In dieser Lektion geht es um das Addieren und Subtrahieren algebraischer Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Wir wissen bereits, wie man gemeinsame Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert und subtrahiert. Dazu müssen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Es stellt sich heraus, dass algebraische Brüche denselben Regeln folgen. Gleichzeitig wissen wir bereits, wie man algebraische Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringt. Das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern ist eines der wichtigsten und schwierigsten Themen im Kurs der 8. Klasse. Darüber hinaus wird dieses Thema in vielen Themen des Algebra-Kurses auftauchen, den Sie in Zukunft studieren werden. Im Rahmen der Lektion lernen wir die Regeln zum Addieren und Subtrahieren algebraischer Brüche mit unterschiedlichen Nennern kennen und analysieren auch einige typische Beispiele.
Schauen wir uns das einfachste Beispiel für gewöhnliche Brüche an.
Beispiel 1. Brüche hinzufügen: .
Lösung:
Erinnern wir uns an die Regel zum Addieren von Brüchen. Zunächst müssen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Der gemeinsame Nenner für gewöhnliche Brüche ist kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) der ursprünglichen Nenner.
Definition
Die kleinste natürliche Zahl, die sowohl durch die Zahlen als auch teilbar ist.
Um das LCM zu ermitteln, müssen Sie die Nenner in Primfaktoren zerlegen und dann alle Primfaktoren auswählen, die in der Entwicklung beider Nenner enthalten sind.
; . Dann muss das LCM der Zahlen zwei Zweier und zwei Dreier enthalten: .
Nachdem Sie den gemeinsamen Nenner gefunden haben, müssen Sie für jeden Bruch einen zusätzlichen Faktor finden (dividieren Sie tatsächlich den gemeinsamen Nenner durch den Nenner des entsprechenden Bruchs).
Jeder Bruch wird dann mit dem resultierenden zusätzlichen Faktor multipliziert. Wir erhalten Brüche mit demselben Nenner, dessen Addition und Subtraktion wir in früheren Lektionen gelernt haben.
Wir bekommen: 
.
Antwort:.
Betrachten wir nun die Addition algebraischer Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Schauen wir uns zunächst Brüche an, deren Nenner Zahlen sind.
Beispiel 2. Brüche hinzufügen: .
Lösung:
Der Lösungsalgorithmus ist dem vorherigen Beispiel absolut ähnlich. Es ist leicht, den gemeinsamen Nenner dieser Brüche und zusätzliche Faktoren für jeden von ihnen zu finden.
.
Antwort:.
Also, lasst uns formulieren Algorithmus zum Addieren und Subtrahieren algebraischer Brüche mit unterschiedlichen Nennern:
1. Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner von Brüchen.
2. Finden Sie zusätzliche Faktoren für jeden der Brüche (indem Sie den gemeinsamen Nenner durch den Nenner des gegebenen Bruchs dividieren).
3. Multiplizieren Sie die Zähler mit den entsprechenden zusätzlichen Faktoren.
4. Addieren oder subtrahieren Sie Brüche unter Verwendung der Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit gleichen Nennern.
Betrachten wir nun ein Beispiel mit Brüchen, deren Nenner Buchstabenausdrücke enthält.
Beispiel 3. Brüche hinzufügen: .
Lösung:
Da die Buchstabenausdrücke in beiden Nennern gleich sind, sollten Sie einen gemeinsamen Nenner für die Zahlen finden. Der letzte gemeinsame Nenner sieht so aus: . Somit sieht die Lösung für dieses Beispiel so aus:
Antwort:.
Beispiel 4. Brüche subtrahieren: .
Lösung:
Wenn Sie bei der Wahl eines gemeinsamen Nenners nicht „schummeln“ können (Sie können ihn nicht faktorisieren oder abgekürzte Multiplikationsformeln verwenden), müssen Sie das Produkt der Nenner beider Brüche als gemeinsamen Nenner nehmen.
Antwort:.
Im Allgemeinen besteht die schwierigste Aufgabe bei der Lösung solcher Beispiele darin, einen gemeinsamen Nenner zu finden.
Schauen wir uns ein komplexeres Beispiel an.
Beispiel 5. Vereinfachen: .
Lösung:
Wenn Sie einen gemeinsamen Nenner finden möchten, müssen Sie zunächst versuchen, die Nenner der ursprünglichen Brüche zu faktorisieren (um den gemeinsamen Nenner zu vereinfachen).
In diesem speziellen Fall:
Dann ist es einfach, den gemeinsamen Nenner zu bestimmen: 
.
Wir ermitteln weitere Faktoren und lösen dieses Beispiel:
Antwort:.
Lassen Sie uns nun die Regeln für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern festlegen.
Beispiel 6. Vereinfachen: .
Lösung:
Antwort:.
Beispiel 7. Vereinfachen: .
Lösung:
.
Antwort:.
Betrachten wir nun ein Beispiel, bei dem nicht zwei, sondern drei Brüche addiert werden (schließlich bleiben die Additions- und Subtraktionsregeln für eine größere Anzahl von Brüchen gleich).
Beispiel 8. Vereinfachen: .
Beachten Sie! Bevor Sie Ihre endgültige Antwort schreiben, prüfen Sie, ob Sie den erhaltenen Bruch kürzen können.
Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren, Beispiele:
,
,
Einen echten Bruch von eins subtrahieren.
Wenn es notwendig ist, einen Bruch von einer echten Einheit zu subtrahieren, wird die Einheit in die Form eines unechten Bruchs umgewandelt, dessen Nenner gleich dem Nenner des subtrahierten Bruchs ist.
Ein Beispiel für die Subtraktion eines echten Bruchs von eins:
Nenner des zu subtrahierenden Bruchs = 7 , d. h. wir stellen eins als unechten Bruch 7/7 dar und subtrahieren ihn gemäß der Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichen Nennern.
Subtrahieren eines echten Bruchs von einer ganzen Zahl.
Regeln zum Subtrahieren von Brüchen - richtig aus einer ganzen Zahl (natürliche Zahl):
- Wir wandeln gegebene Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte Brüche um. Wir erhalten normale Terme (egal, ob sie unterschiedliche Nenner haben), die wir nach den oben angegebenen Regeln berechnen;
- Als nächstes berechnen wir die Differenz zwischen den Brüchen, die wir erhalten haben. Als Ergebnis werden wir fast die Antwort finden;
- Wir führen die Rücktransformation durch, das heißt, wir entfernen den unechten Bruch – wir wählen den ganzen Teil im Bruch aus.
Subtrahieren Sie einen echten Bruch von einer ganzen Zahl: Stellen Sie die natürliche Zahl als gemischte Zahl dar. Diese. Wir nehmen eine Einheit einer natürlichen Zahl und wandeln sie in die Form eines unechten Bruchs um, wobei der Nenner derselbe ist wie der des subtrahierten Bruchs.
Beispiel für das Subtrahieren von Brüchen:
Im Beispiel haben wir eins durch den unechten Bruch 7/7 ersetzt und statt 3 eine gemischte Zahl aufgeschrieben und vom Nachkommateil einen Bruch subtrahiert.
Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren.
Oder anders ausgedrückt: verschiedene Brüche subtrahieren.
Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, ist es zunächst notwendig, diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) zu reduzieren und erst danach die Subtraktion wie bei Brüchen mit gleichen Nennern durchzuführen.
Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) natürliche Zahlen, die die Nenner dieser Brüche sind.
Aufmerksamkeit! Wenn im letzten Bruch Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren haben, muss der Bruch gekürzt werden. Ein unechter Bruch lässt sich am besten als gemischter Bruch darstellen. Das Subtraktionsergebnis so zu belassen, ohne den Bruch zu reduzieren, wo es möglich ist, ist eine unvollständige Lösung des Beispiels!
Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
- Finden Sie das LCM für alle Nenner.
- fügen Sie für alle Brüche zusätzliche Faktoren ein;
- alle Zähler mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren;
- Wir schreiben die resultierenden Produkte in den Zähler und signieren den gemeinsamen Nenner unter allen Brüchen;
- Subtrahieren Sie die Zähler der Brüche und unterzeichnen Sie den gemeinsamen Nenner unter der Differenz.
Auf die gleiche Weise erfolgt die Addition und Subtraktion von Brüchen, wenn der Zähler Buchstaben enthält.
Brüche subtrahieren, Beispiele:
Gemischte Brüche subtrahieren.
Bei Subtrahieren gemischter Brüche (Zahlen) Separat wird der ganzzahlige Teil vom ganzzahligen Teil und der Bruchteil vom Bruchteil subtrahiert.
Die erste Möglichkeit zum Subtrahieren gemischter Brüche.
Wenn die Bruchteile das gleiche Nenner und Zähler des Nachkommateils des Minuenden (wir subtrahieren ihn davon) ≥ Zähler des Nachkommateils des Subtrahends (wir subtrahieren ihn).
Zum Beispiel:
Die zweite Möglichkeit zum Subtrahieren gemischter Brüche.
Bei Bruchteilen anders Nenner. Zunächst bringen wir die Bruchteile auf einen gemeinsamen Nenner und subtrahieren anschließend den ganzen Teil vom ganzen Teil und den Bruchteil vom Bruchteil.
Zum Beispiel:
Die dritte Möglichkeit zum Subtrahieren gemischter Brüche.
Der Nachkommateil des Minuends ist kleiner als der Nachkommateil des Subtrahends.
Beispiel:
Weil Bruchteile haben unterschiedliche Nenner, was bedeutet, dass wir wie bei der zweiten Option zunächst gewöhnliche Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Der Zähler des Nachkommateils des Minuends ist kleiner als der Zähler des Nachkommateils des Subtrahends.3 < 14. Das heißt, wir nehmen aus dem ganzen Teil eine Einheit und reduzieren diese Einheit auf die Form eines unechten Bruchs mit gleichem Nenner und Zähler = 18.
In den Zähler auf der rechten Seite schreiben wir die Summe der Zähler, dann öffnen wir die Klammern im Zähler auf der rechten Seite, das heißt, wir multiplizieren alles und geben ähnliches an. Wir öffnen die Klammern im Nenner nicht. Es ist üblich, das Produkt im Nenner zu belassen. Wir bekommen:
Betrachten wir nun Beispiele, bei denen der Minuend größer als der Subtrahend ist.
\(\frac(7)(13)-\frac(3)(13) = \frac(7-3)(13) = \frac(4)(13)\)
Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie die Differenz zwischen dem Zähler des Minuenden und dem Subtrahend berechnen und den Nenner unverändert lassen.
\(\frac(a)(b)-\frac(c)(b) = \frac(a-c)(b)\)
Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren.
Um Brüche mit ungleichen Nennern zu subtrahieren, müssen Sie die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und dann die Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichen Nennern anwenden.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Subtrahieren Sie die Brüche \(\frac(5)(6)\) und \(\frac(1)(2)\).
Der gemeinsame Nenner dieser beiden Brüche latex]\frac(5)(6) und \(\frac(1)(2)\) ist 6. Multiplizieren Sie den zweiten Bruch \(\frac(1)(2)\) mit ein zusätzlicher Faktor von 3 .
\(\frac(5)(6)-\frac(1)(2) = \frac(5)(6)-\frac(1 \times \color(rot) (3))(2 \times \color (rot) (3)) = \frac(5)(6)-\frac(3)(6) = \frac(2)(6) = \frac(1)(3)\)
Der Bruch \(\frac(2)(6)\) wurde reduziert, um \(\frac(1)(3)\) zu erhalten.
Buchstabenformel zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
\(\bf \frac(a)(b)-\frac(c)(d) = \frac(a \times d-c \times b)(b \times d)\)
Verwandte Fragen:
Wie subtrahiere ich Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
Antwort: Sie müssen den gemeinsamen Nenner finden und dann gemäß der Regel Brüche mit demselben Nenner subtrahieren.
Wie subtrahiere ich Brüche mit gleichen Nennern?
Antwort: Berechnen Sie die Differenz zwischen den Zählern und lassen Sie den Nenner gleich.
Wie überprüfe ich die Subtraktion zweier Brüche richtig?
Antwort: Um die Richtigkeit der Subtraktion von Brüchen zu überprüfen, müssen Sie den Subtrahend und die Differenz addieren. Das Ergebnis ihrer Summe ist gleich dem Subtrahend.
\(\frac(7)(8)-\frac(3)(8) = \frac(7-3)(8) = \frac(4)(8)\)
Untersuchung:
\(\frac(4)(8) + \frac(3)(8) = \frac(4 + 3)(8) = \frac(7)(8)\)
Beispiel 1:
Brüche subtrahieren: a) \(\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\) b) \(\frac(10)(19)-\frac(7)(19)\)
Lösung:
a) \(\frac(1)(2)-\frac(1)(2) = \frac(1-1)(2) = \frac(0)(2) = 0\)
Wenn wir zwei identische Brüche subtrahieren, erhalten wir Null.
b) \(\frac(10)(19)-\frac(7)(19) = \frac(10-7)(19) = \frac(3)(19)\)
Beispiel #2:
Führen Sie eine Subtraktion durch und prüfen Sie durch Addition: a) \(\frac(13)(21)-\frac(3)(7)\) b) \(\frac(2)(3)-\frac(1)(5 ) \)
Lösung:
a) Finden Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche \(\frac(13)(21)\) und \(\frac(3)(7)\), er ist gleich 21. Multiplizieren Sie den zweiten Bruch \(\frac (3)(7) \) durch 3.
\(\frac(13)(21)-\frac(3)(7) = \frac(13)(21)-\frac(3 \times \color(rot) (3))(7 \times \color (rot) (3)) = \frac(13)(21)-\frac(9)(21) = \frac(13-9)(21) = \frac(4)(21)\)
Überprüfen wir die Subtraktion:
\(\frac(4)(21) + \frac(3)(7) = \frac(4)(21) + \frac(3 \times \color(red) (3))(7 \times \color (rot) (3)) = \frac(4)(21) + \frac(9)(21) = \frac(4 + 9)(21) = \frac(13)(21)\)
b) Finden Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche \(\frac(2)(3)\) und \(\frac(1)(5)\), er ist gleich 15. Multiplizieren Sie den ersten Bruch \(\frac (2)(3) \) um einen zusätzlichen Faktor von 5, der zweite Bruch \(\frac(1)(5)\) um 3.
\(\frac(2)(3)-\frac(1)(5) = \frac(2 \times \color(rot) (5))(3 \times \color(rot) (5))-\ frac(1 \times \color(rot) (3))(5 \times \color(rot) (3)) = \frac(10)(15)-\frac(3)(15) = \frac(10 -3)(15) = \frac(7)(15)\)
Überprüfen wir die Subtraktion:
\(\frac(7)(15) + \frac(1)(5) = \frac(7)(15) + \frac(1 \times \color(rot) (3))(5 \times \color (rot) (3)) = \frac(7)(15) + \frac(3)(15) = \frac(7 + 3)(15) = \frac(10)(15) = \frac(2 )(3)\)
- Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren
- Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren
- Konzept von NOC
- Brüche auf den gleichen Nenner reduzieren
- So addieren Sie eine ganze Zahl und einen Bruch
1 Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren
Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren, den Nenner jedoch gleich lassen, zum Beispiel:
Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen, zum Beispiel:
Um gemischte Brüche zu addieren, müssen Sie ihre ganzen Teile separat addieren und dann ihre Bruchteile addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch schreiben.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Wenn Sie beim Addieren von Bruchteilen einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie daraus den ganzen Teil aus und addieren ihn zum ganzen Teil, zum Beispiel:
2 Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren.
Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie sie zunächst auf denselben Nenner reduzieren und dann wie am Anfang dieses Artikels beschrieben vorgehen. Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches). Für den Zähler jedes Bruchs werden zusätzliche Faktoren ermittelt, indem der LCM durch den Nenner dieses Bruchs dividiert wird. Wir werden uns später ein Beispiel ansehen, nachdem wir verstanden haben, was ein NOC ist.
3 Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen (LCM) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch beide Zahlen ohne Rest teilbar ist. Manchmal kann die LCM mündlich gefunden werden, aber häufiger, insbesondere wenn Sie mit großen Zahlen arbeiten, müssen Sie die LCM schriftlich finden, indem Sie den folgenden Algorithmus verwenden:
Um den LCM mehrerer Zahlen zu ermitteln, benötigen Sie:
- Zerlegen Sie diese Zahlen in Primfaktoren
- Nehmen Sie die größte Erweiterung und schreiben Sie diese Zahlen als Produkt
- Wählen Sie in anderen Zerlegungen die Zahlen aus, die in der größten Zerlegung nicht vorkommen (oder seltener vorkommen) und addieren Sie sie zum Produkt.
- Multiplizieren Sie alle Zahlen im Produkt, das ergibt den LCM.
Lassen Sie uns zum Beispiel den LCM der Zahlen 28 und 21 ermitteln:
4 Brüche auf den gleichen Nenner reduzieren
Kehren wir zum Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zurück.
Wenn wir Brüche auf denselben Nenner reduzieren, der dem LCM beider Nenner entspricht, müssen wir die Zähler dieser Brüche mit multiplizieren zusätzliche Multiplikatoren. Sie finden sie, indem Sie den LCM durch den Nenner des entsprechenden Bruchs dividieren, zum Beispiel:
Um Brüche auf denselben Exponenten zu reduzieren, müssen Sie also zunächst den LCM (d. h. die kleinste Zahl, die durch beide Nenner teilbar ist) der Nenner dieser Brüche ermitteln und dann den Zählern der Brüche zusätzliche Faktoren hinzufügen. Sie finden sie, indem Sie den gemeinsamen Nenner (CLD) durch den Nenner des entsprechenden Bruchs dividieren. Dann müssen Sie den Zähler jedes Bruchs mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren und den LCM als Nenner verwenden.
5 So addieren Sie eine ganze Zahl und einen Bruch
Um eine ganze Zahl und einen Bruch zu addieren, fügen Sie einfach diese Zahl vor dem Bruch hinzu, um einen gemischten Bruch zu erstellen, zum Beispiel:
Wenn wir eine ganze Zahl und einen gemischten Bruch addieren, addieren wir diese Zahl zum ganzzahligen Teil des Bruchs, zum Beispiel:
Trainer 1
Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren.
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Dieser Test testet Ihre Fähigkeit, Brüche mit gleichen Nennern zu addieren. Dabei sind zwei Regeln zu beachten:
- Wenn das Ergebnis ein unechter Bruch ist, müssen Sie ihn in eine gemischte Zahl umwandeln.
- Wenn ein Bruch gekürzt werden kann, kürzen Sie ihn unbedingt, da sonst eine falsche Antwort gezählt wird.
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Das Erlernen des Subtrahierens von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern findet im Schulfach Algebra in der achten Klasse statt und bereitet den Kindern teilweise Verständnisschwierigkeiten. Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, verwenden Sie die folgende Formel:
Das Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen ähnelt dem der Addition, da es das Funktionsprinzip vollständig kopiert.
Zuerst berechnen wir die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Nenner ist.
Zweitens multiplizieren wir Zähler und Nenner jedes Bruchs mit einer bestimmten Zahl, die es uns ermöglicht, den Nenner auf einen bestimmten minimalen gemeinsamen Nenner zu reduzieren.
Drittens findet der Subtraktionsvorgang selbst statt, wenn am Ende der Nenner dupliziert und der Zähler des zweiten Bruchs vom ersten subtrahiert wird.
Beispiel: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 ganze 1/6
Zuerst müssen Sie sie auf den gleichen Nenner bringen und dann subtrahieren. Beispiel: 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Oder, schwieriger, 1/3 – 1/5 = 5/15 – 3/15 = 2/15. Müssen Sie erklären, wie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden?
Bei Operationen wie dem Addieren oder Subtrahieren gewöhnlicher Brüche mit unterschiedlichen Nennern gilt eine einfache Regel: Die Nenner dieser Brüche werden auf eine Zahl reduziert und die Operation selbst wird mit den Zahlen im Zähler ausgeführt. Das heißt, die Brüche erhalten einen gemeinsamen Nenner und scheinen zu einem zusammengefasst zu werden. Um einen gemeinsamen Nenner für beliebige Brüche zu finden, reicht es normalerweise aus, jeden Bruch einfach mit dem Nenner des anderen Bruchs zu multiplizieren. Aber in einfacheren Fällen können Sie sofort Faktoren finden, die die Nenner der Brüche auf die gleiche Zahl bringen.
Beispiel für die Subtraktion von Brüchen: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Viele Erwachsene haben es bereits vergessen wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahiert, aber diese Aktion bezieht sich auf die elementare Mathematik.
Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren, müssen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen, das heißt, das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner finden und dann die Zähler mit zusätzlichen Faktoren multiplizieren, die dem Verhältnis des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des Nenners entsprechen.
Bruchzeichen bleiben erhalten. Sobald die Brüche den gleichen Nenner haben, können Sie den Bruch subtrahieren und dann, wenn möglich, reduzieren.
Elena, hast du dich entschieden, deinen Schulmathematikkurs zu wiederholen?)))
Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen diese zunächst auf den gleichen Nenner reduziert und dann subtrahiert werden. Die einfachste Möglichkeit: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und multiplizieren Sie Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs. Wir erhalten zwei Brüche mit demselben Nenner. Jetzt subtrahieren wir den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs und sie haben den gleichen Nenner.
Zum Beispiel ist drei Fünftel minus zwei Siebtel gleich einundzwanzig Fünfunddreißig minus zehn Fünfunddreißig und das ist gleich elf Fünfunddreißig.
Wenn die Nenner große Zahlen sind, können Sie deren kleinstes gemeinsames Vielfaches ermitteln, d. h. eine Zahl, die durch den einen und den anderen Nenner teilbar ist. Und bringe beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren ist eine sehr einfache Aufgabe: Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und führen dann die Subtraktion im Zähler durch.
Viele Menschen stoßen auf Schwierigkeiten, wenn neben diesen Brüchen ganze Zahlen stehen, deshalb wollte ich anhand des folgenden Beispiels zeigen, wie das geht:
Brüche mit ganzen Teilen und unterschiedlichen Nennern subtrahieren
Zuerst subtrahieren wir die ganzen Teile 8-5 = 3 (die drei bleiben in der Nähe des ersten Bruchs);
wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner 6 (wenn der Zähler des ersten Bruchs größer als der zweite ist, führen wir die Subtraktion durch und schreiben sie neben den ganzen Teil, in unserem Fall gehen wir weiter);
wir zerlegen den gesamten Teil 3 in 2 und 1;
Wir schreiben 1 als Bruch 6/6;
Wir schreiben 6/6+3/6-4/6 unter den gemeinsamen Nenner 6 und führen die Operationen im Zähler durch;
Wir schreiben das gefundene Ergebnis 2 5/6 auf.
Es ist wichtig zu bedenken, dass Brüche subtrahiert werden, wenn sie denselben Nenner haben. Wenn wir also Brüche mit unterschiedlichen Nennern haben, müssen diese einfach auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, was nicht schwierig ist. Wir müssen lediglich den Zähler jedes Bruchs faktorisieren und das kleinste gemeinsame Vielfache berechnen, das nicht gleich Null sein darf. Vergessen Sie nicht, auch die Zähler mit den resultierenden zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren, aber hier ist der Einfachheit halber ein Beispiel:
Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren möchten, müssen Sie zunächst den gemeinsamen Nenner der beiden Brüche ermitteln. Und dann subtrahiere den zweiten vom Zähler des ersten Bruchs. Es entsteht ein neuer Bruch mit neuer Bedeutung.
Soweit ich mich aus dem Mathematikkurs der 3. Klasse erinnere, muss man zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zunächst den gemeinsamen Nenner berechnen und auf diesen reduzieren und dann einfach die Zähler voneinander subtrahieren und der Nenner bleibt gleich.
Um Brüche mit ungleichem Nenner zu subtrahieren, müssen wir zunächst den kleinsten gemeinsamen Nenner dieser Brüche ermitteln.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Teilen Sie die größere Zahl 25 durch die kleinere 20. Sie ist nicht teilbar. Das heißt, wir multiplizieren den Nenner 25 mit einer solchen Zahl, die resultierende Summe kann durch 20 geteilt werden. Diese Zahl ist 4. 25x4=100. 100:20=5. So haben wir den kleinsten gemeinsamen Nenner gefunden – 100.
Jetzt müssen wir den zusätzlichen Faktor für jeden Bruch finden. Teilen Sie dazu den neuen Nenner durch den alten.
Multipliziere 9 mit 4 = 36. Multipliziere 7 mit 5 = 35.
Da wir einen gemeinsamen Nenner haben, führen wir die Subtraktion wie im Beispiel gezeigt durch und erhalten das Ergebnis.
