مجموع صيغة التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي. التقدم الهندسي مع الأمثلة

المتوالية الهندسيةعبارة عن تسلسل عددي، الحد الأول منه غير الصفر، وكل منهما العضو القادم، يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفر.

مفهوم التقدم الهندسي

يُشار إلى التقدم الهندسي بـ b1، b2، b3، …، bn، ….

نسبة أي حد من الخطأ الهندسي إلى حده السابق تساوي نفس العدد، أي b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( ن+1)/مليار = … . وهذا يتبع مباشرة من التعريف المتوالية العددية. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي. عادةً ما يُشار إلى مقام التقدم الهندسي بالحرف q.

مجموع المتتابعة الهندسية اللانهائية لـ |q|<1

إحدى طرق تحديد المتوالية الهندسية هي تحديد حدها الأول b1 ومقام الخطأ الهندسي q. على سبيل المثال، ب1=4، س=-2. يحدد هذان الشرطان التقدم الهندسي 4، -8، 16، -32، ….

إذا كانت q>0 (q لا تساوي 1)، فإن التقدم يكون تسلسلًا رتيبًا. على سبيل المثال، المتتابعة 2، 4،8،16،32، ... هي متوالية متزايدة بشكل رتيب (b1=2، q=2).

إذا كان المقام في الخطأ الهندسي هو q=1، فإن جميع حدود المتوالية الهندسية ستكون متساوية مع بعضها البعض. في مثل هذه الحالات، يقال إن التقدم هو تسلسل ثابت.

لكي تكون المتوالية العددية (bn) متتابعة هندسية، يجب أن يكون كل عضو من أعضائها، بدءاً من الثاني، هو الوسط الهندسي للأعضاء المجاورة. أي أنه من الضروري تحقيق المعادلة التالية
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2)، لأي n>0، حيث ينتمي n إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N.

الآن دعونا نضع (Xn) - متوالية هندسية. مقام التقدم الهندسي q، و |q|∞).
إذا كنا نشير الآن بـ S إلى مجموع المتوالية الهندسية اللانهائية، فسيتم تطبيق الصيغة التالية:
ق=x1/(1-ف).

دعونا نلقي نظرة على مثال بسيط:

أوجد مجموع المتتابعة الهندسية اللانهائية 2، -2/3، 2/9، - 2/27، ….

للعثور على S، نستخدم صيغة مجموع التقدم الحسابي اللانهائي. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

إذا كان لكل عدد طبيعي ن تطابق عدد حقيقي ن ، ثم يقولون أنه أعطى تسلسل رقمي :

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , ن , . . . .

لذا، فإن التسلسل الرقمي هو دالة للوسيطة الطبيعية.

رقم أ 1 مُسَمًّى الحد الأول من المتتابعة ، رقم أ 2 — الحد الثاني من المتتابعة ، رقم أ 3 — ثالث وما إلى ذلك وهلم جرا. رقم ن مُسَمًّى الفصل الدراسي التاسعتسلسلات ، وعدد طبيعي ن — رقمه .

من عضوين متجاورين ن و ن +1 عضو التسلسل ن +1 مُسَمًّى تالي (تجاه ن )، أ ن — سابق (تجاه ن +1 ).

لتحديد تسلسل، تحتاج إلى تحديد طريقة تسمح لك بالعثور على عضو في التسلسل بأي رقم.

في كثير من الأحيان يتم تحديد التسلسل باستخدام صيغ المصطلح n ، وهي صيغة تسمح لك بتحديد عضو في التسلسل من خلال رقمه.

على سبيل المثال،

يمكن إعطاء سلسلة من الأرقام الفردية الموجبة بواسطة الصيغة

ن= 2ن- 1,

وتسلسل التناوب 1 و -1 - معادلة

بن = (-1)ن +1 . ◄

يمكن تحديد التسلسل صيغة متكررة, أي صيغة تعبر عن أي عضو في المتوالية، ابتداءً من البعض، مروراً بالعضو السابق (واحد أو أكثر).

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 1 ، أ ن +1 = ن + 5

أ 1 = 1,

أ 2 = أ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

أ 3 = أ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

أ 4 = أ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

أ 5 = أ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

لو أ 1= 1, 2 = 1, ن +2 = ن + ن +1 , ومن ثم يتم تحديد الحدود السبعة الأولى من التسلسل الرقمي على النحو التالي:

أ 1 = 1,

2 = 1,

أ 3 = أ 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

أ 4 = 2 + أ 3 = 1 + 2 = 3,

5 = أ 3 + أ 4 = 2 + 3 = 5,

أ 6 = أ 4 + أ 5 = 3 + 5 = 8,

أ 7 = أ 5 + أ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

يمكن أن تكون تسلسلات أخير و بلا نهاية .

يسمى التسلسل ذروة إذا كان لديه عدد محدود من الأعضاء. يسمى التسلسل بلا نهاية إذا كان لديه عدد لا نهائي من الأعضاء.

على سبيل المثال،

تسلسل الأعداد الطبيعية المكونة من رقمين:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

أخير.

تسلسل الأعداد الأولية:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بلا نهاية. ◄

يسمى التسلسل في ازدياد إذا كان كل عضو من أعضائه ابتداء من الثاني أكبر من الذي قبله.

يسمى التسلسل متناقص إذا كان كل عضو من أعضائه ابتداء من الثاني أقل من سابقه.

على سبيل المثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2ن, . . . - تسلسل متزايد؛

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /ن, . . . - تسلسل تنازلي. ◄

يسمى التسلسل الذي لا تنخفض عناصره مع زيادة العدد، أو على العكس من ذلك، لا تزيد تسلسل رتيب .

التسلسلات الرتيبة، على وجه الخصوص، هي تسلسلات متزايدة وتسلسلات متناقصة.

المتوالية العددية

المتوالية العددية هو تسلسل يكون فيه كل عضو، بدءًا من الثاني، مساويًا للعضو السابق، والذي يضاف إليه نفس الرقم.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . , ن, . . .

هو تقدم حسابي إن وجد عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ن +1 = ن + د,

أين د - عدد معين .

وبالتالي، فإن الفرق بين الحدود اللاحقة والسابقة لتقدم حسابي معين يكون دائمًا ثابتًا:

2 - أ 1 = أ 3 - أ 2 = . . . = ن +1 - ن = د.

رقم د مُسَمًّى اختلاف التقدم الحسابي.

لتحديد التقدم الحسابي، يكفي الإشارة إلى الحد الأول والفرق.

على سبيل المثال،

لو أ 1 = 3, د = 4 ، فنجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة كما يلي:

أ 1 =3,

2 = أ 1 + د = 3 + 4 = 7,

أ 3 = 2 + د= 7 + 4 = 11,

أ 4 = أ 3 + د= 11 + 4 = 15,

أ 5 = أ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

للحصول على متوالية حسابية مع الفصل الأول أ 1 والفرق د ها ن

ن = أ 1 + (ن- 1)د.

على سبيل المثال،

أوجد الحد الثلاثين للمتتابعة الحسابية

1, 4, 7, 10, . . .

أ 1 =1, د = 3,

30 = أ 1 + (30 - 1)د = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ن-1 = أ 1 + (ن- 2)د،

ن= أ 1 + (ن- 1)د،

ن +1 = أ 1 + اختصار الثاني,

ثم من الواضح

كل عضو في المتوالية الحسابية، ابتداء من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

الأرقام a وb وc هي حدود متتالية لبعض التقدم الحسابي إذا وفقط إذا كان أحدها يساوي الوسط الحسابي للاثنين الآخرين.

على سبيل المثال،

ن = 2ن- 7 ، هو التقدم الحسابي.

دعونا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ن = 2ن- 7,

ن-1 = 2(ن- 1) - 7 = 2ن- 9,

ن+1 = 2(ن+ 1) - 7 = 2ن- 5.

لذلك،

◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على الحد العاشر للتقدم الحسابي ليس فقط من خلال أ 1 ، ولكن أيضًا أي سابقة ك

ن = ك + (ن- ك)د.

على سبيل المثال،

ل أ 5 يمكن كتابتها

5 = أ 1 + 4د,

5 = 2 + 3د,

5 = أ 3 + 2د,

5 = أ 4 + د. ◄

ن = ن ك + دينار كويتي,

ن = ن+ك - دينار كويتي,

ثم من الواضح

أي عضو في المتوالية الحسابية، بدءًا من الثاني، يساوي نصف مجموع الأعضاء المتباعدة بشكل متساوٍ في هذه المتوالية الحسابية.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأي تقدم حسابي، فإن المساواة التالية تحمل:

أ م + أ ن = أ ك + أ ل,

م + ن = ك + ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي

1) أ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (أ 9 + أ 11 )/2;

2) 28 = 10 = أ 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28؛

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (أ 7 + أ 13)/2;

4) أ 2 + أ 12 = أ 5 + أ 9, لأن

أ 2 + أ 12= 4 + 34 = 38,

أ 5 + أ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

س ن= أ 1 + أ 2 + أ 3 + . . .+ ن,

أولاً ن شروط التقدم الحسابي تساوي منتج نصف مجموع الحدود المتطرفة وعدد الحدود:

من هنا، على وجه الخصوص، يترتب على ذلك أنه إذا كنت بحاجة إلى جمع الحدود

ك, ك +1 , . . . , ن,

ثم تحتفظ الصيغة السابقة ببنيتها:

على سبيل المثال،

في التقدم الحسابي 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

س 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = س 10 - س 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

إذا تم إعطاء تقدم حسابي، ثم الكميات أ 1 , ن, د, نوس ن متصلة بواسطة صيغتين:

لذلك، إذا تم إعطاء قيم ثلاث من هذه الكميات، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

التقدم الحسابي هو تسلسل رتيب. حيث:

• لو د > 0 ، فهو في ازدياد؛
• لو د < 0 ، فهو يتناقص؛
• لو د = 0 ، فإن التسلسل سيكون ثابتا.

المتوالية الهندسية

المتوالية الهندسية هو تسلسل يكون فيه كل عضو بدءًا من الثاني يساوي العضو السابق مضروبًا في نفس العدد.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , ب ن, . . .

هو تقدم هندسي إذا كان لأي عدد طبيعي ن تم استيفاء الشرط:

ب ن +1 = ب ن · س,

أين س ≠ 0 - عدد معين .

وبالتالي، فإن نسبة الحد اللاحق لمتوالية هندسية معينة إلى الحد السابق هي رقم ثابت:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = ب ن +1 / ب ن = س.

رقم س مُسَمًّى مقام التقدم الهندسي.

لتحديد المتوالية الهندسية، يكفي الإشارة إلى حدها الأول ومقامها.

على سبيل المثال،

لو ب 1 = 1, س = -3 ، فنجد الحدود الخمسة الأولى من المتتابعة كما يلي:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · س = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · س= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · س= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · س= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 والقاسم س ها ن يمكن العثور على الحد العاشر باستخدام الصيغة:

ب ن = ب 1 · Qn -1 .

على سبيل المثال،

أوجد الحد السابع للمتتالية الهندسية 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, س = 2,

ب 7 = ب 1 · س 6 = 1 2 6 = 64. ◄

ب ن-1 = ب 1 · Qn -2 ,

ب ن = ب 1 · Qn -1 ,

ب ن +1 = ب 1 · Qn,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن -1 · ب ن +1 ,

فكل عضو في المتوالية الهندسية ابتداء من الثاني يساوي الوسط الهندسي (النسبي) للأعضاء السابقة واللاحقة.

وبما أن العكس صحيح أيضاً، فإن العبارة التالية تقول:

الأرقام a وb وc هي حدود متتالية لبعض التقدم الهندسي إذا وفقط إذا كان مربع أحدها يساوي حاصل ضرب الرقمين الآخرين، أي أن أحد الأرقام هو الوسط الهندسي للرقمين الآخرين.

على سبيل المثال،

دعونا نثبت أن التسلسل المعطاة بالصيغة ب ن= -3 2 ن ، هو تقدم هندسي. دعونا نستخدم البيان أعلاه. لدينا:

ب ن= -3 2 ن,

ب ن -1 = -3 2 ن -1 ,

ب ن +1 = -3 2 ن +1 .

لذلك،

ب ن 2 = (-3 2 ن) 2 = (-3 2 ن -1 ) · (-3 · 2 ن +1 ) = ب ن -1 · ب ن +1 ,

مما يثبت القول المطلوب. ◄

لاحظ أن ن يمكن العثور على الحد الرابع للتقدم الهندسي ليس فقط من خلال ب 1 ، ولكن أيضًا أي عضو سابق ب ك ، وهو ما يكفي لاستخدام الصيغة

ب ن = ب ك · Qn - ك.

على سبيل المثال،

ل ب 5 يمكن كتابتها

ب 5 = ب 1 · س 4 ,

ب 5 = ب 2 · س 3,

ب 5 = ب 3 · س 2,

ب 5 = ب 4 · س. ◄

ب ن = ب ك · Qn - ك,

ب ن = ب ن - ك · س ك,

ثم من الواضح

ب ن 2 = ب ن - ك· ب ن + ك

فمربع أي حد من المتتابعة الهندسية ابتداء من الثاني يساوي حاصل ضرب حدود هذا المتوالية على مسافة متساوية منه.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لأي تقدم هندسي، تكون المساواة صحيحة:

بي ام· ب ن= ب ك· ب ل,

م+ ن= ك+ ل.

على سبيل المثال،

في التقدم الهندسي

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · س 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , لأن

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

س ن= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + ب ن

أولاً ن أعضاء التقدم الهندسي مع القاسم س ≠ 0 تحسب بواسطة الصيغة:

وعندما س = 1 - حسب الصيغة

س ن= ملحوظة 1

لاحظ أنه إذا كنت بحاجة إلى جمع الشروط

ب ك, ب ك +1 , . . . , ب ن,

ثم يتم استخدام الصيغة:

على سبيل المثال،

في التقدم الهندسي 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

س 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = س 10 - س 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

إذا تم إعطاء تقدم هندسي، ثم الكميات ب 1 , ب ن, س, نو س ن متصلة بواسطة صيغتين:

لذلك، إذا تم إعطاء قيم أي ثلاث من هذه الكميات، فسيتم تحديد القيم المقابلة للكميتين الأخريين من هذه الصيغ، مجتمعة في نظام من معادلتين مع مجهولين.

للحصول على متوالية هندسية مع الفصل الأول ب 1 والقاسم س يحدث ما يلي خصائص الرتابة :

• ويتزايد التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و س> 1;

ب 1 < 0 و 0 < س< 1;

• يتناقص التقدم إذا تم استيفاء أحد الشروط التالية:

ب 1 > 0 و 0 < س< 1;

ب 1 < 0 و س> 1.

لو س< 0 ، فإن المتتالية الهندسية تتناوب: حدودها ذات الأعداد الفردية لها نفس إشارة حدها الأول، والحدود ذات الأعداد الزوجية لها علامة معاكسة. من الواضح أن التقدم الهندسي المتناوب ليس رتيبًا.

المنتج الأول ن يمكن حساب شروط التقدم الهندسي باستخدام الصيغة:

ب= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · ب ن = (ب 1 · ب ن) ن / 2 .

على سبيل المثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي

تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي تسمى متوالية هندسية لا نهائية معامل مقامها أقل 1 ، إنه

|س| < 1 .

لاحظ أن المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي قد لا تكون متوالية متناقصة. يناسب هذه المناسبة

1 < س< 0 .

مع هذا المقام، فإن التسلسل يتناوب. على سبيل المثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي قم بتسمية الرقم الذي يقترب منه مجموع الأعداد الأولى بلا حدود ن أعضاء التقدم مع زيادة غير محدودة في العدد ن . هذا الرقم دائمًا محدود ويتم التعبير عنه بالصيغة

على سبيل المثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

العلاقة بين المتوالية الحسابية والهندسية

ترتبط التقدمات الحسابية والهندسية ارتباطًا وثيقًا. دعونا ننظر إلى مثالين فقط.

أ 1 , أ 2 , أ 3 , . . . د ، الذي - التي

ب أ 1 , ب أ 2 , ب أ 3 , . . . ب د .

على سبيل المثال،

1, 3, 5, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - التقدم الهندسي مع القاسم 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - التقدم الهندسي مع القاسم س ، الذي - التي

سجل أ ب 1, سجل أ ب 2, سجل أ ب 3, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق سجل أس .

على سبيل المثال،

2, 12, 72, . . . - التقدم الهندسي مع القاسم 6 و

إل جي 2, إل جي 12, إل جي 72, . . . - التقدم الحسابي مع الفرق إل جي 6 . ◄

درس حول الموضوع "التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي" (الجبر، الصف العاشر)

الغرض من الدرس:تعريف الطلاب بنوع جديد من التسلسل - وهو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي.

معدات:جهاز عرض، شاشة.

نوع الدرس:الدرس - التعلم موضوع جديد.

خلال الفصول الدراسية

أنا . منظمة. لحظة. اذكر موضوع الدرس والغرض منه.

ثانيا . تحديث معارف الطلاب.

في الصف التاسع، درست المتتابعات الحسابية والهندسية.

أسئلة

1. تعريف التقدم الحسابي. (المتتابعة الحسابية هي متوالية يكون فيها كل عضو ابتداء من الثاني مساوياً للعضو السابق مضافاً إلى نفس العدد).

2. الصيغة نالحد الرابع من المتوالية الحسابية (
)

3. صيغة مجموع الأول نشروط التقدم الحسابي.

(
أو
)

4. تعريف التقدم الهندسي. (المتتالية الهندسية هي سلسلة من الأعداد غير الصفرية، كل حد منها ابتداء من الثاني يساوي الحد السابق مضروبا في نفس العدد).

5. الصيغة نالحد الرابع من المتوالية الهندسية (

)

6. صيغة مجموع الأول نأعضاء التقدم الهندسي. (
)

7. ما هي الصيغ الأخرى التي تعرفها؟

(
، أين
;
;
;
,
)

5. للتقدم الهندسي
العثور على الحد الخامس.

6. للتقدم الهندسي
يجد نالعضو ال.

7. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد ب 4 . (4)

8. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد ب 1 و س .

9. أضعافا مضاعفة ب 3 = 8 و ب 5 = 2 . يجد س 5 . (62)

ثالثا . تعلم موضوع جديد(مظاهرة العرض).

لنفترض مربعًا طول ضلعه 1. لنرسم مربعًا آخر يكون طول ضلعه نصف حجم المربع الأول، ثم مربعًا آخر يكون طول ضلعه نصف المربع الثاني، ثم المربع الذي يليه، وما إلى ذلك. في كل مرة يساوي جانب المربع الجديد نصف المربع السابق.

ونتيجة لذلك، حصلنا على سلسلة من جوانب المربعات تشكيل متوالية هندسية مع المقام .

والأهم من ذلك، أنه كلما قمنا ببناء مثل هذه المربعات، كلما كان جانب المربع أصغر. على سبيل المثال,

أولئك. ومع زيادة العدد n، تقترب شروط التقدم من الصفر.

باستخدام هذا الرقم، يمكنك التفكير في تسلسل آخر.

على سبيل المثال، تسلسل مساحات المربعات:

. ومرة أخرى، إذا نتزداد إلى أجل غير مسمى، ثم تقترب المساحة من الصفر إلى أقرب ما تريد.

دعونا ننظر إلى مثال آخر. مثلث متساوي الأضلاع طول أضلاعه 1 سم. لنقم بإنشاء المثلث التالي الذي تكون رءوسه عند منتصف أضلاع المثلث الأول، وفقًا لنظرية حول خط الوسطمثلث - ضلع الثاني يساوي نصف ضلع الأول، وضلع الثالث يساوي نصف ضلع الثاني، وما إلى ذلك. مرة أخرى نحصل على سلسلة من أطوال أضلاع المثلثات.

في
.

إذا اعتبرنا تقدمًا هندسيًا بمقام سلبي.

ثم، مرة أخرى، بأعداد متزايدة نشروط التقدم تقترب من الصفر.

دعونا ننتبه إلى قواسم هذه المتتابعات. في كل مكان كانت القواسم أقل من 1 في القيمة المطلقة.

يمكننا أن نستنتج أن المتتابعة الهندسية سوف تتناقص بشكل لا نهائي إذا كان معامل مقامها أقل من 1.

تعريف:

يقال إن المتوالية الهندسية تتناقص بشكل لا نهائي إذا كان معامل مقامها أقل من واحد.
.

باستخدام التعريف، يمكنك أن تقرر ما إذا كان التقدم الهندسي يتناقص بشكل لا نهائي أم لا.

مهمة

هل التسلسل عبارة عن تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي إذا تم إعطاؤه بالصيغة:

;
.

حل:

. سوف نجد س .

;
;
;
.

هذا التقدم الهندسي يتناقص بلا حدود.

ب)هذا التسلسل ليس تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي.

خذ بعين الاعتبار مربعًا طول ضلعه يساوي 1. اقسمه إلى نصفين، أي نصفين إلى نصفين، وما إلى ذلك. تشكل مساحات جميع المستطيلات الناتجة متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي:

مجموع مساحات جميع المستطيلات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة سيكون مساوياً لمساحة المربع الأول ويساوي 1.

درس وعرض حول موضوع: "التسلسلات الرقمية. التقدم الهندسي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف التاسع
القوى والجذور الوظائف والرسوم البيانية

يا رفاق، اليوم سوف نتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.

المتوالية الهندسية

مثال. 1,2,4,8,16... متتابعة هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحدًا، و$q=2$.

مثال. 8،8،8،8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ثمانية،
و $س=1$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة،
و $س=-1$.

التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $b_(1)>0$، $q>1$،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $b_(1)>0$، $0 يُشار إلى التسلسل عادةً بالشكل: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$.

تمامًا كما هو الحال في المتوالية الحسابية، إذا كان عدد العناصر في المتوالية الهندسية محدودًا، فإن المتوالية تسمى متوالية هندسية منتهية.

$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
لاحظ أنه إذا كانت المتتابعة متوالية هندسية، فإن متوالية مربعات الحدود تكون متوالية هندسية أيضًا. في التسلسل الثاني، الحد الأول يساوي $b_(1)^2$، والمقام يساوي $q^2$.

صيغة الحد n من التقدم الهندسي

دعونا نعود إلى الأمثلة لدينا.

مثال. 1،2،4،8،16... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحد،
و $س=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

مثال. 16,8,4,2,1,1/2… متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ستة عشر، و $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

مثال. 8,8,8,8... متتابعة هندسية حيث الحد الأول يساوي ثمانية، و$q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة، و$q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

مثال. يتم إعطاء التقدم الهندسي $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
أ) من المعروف أن $b_(1)=6, q=3$. ابحث عن $b_(5)$.
ب) من المعروف أن $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. ابحث عن ن.
ج) من المعروف أن $q=-2, b_(6)=96$. ابحث عن $b_(1)$.
د) من المعروف أن $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. ابحث عن س.

حل.
أ) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$، بما أن $2^7=128 => n-1=7; ن = 8 دولار.
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

مثال. الفرق بين الحدين السابع والخامس من المتتابعة الهندسية هو 192، ومجموع الحدين الخامس والسادس من المتتابعة الهندسية هو 192. أوجد الحد العاشر من هذه المتتابعة.

حل.
نحن نعلم أن: $b_(7)-b_(5)=192$ و$b_(5)+b_(6)=192$.
ونعرف أيضًا: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
ثم:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
لقد حصلنا على نظام المعادلات:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
معادلة معادلاتنا نحصل على:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$ف^2-1=ف+1$.
$q^2-q-2=0$.
حصلنا على حلين س: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
عوض بالتسلسل في المعادلة الثانية:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $b_(1)=4, q=2$.
لنجد الحد العاشر: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

مجموع التقدم الهندسي المحدود

دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
دعونا نقدم التسمية لمجموع مصطلحاتها: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
في الحالة عندما يكون $q=1$. جميع حدود المتوالية الهندسية تساوي الحد الأول، فمن الواضح أن $S_(n)=n*b_(1)$.
دعونا الآن ننظر في الحالة $q≠1$.
دعونا نضرب المبلغ أعلاه بـ q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
ملحوظة:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.

حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

مثال.
أوجد الحد الخامس من المتوالية الهندسية المعروفة: $b_(1)=-3$; $b_(ن)=-3072$; $S_(ن)=-4095$.

حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$ف^(ن-1)=1024$.
$س^(ن)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
1365 ف - 1365 = 1024 ف - 1 دولار.
341 دولارًا = 1364 دولارًا.
$س=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

خاصية مميزة للتقدم الهندسي

التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل عضو مساويًا لمنتج العضوين المتجاورين في التسلسل. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود، لا يتم استيفاء هذا الشرط للفصلين الأول والأخير.

معامل أي حد من المتوالية الهندسية يساوي المتوسط ​​الهندسي للحدين المجاورين له.

حل.
دعونا نستخدم الخاصية المميزة:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و$x_(2)=-1$.
دعونا نستبدل حلولنا بالتسلسل في التعبير الأصلي:
مع $x=2$، حصلنا على التسلسل: 4;6;9 – تقدم هندسي مع $q=1.5$.
بالنسبة إلى $x=-1$، نحصل على التسلسل: 1;0;0.
الجواب: $x=2.$

مشاكل لحلها بشكل مستقل

دعونا الآن نفكر في مسألة جمع متوالية هندسية لا نهائية. دعونا نسمي المجموع الجزئي لمتتالية لا نهائية معينة مجموع حدودها الأولى. دعونا نشير إلى المبلغ الجزئي بالرمز

لكل تقدم لا نهاية له

يمكن للمرء أن يؤلف تسلسلًا (لا نهائيًا أيضًا) لمجاميعه الجزئية

دع التسلسل مع الزيادة غير المحدودة له حد

في هذه الحالة، الرقم S، أي حد المجاميع الجزئية للتقدم، يسمى مجموع التقدم اللانهائي. سوف نثبت أن المتوالية الهندسية المتناقصة اللانهائية لها دائمًا مجموع، وسوف نشتق صيغة لهذا المجموع (يمكننا أيضًا أن نبين أنه إذا لم يكن للتقدم اللانهائي مجموع، فهو غير موجود).

دعونا نكتب التعبير عن المجموع الجزئي كمجموع حدود التقدم باستخدام الصيغة (91.1) ونأخذ في الاعتبار حد المجموع الجزئي عند

من المعروف من النظرية 89 أنه بالنسبة للتقدم المتناقص؛ لذلك، بتطبيق نظرية نهاية الفرق، نجد

(هنا تُستخدم القاعدة أيضًا: يتم أخذ العامل الثابت خارج علامة الحد). تم إثبات الوجود، وفي الوقت نفسه تم الحصول على صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي:

يمكن أيضًا كتابة المساواة (92.1) في النموذج

هنا قد يبدو من المفارقة أن يتم تعيين قيمة محددة للغاية لمجموع عدد لا حصر له من المصطلحات.

ويمكن تقديم مثال واضح لشرح هذا الوضع. خذ بعين الاعتبار مربعًا ضلعه يساوي واحدًا (الشكل 72). دعونا نقسم هذا المربع خط أفقيإلى قسمين متساويين و الجزء العلويقم بتطبيقه على الجزء السفلي بحيث يتم تشكيل مستطيل بجوانب 2 و . بعد ذلك، سنقوم مرة أخرى بتقسيم النصف الأيمن من هذا المستطيل إلى نصفين بخط أفقي ونعلق الجزء العلوي على الجزء السفلي (كما هو موضح في الشكل 72). لمواصلة هذه العملية، نقوم باستمرار بتحويل المربع الأصلي الذي تبلغ مساحته 1 إلى أشكال متساوية الحجم (تأخذ شكل درج بدرجات تخفيف).

مع الاستمرار اللانهائي لهذه العملية، تتحلل مساحة المربع بأكملها إلى عدد لا حصر له من المصطلحات - مساحات المستطيلات ذات القواعد تساوي 1 والارتفاعات تشكل بدقة تقدمًا تنازليًا لا نهائيًا، مجموعها

أي كما هو متوقع تساوي مساحة المربع.

مثال. أوجد مجموع المتتاليات اللانهائية التالية:

الحل أ) نلاحظ أن هذا التقدم ولذلك باستخدام الصيغة (92.2) نجد

ب) هنا يعني استخدام نفس الصيغة (92.2) التي لدينا

ج) نجد أن هذا التقدم ليس له مجموع.

في الفقرة 5، أظهرنا تطبيق صيغة مجموع حدود التقدم المتناقص بشكل لا نهائي إلى انعكاس الدوري عدد عشريإلى كسر مشترك.

تمارين

1. مجموع المتتابعة الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي هو 3/5، ومجموع حدودها الأربعة الأولى هو 13/27. أوجد الحد الأول ومقام التقدم.

2. ابحث عن أربعة أعداد تشكل متوالية هندسية متناوبة، يكون فيها الحد الثاني أقل من الأول بـ 35، والثالث أكبر من الرابع بـ 560.

3. تبين أنه إذا كان التسلسل

يشكل تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي، ثم التسلسل

لأي شيء، فهو يشكل تقدمًا هندسيًا متناقصًا بلا حدود. هل سيصدق هذا البيان متى

اشتق صيغة لمنتج شروط التقدم الهندسي.