m؛

لهذا السبب، يمكن ضرب القوى التي لها نفس الأساس عن طريق جمع أسس القوى.

إذن أ 2 .أ 6 = أ 2+6 = أ 8 . و x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

أو:
4أ ن ⋅ 2أ ن = 8أ 2ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن+1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: س 4 - ص 4.
اضرب (س 3 + س – 5) ⋅ (2س 3 + س + 1).

تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الأعداد التي لها أسس سلبي.

1. إذن، أ -2 .أ -3 = أ -5 . يمكن كتابة هذا بالشكل (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. أ -ن .أ م = أ م-ن .

إذا تم ضرب أ + ب في أ - ب، ستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع رقمين أو الفرق بينهما يساوي مجموع مربعاتهما أو الفرق بينهما.

إذا قمت بضرب مجموع وفرق رقمين مرفوع ل مربع، ستكون النتيجة مساوية لمجموع هذه الأرقام أو الفرق بينها الرابعدرجات.

إذن (أ - ص).(أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2)⋅(أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4)⋅(أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم الدرجات

يمكن تقسيم الأرقام ذات القوى مثل الأرقام الأخرى، عن طريق الطرح من المقسوم، أو عن طريق وضعها في صورة كسر.

وبالتالي، فإن 3 ب 2 مقسومًا على ب 2 يساوي أ 3.

كتابة 5 مقسومًا على 3 يبدو مثل $\frac $. ولكن هذا يساوي 2 . في سلسلة من الأرقام
أ +4، أ +3، أ +2، أ +1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.
يمكن قسمة أي عدد على آخر، وسيكون الأس مساوياً لـ اختلافمؤشرات الأعداد القابلة للقسمة.

عند قسمة الدرجات على نفس الأساس، يتم طرح أسسها..

لذا، ص 3: ص 2 = ص 3-2 = ص 1. أي $\frac = y$.

و n+1:a = a n+1-1 = a n . أي $\frac = a^n$.

أو:
ص 2 م: ص م = ص م
8أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12(ب + ص) ن: 3(ب + ص) 3 = 4(ب +ص) ن-3

القاعدة تنطبق أيضًا على الأرقام ذات سلبيقيم الدرجات.
نتيجة قسمة -5 على -3 هي -2.
أيضًا، $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 أو $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

من الضروري إتقان الضرب وتقسيم القوى بشكل جيد للغاية، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة على حل أمثلة الكسور التي تحتوي على أرقام ذات قوى

1. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac $ الإجابة: $\frac $.

2. إنقاص الأسس بمقدار $\frac$. الإجابة: $\frac$ أو 2x.

3. اختصر الأسس a 2 /a 3 وa -3 /a -4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 البسط الأول.
أ 3 .أ -3 هو 0 = 1، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. اختصر الأسس 2a 4 /5a 3 و2 /a 4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
الجواب: 2أ 3 /5أ 7 و5أ 5 /5أ 7 أو 2أ 3 /5أ 2 و5/5أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب)/ب 4 في (أ - ب)/3.

6. اضرب (أ 5 + 1)/س 2 في (ب 2 - 1)/(س + أ).

7. اضرب b 4 /a -2 ب h -3 /x و n /y -3 .

8. اقسم 4 /ص 3 على 3 /ص 2 . الجواب: أ/ي.

خصائص الدرجة

نذكرك أننا سنفهم في هذا الدرس خصائص الدرجاتمع المؤشرات الطبيعية والصفر. سيتم مناقشة القوى ذات الأسس النسبية وخصائصها في دروس الصف الثامن.

تتمتع القوة ذات الأس الطبيعي بالعديد من الخصائص المهمة التي تسمح لنا بتبسيط العمليات الحسابية في الأمثلة ذات الأس.

العقار رقم 1
منتج القوى

عند ضرب القوى بنفس الأساس، يبقى الأساس دون تغيير، وتضاف أسس القوى.

a m · a n = a m + n، حيث "a" هو أي رقم، و"m" و"n" أي عدد طبيعي.

تنطبق خاصية القوى هذه أيضًا على منتج ثلاث قوى أو أكثر.

يرجى ملاحظة أننا في الخاصية المحددة كنا نتحدث فقط عن مضاعفة القوى ذات الأساس نفسه. ولا ينطبق على إضافتها.

لا يمكنك استبدال المجموع (3 3 + 3 2) بـ 3 5. وهذا أمر مفهوم إذا
احسب (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36، و3 5 = 243

العقار رقم 2
درجات جزئية

عند تقسيم القوى ذات الأساس نفسه، يبقى الأساس دون تغيير، ويتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

احسب.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
مثال. حل المعادلة. نحن نستخدم خاصية القوى الحاصلة.
3 8: ر = 3 4

الجواب: ر = 3 4 = 81

باستخدام الخاصيتين رقم 1 ورقم 2، يمكنك بسهولة تبسيط التعبيرات وإجراء العمليات الحسابية.

مثال. تبسيط التعبير.
4 5 م + 6 4 م + 2: 4 4 م + 3 = 4 5 م + 6 + م + 2: 4 4 م + 3 = 4 6 م + 8 − 4 م − 3 = 4 2 م + 5

مثال. أوجد قيمة التعبير باستخدام خصائص الأسس.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

يرجى ملاحظة أننا في الخاصية 2 كنا نتحدث فقط عن تقسيم القوى على نفس الأساس.

لا يمكنك استبدال الفرق (4 3 −4 2) بـ 4 1. وهذا أمر مفهوم إذا حسبت (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48، و4 1 = 4

العقار رقم 3
رفع درجة إلى قوة

عند رفع درجة إلى قوة، يبقى أساس الدرجة دون تغيير، ويتم ضرب الأسس.

(a n) m = a n · m، حيث "a" هو أي رقم، و"m" و"n" أي عدد طبيعي.

يرجى ملاحظة أن الخاصية رقم 4، مثل خصائص الدرجات الأخرى، يتم تطبيقها أيضًا بترتيب عكسي.

(أ ن · ب ن)= (أ · ب) ن

أي أنه لضرب القوى بنفس الأسس، يمكنك ضرب الأساسات، لكن اترك الأسس دون تغيير.

في الأمثلة الأكثر تعقيدًا، قد تكون هناك حالات حيث يجب إجراء الضرب والقسمة على قوى ذات أسس مختلفة وأسس مختلفة. وفي هذه الحالة ننصحك بالقيام بما يلي.

على سبيل المثال، 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

مثال على رفع العلامة العشرية إلى قوة.

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

خصائص 5
قوة الحاصل (الكسر)

لرفع حاصل القسمة إلى قوة ما، يمكنك رفع المقسوم والمقسوم عليه بشكل منفصل إلى هذه القوة، وتقسيم النتيجة الأولى على الثانية.

(أ: ب) ن = أ ن: ب ن، حيث "أ"، "ب" هي أي أرقام نسبية، ب ≠ 0، ن - أي عدد طبيعي.

نذكرك أنه يمكن تمثيل خارج القسمة على شكل كسر. لذلك، سنتناول موضوع رفع الكسر إلى قوة بمزيد من التفصيل في الصفحة التالية.

القوى والجذور

العمليات مع القوى والجذور. درجة مع سلبية ,

صفر وكسور مؤشر. عن التعبيرات التي ليس لها معنى.

العمليات بالدرجات.

1. عند ضرب القوى ذات الأساس نفسه تضاف أسسها:

أكون · أ ن = أ م + ن .

2. عند قسمة الدرجات التي لها نفس الأساس تكون أسسها يتم خصمها .

3. درجة حاصل ضرب عاملين أو أكثر تساوي حاصل ضرب درجات هذه العوامل.

4. درجة النسبة (الكسر) تساوي نسبة درجات المقسوم (البسط) والمقسوم عليه (المقام):

(أ / ب) ن = أ ن / ب ن .

5. عند رفع قوة إلى قوة، يتم ضرب أسسها:

تتم قراءة جميع الصيغ المذكورة أعلاه وتنفيذها في كلا الاتجاهين من اليسار إلى اليمين والعكس.

مثال (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

العمليات مع الجذور. في جميع الصيغ أدناه، يعني الرمز الجذر الحسابي(التعبير الجذري إيجابي).

1. جذر منتج عدة عوامل يساوي منتج جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة جذور المقسوم والمقسوم عليه:

3. عند رفع الجذر إلى قوة يكفي الرفع إلى هذه القوة العدد الجذري:

4. إذا قمت بزيادة درجة الجذر بمقدار m مرات وفي نفس الوقت رفعت الرقم الجذري إلى القوة m، فلن تتغير قيمة الجذر:

5. إذا قمت بتقليل درجة الجذر بمقدار m مرات واستخرجت في الوقت نفسه الجذر m للرقم الجذري، فلن تتغير قيمة الجذر:

توسيع مفهوم الدرجة. لقد تناولنا حتى الآن الدرجات ذات الأسس الطبيعية فقط؛ لكن العمليات ذات القوى والجذور يمكن أن تؤدي أيضًا إلى سلبي, صفرو كسورالمؤشرات. كل هذه الأسس تتطلب تعريفا إضافيا.

درجة ذات أس سلبي. يتم تعريف قوة رقم معين مع الأس السالب (عدد صحيح) على أنه واحد مقسوم على قوة نفس الرقم مع الأس يساوي القيمة المطلقة للأس السالب:

الآن الصيغة أكون : ن = م - نيمكن استخدامها ليس فقط ل م، أكثر من ن، ولكن أيضًا مع م، أقل من ن .

مثال أ 4: أ 7 = أ 4 — 7 = أ — 3 .

إذا أردنا الصيغة أكون : ن = أكون — نكان عادلا عندما م = ن، نحن بحاجة إلى تعريف درجة الصفر.

درجة بمؤشر صفر. قوة أي عدد غير الصفر وأسه صفر هي 1.

أمثلة. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

درجة مع الأس الكسرية. من أجل رفع رقم حقيقي a إلى القوة m / n، تحتاج إلى استخراج الجذر n للقوة m لهذا الرقم a:

عن التعبيرات التي ليس لها معنى. هناك العديد من هذه التعبيرات.

أين أ ≠ 0 , غير موجود.

في الواقع، إذا افترضنا ذلك سهو رقم معين، فوفقاً لتعريف عملية القسمة لدينا: أ = 0· س، أي. أ= 0، وهو ما يتعارض مع الشرط: أ ≠ 0

— أي رقم.

في الواقع، إذا افترضنا أن هذا التعبير يساوي عددًا ما سإذن حسب تعريف عملية القسمة لدينا : 0 = 0 · س. ولكن هذه المساواة تحدث عندما أي رقم ×، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

0 0 — أي رقم.

الحل: دعونا ننظر في ثلاث حالات رئيسية:

1) س = 0 – هذه القيمة لا تلبي هذه المعادلة

2) متى س> 0 نحصل على: س / س= 1، أي 1 = 1 يعني

ماذا س- أي رقم؛ ولكن مع الأخذ بعين الاعتبار أن في

في حالتنا هذه س> 0، الجواب هو س > 0 ;

قواعد ضرب القوى بأساسات مختلفة

درجة مع المؤشر العقلاني،

وظيفة الطاقة IV

§69.ضرب وتقسيم السلطات على نفس الأسس

النظرية 1.لضرب القوى بنفس الأساس، يكفي جمع الأسس وترك الأساس كما هو، أي

دليل.حسب تعريف الدرجة

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

لقد نظرنا إلى حاصل ضرب القوتين. وفي الواقع، فإن الخاصية المثبتة تنطبق على أي عدد من القوى التي لها نفس الأسس.

النظرية 2.لتقسيم القوى بنفس القواعد، عندما يكون مؤشر المقسوم أكبر من مؤشر المقسوم عليه، يكفي طرح مؤشر المقسوم عليه من مؤشر المقسوم، وترك الأساس كما هو، أي في ر > ص

(أ =/= 0)

دليل.تذكر أن حاصل قسمة رقم على آخر هو الرقم الذي عند ضربه بالمقسوم عليه يعطي المقسوم. لذلك، أثبت الصيغة حيث أ =/= 0، وهو نفس إثبات الصيغة

لو ر > ص ، ثم الرقم ر - ص سيكون طبيعيا لذلك، من خلال نظرية 1

تم إثبات النظرية 2.

تجدر الإشارة إلى أن الصيغة

لقد أثبتنا ذلك فقط على افتراض ذلك ر > ص . لذلك، مما تم إثباته، لا يمكن حتى الآن استخلاص الاستنتاجات التالية، على سبيل المثال:

بالإضافة إلى ذلك، لم نفكر بعد في الدرجات ذات الأسس السالبة ولا نعرف حتى الآن المعنى الذي يمكن إعطاؤه للتعبير 3 - 2 .

النظرية 3. لرفع درجة إلى قوة ما، يكفي ضرب الأسس، مع ترك أساس الدرجة كما هو، إنه

دليل.باستخدام تعريف الدرجة والنظرية 1 من هذا القسم نحصل على:

Q.E.D.

على سبيل المثال، (2 3) 2 = 2 6 = 64؛

518 (شفويا) تحديد X من المعادلات:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 س ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 س ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 س ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 س .

519. (تعيين رقم) تبسيط:

520. (تعيين رقم) تبسيط:

521. قدم هذه التعبيرات في شكل درجات لها نفس الأساس:

1) 32 و 64؛ 3) 8 5 و 16 3؛ 5) 4100 و3250؛

2) -1000 و 100؛ 4) -27 و -243؛ 6) 81 75 8 200 و 3 600 4 150.

صيغ الدرجةالمستخدمة في عملية التخفيض والتبسيط تعبيرات معقدة، في حل المعادلات والمتباينات.

رقم جيكون ن-القوة رقم أمتى:

العمليات بالدرجات.

1. بضرب الدرجات بنفس الأساس تضاف مؤشراتها:

أكون· أ ن = أ م + ن .

2. عند قسمة الدرجات ذات الأساس نفسه يتم طرح أسسها:

3. قوة المنتج 2 أو أكثرالعوامل تساوي حاصل ضرب قوى هذه العوامل:

(اي بي سي…) ن = أ ن · ب ن · ج ن …

4. درجة الكسر تساوي نسبة درجات المقسوم إلى المقسوم عليه:

(أ/ب) ن = أ ن /ب ن .

5. برفع قوة إلى قوة، يتم ضرب الأسس:

(أ م) ن = أ م ن .

كل صيغة أعلاه صحيحة في الاتجاهات من اليسار إلى اليمين والعكس صحيح.

على سبيل المثال. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

العمليات مع الجذور.

1. جذر منتج عدة عوامل يساوي منتج جذور هذه العوامل:

2. جذر النسبة يساوي نسبة المقسوم على الجذور ومقسومها:

3. عند رفع الجذر إلى قوة ما، يكفي رفع العدد الجذري إلى هذه القوة:

4. إذا قمت بزيادة درجة الجذر في نمرة واحدة وفي نفس الوقت بناء على نالقوة رقم جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:

5. إذا قمت بتقليل درجة الجذر في ناستخراج الجذر في نفس الوقت ن-القوة رقم جذري، فإن قيمة الجذر لن تتغير:

درجة ذات أس سلبي.يتم تعريف قوة رقم معين مع الأس غير الموجب (عدد صحيح) على أنها مقسومة على قوة نفس الرقم مع الأس يساوي القيمة المطلقة للأس غير الموجب:

معادلة أكون:أ ن =أ م - نيمكن استخدامها ليس فقط ل م> ن، ولكن أيضًا مع م< ن.

على سبيل المثال. أ4:أ 7 = أ 4 - 7 = أ -3.

إلى الصيغة أكون:أ ن =أ م - نأصبح عادلا عندما م = ن، يشترط وجود درجة الصفر.

درجة بمؤشر صفر.أس أي عدد لا يساوي صفرًا وأسه صفر يساوي واحدًا.

على سبيل المثال. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجة مع الأس الكسرية.لرفع عدد حقيقي أإلى درجة م / ن، تحتاج إلى استخراج الجذر نالدرجة ال م-القوة رقم هذا الرقم أ.

درس حول موضوع: "قواعد ضرب وتقسيم القوى ذات الأسس المتشابهة والمختلفة. أمثلة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم. تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف السابع
دليل الكتاب المدرسي Yu.N. دليل Makarycheva للكتاب المدرسي من تأليف A.G. موردكوفيتش

الغرض من الدرس: تعلم كيفية إجراء العمليات باستخدام قوى الأعداد.

أولا، دعونا نتذكر مفهوم "قوة العدد". يمكن تمثيل التعبير بالصيغة $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ كـ $a^n$.

والعكس صحيح أيضًا: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

وتسمى هذه المساواة "تسجيل الدرجة كمنتج". وسوف يساعدنا في تحديد كيفية مضاعفة وتقسيم القوى.
يتذكر:
أ– أساس الدرجة .
ن- الأس.
لو ن = 1، وهو ما يعني الرقم أاستغرق مرة واحدة وبالتالي: $a^n= 1$.
لو ن = 0، ثم $a^0= 1$.

يمكننا معرفة سبب حدوث ذلك عندما نتعرف على قواعد الضرب وتقسيم القوى.

قواعد الضرب

مثال.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

هذه الخاصية ملائمة للاستخدام لتبسيط العمل عند رفع رقم إلى قوة أعلى.
مثال.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ب) إذا تضاعفت الصلاحيات أسباب مختلفةولكن بنفس المؤشر
للحصول على $a^n * b^n$، نكتب الدرجات كمنتج: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(م)$.
إذا قمنا بتبديل العوامل وعدد الأزواج الناتجة، فسنحصل على: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

إذن $a^n * b^n= (a * b)^n$.

مثال.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

قواعد القسمة

لذلك نحن بحاجة $\frac(أ^ن)(أ^م)$، أين ن>م.

لنكتب الدرجات على شكل كسر:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

الآن دعونا نخفض الكسر.

اتضح: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
وسائل، $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

ستساعد هذه الخاصية في شرح الموقف عند رفع الرقم إلى القوة صفر. لنفترض ذلك ن = م، ثم $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

أمثلة.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

ب) أسس الدرجات مختلفة والمؤشرات واحدة.
لنفترض أننا بحاجة إلى $\frac(a^n)(b^n)$. لنكتب قوى الأعداد على شكل كسور:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

مثال.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

في بعض الأحيان تصبح كل عملية حسابية مرهقة للغاية بحيث لا يمكن كتابتها ويحاولون تبسيطها. كان هذا هو الحال مع عملية الإضافة. كان على الناس أن يقوموا بعمليات جمع متكررة من نفس النوع، على سبيل المثال، لحساب تكلفة مائة سجادة فارسية، تكلفة كل منها 3 عملات ذهبية. 3+3+3+…+3 = 300. نظرًا لطبيعتها المرهقة، تقرر اختصار الترميز إلى 3 * 100 = 300. في الواقع، الترميز "ثلاثة ضرب مائة" يعني أنك بحاجة إلى أخذ واحد مائة ثلاثات وجمعهم معا. لقد انتشر الضرب واكتسب شعبية عامة. لكن العالم لا يقف ساكنا، وفي العصور الوسطى نشأت الحاجة إلى إجراء الضرب المتكرر من نفس النوع. أتذكر لغزًا هنديًا قديمًا عن حكيم طلب حبوب القمح بالكميات التالية كمكافأة على العمل المنجز: في المربع الأول من رقعة الشطرنج طلب حبة واحدة، وفي الثانية - اثنتان، وفي الثالثة - أربعة، للخامس - ثمانية، وهكذا. وهكذا ظهر الضرب الأول للقوى، لأن عدد الحبات كان يساوي اثنين أس رقم الخلية. على سبيل المثال، في الخلية الأخيرة سيكون هناك 2*2*2*...*2 = 2^63 حبة، وهو ما يساوي رقمًا مكونًا من 18 حرفًا، وهو في الواقع معنى اللغز.

انتشرت عملية الأس بسرعة كبيرة، وسرعان ما ظهرت الحاجة إلى إجراء عمليات الجمع والطرح والقسمة والضرب للقوى. هذا الأخير يستحق النظر بمزيد من التفصيل. إن صيغ إضافة الصلاحيات بسيطة وسهلة التذكر. بالإضافة إلى ذلك، من السهل جدًا فهم مصدرها إذا تم استبدال عملية القوة بالضرب. لكن عليك أولاً أن تفهم بعض المصطلحات الأساسية. التعبير a^b (اقرأ "a أس b") يعني أن الرقم a يجب أن يُضرب في نفسه b مرات، حيث يُطلق على "a" أساس الأس، و"b" أس الأس. إذا كانت أسس الدرجات هي نفسها، فسيتم اشتقاق الصيغ بكل بساطة. مثال محدد: أوجد قيمة التعبير 2^3 * 2^4. ولمعرفة ما يجب أن يحدث، عليك معرفة الإجابة على الكمبيوتر قبل البدء في الحل. بإدخال هذا التعبير في أي آلة حاسبة على الإنترنت، أو محرك بحث، أو كتابة "ضرب القوى بأساسات مختلفة ونفسها" أو حزمة رياضية، سيكون الناتج 128. الآن دعنا نكتب هذا التعبير: 2^3 = 2*2*2، و2^4 = 2*2*2*2. اتضح أن 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . اتضح أن حاصل ضرب القوى ذات الأساس نفسه يساوي الأساس مرفوعًا إلى أس، يساوي المبلغدرجتين سابقتين.

قد تظن أن هذا مجرد حادث، لكن لا: أي مثال آخر يمكن أن يؤكد ذلك فقط هذه القاعدة. وهكذا، في منظر عامالصيغة هي كما يلي: a^n * a^m = a^(n+m) . هناك أيضًا قاعدة مفادها أن أي عدد أس صفر يساوي واحدًا. هنا يجب أن نتذكر قاعدة القوى السالبة: a^(-n) = 1 / a^n. أي إذا كانت 2^3 = 8، فإن 2^(-3) = 1/8. باستخدام هذه القاعدة، يمكنك إثبات صحة المساواة a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) ، يمكن تقليل a^ (n) ويبقى واحد. ومن هنا تشتق القاعدة أن حاصل القوى التي لها نفس الأساس يساوي هذا الأساس بدرجة تساوي حاصل المقسوم والمقسوم عليه: a^n: a^m = a^(n-m) . مثال: تبسيط التعبير 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . الضرب هو عملية تبادلية، لذلك، يجب عليك أولاً إضافة أسس الضرب: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. بعد ذلك، عليك التعامل مع القسمة على درجة سلبية. من الضروري طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. اتضح أن عملية القسمة على سالب الدرجة مطابقة لعملية الضرب بأس موجب مشابه. لذا فإن الإجابة النهائية هي 8.

هناك أمثلة حيث يحدث الضرب غير القانوني للقوى. غالبًا ما يكون مضاعفة القوى بقواعد مختلفة أكثر صعوبة، بل وأحيانًا مستحيلًا. هناك بعض الأمثلة المختلفة التقنيات الممكنة. مثال: تبسيط التعبير 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. من الواضح أن هناك مضاعفة للقوى ذات أسس مختلفة. ولكن تجدر الإشارة إلى أن جميع الأسباب موجودة درجات مختلفةالثلاثات. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. باستخدام القاعدة (a^n) ^m = a^(n*m) ، يجب عليك إعادة كتابة التعبير بشكل أكثر ملاءمة: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . الجواب: 3^11. في الحالات التي توجد فيها أسس مختلفة، فإن القاعدة a^n * b^n = (a*b) ^n تعمل مع مؤشرات متساوية. على سبيل المثال، 3^3 * 7^3 = 21^3. بخلاف ذلك، عندما تكون الأسس والأسس مختلفة، لا يمكن إجراء الضرب الكامل. في بعض الأحيان يمكنك التبسيط جزئيًا أو اللجوء إلى مساعدة تكنولوجيا الكمبيوتر.

تعلمنا في الدرس الفيديوي الأخير أن درجة أساس معين هي مقدار يمثل حاصل ضرب الأساس في نفسه، مأخوذًا بكمية مساوية للأس. ولندرس الآن بعضًا من أهم خواص القوى وعملياتها.

على سبيل المثال، دعونا نضرب اثنين درجات مختلفةبنفس القاعدة:

دعونا نقدم هذا العمل في مجمله:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

بعد حساب قيمة هذا التعبير، نحصل على الرقم 32. ومن ناحية أخرى، كما يتبين من نفس المثال، يمكن تمثيل 32 كحاصل ضرب نفس الأساس (2)، مأخوذة 5 مرات. وبالفعل إذا حسبتها:

ومن ثم يمكننا أن نستنتج بكل ثقة ما يلي:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

تعمل هذه القاعدة بنجاح لأي مؤشرات ولأي أسباب. تتبع خاصية مضاعفة القوة هذه من القاعدة التي تنص على الحفاظ على معنى التعبيرات أثناء التحويلات في المنتج. بالنسبة لأي قاعدة a، فإن حاصل ضرب التعبيرين (a)x و (a)y يساوي a(x + y). بمعنى آخر، عند إنتاج أي تعبيرات لها نفس الأساس، فإن أحادية الحد الناتجة لها درجة إجمالية تتشكل عن طريق جمع درجات التعبيرين الأول والثاني.

تعمل القاعدة المقدمة أيضًا بشكل رائع عند ضرب عدة تعبيرات. الشرط الرئيسي هو أن كل شخص لديه نفس القواعد. على سبيل المثال:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

ومن المستحيل إضافة درجات، بل والقيام بأي أعمال مشتركة قائمة على القوة مع عنصرين من العبارات إذا كانت أسسها مختلفة.
كما يظهر الفيديو الخاص بنا، نظرًا لتشابه عمليتي الضرب والقسمة، فإن قواعد إضافة القوى في المنتج يتم نقلها بشكل مثالي إلى إجراء القسمة. خذ بعين الاعتبار هذا المثال:

دعونا نجري تحويلًا لكل مصطلح على حدة للتعبير إلى عرض كاملوتقليل نفس العناصر في المقسوم والمقسوم:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

النتيجة النهائية لهذا المثال ليست مثيرة للاهتمام، لأنه بالفعل في عملية حلها من الواضح أن قيمة التعبير تساوي مربع اثنين. وهما يتم الحصول عليهما بطرح درجة التعبير الثاني من درجة الأول.

لتحديد درجة حاصل القسمة، من الضروري طرح درجة المقسوم عليه من درجة المقسوم. وتعمل القاعدة بنفس الأساس لجميع قيمها ولكل القوى الطبيعية. وفي صيغة التجريد لدينا:

(أ) س / (أ) ص = (أ) س - ص

من حكم القسمة أسباب متطابقةمع الدرجات يأتي تعريف درجة الصفر. من الواضح أن التعبير التالي يبدو كالتالي:

(أ) س / (أ) س = (أ) (س - س) = (أ) 0

ومن ناحية أخرى، إذا قمنا بعملية القسمة بطريقة بصرية أكثر، فسنحصل على:

(أ) 2 / (أ) 2 = (أ) (أ) / (أ) (أ) = 1

عند تقليل جميع العناصر المرئية للكسر، يتم الحصول دائمًا على التعبير 1/1، أي واحد. لذلك، من المقبول عمومًا أن أي قاعدة مرفوعة للأس صفر تساوي واحدًا:

بغض النظر عن قيمة أ.

ومع ذلك، سيكون الأمر سخيفًا إذا كان 0 (الذي لا يزال يعطي 0 لأي عملية ضرب) يساوي بطريقة أو بأخرى واحدًا، لذا فإن التعبير بالشكل (0) 0 (صفر أس صفر) ببساطة لا معنى له، والصيغة ( أ) 0 = 1 أضف شرطًا: "إذا كان a لا يساوي 0."

دعونا نحل التمرين. لنجد قيمة التعبير:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

بما أن الأساس هو نفسه في كل مكان ويساوي 34، فإن القيمة النهائية ستكون لها نفس الأساس بدرجة (وفقًا للقواعد المذكورة أعلاه):

بعبارة أخرى:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

الجواب: التعبير يساوي واحداً.