الإجابات:

لا اسم

إذا أخذنا في الاعتبار أن a^x=e^x*ln(a)، فسيتبين أن 0^0=1 (الحد الأقصى لـ x->0)
على الرغم من أن الإجابة "عدم اليقين" مقبولة أيضًا

الصفر في الرياضيات ليس فراغًا، إنه رقم قريب جدًا من "لا شيء"، تمامًا مثل اللانهاية ولكن في الاتجاه المعاكس

اكتب:
0^0 = 0^(أ-أ) = 0^أ * 0^(-أ) = 0^أ / 0^أ = 0 / 0
اتضح أننا في هذه الحالة نقسم على صفر، ولم يتم تعريف هذه العملية في مجال الأعداد الحقيقية.

منذ 6 سنوات

RPI.su هي أكبر قاعدة بيانات للأسئلة والأجوبة باللغة الروسية. تم تنفيذ مشروعنا كاستمرار للخدمة الشعبية otvety.google.ru، والتي تم إغلاقها وحذفها في 30 أبريل 2015. قررنا إحياء خدمة إجابات Google المفيدة حتى يتمكن أي شخص من معرفة إجابة سؤاله علنًا من مجتمع الإنترنت.

تم نسخ جميع الأسئلة المضافة إلى موقع إجابات Google وتخزينها هنا. يتم أيضًا عرض أسماء المستخدمين القديمة كما كانت موجودة سابقًا. كل ما عليك فعله هو التسجيل مرة أخرى لتتمكن من طرح الأسئلة أو الإجابة على الآخرين.

للاتصال بنا إذا كانت لديك أية أسئلة حول الموقع (الإعلان، التعاون، التعليقات حول الخدمة)، راسلنا على [البريد الإلكتروني محمي]. كل شيء فقط القضايا العامةالنشر على الموقع، فلن يتلقوا ردًا عبر البريد.

ماذا يساوي الصفر إذا رفع للأس صفر؟

لماذا الرقم أس 0 يساوي 1؟ هناك قاعدة أن أي رقم غير الصفر يرفع إليه درجة الصفر، ستكون مساوية لواحد: 20 = 1؛ 1.50 = 1; 100000 = 1 ولكن لماذا هذا؟ عندما يتم رفع رقم إلى قوة ذات أس طبيعي، فهذا يعني أنه مضروب في نفسه عدة مرات مثل الأس: 43 = 4 × 4 × 4؛ 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 عندما يكون الأس يساوي 1، فعند الإنشاء يكون هناك عامل واحد فقط (إذا أمكن الحديث عن العوامل على الإطلاق)، وبالتالي تكون نتيجة البناء متساوية إلى قاعدة القوة: 181 = 18؛ (–3.4)1 = –3.4 لكن ماذا عن مؤشر الصفر في هذه الحالة؟ ما هو مضروب في ماذا؟ دعونا نحاول أن نذهب بطريقة مختلفة. ومعلوم أنه إذا درجتين أسباب متطابقة، لكن مؤشرات مختلفة، ثم يمكن ترك الأساس كما هو، ويمكن إضافة الأسس إلى بعضها البعض (إذا كانت القوى مضروبة)، أو يمكن طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم (إذا كانت القوى مقسمة) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 والآن فكر في هذا المثال: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ؟ ماذا لو لم نستخدم خاصية الدرجات التي لها نفس الأساس وقمنا بإجراء الحسابات بالترتيب الذي تظهر به: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 وبذلك حصلنا على الوحدة العزيزة. وهكذا يبدو أن الأس الصفري يشير إلى أن العدد لا يضرب في نفسه، بل يقسم على نفسه. ومن هنا يتضح سبب عدم معنى التعبير 00. ففي نهاية المطاف، لا يمكنك القسمة على 0. ويمكنك التفكير بطريقة مختلفة. إذا كان هناك، على سبيل المثال، ضرب للقوى 52 × 50 = 52+0 = 52، فيترتب على ذلك أنه تم ضرب 52 في 1. وبالتالي، 50 = 1.

من خواص القوى: a^n / a^m = a^(n-m) إذا كانت n=m فإن الناتج سيكون واحدًا إلا بطبيعة الحال a=0، في هذه الحالة (حيث أن صفر إلى أي أس سيكون صفرًا) القسمة على سيحدث الصفر، لذا فإن 0^0 غير موجود

المحاسبة بلغات مختلفة

أسماء الأرقام من 0 إلى 9 باللغات الشائعة في العالم.

القوى السالبة والصفرية لعدد ما

القوى الصفرية والسلبية والكسرية

مؤشر الصفر

إن رفع رقم معين إلى قوة معينة يعني تكراره بعامل عدة مرات مثل عدد الوحدات في الأس.

ووفقاً لهذا التعريف فإن التعبير: أ 0 لا معنى له. ولكن لكي يكون لقاعدة تقسيم القوى ذات العدد نفسه معنى حتى في الحالة التي يكون فيها أس المقسوم عليه مساوياً لأس المقسوم، فقد تم تقديم تعريف:

القوة الصفرية لأي عدد ستكون مساوية لواحد.

مؤشر سلبي

تعبير أكون، في حد ذاته ليس له معنى. ولكن لكي تكون قاعدة تقسيم القوى ذات العدد نفسه صالحة حتى في الحالة التي يكون فيها أس المقسوم عليه أكبر من أس المقسوم، فقد تم تقديم تعريف:

مثال 1. إذا كان عدد معين يتكون من 5 مئات و7 عشرات ووحدتين و9 أجزاء من مائة، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572.09

مثال 2. إذا كان عدد معين يتكون من عشرات ووحدات b وأجزاء من c وأجزاء من ألف من الألف، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

أ× 10 1 + ب× 10 0 + ج× 10 -1+ د× 10 -3

الإجراءات على القوى ذات الأسس السلبية

عند ضرب قوى نفس العدد، فإن الأسس تضيف ما يصل.

عند قسمة القوى على نفس العدد، يتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.

لرفع منتج إلى قوة، يكفي رفع كل عامل على حدة إلى هذه القوة:

لرفع الكسر إلى قوة، يكفي رفع حدي الكسر بشكل منفصل إلى هذه القوة:

عندما يتم رفع قوة إلى قوة أخرى، يتم ضرب الأسس.

مؤشر كسور

لو كليس مضاعفًا ن، فإن التعبير: لا معنى له. ولكن لكي تطبق قاعدة استخراج جذر الدرجة لأي قيمة للأس، فقد تم تقديم تعريف:

بفضل إدخال رمز جديد، يمكن دائمًا استبدال استخراج الجذر بالأس.

الإجراءات على القوى ذات الأسس الكسرية

يتم تنفيذ الإجراءات المتعلقة بالقوى ذات الأسس الكسرية وفقًا لنفس القواعد التي تم وضعها للأسس الصحيحة.

عند إثبات هذا الاقتراح، سنفترض أولاً أن شروط الكسور: و، التي تعمل كأسس، إيجابية.

في حالة خاصة نأو سقد يكون مساوياً لواحد.

عند ضرب قوى نفس العدد، تتم إضافة الأسس الكسرية:

عند قسمة قوى نفس العدد على الأسس الكسرية، يتم طرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم:

لرفع قوة إلى قوة أخرى في حالة الأسس الكسرية، يكفي ضرب الأسس:

لاستخراج جذر القوة الكسرية، يكفي قسمة الأس على أس الجذر:

قواعد العمل لا تنطبق فقط على إيجابيالمؤشرات الكسرية، ولكن أيضا ل سلبي.

هناك قاعدة مفادها أن أي عدد غير الصفر مرفوعًا للأس صفر يساوي واحدًا:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
ومع ذلك، لماذا هذا؟
عندما يتم رفع عدد إلى قوة ذات أس طبيعي، فهذا يعني أنه مضروب في نفسه عدة مرات مثل الأس:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 × 2
عندما يكون الأس يساوي 1، فعند البناء يكون هناك عامل واحد فقط (إذا كان بإمكاننا التحدث عن العوامل هنا على الإطلاق)، وبالتالي فإن نتيجة البناء تساوي قاعدة الدرجة:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
ولكن ماذا عن مؤشر الصفر في هذه الحالة؟ ما هو مضروب في ماذا؟
دعونا نحاول أن نذهب بطريقة مختلفة.

لماذا الرقم أس 0 يساوي 1؟

من المعلوم أنه إذا كانت الأستان لهما نفس الأساس، لكن أسسهما مختلفة، فيمكن ترك الأساس كما هو، ويمكن إما إضافة الأسس إلى بعضها البعض (إذا تضاعفت الأس)، أو يمكن أس المقسوم عليه يتم طرحها من أس الأرباح (إذا كانت السلطات قابلة للقسمة):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
الآن دعونا نلقي نظرة على هذا المثال:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
ماذا لو لم نستخدم خاصية القوى ذات الأساس نفسه وقمنا بإجراء الحسابات بالترتيب الذي تظهر به:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
وهكذا حصلنا على الوحدة المرغوبة. وهكذا يبدو أن الأس الصفري يشير إلى أن العدد لا يضرب في نفسه، بل يقسم على نفسه.
ومن هنا يتضح سبب عدم معنى التعبير 0 0. لا يمكنك القسمة على 0.

هناك قاعدة مفادها أن أي عدد غير الصفر مرفوعًا للأس صفر يساوي واحدًا:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

ومع ذلك، لماذا هذا؟

عندما يتم رفع عدد إلى قوة ذات أس طبيعي، فهذا يعني أنه مضروب في نفسه عدة مرات مثل الأس:
43 = 4...

0 0

في الجبر، رفع القوة إلى الصفر أمر شائع. ما هي الدرجة 0؟ ما هي الأعداد التي يمكن رفعها إلى الأس صفر وأيها لا يمكن رفعها؟

تعريف.

أي رقم أس صفر، باستثناء الصفر، يساوي واحدًا:

وبالتالي، بغض النظر عن الرقم الذي يتم رفعه إلى القوة 0، فإن النتيجة ستكون دائمًا هي نفسها - واحد.

و1 أس 0، و2 أس 0، وأي رقم آخر - عدد صحيح، كسري، موجب، سالب، عقلاني، غير عقلاني - عند رفعه إلى القوة صفر يعطي واحدًا.

الاستثناء الوحيد هو الصفر.

لم يتم تعريف صفر أس صفر، ومثل هذا التعبير ليس له معنى.

أي أنه يمكن رفع أي عدد باستثناء الصفر إلى الأس صفر.

إذا كانت النتيجة، عند تبسيط تعبير باستخدام القوى، رقمًا مرفوعًا للقوة صفر، فيمكن استبداله بواحد:

لو...

0 0

كجزء من المنهج الدراسي، تعتبر قيمة التعبير $%0^0$% غير محددة.

من وجهة نظر الرياضيات الحديثة، من المناسب افتراض أن $%0^0=1$%. الفكرة هنا هي التالية. يجب أن يكون هناك منتج مكون من أرقام $%n$% بالصيغة $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. لجميع $%n\ge2$% المساواة $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$%. ومن الملائم اعتبار هذه المساواة ذات معنى أيضًا بالنسبة إلى $%n=1$%، بافتراض $%p_0=1$%. المنطق هنا هو كما يلي: عند حساب المنتجات، نأخذ أولاً 1، ثم نضربها بالتسلسل في $%x_1$%، $%x_2$%، ...، $%x_n$%. هذه هي الخوارزمية المستخدمة للعثور على المنتجات عند كتابة البرامج. إذا لم تحدث الضربات لسبب ما، فسيظل الناتج يساوي واحدًا.

بمعنى آخر، من الملائم اعتبار مفهوم مثل "منتج العوامل 0" ذا معنى، مع الأخذ في الاعتبار أنه يساوي 1 حسب التعريف، وفي هذه الحالة، يمكننا أيضًا التحدث عن "المنتج الفارغ". إذا ضربنا رقما بهذا ...

0 0

صفر - هو صفر. بشكل تقريبي، أي قوة لعدد ما هي حاصل ضرب واحد والأس في هذا الرقم. لنفترض أن اثنين في الثالث يساوي 1*2*2*2، واثنان في ناقص الأول يساوي 1/2. وبعد ذلك من الضروري ألا يكون هناك ثغرة في الانتقال من الدرجات الموجبة إلى السالبة والعكس.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

هذا هو بيت القصيد.

بسيطة وواضحة، شكرا لك

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

على سبيل المثال، تحتاج فقط إلى التأكد من أن بعض الصيغ الصالحة للأسس الموجبة - على سبيل المثال x^n*x^m=x^(m+n) - لا تزال صالحة.
بالمناسبة، الأمر نفسه ينطبق على التعريف درجة سلبيةوأيضًا عقلانية (أي على سبيل المثال 5 أس 3/4)

> ولماذا هذا ضروري؟
على سبيل المثال، في الإحصاء والنظرية غالبًا ما يتم اللعب بدرجات صفر.

هل تزعجك الدرجات السلبية؟
...

0 0

نواصل النظر في خصائص الدرجات، خذ على سبيل المثال 16:8 = 2. بما أن 16=24 و8=23، يمكن كتابة القسمة بالشكل الأسي على النحو التالي: 24:23=2، لكن إذا طرحنا الأسس، فإن 24:23=21. وبالتالي، علينا أن نعترف بأن 2 و 21 هما نفس الشيء، وبالتالي 21 = 2.

وتنطبق نفس القاعدة على أي عدد أسي آخر، حتى نتمكن من صياغة القاعدة منظر عام:

أي عدد مرفوع إلى القوة الأولى يبقى دون تغيير

ربما أذهلك هذا الاستنتاج. لا يزال بإمكانك فهم معنى التعبير 21 = 2 بطريقة أو بأخرى، على الرغم من أن التعبير "رقم واحد مضروبًا في نفسه" يبدو غريبًا تمامًا. لكن التعبير 20 يعني "ليس رقم واحد اثنين،..."

0 0

تعريفات الدرجة:

1. درجة الصفر

أي عدد غير الصفر مرفوعًا للأس صفر يساوي واحدًا. صفر أس صفر غير محدد

2. درجة طبيعية غير الصفر

أي عدد x مرفوع إلى قوة طبيعية n غير الصفر يساوي ضرب أعداد n x معًا

3.1 جذر قوة طبيعية زوجية غير الصفر

جذر القوة الطبيعية الزوجية n، بخلاف الصفر، لأي عدد موجب x هو عدد موجب y والذي عند رفعه للأس n يعطي الرقم الأصلي x

3.2 جذر الدرجة الطبيعية الفردية

جذر القوة الطبيعية الفردية n لأي رقم x هو الرقم y الذي عند رفعه للأس n يعطي الرقم الأصلي x

3.3 جذر أي قوة طبيعية كقوة كسرية

إن استخراج جذر أي قوة طبيعية n، غير الصفر، من أي عدد x هو نفس رفع هذا العدد x إلى الأس الكسرية 1/n

0 0

مرحبا عزيزي راسل!

عند التعريف بمفهوم الدرجة هناك المدخل التالي: “قيمة التعبير a^0 =1”! وهذا يرجع إلى المفهوم المنطقي للدرجة ولا شيء غيره!
إنه أمر يستحق الثناء عندما يحاول الشاب الوصول إلى جوهر الأمور! ولكن هناك بعض الأشياء التي ينبغي ببساطة أن تؤخذ على أنها أمر مسلم به!
لا يمكنك بناء رياضيات جديدة إلا عندما تدرس ما تم اكتشافه منذ قرون مضت!
بالطبع، إذا استثنينا أنك "لست من هذا العالم" وأنك قد أعطيت أكثر بكثير من بقية الخطاة!

ملاحظة: حاولت آنا ميشيفا إثبات ما لا يمكن إثباته! جدير بالثناء أيضا!
ولكن هناك "لكن" واحد كبير - برهانها يفتقد العنصر الأكثر أهمية: حالة القسمة على صفر!

انظر بنفسك ماذا يمكن أن يحدث: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

لكن لا يمكنك القسمة على الصفر!

يرجى أن تكون أكثر حذرا!

مع الكتلة أطيب التمنياتوالسعادة في حياتك الشخصية..

0 0

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. دليل شامل (2019)

لماذا هناك حاجة إلى درجات؟ أين ستحتاجهم؟ لماذا يجب أن تأخذ الوقت الكافي لدراستها؟

لتتعلم كل شيء عن الدرجات العلمية والغرض منها وكيفية استخدام معرفتك فيها الحياة اليوميةاقرأ هذه المقالة.

وبطبيعة الحال، فإن معرفة الدرجات العلمية ستقربك من اجتياز امتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة بنجاح ومن دخول جامعة أحلامك.

لنذهب لنذهب!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك، اضغط على CTRL+F5 (في نظام Windows) أو Cmd+R (في نظام Mac).

مستوى اول

الأس هو عملية رياضية مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء باللغة البشرية بلغة شديدة أمثلة بسيطة. احرص. الأمثلة أولية، ولكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالإضافة.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: نحن ثمانية. كل شخص لديه زجاجتين من الكولا. كم الكولا هناك؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بشكل مختلف: . علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسالى. يلاحظون أولاً بعض الأنماط، ثم يكتشفون طريقة "لعدها" بشكل أسرع. وفي حالتنا، لاحظوا أن كل واحد من الأشخاص الثمانية لديه نفس العدد من زجاجات الكولا، وتوصلوا إلى تقنية تسمى الضرب. أوافق، فهو يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك، لحساب أسرع وأسهل وبدون أخطاء، عليك فقط أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأكثر صعوبة ومع وجود أخطاء! لكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وأخرى أجمل:

ماذا غيرها؟ الحيل الماكرةهل تم اختراع الحسابات من قبل علماء الرياضيات الكسالى؟ يمين - رفع عدد إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات، يقول علماء الرياضيات أنك بحاجة إلى رفع هذا الرقم إلى القوة الخامسة. على سبيل المثال، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس خمسة يساوي... وهم يحلون مثل هذه المشاكل في رؤوسهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

كل ما عليك فعله هو تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأرقام. صدقني، هذا سيجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة لماذا سميت بالدرجة الثانية؟ مربعالأرقام والثالثة مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ جداً سؤال جيد. الآن سيكون لديك المربعات والمكعبات.

مثال واقعي رقم 1

لنبدأ بالمربع أو القوة الثانية للرقم.

تخيل حوض سباحة مربعًا بقياس متر في متر واحد. حمام السباحة في داشا الخاص بك. الجو حار وأريد حقًا السباحة. لكن...البركة ليس لها قاع! تحتاج إلى تغطية الجزء السفلي من حوض السباحة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ من أجل تحديد ذلك، عليك أن تعرف المنطقة السفلية للمسبح.

يمكنك ببساطة أن تحسب من خلال الإشارة بإصبعك أن قاع حوض السباحة يتكون من مكعبات متر بمتر. إذا كان لديك بلاط بطول متر في متر واحد، فستحتاج إلى قطع. إنه أمر سهل... ولكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ من المرجح أن يكون حجم البلاط سمًا سمًا، وبعد ذلك سيتم تعذيبك عن طريق "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتضاعف. لذلك، على جانب واحد من الجزء السفلي من حوض السباحة، سنضع البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا البلاط. اضرب في وستحصل على البلاط ().

هل لاحظت أنه لتحديد مساحة قاع حوض السباحة قمنا بضرب نفس العدد في نفسه؟ ماذا يعني ذلك؟ وبما أننا نضرب نفس العدد، فيمكننا استخدام تقنية "الضرب الأسي". (بالطبع، عندما يكون لديك رقمين فقط، فلا تزال بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهما، فإن رفعهما إلى قوة يكون أسهل بكثير كما أن هناك أخطاء أقل في العمليات الحسابية (... بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، هذا مهم جدًا).
إذن، ثلاثين مرفوعًا للقوة الثانية سيكون (). أو يمكننا القول أن ثلاثين تربيع سيكون كذلك. بمعنى آخر، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لأي رقم على شكل مربع. والعكس صحيح، إذا رأيت مربعًا، فهو دائمًا القوة الثانية لعدد ما. المربع هو صورة للقوة الثانية للرقم.

مثال واقعي رقم 2

إليك مهمة لك: احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية أو... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج عبارة عن مربع ذو جانب، فيمكنك تربيع ثمانية. سوف تحصل على الخلايا. () لذا؟

مثال واقعي رقم 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة للرقم. نفس المسبح. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا المسبح. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة، يتم قياس الأحجام والسوائل بالمتر المكعب. وهو أمر غير متوقع، أليس كذلك؟) ارسم حوض سباحة: حجم القاع متر وعمق متر، وحاول حساب عدد المكعبات التي يبلغ قياسها مترًا في متر. تتناسب مع حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة... اثنان وعشرون، ثلاثة وعشرون... كم عدد ما حصلت عليه؟ غير ضائع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم حمام السباحة، تحتاج إلى مضاعفة طوله وعرضه وارتفاعه ببعضها البعض. في حالتنا، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات... أسهل، أليس كذلك؟

تخيل الآن مدى كسل ومكر علماء الرياضيات إذا قاموا بتبسيط هذا الأمر أيضًا. لقد خفضنا كل شيء إلى إجراء واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساوون وأن نفس العدد مضروب في نفسه... ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك الاستفادة من الدرجة. لذا، فإن ما عددته بإصبعك ذات مرة، يقومون به في إجراء واحد: ثلاثة مكعبات يساوي. ويكتب هكذا: .

كل ما تبقى هو تذكر جدول الدرجات. ما لم تكن بالطبع كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت تحب العمل الجاد وارتكاب الأخطاء، فيمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا، لإقناعك أخيرًا بأن الدرجات العلمية تم اختراعها من قبل المنهكين والأشخاص الماكرين لحل مشاكل حياتهم، وليس لخلق مشاكل لك، إليك بعض الأمثلة الأخرى من الحياة.

مثال واقعي رقم 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تجنيه، تكسب مليونًا آخر. أي أن كل مليون لديك يتضاعف في بداية كل عام. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت تجلس الآن وتقوم "بالعد بإصبعك"، فأنت شخص مجتهد للغاية و... غبي. ولكن على الأرجح سوف تعطي إجابة في بضع ثوان، لأنك ذكي! إذًا، في السنة الأولى - اثنان مضروبًا في اثنين... وفي السنة الثانية - ماذا حدث باثنين آخرين، في السنة الثالثة... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرات. إذن اثنان أس خمسة يساوي مليونًا! الآن تخيل أن لديك منافسة والشخص الذي يستطيع العد بشكل أسرع سيحصل على هذه الملايين... من الجدير أن نتذكر قوى الأرقام، ألا تعتقد ذلك؟

مثال واقعي رقم 5

لديك مليون. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تكسبه، تكسب مليونين إضافيين. عظيم أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ دعونا نحسب. السنة الأولى - اضرب ب، ثم النتيجة بأخرى... إنه أمر ممل بالفعل، لأنك فهمت كل شيء بالفعل: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن، إلى القوة الرابعة يساوي مليونًا. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة أس أربعة هو أو.

الآن أنت تعلم أنه من خلال رفع الرقم إلى قوة ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعونا نلقي نظرة أخرى على ما يمكنك فعله بالدرجات العلمية وما تحتاج إلى معرفته عنها.

مصطلحات ومفاهيم... حتى لا نلتبس

لذلك، أولا، دعونا نحدد المفاهيم. ماذا تعتقد، ما هو الأس؟ الأمر بسيط جدًا - إنه الرقم الموجود "في أعلى" قوة الرقم. ليست علمية، ولكنها واضحة وسهلة التذكر.

حسنا، في نفس الوقت، ماذا مثل هذا الأساس درجة؟ والأبسط من ذلك هو الرقم الموجود أدناه في القاعدة.

هنا رسم لحسن التدبير.

حسنًا، بشكل عام، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل... الدرجة ذات الأساس "" والأس "" تقرأ على أنها "إلى الدرجة" وتكتب على النحو التالي:

قوة الرقم مع الأس الطبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأعداد الطبيعية هي تلك الأعداد التي تستخدم في العد عند سرد الأشياء: واحد، اثنان، ثلاثة... عندما نعد الأشياء، لا نقول: "ناقص خمسة"، "ناقص ستة"، "ناقص سبعة". كما أننا لا نقول: «الثلث»، أو «صفر نقطة خمسة». هذه ليست أرقاما طبيعية. ما هي الأرقام في رأيك؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة"، و"ناقص ستة"، و"ناقص سبعة". الأعداد الكلية.بشكل عام، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية، والأرقام المقابلة للأعداد الطبيعية (أي، المأخوذة بعلامة الطرح)، والعدد. من السهل فهم الصفر - فهو يحدث عندما لا يكون هناك شيء. ماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للإشارة إلى الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أرقام نسبية. كيف نشأت، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين، اكتشف أسلافنا أنهم يفتقرون إلى ذلك الأعداد الطبيعيةلقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى ذلك أرقام نسبية... مثير للاهتمام، أليس كذلك؟

هل هناك المزيد أرقام غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار، إنه كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها، فستحصل على رقم غير نسبي.

ملخص:

دعونا نحدد مفهوم الدرجة التي أسها عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي رقم للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. تربيع الرقم يعني ضربه في نفسه:
3. تكعيب الرقم يعني ضربه في نفسه ثلاث مرات:

تعريف.رفع العدد إلى قوة طبيعية يعني ضرب العدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجات

ومن أين أتت هذه العقارات؟ سأظهر لك الآن.

دعونا نرى: ما هو و ?

أ-بريوري:

كم عدد المضاعفات الموجودة في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا مضاعفات إلى العوامل، وكانت النتيجة مضاعفات.

لكن بحكم التعريف، هذه قوة عدد ذات أس، أي: وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال: تبسيط التعبير.

حل:

مثال:تبسيط التعبير.

حل:ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب!
ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

2. هذا كل شيء القوة رقم

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي:

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟

ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟

في صلاحيات مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها قوى الأعداد الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟ مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. ولكن إذا تضاعفنا، فإنه يعمل.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

هل تستطيع فعلها؟

وإليك الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى، أتمنى أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

مثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة للممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات! نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين.

ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟

دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذا، قمنا بضرب العدد في، وحصلنا على نفس النتيجة - . ما هو الرقم الذي يجب أن تضرب فيه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

دعونا نكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).

من ناحية، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مدى ضرب الصفر في حد ذاته، فستظل تحصل على الصفر، فمن الواضح. لكن من ناحية أخرى، مثل أي عدد أس صفر، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما مدى صحة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التدخل ورفضوا رفع الصفر إلى الأس صفر. وهذا هو، الآن لا يمكننا القسمة على الصفر فحسب، بل نرفعه أيضا إلى قوة الصفر.

هيا لنذهب. بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية والأعداد، تتضمن الأعداد الصحيحة أيضًا أرقامًا سالبة. لفهم ما هي القوة السالبة، دعونا نفعل كما في المرة السابقة: ضرب عدد عادي في نفس الرقم إلى قوة سالبة:

من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:

الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك، دعونا صياغة القاعدة:

الرقم الذي له قوة سالبة هو مقلوب نفس الرقم الذي له قوة موجبة. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنك لا تستطيع القسمة على).

دعونا نلخص:

I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا أسًا سالبًا هو معكوس نفس العدد أسًا موجبًا: .

مهام الحل المستقل:

حسنًا، كالعادة، أمثلة للحلول المستقلة:

تحليل المشاكل للحل المستقل:

أعلم، أعلم أن الأرقام مخيفة، ولكن في امتحان الدولة الموحدة، عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! قم بحل هذه الأمثلة أو تحليل حلولها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.

الآن دعونا نفكر أرقام نسبية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.

لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:

لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":

ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.

أي أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .

لقد أتضح أن. ومن الواضح أن هذه الحالة الخاصة يمكن توسيعها: .

الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

دعونا نتذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو عدد موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص حتى الجذور من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أن هذه الأرقام لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل العدد على شكل كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.

واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، لكن هذين مجرد سجلين مختلفين لنفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة، يمكنك كتابتها. ولكن إذا كتبنا المؤشر بشكل مختلف، فسنقع في مشكلة مرة أخرى: (أي أننا حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.

حتى إذا:

• - عدد طبيعي؛
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:

5 أمثلة للممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء

بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث تكون أعداد صحيحة (أي أن الأرقام غير المنطقية هي جميع الأرقام الحقيقية باستثناء الأرقام العقلانية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛

...العدد إلى القوة صفر- يبدو أن هذا رقم مضروب في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة هي مجرد "رقم فارغ" معين. ، أي رقم؛

...درجة عدد صحيح سلبي- يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يُضرب في نفسه، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة لرفع قوة إلى قوة:

انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابة: .

2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تحديد الدرجة

الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)

رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:

الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

بناء إلى درجة الصفر:

التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنك لا تستطيع القسمة على).

مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

القوة مع الأس العقلاني

• - عدد طبيعي؛
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

خصائص الدرجات

ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

أ-بريوري:

لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:

ولكنها بحكم التعريف هي قوة عدد لها أس، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

حل : .

مثال : تبسيط التعبير.

حل : ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب. ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعونا نعيد تجميع هذا العمل على النحو التالي:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية.

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأمر فِهرِسدرجات. ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟ في صلاحيات طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها قوى الأعداد الموجبة والسالبة؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟

مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. لكن إذا ضربنا في () نحصل على - .

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. يمكننا صياغة ما يلي قواعد بسيطة:

1. حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
2. رقم سلبي، بنيت في غريبالدرجة - الرقم سلبي.
3. الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
4. صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

هل تستطيع فعلها؟ وهنا الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا عليك معرفة أيهما أقل: أم؟ فإذا تذكرنا ذلك اتضح ذلك، وبالتالي الأساس أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة الثانية: النتيجة ستكون سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل أن تفككها القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.

حساب التعبيرات:

حلول :

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات!

نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فمن الممكن أن تنطبق القاعدة 3. ولكن كيف؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن اتضح مثل هذا:

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين. ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!ولا يمكنك استبداله بتغيير عيب واحد فقط لا نحبه!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

والآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:

حسنًا، الآن دعونا نفتح الأقواس. كم عدد الحروف هناك في المجموع؟ مرات بالمضاعفات - بماذا يذكرك هذا؟ وهذا ليس أكثر من تعريف للعملية عمليه الضرب: لم يكن هناك سوى مضاعفات هناك. وهذا هو، بحكم التعريف، قوة الرقم مع الأس:

مثال:

درجة مع الأس غير عقلاني

بالإضافة إلى معلومات حول درجات المستوى المتوسط، سنقوم بتحليل الدرجة ذات الأس غير العقلاني. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، باستثناء - بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث و هي أعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير النسبية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأعداد النسبية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛ الرقم أس صفر هو كما لو كان رقمًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى عدد معين "رقم فارغ"، أي رقم؛ الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح - يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يتم ضربه في حد ذاته، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). إنه بالأحرى كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا. لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

فماذا نفعل إذا رأينا أسًا غير نسبي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

الإجابات:

1. دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
2. نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
3. لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغ الأساسية

درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:

درجة مع الأس الصحيح

الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

القوة مع الأس العقلاني

الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.

درجة مع الأس غير عقلاني

الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.

خصائص الدرجات

مميزات الدرجات.

• تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
• تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
• الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك الكلمة...

كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.

ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

وبالتوفيق في امتحاناتك!

درجة مع المؤشر العقلاني،

وظيفة الطاقة IV

§ 71. القوى ذات الأسس الصفرية والسالبة

في § 69 أثبتنا (انظر النظرية 2) أن ر > ص

(أ =/= 0)

من الطبيعي جدًا أن ترغب في توسيع هذه الصيغة لتشمل الحالة متى ت < ص . ولكن بعد ذلك الرقم ر - ص سيكون إما سلبيا أو يساوي الصفر. ج: لقد تحدثنا حتى الآن فقط عن الدرجات ذات الأسس الطبيعية. وبالتالي، فإننا نواجه الحاجة إلى إدخال قوى الأعداد الحقيقية مع الأخذ في الاعتبار الأسس الصفرية والسالبة.

التعريف 1. أي رقم أ , لا يساوي صفرًا، أس صفر يساوي واحدًا, ذلك حين أ =/= 0

أ 0 = 1. (1)

على سبيل المثال، (-13.7) 0 = 1؛ π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. الرقم 0 ليس له درجة صفر، أي أن التعبير 0 0 غير معرف.

التعريف 2. لو أ=/= 0 و صهو عدد طبيعي إذن

أ - ن = 1 /أ ن (2)

إنه قوة أي رقم لا يساوي الصفر مع أس عدد صحيح سالب تساوي كسرًا بسطه واحدًا، والمقام هو قوة لنفس الرقم a، ولكن مع أس معاكس لأس القوة المعطاة .

على سبيل المثال،

وبعد قبول هذه التعريفات، يمكن إثبات ذلك متى أ =/= 0، الصيغة

صحيح بالنسبة لأي أعداد طبيعية ت و ن ، وليس فقط من أجل ر > ص . ولإثبات ذلك يكفي أن نقتصر على النظر في حالتين: ر = ن و ت< .п ، منذ هذه القضية م > ن تمت مناقشته بالفعل في § 69.

يترك ر = ن ; ثم . وسائل، الجهه اليسرىالمساواة (3) تساوي 1. الجانب الأيمن عند ر = ن يصبح

أ م - ن = أ ن - ن = أ 0 .

ولكن بحكم التعريف أ 0 = 1. وهكذا، الجزء الأيمنالمساواة (3) تساوي أيضًا 1. لذلك متى ر = ن الصيغة (3) صحيحة.

الآن افترض ذلك ت< п . قسمة البسط والمقام على الكسر أ م ، نحن نحصل:

لأن ن > ر ، الذي - التي . لهذا . باستخدام تعريف القوة ذات الأس السالب، يمكننا الكتابة .

اذن متى ، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات. لقد تم الآن إثبات الصيغة (3) لأي أعداد طبيعية ت و ص .

تعليق. تسمح لك الأسس السالبة بكتابة الكسور بدون مقامات. على سبيل المثال،

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ؛ على الاطلاق، أ / ب = أ ب - 1

ومع ذلك، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أنه مع هذا الترميز، تتحول الكسور إلى أعداد صحيحة. على سبيل المثال، 3 - 1 هو نفس الكسر 1/3، 2 5 - 1 هو نفس الكسر 2/5، إلخ.

تمارين

529. احسب:

530. اكتب كسرًا بدون مقامات:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. البيانات الكسور العشريةالكتابة كتعبيرات عددية باستخدام الأسس السالبة:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5