ضرب الكسور المشتركة ذات المقامات المختلفة. رسم نظام المعادلات

آخر مرة تعلمنا كيفية جمع وطرح الكسور (انظر الدرس "جمع وطرح الكسور"). كان الجزء الأصعب من تلك الإجراءات هو جلب الكسور إلى قاسم مشترك.

الآن حان الوقت للتعامل مع الضرب والقسمة. والخبر السار هو أن هذه العمليات أبسط من الجمع والطرح. أولا، دعونا ننظر أبسط حالة، عندما يكون هناك كسران موجبان بدون جزء صحيح منفصل.

لضرب كسرين، يجب عليك ضرب بسطهما ومقاميهما بشكل منفصل. سيكون الرقم الأول هو بسط الكسر الجديد، وسيكون الرقم الثاني هو المقام.

لتقسيم كسرين، عليك ضرب الكسر الأول في الكسر الثاني "المقلوب".

تعيين:

ويترتب على التعريف أن تقسيم الكسور يؤدي إلى الضرب. "لقلب" الكسر، ما عليك سوى تبديل البسط والمقام. لذلك، طوال الدرس سننظر بشكل أساسي في الضرب.

نتيجة للضرب، يمكن أن ينشأ جزء قابل للاختزال (وغالبا ما ينشأ) - بالطبع، يجب تخفيضه. إذا تبين بعد كل التخفيضات أن الكسر غير صحيح، فيجب تسليط الضوء على الجزء بأكمله. لكن ما لن يحدث بالتأكيد مع الضرب هو الاختزال إلى قاسم مشترك: لا توجد طرق متقاطعة، العوامل الأكبر والمضاعفات المشتركة الأصغر.

حسب التعريف لدينا:

ضرب الكسور بالأجزاء الكاملة والكسور السالبة

إذا كانت الكسور تحتوي على جزء صحيح، فيجب تحويلها إلى أجزاء غير صحيحة - وعندها فقط يتم ضربها وفقًا للمخططات الموضحة أعلاه.

إذا كان هناك ناقص في بسط الكسر أو في المقام أو أمامه، فيمكن إخراجه من الضرب أو حذفه نهائياً وفق القواعد الآتية:

1. زائد بواسطة ناقص يعطي ناقص؛
2. اثنان من السلبيات يجعلان إيجابيا.

حتى الآن، لم يتم تطبيق هذه القواعد إلا عند جمع وطرح الكسور السالبة، عندما كان من الضروري التخلص من الجزء بأكمله. بالنسبة للعمل، يمكن تعميمها من أجل "حرق" العديد من العيوب في وقت واحد:

1. نقوم بشطب السلبيات في أزواج حتى تختفي تمامًا. في الحالات القصوى، يمكن أن يبقى واحد ناقص - الشخص الذي لم يكن هناك رفيقة؛
2. إذا لم يكن هناك أي سلبيات متبقية، فقد اكتملت العملية - يمكنك البدء في الضرب. وإذا لم يتم شطب السالب الأخير لعدم وجود زوج له، فإننا نخرجه خارج حدود الضرب. والنتيجة هي جزء سلبي.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

نحول جميع الكسور إلى كسور غير حقيقية، ثم نحذف السالب من الضرب. نضرب ما تبقى حسب القواعد المعتادة. نحن نحصل:

اسمحوا لي أن أذكرك مرة أخرى أن الطرح الذي يظهر أمام الكسر مع الجزء الكامل المميز يشير على وجه التحديد إلى الكسر بأكمله، وليس فقط الجزء بأكمله (وهذا ينطبق على المثالين الأخيرين).

لاحظ أيضا أرقام سلبية: عند الضرب، يتم وضعها بين قوسين. يتم ذلك من أجل فصل السالب عن علامات الضرب وجعل التدوين بأكمله أكثر دقة.

تقليل الكسور على الطاير

الضرب هو عملية كثيفة العمالة للغاية. الأرقام هنا كبيرة جدًا، ولتبسيط المشكلة، يمكنك محاولة تقليل الكسر بشكل أكبر قبل الضرب. في الواقع، في جوهرها، تعتبر بسط ومقامات الكسور عوامل عادية، وبالتالي يمكن اختزالها باستخدام الخاصية الأساسية للكسر. ألق نظرة على الأمثلة:

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

حسب التعريف لدينا:

وفي جميع الأمثلة، يتم تحديد الأعداد التي تم تخفيضها وما تبقى منها باللون الأحمر.

يرجى ملاحظة: في الحالة الأولى، تم تخفيض المضاعفات بالكامل. وتبقى في مكانها وحدات لا تحتاج عمومًا إلى كتابتها. في المثال الثاني، لم يكن من الممكن تحقيق التخفيض الكامل، لكن إجمالي عدد الحسابات انخفض.

ومع ذلك، لا تستخدم هذه التقنية أبدًا عند جمع وطرح الكسور! نعم، في بعض الأحيان توجد أرقام مماثلة تريد تقليلها فقط. هنا انظر:

لا يمكنك أن تفعل ذلك!

يحدث الخطأ لأنه عند الجمع، ينتج عن بسط الكسر مجموع، وليس حاصل ضرب الأرقام. لذلك، من المستحيل تطبيق الخاصية الرئيسية للكسر، كما هو الحال في هذه الخاصية نحن نتحدث عنعلى وجه التحديد حول ضرب الأرقام.

ببساطة لا توجد أسباب أخرى لتقليل الكسور، لذلك الحل الصحيحتبدو المهمة السابقة كما يلي:

الحل الصحيح:

كما ترون، تبين أن الإجابة الصحيحة ليست جميلة جدا. بشكل عام، كن حذرا.

إن ضرب عدد صحيح في كسر ليس بالمهمة الصعبة. ولكن هناك بعض التفاصيل الدقيقة التي ربما تكون قد فهمتها في المدرسة، ولكنك نسيتها منذ ذلك الحين.

كيفية ضرب عدد صحيح في كسر - بعض المصطلحات

إذا كنت تتذكر ما هو البسط والمقام وكيف يختلف الكسر الصحيح عن الكسر غير الحقيقي، فتخط هذه الفقرة. إنه لأولئك الذين نسوا النظرية تمامًا.

البسط هو الجزء العلويالكسور هي ما نقسمه. المقام أقل. وهذا هو ما نقسم عليه.
الكسر الصحيح هو الذي بسطه أقل من مقامه. الكسر غير الحقيقي هو الذي بسطه أكبر من أو يساوي مقامه.

كيفية ضرب عدد صحيح في كسر

إن قاعدة ضرب عدد صحيح في كسر بسيطة للغاية - فنحن نضرب البسط في العدد الصحيح، لكن لا نلمس المقام. على سبيل المثال: اثنان مضروبًا في الخمس - نحصل على خمسين. أربعة في ثلاثة على ستة عشر يساوي اثني عشر على ستة عشر.

تخفيض

وفي المثال الثاني، يمكن تقليل الكسر الناتج.
ماذا يعني ذلك؟ يرجى ملاحظة أن كلًا من بسط هذا الكسر ومقامه يقبلان القسمة على أربعة. تسمى قسمة كلا الرقمين على قاسم مشترك بتقليل الكسر. نحصل على ثلاثة أرباع.

الكسور غير المناسبة

لكن لنفترض أننا ضربنا أربعة في خمسين. وتبين أنها ثمانية أخماس. هذا كسر غير لائق.
إنها بالتأكيد بحاجة إلى إحضارها النوع الصحيح. للقيام بذلك، تحتاج إلى تحديد جزء كامل منه.
هنا تحتاج إلى استخدام القسمة مع الباقي. نحصل على واحد وثلاثة كباقي.
واحد صحيح وثلاثة أخماس هو الكسر الصحيح.

إن كتابة خمسة وثلاثين على ثمانية بالصورة الصحيحة أمر أكثر صعوبة قليلًا. وأقرب عدد إلى سبعة وثلاثين يقبل القسمة على ثمانية هو اثنان وثلاثون. عند القسمة نحصل على أربعة. اطرح اثنين وثلاثين من خمسة وثلاثين وسنحصل على ثلاثة. النتيجة: أربعة كاملة وثلاثة أثمان.

المساواة بين البسط والمقام. وهنا كل شيء بسيط وجميل للغاية. إذا كان البسط والمقام متساويين، فالنتيجة هي واحد ببساطة.

دعونا نواصل دراسة العمليات باستخدام الكسور العادية. الآن في دائرة الضوء عمليه الضرب الكسور العادية . سنقدم في هذه المقالة قاعدة لضرب الكسور العادية وننظر في تطبيق هذه القاعدة عند حل الأمثلة. وسنركز أيضًا على ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي. في الختام، دعونا ننظر في كيفية ضرب ثلاثة كسور أو أكثر.

التنقل في الصفحة.

ضرب كسر عادي في كسر عادي

لنبدأ بالصياغة قواعد ضرب الكسور العادية: ضرب كسر في كسر ينتج كسرًا بسطه يساوي حاصل ضرب بسطي الكسور، ومقامه يساوي حاصل ضرب المقامات.

أي أن الصيغة تتوافق مع ضرب الكسور العادية a/b وc/d.

دعونا نعطي مثالا يوضح قاعدة ضرب الكسور العادية. النظر في مربع مع وحدة الجانب 1. بينما تبلغ مساحتها 1 وحدة 2. قسّم هذا المربع إلى مستطيلات متساوية جوانب كل منها 1/4 وحدة. و 1/8 وحدات. بينما المربع الأصلي سيتكون من 4·8=32 مستطيلاً، وبالتالي فإن مساحة كل مستطيل هي 1/32 من مساحة المربع الأصلي، أي أنها تساوي 1/32 وحدة 2 . الآن دعونا نرسم جزءًا من المربع الأصلي. تنعكس جميع أعمالنا في الشكل أدناه.

أضلاع المستطيل المظلل هي 5/8 وحدات. و3/4 وحدات ، مما يعني أن مساحتها تساوي ناتج الكسور 5/8 و 3/4، أي الوحدات 2. لكن المستطيل المظلل يتكون من 15 مستطيلاً "صغيراً" أي أن مساحته 15/32 وحدة 2. لذلك، . بما أن 5·3=15 و8·4=32، يمكن إعادة كتابة المساواة الأخيرة على النحو التالي: مما يؤكد صيغة ضرب الكسور العادية من النموذج.

لاحظ أنه باستخدام قاعدة الضرب المذكورة، يمكنك ضرب الكسور الصحيحة وغير الحقيقية، والكسور التي لها نفس المقامات، والكسور ذات قواسم مختلفة.

دعونا نفكر أمثلة على ضرب الكسور العادية.

اضرب الكسر المشترك 7/11 بالكسر المشترك 9/8.

حاصل ضرب بسطي الكسرين 7 و 9 يساوي 63، وحاصل مقامي 11 و 8 يساوي 88. وبالتالي، فإن ضرب الكسرين المشتركين 7/11 و9/8 يعطي الكسر 63/88.

فيما يلي ملخص قصير للحل: .

ولا ينبغي أن ننسى تبسيط الكسر الناتج إذا نتج عن الضرب كسر قابل للاختزال، وفصل الجزء كله عن الكسر غير الحقيقي.

اضرب الكسور 4/15 و55/6.

دعونا نطبق قاعدة ضرب الكسور العادية: .

من الواضح أن الكسر الناتج قابل للاختزال (اختبار قابلية القسمة على 10 يسمح لنا بالقول أن بسط ومقام الكسر 220/90 لهما المضاعف المشترك 10). لنقم بتبسيط الكسر 220/90: gcd(220, 90)=10 و . يبقى عزل الجزء كله عن الكسر غير الصحيح الناتج: .

لاحظ أنه يمكن إجراء اختزال الكسر قبل حساب حاصل ضرب البسطين وحاصل ضرب مقامات الكسور المضروبة، أي عندما يكون للكسر الشكل . للقيام بذلك، يتم استبدال الأرقام a و b و c و d بتحليلاتها إلى عوامل أولية، وبعد ذلك يتم تقليل نفس عوامل البسط والمقام.

للتوضيح، دعونا نعود إلى المثال السابق.

حساب منتج الكسور من النموذج.

وفقًا لصيغة ضرب الكسور العادية، لدينا .

بما أن 4=2·2، 55=5·11، 15=3·5 و6=2·3، إذن . الآن نقوم بتقليل العوامل الأولية المشتركة: .

كل ما تبقى هو حساب المنتجات في البسط والمقام، ثم عزل الجزء بأكمله من الكسر غير الصحيح: .

وتجدر الإشارة إلى أن ضرب الكسور يتميز بخاصية تبادلية، أي أنه يمكن تبديل الكسور المضروبة: .

ضرب كسر عادي في عدد طبيعي

لنبدأ بالصياغة قواعد ضرب الكسر العادي في عدد طبيعي: ضرب الكسر في عدد طبيعي ينتج كسراً بسطه يساوي حاصل ضرب بسط الكسر في العدد الطبيعي، ومقامه يساوي مقام الكسر المضروب.

باستخدام الحروف، فإن قاعدة ضرب الكسر a/b في عدد طبيعي n لها الصيغة .

تتبع الصيغة صيغة ضرب كسرين عاديين من النموذج. في الواقع، تمثيل عدد طبيعي ككسر بمقام 1، نحصل عليه .

دعونا نلقي نظرة على أمثلة ضرب الكسر بعدد طبيعي.

اضرب الكسر 2/27 في 5.

ضرب البسط 2 بالرقم 5 يعطي 10، لذلك، بموجب قاعدة ضرب الكسر بعدد طبيعي، فإن منتج 2/27 في 5 يساوي الكسر 10/27.

من الملائم كتابة الحل بالكامل كما يلي: .

عند ضرب كسر في عدد طبيعي، غالبًا ما يتعين تقليل الكسر الناتج، وإذا كان غير صحيح أيضًا، فسيتم تمثيله كرقم مختلط.

اضرب الكسر 5/12 بالرقم 8.

وفقًا لصيغة ضرب الكسر في عدد طبيعي، لدينا . من الواضح أن الكسر الناتج قابل للاختزال (علامة القسمة على 2 تشير إلى القاسم المشترك 2 للبسط والمقام). دعونا نبسط الكسر 40/12: بما أن المضاعف المشترك الأصغر (40, 12)=4، إذن . يبقى أن نسلط الضوء على الجزء كله : .

إليك الحل بأكمله: .

لاحظ أنه يمكن إجراء التخفيض عن طريق استبدال الأرقام الموجودة في البسط والمقام بتحللها إلى عوامل أولية. في هذه الحالة سيكون الحل كالتالي: .

وفي ختام هذه النقطة نلاحظ أن ضرب الكسر في عدد طبيعي له خاصية إبدالية، أي أن حاصل ضرب الكسر في عدد طبيعي يساوي حاصل ضرب هذا العدد الطبيعي في الكسر: .

ضرب ثلاثة كسور أو أكثر

إن الطريقة التي حددنا بها الكسور العادية وعملية الضرب بها تتيح لنا التأكيد على أن جميع خصائص ضرب الأعداد الطبيعية تنطبق أيضًا على ضرب الكسور.

الخصائص التبادلية والترابطية للضرب تجعل من الممكن تحديدها بشكل لا لبس فيه ضرب ثلاثة كسور أو أكثر والأعداد الطبيعية. في هذه الحالة، كل شيء يحدث عن طريق القياس مع ضرب ثلاثة أعداد طبيعية أو أكثر. على وجه الخصوص، يمكن إعادة ترتيب الكسور والأعداد الطبيعية في المنتج لسهولة الحساب، وفي حالة عدم وجود أقواس تشير إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات، يمكننا ترتيب الأقواس بأنفسنا بأي من الطرق المقبولة.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة ضرب العديد من الكسور والأعداد الطبيعية.

اضرب ثلاثة كسور مشتركة 1/20 و12/5 و3/7 و5/8.

دعنا نكتب المنتج الذي نحتاج إلى حسابه . وبموجب قاعدة ضرب الكسور، فإن الناتج المكتوب يساوي الكسر الذي بسطه يساوي حاصل ضرب بسطي جميع الكسور، والمقام يساوي حاصل ضرب المقامات: .

قبل حساب المنتجات في البسط والمقام، من المستحسن استبدال جميع العوامل مع تحللها إلى عوامل بسيطة وإجراء الاختزال (يمكنك بالطبع تقليل الكسر بعد الضرب، ولكن في كثير من الحالات يتطلب ذلك الكثير من المجهود الحسابي): .

.

ضرب خمسة أرقام .

في هذا المنتج، من الملائم تجميع الكسر 7/8 بالرقم 8، والرقم 12 بالكسر 5/36، وهذا سوف يبسط الحسابات، لأنه مع مثل هذا التجميع يكون التخفيض واضحًا. لدينا
.

.

ضرب الكسور

سننظر في ضرب الكسور العادية في عدة خيارات ممكنة.

ضرب كسر عادي في كسر

هذه هي أبسط حالة تحتاج فيها إلى استخدام ما يلي قواعد ضرب الكسور.

ل ضرب الكسر بالكسر، ضروري:

• اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني واكتب ناتجهما في بسط الكسر الجديد؛
• اضرب مقام الكسر الأول بمقام الكسر الثاني واكتب ناتجهما في مقام الكسر الجديد؛

قبل ضرب البسط والمقامات، تحقق لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الكسور. إن تقليل الكسور في العمليات الحسابية سيجعل حساباتك أسهل بكثير.

ضرب الكسر في عدد طبيعي

لجعل الكسر الضرب في عدد طبيعيتحتاج إلى ضرب بسط الكسر بهذا الرقم، وترك مقام الكسر دون تغيير.

إذا كانت نتيجة الضرب عبارة عن كسر غير حقيقي، فلا تنس تحويله إلى عدد كسري، أي إبراز الجزء بأكمله.

ضرب الأعداد الكسرية

لضرب الأعداد الكسرية، يجب عليك أولًا تحويلها إلى كسور غير حقيقية ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.

طريقة أخرى لضرب الكسر في عدد طبيعي

في بعض الأحيان، عند إجراء العمليات الحسابية، يكون من الملائم أكثر استخدام طريقة أخرى لضرب الكسر العادي برقم.

لضرب كسر في عدد طبيعي، تحتاج إلى قسمة مقام الكسر على هذا الرقم، وترك البسط كما هو.

كما يتبين من المثال، فإن هذا الإصدار من القاعدة يكون أكثر ملاءمة للاستخدام إذا كان مقام الكسر قابلاً للقسمة على عدد طبيعي بدون باقي.

ضرب الأعداد الكسرية: القواعد والأمثلة والحلول.

في هذه المقالة سوف ننظر ضرب الأعداد المختلطة. أولاً، سنوضح قاعدة ضرب الأعداد الكسرية ونفكر في تطبيق هذه القاعدة عند حل الأمثلة. بعد ذلك سنتحدث عن ضرب عدد مختلط وعدد طبيعي. وأخيرًا، سوف نتعلم كيفية ضرب عدد كسري وكسر عادي.

التنقل في الصفحة.

ضرب الأعداد الكسرية.

ضرب الأعداد الكسريةيمكن اختزالها إلى ضرب الكسور العادية. للقيام بذلك، يكفي تحويل الأرقام المختلطة إلى كسور غير حقيقية.

دعونا نكتبها قاعدة ضرب الأعداد المختلطة:

• أولاً، يجب استبدال الأعداد الكسرية التي يتم ضربها بكسور غير صحيحة؛
• ثانيًا، عليك استخدام قاعدة ضرب الكسور بكسور.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لتطبيق هذه القاعدة عند ضرب عدد مختلط بعدد مختلط.

إجراء عملية ضرب الأعداد الكسرية و.

أولًا، دعونا نمثل الأعداد الكسرية التي يتم ضربها في صورة كسور غير حقيقية: و . يمكننا الآن استبدال ضرب الأعداد الكسرية بضرب الكسور العادية: . بتطبيق قاعدة ضرب الكسور نحصل على . الكسر الناتج غير قابل للاختزال (انظر الكسور القابلة للاختزال وغير القابلة للاختزال)، لكنه غير مناسب (انظر الكسور الصحيحة وغير الصحيحة)، لذلك، للحصول على الإجابة النهائية، يبقى عزل الجزء بأكمله من الكسر غير الحقيقي: .

لنكتب الحل كاملا في سطر واحد : .

.

لتعزيز مهارات ضرب الأعداد الكسرية، فكر في حل مثال آخر.

قم بعملية الضرب.

أرقام مضحكة وتساوي الكسور 13/5 و 10/9 على التوالي. ثم . في هذه المرحلة، حان الوقت للتذكر حول تبسيط الكسر: استبدال جميع الأرقام الموجودة في الكسر بتحليلها إلى عوامل أولية، وإجراء تبسيط للعوامل المتطابقة.

ضرب عدد مختلط وعدد طبيعي

بعد استبدال عدد مختلط بكسر غير حقيقي، ضرب عدد مختلط وعدد طبيعييؤدي إلى مضاعفة الكسر العادي والعدد الطبيعي.

ضرب عدد مختلط والعدد الطبيعي 45.

إذن، العدد الكسري يساوي كسرًا . لنستبدل الأرقام الموجودة في الكسر الناتج بتحللها إلى عوامل أولية، ونجري عملية اختزال، ثم نحدد الجزء بأكمله: .

.

في بعض الأحيان يتم إجراء عملية ضرب عدد مختلط وعدد طبيعي باستخدام خاصية توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع. في هذه الحالة يكون حاصل ضرب عدد مختلط وعدد طبيعي يساوي مجموع حاصل ضرب الجزء الصحيح في العدد الطبيعي المعطى والجزء الكسري في العدد الطبيعي المعطى، أي: .

احسب المنتج.

لنستبدل العدد الكسري بمجموع الأعداد الصحيحة والكسرية، وبعد ذلك نطبق خاصية التوزيع للضرب: .

ضرب الأعداد الكسرية والكسورمن الأكثر ملاءمة اختزاله إلى ضرب الكسور العادية من خلال تمثيل الرقم المختلط الذي يتم ضربه ككسر غير حقيقي.

اضرب العدد الكسري في الكسر المشترك 4/15.

بالتعويض عن العدد الكسري بكسر نحصل على .

ضرب الكسور

§ 140. التعاريف. 1) يتم تعريف ضرب الكسر في عدد صحيح بنفس طريقة ضرب الأعداد الصحيحة، وهي: ضرب رقم (مضاعف) بعدد صحيح (عامل) يعني تكوين مجموع مصطلحات متطابقة، حيث يكون كل حد يساوي المضاعف، وعدد المصطلحات يساوي المضاعف.

الضرب في 5 يعني إيجاد المجموع:
2) ضرب عدد (مضاعف) في كسر (عامل) يعني إيجاد هذا الكسر من المضاعف.

ومن ثم، سنسمي الآن إيجاد كسر لعدد معين، والذي تناولناه سابقًا، الضرب في كسر.

3) ضرب عدد (مضاعف) في عدد كسري (عامل) يعني ضرب المضاعف أولاً في عدد المضاعف الصحيح، ثم في كسر المضاعف، وجمع نتائج هذين الضربين معًا.

على سبيل المثال:

ويسمى الرقم الذي يتم الحصول عليه بعد الضرب في كل هذه الحالات عمل، أي نفس الشيء عند ضرب الأعداد الصحيحة.

يتضح من هذه التعريفات أن ضرب الأعداد الكسرية هو إجراء ممكن دائمًا ولا لبس فيه دائمًا.

§ 141. مدى ملاءمة هذه التعريفات.لفهم مدى استصواب إدخال التعريفين الأخيرين للضرب في الحساب، دعونا نأخذ المشكلة التالية:

مهمة. يتحرك قطار بشكل منتظم ويقطع مسافة 40 كيلومترًا في الساعة؛ كيف تعرف عدد الكيلومترات التي سيقطعها هذا القطار في عدد معين من الساعات؟

ولو بقينا على تعريف الضرب الوحيد المشار إليه في حساب الأعداد الصحيحة (جمع الحدود المتساوية)، لكان لمشكلتنا ثلاثة حلول مختلفة، وهي:

إذا كان عدد الساعات المحدد عددًا صحيحًا (على سبيل المثال، 5 ساعات)، لحل المشكلة، عليك ضرب 40 كم بهذا العدد من الساعات.

إذا تم التعبير عن عدد معين من الساعات ككسر (على سبيل المثال، ساعة)، فسيتعين عليك العثور على قيمة هذا الكسر من 40 كم.

أخيرًا، إذا كان عدد الساعات المحدد مختلطًا (على سبيل المثال، ساعات)، فسيلزم ضرب 40 كم بالعدد الصحيح الموجود في الرقم المختلط، وإضافة جزء آخر من 40 كم إلى النتيجة، وهو في العدد المختلط رقم.

تسمح لنا التعريفات التي قدمناها بإعطاء إجابة عامة واحدة لجميع هذه الحالات المحتملة:

تحتاج إلى ضرب 40 كم في عدد معين من الساعات، مهما كان.

وبالتالي، إذا كانت المشكلة ممثلة في منظر عاملذا:

يتحرك قطار بشكل منتظم ويقطع مسافة v km في ساعة واحدة. كم عدد الكيلومترات التي سيقطعها القطار في ساعات t؟

إذن، بغض النظر عن الرقمين v وt، يمكننا تقديم إجابة واحدة: يتم التعبير عن الرقم المطلوب بالصيغة v · t.

ملحوظة. إن العثور على كسر ما من رقم معين، حسب تعريفنا، يعني نفس الشيء مثل ضرب رقم معين في هذا الكسر؛ لذلك، على سبيل المثال، العثور على 5% (أي خمسمائة جزء من مائة) من رقم معين يعني نفس الشيء مثل ضرب رقم معين بـ أو بـ؛ إن العثور على 125% من رقم معين يعني ضرب هذا الرقم في أو في، وما إلى ذلك.

§ 142.ملاحظة متى يزيد العدد ومتى ينقص من الضرب.

الضرب في كسر حقيقي يقلل العدد، والضرب في كسر غير حقيقي يزيد العدد إذا كان هذا الكسر غير الحقيقي أكبر من واحد، ويبقى دون تغيير إذا كان يساوي واحدًا.
تعليق. عند ضرب الأعداد الكسرية، وكذلك الأعداد الصحيحة، يؤخذ الناتج مساويًا للصفر إذا كان أي من العوامل يساوي الصفر، لذلك .

§ 143. اشتقاق قواعد الضرب.

1) ضرب الكسر في عدد صحيح. دع الكسر يضرب في 5. وهذا يعني زيادة بمقدار 5 مرات. لزيادة الكسر بمقدار 5 مرات، يكفي زيادة بسطه أو تقليل مقامه بمقدار 5 مرات (الفقرة 127).

لهذا السبب:
المادة 1. لضرب كسر في عدد صحيح، تحتاج إلى ضرب البسط في هذا العدد الصحيح، ولكن اترك المقام كما هو؛ بدلًا من ذلك، يمكنك أيضًا قسمة مقام الكسر على العدد الصحيح المحدد (إن أمكن)، وترك البسط كما هو.

تعليق. حاصل ضرب الكسر ومقامه يساوي بسطه.

لذا:
القاعدة 2. لضرب عدد صحيح في كسر، تحتاج إلى ضرب العدد الصحيح في بسط الكسر وجعل هذا الناتج هو البسط، وتوقيع مقام هذا الكسر على أنه المقام.
القاعدة 3. لضرب كسر في كسر، تحتاج إلى ضرب البسط في البسط والمقام في المقام، وجعل المنتج الأول هو البسط، والثاني هو مقام المنتج.

تعليق. يمكن تطبيق هذه القاعدة أيضًا على ضرب كسر في عدد صحيح وعدد صحيح في كسر، فقط إذا اعتبرنا العدد الصحيح كسرًا مقامه واحدًا. لذا:

وبالتالي، فإن القواعد الثلاثة الموضحة الآن موجودة في قاعدة واحدة، والتي يمكن التعبير عنها بشكل عام على النحو التالي:
4) ضرب الأعداد الكسرية.

القاعدة الرابعة. لضرب الأعداد الكسرية، عليك تحويلها إلى كسور غير حقيقية ثم الضرب وفقًا لقواعد ضرب الكسور. على سبيل المثال:
§ 144. التخفيض أثناء الضرب. عند ضرب الكسور، إن أمكن، من الضروري إجراء تخفيض أولي، كما يتبين من الأمثلة التالية:

يمكن إجراء هذا التخفيض لأن قيمة الكسر لن تتغير إذا تم تقليل البسط والمقام بمقدار نفس الرقممرة واحدة.

§ 145. تغيير المنتج بتغير العوامل.عندما تتغير العوامل، سيتغير منتج الأعداد الكسرية بنفس الطريقة تمامًا مثل منتج الأعداد الصحيحة (§ 53)، وهي: إذا قمت بزيادة (أو نقصان) أي عامل عدة مرات، فإن المنتج سيزيد (أو ينقص) بنفس المبلغ .

لذلك، إذا كان في المثال:
لضرب عدة كسور، تحتاج إلى ضرب بسطها مع بعضها البعض والمقامات مع بعضها البعض وجعل المنتج الأول هو البسط، والثاني هو مقام المنتج.

تعليق. يمكن أيضًا تطبيق هذه القاعدة على مثل هذه المنتجات التي تكون فيها بعض عوامل العدد أعدادًا صحيحة أو مختلطة، فقط إذا اعتبرنا العدد الصحيح كسرًا مقامه واحدًا، وقمنا بتحويل الأعداد المختلطة إلى كسور غير حقيقية. على سبيل المثال:
§ 147. الخصائص الأساسية للضرب.خصائص الضرب التي أشرنا إليها بالنسبة للأعداد الصحيحة (الفقرات 56، 57، 59) تنطبق أيضًا على ضرب الأعداد الكسرية. دعونا نشير إلى هذه الخصائص.

1) لا يتغير الناتج بتغير العوامل.

على سبيل المثال:

في الواقع، وفقا لقاعدة الفقرة السابقة، فإن الناتج الأول يساوي الكسر، والثاني يساوي الكسر. لكن هذه الكسور هي نفسها، لأن حدودها تختلف فقط في ترتيب العوامل الصحيحة، وحاصل الأعداد الصحيحة لا يتغير بتغير أماكن العوامل.

2) لن يتغير المنتج إذا تم استبدال أي مجموعة من العوامل بمنتجها.

على سبيل المثال:

النتائج هي نفسها.

ومن خاصية الضرب هذه يمكن استخلاص الاستنتاج التالي:

لضرب رقم في حاصل الضرب، يمكنك ضرب هذا الرقم في العامل الأول، وضرب الرقم الناتج في العامل الثاني، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال:
3) قانون توزيع الضرب (بالنسبة إلى الجمع). لضرب مجموع في رقم، يمكنك ضرب كل حد على حدة في هذا الرقم وإضافة النتائج.

لقد شرحنا هذا القانون (المادة 59) كما هو مطبق على الأعداد الصحيحة. يبقى صحيحًا دون أي تغييرات في الأعداد الكسرية.

دعونا نبين، في الواقع، أن المساواة

(أ + ب + ج + .)م = ص + ب + سم + .

(قانون توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع) يظل صحيحًا حتى عندما تكون الحروف معنية أرقام كسرية. دعونا ننظر في ثلاث حالات.

1) لنفترض أولاً أن العامل m هو عدد صحيح، على سبيل المثال m = 3 (a، b، c – أي أرقام). وفقًا لتعريف الضرب بعدد صحيح، يمكننا أن نكتب (نقتصر على ثلاثة مصطلحات للتبسيط):

(أ + ب + ج) * 3 = (أ + ب + ج) + (أ + ب + ج) + (أ + ب + ج).

بناءً على قانون الجمع، يمكننا حذف جميع الأقواس الموجودة على الجانب الأيمن؛ ومن خلال تطبيق قانون الجمع التبادلي، ثم قانون الدمج مرة أخرى، يمكننا بوضوح إعادة الكتابة الجانب الأيمنلذا:

(أ + أ + أ) + (ب + ب + ب) + (ج + ج + ج).

(أ + ب + ج) * 3 = أ * 3 + ب * 3 + ج * 3.

وهذا يعني أن قانون التوزيع مؤكد في هذه الحالة.

قسمة كسر على عدد طبيعي

الأقسام:الرياضيات

ت نوع الدرس: ONZ (اكتشاف المعرفة الجديدة - استخدام تقنية طريقة التدريس القائمة على النشاط).

1. استنتاج طرق قسمة الكسر على عدد طبيعي.
2. تطوير القدرة على قسمة الكسر على عدد طبيعي.
3. كرر وتعزيز تقسيم الكسور؛
4. تدريب القدرة على تقليل الكسور وتحليل المشكلات وحلها.

المواد التوضيحية للمعدات:

1. مهام تحديث المعرفة:

2. المهمة التجريبية (الفردية).

1. إجراء القسمة:

2. إجراء القسمة دون إجراء سلسلة العمليات الحسابية بأكملها: .

• عند قسمة كسر على عدد طبيعي، يمكنك ضرب المقام بهذا الرقم، لكن اترك البسط كما هو.

• إذا كان البسط يقبل القسمة على عدد طبيعي، فعند قسمة الكسر على هذا الرقم، يمكنك تقسيم البسط على الرقم وترك المقام كما هو.

I. الدافع (تقرير المصير) ل الأنشطة التعليمية.

1. تنظيم تحديث متطلبات الطالب من حيث الأنشطة التعليمية ("يجب")؛
2. تنظيم الأنشطة الطلابية لإنشاء أطر مواضيعية ("أستطيع")؛
3. تهيئة الظروف للطالب لتنمية الحاجة الداخلية للاندماج في الأنشطة التعليمية ("أريد").

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الأولى.

مرحبًا! يسعدني رؤيتكم جميعًا في درس الرياضيات. آمل أن يكون متبادلا.

يا رفاق، ما هي المعرفة الجديدة التي اكتسبتموها في الدرس الأخير؟ (تقسيم الكسور).

يمين. ما الذي يساعدك على القيام بتقسيم الكسور؟ (قاعدة، خصائص).

أين نحتاج إلى هذه المعرفة؟ (في الأمثلة والمعادلات والمسائل).

أحسنت! لقد قمت بعمل جيد في الواجبات في الدرس الأخير. هل تريد اكتشاف معرفة جديدة بنفسك اليوم؟ (نعم).

إذا دعنا نذهب! وسيكون شعار الدرس عبارة "لا يمكنك تعلم الرياضيات بمشاهدة جارك يفعل ذلك!"

ثانيا. تحديث المعرفة وإصلاح الصعوبات الفردية في إجراء المحاكمة.

1. تنظيم تحديث أساليب العمل المستفادة الكافية لبناء معرفة جديدة. تسجيل هذه الأساليب لفظياً (كلامياً) ورمزياً (قياسياً) وتعميمها؛
2. تنظيم تحقيق العمليات العقلية و العمليات المعرفيةكافية لبناء معرفة جديدة؛
3. التحفيز على إجراء المحاكمة وتنفيذها وتبريرها بشكل مستقل؛
4. تقديم مهمة فردية لإجراء تجريبي وتحليلها من أجل تحديد محتوى تعليمي جديد؛
5. تنظيم تثبيت الهدف التعليمي وموضوع الدرس؛
6. تنظيم تنفيذ الإجراء التجريبي وإصلاح الصعوبة؛
7. تنظيم تحليل للردود الواردة وتسجيل الصعوبات الفردية في تنفيذ إجراء المحاكمة أو تبريره.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثانية.

أمامياً باستخدام الأجهزة اللوحية (المجالس الفردية).

1. مقارنة التعبيرات:

(هذه التعبيرات متساوية)

ما هي الأشياء المثيرة للاهتمام التي لاحظتها؟ (زاد بسط ومقام المقسوم، وبسط ومقام المقسوم عليه في كل تعبير بنفس عدد المرات. وبالتالي، يتم تمثيل المقسومات والمقسومات في التعبيرات بكسور متساوية مع بعضها البعض).

ابحث عن معنى التعبير واكتبه على جهازك اللوحي. (2)

كيف يمكنني كتابة هذا الرقم في صورة كسر؟

كيف قمت بتنفيذ عملية القسمة؟ (يقرأ الأطفال القاعدة، ويعلقها المعلم على السبورة تسميات الحروف)

2. حساب وتسجيل النتائج فقط:

3. اجمع النتائج واكتب الإجابة. (2)

ما اسم الرقم الذي تم الحصول عليه في المهمة 3؟ (طبيعي)

هل تعتقد أنه يمكنك قسمة الكسر على عدد طبيعي؟ (نعم، سنحاول)

جرب هذا.

4. مهمة فردية (تجريبية).

إجراء القسمة: (مثال أ فقط)

ما هي القاعدة التي استخدمتها للتقسيم؟ (حسب قاعدة قسمة الكسور على الكسور)

الآن اقسم الكسر على عدد طبيعي أكبر من بطريقة بسيطة، دون إجراء سلسلة العمليات الحسابية بأكملها: (المثال ب). سأعطيك 3 ثوان لهذا.

من منا لم يتمكن من إكمال المهمة في 3 ثوان؟

من فعلها؟ (لا يوجد مثل هذا)

لماذا؟ (لا نعرف الطريق)

على ماذا حصلت؟ (صعوبة)

ماذا تعتقد أننا سنفعل في الصف؟ (قسمة الكسور على الأعداد الطبيعية)

هذا صحيح، افتح دفاتر ملاحظاتك واكتب موضوع الدرس: "قسمة كسر على عدد طبيعي".

لماذا يبدو هذا الموضوع جديدًا عندما تعرف بالفعل كيفية تقسيم الكسور؟ (يحتاج طريق جديد)

يمين. اليوم سوف نقوم بتأسيس تقنية تبسط عملية تقسيم الكسر على عدد طبيعي.

ثالثا. تحديد مكان المشكلة وسببها.

1. تنظيم استعادة العمليات المكتملة وتسجيل (لفظي ورمزي) المكان - الخطوة، العملية - حيث نشأت الصعوبة؛
2. تنظيم الارتباط بين تصرفات الطلاب بالطريقة (الخوارزمية) المستخدمة والتثبيت في الكلام الخارجي لسبب الصعوبة - تلك المعرفة أو المهارات أو القدرات المحددة التي تفتقر إلى حل المشكلة الأولية من هذا النوع.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الثالثة.

ما المهمة التي كان عليك إكمالها؟ (قسمة كسر على عدد طبيعي دون المرور بسلسلة العمليات الحسابية بأكملها)

ما الذي سبب لك صعوبة؟ (لم أستطع اتخاذ قرار بشأن وقت قصيرالطريق السريع)

ما الهدف الذي حددناه لأنفسنا في الدرس؟ (يجد طريقة سريعةقسمة كسر على عدد طبيعي)

ما الذي سيساعدك؟ (قاعدة معروفة بالفعل لتقسيم الكسور)

رابعا. بناء مشروع للخروج من المشكلة.

1. توضيح هدف المشروع؛
2. اختيار الطريقة (التوضيح)؛
3. تحديد الوسائل (الخوارزمية)؛
4. بناء خطة لتحقيق الهدف.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الرابعة.

دعنا نعود إلى مهمة الاختبار. قلت إنك قسمت على قاعدة قسمة الكسور؟ (نعم)

للقيام بذلك، استبدال العدد الطبيعي بكسر؟ (نعم)

ما هي الخطوة (أو الخطوات) التي تعتقد أنه يمكن تخطيها؟

(سلسلة الحلول مفتوحة على السبورة:

تحليل واستخلاص النتائج. (الخطوة 1)

إذا لم تكن هناك إجابة، فإننا نوجهك عبر الأسئلة:

أين ذهب القاسم الطبيعي؟ (في القاسم)

هل تغير البسط؟ (لا)

إذن ما هي الخطوة التي يمكنك "حذفها"؟ (الخطوة 1)

• ضرب مقام الكسر في عدد طبيعي.
• نحن لا نغير البسط.
• نحصل على جزء جديد.

خامسا: تنفيذ المشروع المشيد.

1. تنظيم التفاعل التواصلي من أجل تنفيذ المشروع المبني بهدف اكتساب المعرفة المفقودة؛
2. تنظيم تسجيل أسلوب العمل المبني في الكلام والإشارات (باستخدام معيار)؛
3. تنظيم الحل للمشكلة الأولية وتسجيل كيفية التغلب على الصعوبة؛
4. تنظيم التوضيح عاممعرفة جديدة.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة الخامسة.

الآن قم بتشغيل حالة الاختبار بطريقة جديدة بسرعة.

الآن هل تمكنت من إكمال المهمة بسرعة؟ (نعم)

اشرح كيف فعلت هذا؟ (حديث الاطفال)

وهذا يعني أننا اكتسبنا معرفة جديدة: قاعدة قسمة الكسر على عدد طبيعي.

أحسنت! قل ذلك في أزواج.

ثم يتحدث أحد الطلاب إلى الفصل. نقوم بإصلاح خوارزمية القاعدة شفهيًا وفي شكل معيار على السبورة.

أدخل الآن تسميات الحروف واكتب صيغة قاعدتنا.

يكتب الطالب على السبورة قائلا القاعدة: عند قسمة كسر على عدد طبيعي، يمكنك ضرب المقام بهذا الرقم، لكن اترك البسط كما هو.

(يكتب الجميع الصيغة في دفاتر ملاحظاتهم).

الآن قم بتحليل سلسلة حل مهمة الاختبار مرة أخرى عن طريق الدوران انتباه خاصإلى الجواب. ما الذي فعلته؟ (تم قسمة (تصغير) بسط الكسر 15 على الرقم 3)

ما هذا الرقم؟ (طبيعي، مقسوم عليه)

فكيف يمكنك قسمة الكسر على عدد طبيعي؟ (تأكد: إذا كان بسط الكسر يقبل القسمة على هذا العدد الطبيعي، فيمكنك قسمة البسط على هذا الرقم، وكتابة النتيجة في بسط الكسر الجديد، وترك المقام كما هو)

اكتب هذه الطريقة كصيغة. (يكتب الطالب القاعدة على السبورة أثناء نطقها. ويكتب الجميع الصيغة في دفاتر ملاحظاتهم).

دعنا نعود إلى الطريقة الأولى. يمكنك استخدامه إذا: ن؟ (نعم انها الطريقة العامة)

ومتى يكون من الملائم استخدام الطريقة الثانية؟ (عندما يتم قسمة بسط الكسر على عدد طبيعي بدون باقي)

السادس. الدمج الأساسي مع النطق في الكلام الخارجي.

1. تنظيم استيعاب الأطفال لطريقة عمل جديدة عند حل المشكلات القياسية المتعلقة بنطقهم في الكلام الخارجي (أماميًا، في أزواج أو مجموعات).

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة السادسة.

احسب بطريقة جديدة:

• رقم 363 (أ ؛ د) - يتم إجراؤه على السبورة ونطق القاعدة.
• رقم 363 (هـ،و) - في أزواج مع الفحص حسب العينة.

سابعا. العمل المستقل مع الاختبار الذاتي وفقًا للمعايير.

1. تنظيم استكمال الطلاب للمهام بشكل مستقل من أجل طريقة جديدة للعمل؛
2. تنظيم الاختبار الذاتي على أساس المقارنة مع المعيار؛
3. بناء على نتائج التنفيذ عمل مستقلتنظيم التفكير في استيعاب طريقة عمل جديدة.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة السابعة.

احسب بطريقة جديدة:

يتحقق الطلاب من المعيار ويضعون علامة على صحة التنفيذ. ويتم تحليل أسباب الأخطاء وتصحيح الأخطاء.

يسأل المعلم الطلاب الذين أخطأوا ما السبب؟

في هذه المرحلة، من المهم أن يقوم كل طالب بفحص عمله بشكل مستقل.

قبل حل المهمة 8)، فكر في مثال من الكتاب المدرسي:

تاسعا. التفكير في أنشطة التعلم في الفصل الدراسي.

1. تنظيم تسجيل المحتوى الجديد الذي تم تعلمه في الدرس؛
2. تنظيم تحليل عاكس للأنشطة التعليمية من وجهة نظر تلبية المتطلبات المعروفة للطلاب؛
3. تنظيم تقييم الطلاب لأنشطتهم الخاصة في الدرس؛
4. تنظيم تسجيل الصعوبات التي لم يتم حلها في الدرس كإتجاه للأنشطة التعليمية المستقبلية؛
5. تنظيم مناقشة وتسجيل الواجبات المنزلية.

تنظيم العملية التعليمية في المرحلة التاسعة.

يا رفاق، ما هي المعرفة الجديدة التي اكتشفتموها اليوم؟ (تعلمت كيفية قسمة كسر على عدد طبيعي بطريقة بسيطة)

صياغة طريقة عامة. (يقولون)

بأي طريقة وفي أي الحالات يمكنك استخدامه؟ (يقولون)

ما هي ميزة الطريقة الجديدة؟

هل حققنا هدف الدرس؟ (نعم)

ما هي المعرفة التي استخدمتها لتحقيق هدفك؟ (يقولون)

هل نجح كل شيء بالنسبة لك؟

ما هي الصعوبات؟

) والمقام بالمقام (نحصل على مقام المنتج).

صيغة ضرب الكسور:

على سبيل المثال:

قبل أن تبدأ في ضرب البسط والمقامات، عليك التحقق مما إذا كان من الممكن تبسيط الكسر. إذا تمكنت من تقليل الكسر، فسيكون من الأسهل عليك إجراء المزيد من الحسابات.

قسمة كسر عادي على كسر.

قسمة الكسور التي تحتوي على أعداد طبيعية.

انها ليست مخيفة كما يبدو. كما في حالة الجمع، نحول العدد الصحيح إلى كسر به واحد في المقام. على سبيل المثال:

ضرب الكسور المختلطة.

قواعد ضرب الكسور (مختلطة):

• تحويل الكسور المختلطة إلى الكسور غير الحقيقية.
• ضرب بسط ومقامات الكسور؛
• تقليل الكسر
• إذا حصلت على كسر غير حقيقي، فإننا نقوم بتحويل الكسر غير الحقيقي إلى كسر مختلط.

ملحوظة!لضرب كسر مختلط في كسر مختلط آخر، عليك أولاً تحويلهما إلى صورة كسور غير حقيقية، ثم الضرب وفقًا لقاعدة ضرب الكسور العادية.

الطريقة الثانية لضرب الكسر في عدد طبيعي.

قد يكون من الأفضل استخدام الطريقة الثانية لضرب الكسر العادي بعدد.

ملحوظة!لضرب كسر في عدد طبيعي، عليك قسمة مقام الكسر على هذا الرقم، وترك البسط دون تغيير.

من المثال المذكور أعلاه، من الواضح أن هذا الخيار أكثر ملاءمة للاستخدام عندما يتم قسمة مقام الكسر بدون باقي على عدد طبيعي.

كسور متعددة الطوابق.

في المدرسة الثانوية، غالبا ما تتم مواجهة الكسور المكونة من ثلاثة طوابق (أو أكثر). مثال:

لإرجاع هذا الكسر إلى شكله المعتاد، استخدم القسمة على نقطتين:

ملحوظة!عند قسمة الكسور، فإن ترتيب القسمة مهم جدًا. كن حذرًا، فمن السهل أن تتشوش هنا.

ملحوظة، على سبيل المثال:

عند قسمة واحد على أي كسر، فإن النتيجة ستكون نفس الكسر، معكوسة فقط:

نصائح عملية لضرب وقسمة الكسور:

1. أهم شيء عند التعامل مع التعبيرات الكسرية هو الدقة والانتباه. قم بإجراء جميع الحسابات بعناية ودقة وتركيز ووضوح. من الأفضل أن تكتب بضعة أسطر إضافية في مسودتك بدلًا من الضياع في الحسابات الذهنية.

2. في المهام مع أنواع مختلفةالكسور - انتقل إلى شكل الكسور العادية.

3. نقوم بتقليل جميع الكسور حتى لا يكون من الممكن تقليلها.

4. نقوم بتحويل التعبيرات الكسرية متعددة المستويات إلى تعبيرات عادية باستخدام القسمة على نقطتين.

5. اقسم الوحدة على كسر في رأسك، ببساطة قم بقلب الكسر.

لضرب كسر في كسر أو كسر في رقم بشكل صحيح، عليك أن تعرف قواعد بسيطة. وسنقوم الآن بتحليل هذه القواعد بالتفصيل.

ضرب كسر عادي في كسر.

لضرب كسر في كسر، عليك حساب حاصل ضرب البسطين وحاصل ضرب مقامات هذه الكسور.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

لنلقي نظرة على مثال:
نضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ونضرب أيضًا مقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني.

\(\frac(6)(7) \مرات \frac(2)(3) = \frac(6 \مرات 2)(7 \مرات 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ مرات 3)(7 \مرات 3) = \frac(4)(7)\\\)

تم تقليل الكسر \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) بمقدار 3.

ضرب الكسر بعدد.

أولا، دعونا نتذكر القاعدة، يمكن تمثيل أي رقم ككسر \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

دعونا نستخدم هذه القاعدة عند الضرب.

\(5 \مرات \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \مرات \frac(4)(7) = \frac(5 \مرات 4)(1 \مرات 7) = \frac (20)(7) = 2\فارك(6)(7)\\\)

كسر غير حقيقي \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) محولة إلى كسر مختلط.

بعبارة أخرى، عند ضرب عدد في كسر، نضرب الرقم في البسط ونترك المقام دون تغيير.مثال:

\(\frac(2)(5) \مرات 3 = \frac(2 \مرات 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

ضرب الكسور المختلطة.

لضرب الكسور المختلطة، يجب عليك أولًا تمثيل كل كسر مختلط ككسر غير فعلي، ثم استخدام قاعدة الضرب. نضرب البسط في البسط، ونضرب المقام في المقام.

مثال:
\(2\frac(1)(4) \مرات 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \مرات \frac(23)(6) = \frac(9 \مرات 23) (4 \مرات 6) = \frac(3 \مرات \اللون(أحمر) (3) \مرات 23)(4 \مرات 2 \مرات \color(أحمر) (3)) = \frac(69)(8) = 8\فارك(5)(8)\\\)

ضرب الكسور والأرقام المتبادلة.

الكسر \(\bf \frac(a)(b)\) هو معكوس الكسر \(\bf \frac(b)(a)\)، بشرط a≠0,b≠0.
الكسور \(\bf \frac(a)(b)\) و \(\bf \frac(b)(a)\) تسمى الكسور المتبادلة. منتج الكسور المتبادلة يساوي 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

مثال:
\(\frac(5)(9) \مرات \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

أسئلة ذات صلة:
كيفية ضرب الكسر في الكسر؟
الإجابة: حاصل ضرب الكسور العادية هو ضرب البسط في البسط والمقام في المقام. للحصول على ناتج الكسور المختلطة، تحتاج إلى تحويلها إلى كسر غير حقيقي وضربها وفقًا للقواعد.

كيفية ضرب الكسور ذات القواسم المختلفة؟
الإجابة: لا يهم ما إذا كانت الكسور لها نفس المقامات أو مختلفة، فالضرب يحدث وفقًا لقاعدة إيجاد حاصل ضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

كيفية ضرب الكسور المختلطة؟
الإجابة: أولًا، عليك تحويل الكسر المختلط إلى كسر غير فعلي ثم إيجاد الناتج باستخدام قواعد الضرب.

كيفية ضرب رقم في الكسر؟
الجواب: نضرب العدد في البسط، ونترك المقام كما هو.

مثال 1:
احسب حاصل الضرب: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

حل:
أ) \(\frac(8)(9) \مرات \frac(7)(11) = \frac(8 \مرات 7)(9 \مرات 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
ب) \(\frac(2)(15) \مرات \frac(10)(13) = \frac(2 \مرات 10)(15 \مرات 13) = \frac(2 \مرات 2 \مرات \color( أحمر) (5))(3 \مرات \اللون(أحمر) (5) \مرات 13) = \frac(4)(39)\)

المثال رقم 2:
حساب حاصل ضرب عدد وكسر: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

حل:
أ) \(3 \مرات \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \مرات \frac(17)(23) = \frac(3 \مرات 17)(1 \مرات 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
ب) \(\frac(2)(3) \مرات 11 = \frac(2)(3) \مرات \frac(11)(1) = \frac(2 \مرات 11)(3 \مرات 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

المثال رقم 3:
اكتب مقلوب الكسر \(\frac(1)(3)\)؟
الإجابة: \(\frac(3)(1) = 3\)

المثال رقم 4:
احسب حاصل ضرب كسرين متبادلين: أ) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

حل:
أ) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

المثال رقم 5:
هل يمكن أن تكون الكسور المتبادلة:
أ) في وقت واحد مع الكسور المناسبة؛
ب) الكسور غير الصحيحة في وقت واحد؛
ج) في نفس الوقت الأعداد الطبيعية?

حل:
أ) للإجابة على السؤال الأول، دعونا نعطي مثالا. الكسر \(\frac(2)(3)\) صحيح، والكسر العكسي له سيكون مساويًا لـ \(\frac(3)(2)\) - وهو كسر غير حقيقي. الجواب: لا.

ب) في جميع تعدادات الكسور تقريبًا لا يتم استيفاء هذا الشرط، ولكن هناك بعض الأعداد التي تحقق شرط أن تكون كسرًا غير فعلي في نفس الوقت. على سبيل المثال، الكسر غير الحقيقي هو \(\frac(3)(3)\)، وكسره العكسي يساوي \(\frac(3)(3)\). نحصل على كسرين غير حقيقيين. الإجابة: ليس دائمًا في ظل ظروف معينة عندما يكون البسط والمقام متساويين.

ج) الأعداد الطبيعية هي الأعداد التي نستخدمها عند العد، على سبيل المثال، 1، 2، 3، …. إذا أخذنا الرقم \(3 = \frac(3)(1)\)، فإن الكسر العكسي له سيكون \(\frac(1)(3)\). الكسر \(\frac(1)(3)\) ليس عددًا طبيعيًا. إذا مررنا بجميع الأرقام، يكون مقلوب الرقم دائمًا كسرًا، باستثناء 1. إذا أخذنا الرقم 1، فسيكون كسره المتبادل \(\frac(1)(1) = \frac(1) )(1) = 1\). الرقم 1 هو عدد طبيعي. الإجابة: يمكن أن تكون أعدادًا طبيعية في نفس الوقت في حالة واحدة فقط، إذا كان هذا هو الرقم 1.

المثال رقم 6:
أوجد حاصل ضرب الكسور المختلطة: أ) \(4 \مرات 2\frac(4)(5)\) ب) \(1\frac(1)(4) \مرات 3\frac(2)(7)\ )

حل:
أ) \(4 \مرات 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \مرات \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
ب) \(1\frac(1)(4) \مرات 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \مرات \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\فارك(3)(7)\)

المثال رقم 7:
هل يمكن أن يوجد رقمان متبادلان في نفس الوقت؟ أرقام مختلطة?

لنلقي نظرة على مثال. لنأخذ كسرًا مختلطًا \(1\frac(1)(2)\)، ونوجد الكسر العكسي الخاص به، وللقيام بذلك نقوم بتحويله إلى كسر غير فعلي \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2)\) . سيكون الكسر العكسي مساويًا لـ \(\frac(2)(3)\) . الكسر \(\frac(2)(3)\) هو كسر حقيقي. الإجابة: لا يمكن أن يكون الكسران المتضادان عددين كسريين في نفس الوقت.