Was ist die Summe aus Sinus und Cosinus. Grundlegende trigonometrische Identitäten

Die Verhältnisse zwischen den wichtigsten trigonometrischen Funktionen - Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens - sind angegeben trigonometrische Formeln. Und da es ziemlich viele Verbindungen zwischen trigonometrischen Funktionen gibt, erklärt dies auch die Fülle trigonometrische Formeln. Einige Formeln verbinden die trigonometrischen Funktionen desselben Winkels, andere - die Funktionen eines Mehrfachwinkels, andere - ermöglichen es Ihnen, den Grad zu verringern, die vierte - um alle Funktionen durch die Tangente eines halben Winkels auszudrücken usw.

In diesem Artikel listen wir der Reihe nach alle grundlegenden trigonometrischen Formeln auf, die ausreichen, um die überwiegende Mehrheit der trigonometrischen Probleme zu lösen. Zur leichteren Einprägung und Verwendung gruppieren wir sie nach ihrem Zweck und tragen sie in Tabellen ein.

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Grundlegende trigonometrische Identitäten

Grundlegende trigonometrische Identitäten Stellen Sie die Beziehung zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels ein. Sie ergeben sich aus der Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sowie dem Begriff des Einheitskreises. Sie ermöglichen es Ihnen, eine trigonometrische Funktion durch eine andere auszudrücken.

Eine ausführliche Beschreibung dieser Trigonometrieformeln, ihre Herleitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Gießen Sie Formeln

Gießen Sie Formeln folgen aus den Eigenschaften von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens, d. h. sie spiegeln die Periodizitätseigenschaft trigonometrischer Funktionen, die Symmetrieeigenschaft und die Verschiebungseigenschaft um wider angegebenen Winkel. Mit diesen trigonometrischen Formeln können Sie von der Arbeit mit beliebigen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln zwischen null und 90 Grad wechseln.

Die Gründe für diese Formeln, eine Merkregel zum Auswendiglernen und Beispiele für ihre Anwendung können im Artikel studiert werden.

Additionsformeln

Trigonometrische Additionsformeln Zeigen Sie, wie die trigonometrischen Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel durch die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ausgedrückt werden. Diese Formeln dienen als Grundlage für die Ableitung der folgenden trigonometrischen Formeln.

Formeln für doppelt, dreifach usw. Winkel

Formeln für doppelt, dreifach usw. Winkel (sie werden auch Mehrfachwinkelformeln genannt) zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen von doppelt, dreifach usw. Winkel () werden als trigonometrische Funktionen eines einzelnen Winkels ausgedrückt. Ihre Herleitung basiert auf Additionsformeln.

Genauere Informationen sind in den Artikelformeln für doppelt, dreifach usw. gesammelt. Winkel .

Halbwinkelformeln

Halbwinkelformeln zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen eines halben Winkels durch den Kosinus eines ganzzahligen Winkels ausgedrückt werden. Diese trigonometrischen Formeln folgen aus den Doppelwinkelformeln.

Ihr Fazit und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Reduktionsformeln

Trigonometrische Formeln für abnehmende Grade sollen den Übergang von natürlichen Potenzen trigonometrischer Funktionen zu Sinus und Cosinus im ersten Grad, aber mehreren Winkeln erleichtern. Mit anderen Worten, sie erlauben es, die Potenzen trigonometrischer Funktionen auf die erste zu reduzieren.

Formeln für die Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

Hauptziel Summen- und Differenzenformeln für trigonometrische Funktionen besteht im Übergang zum Produkt von Funktionen, was bei der Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke sehr nützlich ist. Diese Formeln werden auch häufig zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet, da sie die Faktorisierung der Summe und Differenz von Sinus und Cosinus ermöglichen.

Formeln für das Produkt von Sinus, Kosinus und Sinus mal Kosinus

Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zur Summe oder Differenz erfolgt über die Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.

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- sicherlich wird es Aufgaben in der Trigonometrie geben. Trigonometrie wird oft nicht gemocht, weil sie pauken muss große Menge schwierige Formeln voller Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens. Die Seite hat schon einmal am Beispiel der Euler- und der Peel-Formel Tipps gegeben, wie man sich eine vergessene Formel merken kann.

Und in diesem Artikel werden wir versuchen zu zeigen, dass es ausreicht, nur fünf der einfachsten trigonometrischen Formeln genau zu kennen und über den Rest Bescheid zu wissen Grund Idee und nimm sie heraus, während du gehst. Es ist wie mit der DNA: Im Molekül sind nicht die kompletten Zeichnungen eines fertigen Lebewesens gespeichert. Es enthält vielmehr Anweisungen zum Zusammenbau aus den verfügbaren Aminosäuren. So ist es in der Trigonometrie, etwas zu wissen allgemeine Grundsätze, erhalten wir alle notwendigen Formeln aus einer kleinen Menge von denen, die im Auge behalten werden müssen.

Wir verlassen uns auf die folgenden Formeln:

Aus den Formeln für den Sinus und Cosinus der Summen erhalten wir, da wir wissen, dass die Cosinusfunktion gerade und die Sinusfunktion ungerade ist, indem wir -b für b ersetzen, Formeln für die Differenzen:

1. Sinus des Unterschieds: Sünde(ab) = Sündeacos(-b)+cosaSünde(-b) = Sündeacosb-cosaSündeb
2. Kosinus-Differenz: cos(ab) = cosacos(-b)-SündeaSünde(-b) = cosacosb+SündeaSündeb

Wenn wir a \u003d b in dieselben Formeln einsetzen, erhalten wir die Formeln für den Sinus und Kosinus von Doppelwinkeln:

1. Sinus eines Doppelwinkels: Sünde2a = Sünde(a+a) = Sündeacosa+cosaSündea = 2Sündeacosa
2. Kosinus eines Doppelwinkels: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-SündeaSündea = cos2a-Sünde2a

Die Formeln für andere Mehrfachwinkel erhält man ähnlich:

1. Sinus eines dreifachen Winkels: Sünde3a = Sünde(2a+a) = Sünde2acosa+cos2aSündea = (2Sündeacosa)cosa+(cos2a-Sünde2a)Sündea = 2Sündeacos2a+Sündeacos2a-Sünde 3 a = 3 Sündeacos2a-Sünde 3 a = 3 Sündea(1-Sünde2a)-Sünde 3 a = 3 Sündea-4Sünde 3a
2. Kosinus eines dreifachen Winkels: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-Sünde2aSündea = (cos2a-Sünde2a)cosa-(2Sündeacosa)Sündea = cos 3a- Sünde2acosa-2Sünde2acosa = cos 3a-3 Sünde2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa

Bevor wir fortfahren, betrachten wir ein Problem.
Gegeben: Der Winkel ist spitz.
Finden Sie seinen Kosinus, wenn
Lösung eines Schülers:
Da , dann Sündea= 3,a cosa = 4.
(Aus mathematischem Humor)

Die Definition von Tangens verbindet diese Funktion also sowohl mit Sinus als auch mit Cosinus. Aber Sie können eine Formel erhalten, die die Verbindung der Tangente nur mit dem Kosinus angibt. Um sie abzuleiten, nehmen wir die grundlegende trigonometrische Identität: Sünde 2 a+cos 2 a= 1 und teile es durch cos 2 a. Wir bekommen:

Die Lösung für dieses Problem wäre also:

(Da der Winkel spitz ist, wird beim Wurzelziehen das +-Zeichen genommen)

Die Formel für den Tangens der Summe ist ebenfalls schwer zu merken. Lassen Sie es uns so ausgeben:

sofort ausgegeben und

Aus der Cosinus-Formel für einen Doppelwinkel erhältst du die Sinus- und Cosinus-Formel für einen Halbwinkel. Dazu auf der linken Seite der Doppelwinkel-Cosinus-Formel:
cos2 a = cos 2 a-Sünde 2 a
Wir fügen eine Einheit hinzu und rechts eine trigonometrische Einheit, d.h. Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus.
cos2a+1 = cos2a-Sünde2a+cos2a+Sünde2a
2cos 2 a = cos2 a+1
ausdrücken cosa durch cos2 a und durch eine Variablenänderung erhalten wir:

Das Vorzeichen wird abhängig vom Quadranten genommen.

In ähnlicher Weise subtrahieren wir eins von der linken Seite der Gleichheit und die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus von der rechten Seite und erhalten:
cos2a-1 = cos2a-Sünde2a-cos2a-Sünde2a
2Sünde 2 a = 1-cos2 a

Um schließlich die Summe trigonometrischer Funktionen in ein Produkt umzuwandeln, wenden wir den folgenden Trick an. Angenommen, wir müssen die Sinussumme als Produkt darstellen Sündea+Sündeb. Lassen Sie uns die Variablen x und y so einführen, dass a = x+y, b+x-y. Dann
Sündea+Sündeb = Sünde(x+y)+ Sünde(x-y) = Sünde x cos j+ cos x Sünde j+ Sünde x cos y- cos x Sünde y=2 Sünde x cos j. Lassen Sie uns nun x und y durch a und b ausdrücken.

Da a = x+y, b = x-y, dann . Deshalb

Sie können sofort zurücktreten

1. Partitionsformel Produkte von Sinus und Cosinus in Menge: Sündeacosb = 0.5(Sünde(a+b)+Sünde(a-b))

Wir empfehlen das Üben und Herleiten von Formeln zur Umrechnung des Produkts aus Sinusdifferenz und Summe und Differenz von Cosinus in ein Produkt sowie zur Aufspaltung der Produkte von Sinus und Cosinus in eine Summe. Nach diesen Übungen beherrschen Sie das Herleiten trigonometrischer Formeln gründlich und verlieren sich auch bei der schwierigsten Kontrolle, Olympiade oder Prüfung nicht.

Die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus für zwei Winkel α und β ermöglichen es Ihnen, von der Summe der angegebenen Winkel zum Produkt der Winkel α + β 2 und α - β 2 zu gelangen. Wir weisen gleich darauf hin, dass Sie die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus nicht mit den Formeln für Sinus und Cosinus von Summe und Differenz verwechseln sollten. Nachfolgend listen wir diese Formeln auf, geben ihre Herleitung an und zeigen Anwendungsbeispiele für konkrete Problemstellungen.

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Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus

Schreiben wir auf, wie die Summen- und Differenzenformeln für Sinus und Cosinus aussehen

Summen- und Differenzenformeln für Sinus

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Summen- und Differenzenformeln für Kosinus

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β 2 β - α2

Diese Formeln gelten für beliebige Winkel α und β. Die Winkel α + β 2 und α - β 2 werden als Halbsumme bzw. Halbdifferenz der Winkel Alpha und Beta bezeichnet. Wir geben für jede Formel eine Formulierung an.

Definitionen von Summen- und Differenzformeln für Sinus und Cosinus

Die Summe der Sinus zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbsumme dieser Winkel und dem Kosinus der Halbdifferenz.

Differenz der Sinus zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbdifferenz dieser Winkel und dem Kosinus der Halbsumme.

Die Summe der Kosinuswerte zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Kosinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel.

Kosinusdifferenz zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel, genommen mit negativem Vorzeichen.

Herleitung von Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus

Um Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus zweier Winkel herzuleiten, werden Additionsformeln verwendet. Nachfolgend stellen wir sie vor

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Wir stellen auch die Winkel selbst als Summe von Halbsummen und Halbdifferenzen dar.

α \u003d α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Wir gehen direkt zur Herleitung der Summen- und Differenzenformeln für sin und cos über.

Herleitung der Formel für die Summe der Sinus

In der Summe sin α + sin β ersetzen wir α und β durch die oben angegebenen Ausdrücke für diese Winkel. Erhalten

Sünde α + Sünde β = Sünde α + β 2 + α - β 2 + Sünde α + β 2 - α - β 2

Jetzt wenden wir die Additionsformel auf den ersten Ausdruck an und die Sinusformel der Winkeldifferenzen auf den zweiten (siehe Formeln oben)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Die Schritte zum Ableiten der restlichen Formeln sind ähnlich.

Herleitung der Formel für die Sinusdifferenz

Sünde α - Sünde β = Sünde α + β 2 + α - β 2 - Sünde α + β 2 - α - β 2 Sünde α + β 2 + α - β 2 - Sünde α + β 2 - α - β 2 = Sünde α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Herleitung der Formel für die Kosinussumme

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Herleitung der Cosinus-Differenzformel

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Beispiele zur Lösung praktischer Probleme

Zunächst überprüfen wir eine der Formeln, indem wir bestimmte Winkelwerte einsetzen. Sei α = π 2 , β = π 6 . Lassen Sie uns den Wert der Summe der Sinus dieser Winkel berechnen. Zuerst verwenden wir die Tabelle der Grundwerte der trigonometrischen Funktionen, und dann wenden wir die Formel für die Summe der Sinus an.

Beispiel 1. Überprüfung der Formel für die Summe der Sinus zweier Winkel

α \u003d π 2, β \u003d π 6 Sünde π 2 + Sünde π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 Sünde π 2 + Sünde π 6 \u003d 2 Sünde π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 Sünde π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Betrachten wir nun den Fall, wenn die Werte der Winkel von den in der Tabelle angegebenen Grundwerten abweichen. Sei α = 165°, β = 75°. Lassen Sie uns den Wert der Differenz zwischen den Sinus dieser Winkel berechnen.

Beispiel 2. Anwendung der Sinusdifferenzformel

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Mit den Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus kannst du von der Summe oder Differenz zum Produkt trigonometrischer Funktionen gehen. Oft werden diese Formeln als Formeln für den Übergang von Summe zu Produkt bezeichnet. Die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus werden häufig beim Lösen trigonometrischer Gleichungen und beim Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke verwendet.

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Bezugsdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Grafiken, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.

Geometrische Definition

|BD| - die Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tga) - Das Trigonometrische Funktion, abhängig vom Winkel α zwischen Hypotenuse und Schenkel rechtwinkliges Dreieck, gleich dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| auf die Länge des angrenzenden Schenkels |AB| .

Kotangens ( ctgα) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt, der gleich dem Verhältnis der Länge des benachbarten Schenkels |AB| ist auf die Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| .

Tangente

Wo n- ganz.

In der westlichen Literatur wird die Tangente wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tg x

Kotangens

Wo n- ganz.

In der westlichen Literatur wird der Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Die folgende Notation wurde ebenfalls übernommen:
;
;
.

Graph der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y= tg x und y= ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Funktionen Tangens und Kotangens sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, aufsteigend, absteigend

Die Funktionen Tangens und Kotangens sind auf ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Stetigkeitsbeweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( n- Ganzzahl).

Formeln

Ausdrücke in Bezug auf Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens von Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu beschaffen

Produkt von Tangenten

Die Formel für die Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle zeigt die Werte von Tangenten und Kotangens für einige Werte des Arguments.

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion :
.
Herleitung von Formeln für Tangens > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Erweiterungen zur Serie

Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie für die Funktionen mehrere Terme der Entwicklung in eine Potenzreihe nehmen Sünde x und cos x und dividiere diese Polynome ineinander , . Daraus ergeben sich die folgenden Formeln.

Bei .

bei .
wo B n- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
wo .
Oder nach der Laplace-Formel:

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen zu Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arctangens, arctg

, wo n- ganz.

Bogentangente, arcctg

, wo n- ganz.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
G. Korn, Handbuch der Mathematik für Forscher und Ingenieure, 2012.