Zerlegung zusammengesetzter Zahlen. Faktorisierung großer Zahlen

Was bedeutet Faktorisieren? Wie kann man das machen? Was kann man aus der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren lernen? Die Antworten auf diese Fragen werden mit konkreten Beispielen illustriert.

Definitionen:

Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei verschiedene Teiler hat.

Eine zusammengesetzte Zahl ist eine Zahl, die mehr als zwei Teiler hat.

zersetzen natürliche Zahl zu Faktoren bedeutet, es als Produkt natürlicher Zahlen darzustellen.

Eine natürliche Zahl in Primfaktoren zu zerlegen bedeutet, sie als Produkt von Primzahlen darzustellen.

Anmerkungen:

Bei der Entwicklung einer Primzahl ist einer der Faktoren gleich eins und der andere gleich dieser Zahl selbst.
Es macht keinen Sinn, von der Zerlegung der Einheit in Faktoren zu sprechen.
Eine zusammengesetzte Zahl kann in Faktoren zerlegt werden, die jeweils von 1 verschieden sind.

	Zerlegen wir die Zahl 150. 150 ist zum Beispiel 15 mal 10. 15 ist eine zusammengesetzte Zahl. Es kann in Primfaktoren von 5 und 3 zerlegt werden. 10 ist eine zusammengesetzte Zahl. Es kann in Primfaktoren von 5 und 2 zerlegt werden. Nachdem wir ihre Erweiterungen in Primfaktoren anstelle von 15 und 10 niedergeschrieben hatten, erhielten wir eine Zerlegung der Zahl 150.
	Die Zahl 150 kann auf andere Weise faktorisiert werden. Zum Beispiel ist 150 das Produkt der Zahlen 5 und 30. 5 ist eine Primzahl. 30 ist eine zusammengesetzte Zahl. Es kann als Produkt von 10 und 3 dargestellt werden. 10 ist eine zusammengesetzte Zahl. Es kann in Primfaktoren von 5 und 2 zerlegt werden. Die Zerlegung der Zahl 150 in Primfaktoren haben wir auf einem anderen Weg bekommen.
	Beachten Sie, dass die erste und die zweite Erweiterung identisch sind. Sie unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Multiplikatoren. Es ist üblich, die Faktoren in aufsteigender Reihenfolge zu schreiben.
Jede zusammengesetzte Zahl kann bis zur Ordnung der Faktoren eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden.

Bei der Zerlegung großer Zahlen in Primfaktoren wird ein Spalteneintrag verwendet:

Die kleinste Primzahl, durch die 216 teilbar ist, ist 2.

Teilen Sie 216 durch 2. Wir erhalten 108.

Die resultierende Zahl 108 ist durch 2 teilbar.

Machen wir die Division. Als Ergebnis erhalten wir 54.

Laut Teilbarkeitstest durch 2 ist die Zahl 54 durch 2 teilbar.

Nach Division erhalten wir 27.

Die Zahl 27 endet mit einer ungeraden Zahl 7. Es

Nicht durch 2 teilbar. Die nächste Primzahl ist 3.

Teilen Sie 27 durch 3. Wir erhalten 9. Die kleinste Primzahl

Die Zahl, durch die 9 teilbar ist, ist 3. Drei ist selbst eine Primzahl, die durch sich selbst und durch Eins teilbar ist. Teilen wir 3 durch uns selbst. Als Ergebnis haben wir 1.

Eine Zahl ist nur durch die Primzahlen teilbar, die Teil ihrer Zerlegung sind.
Eine Zahl ist nur durch solche zusammengesetzten Zahlen teilbar, deren Zerlegung in Primfaktoren vollständig in ihr enthalten ist.

Betrachten Sie Beispiele:

4900 ist durch die Primzahlen 2, 5 und 7 teilbar (sie sind in der Erweiterung der Zahl 4900 enthalten), aber beispielsweise nicht durch 13 teilbar.

11 550 75. Dies liegt daran, dass die Erweiterung der Nummer 75 vollständig in der Erweiterung der Nummer 11550 enthalten ist.

Das Ergebnis der Division ist das Produkt der Faktoren 2, 7 und 11.

11550 ist nicht durch 4 teilbar, da es eine zusätzliche 2 in der Erweiterung von 4 gibt.

Ermitteln Sie den Quotienten aus der Division der Zahl a durch die Zahl b, wenn diese Zahlen wie folgt in Primfaktoren zerlegt werden a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Die Zerlegung der Zahl b ist vollständig in der Zerlegung der Zahl a enthalten.

Das Ergebnis der Division von a durch b ist das Produkt der drei Zahlen, die bei der Erweiterung von a übrig bleiben.

Die Antwort lautet also: 30.

Referenzliste

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Hausaufgaben

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Sonstige Aufgaben: Nr. 133, Nr. 144.

Jede zusammengesetzte Zahl kann als Produkt ihrer Primteiler ausgedrückt werden:

28 = 2 2 7

Die rechten Teile der erhaltenen Gleichungen werden aufgerufen Primfaktorzerlegung Nummer 15 und 28.

Eine gegebene zusammengesetzte Zahl in Primfaktoren zu zerlegen bedeutet, diese Zahl als Produkt ihrer Primteiler darzustellen.

Die Zerlegung einer gegebenen Zahl in Primfaktoren erfolgt wie folgt:

Zuerst müssen Sie aus der Tabelle der Primzahlen die kleinste Primzahl auswählen, durch die diese zusammengesetzte Zahl ohne Rest teilbar ist, und die Division durchführen.
Als nächstes müssen Sie wieder die kleinste Primzahl wählen, durch die der bereits erhaltene Quotient ohne Rest geteilt wird.
Die Ausführung der zweiten Aktion wird wiederholt, bis die Einheit im Quotienten erhalten wird.

Als Beispiel faktorisieren wir die Zahl 940. Finden Sie die kleinste Primzahl, die 940 teilt. Diese Zahl ist 2:

Nun wählen wir die kleinste Primzahl, durch die 470 teilbar ist, diese Zahl ist wieder 2:

Die kleinste Primzahl, durch die 235 teilbar ist, ist 5:

Die Zahl 47 ist eine Primzahl, also ist die kleinste Primzahl, durch die 47 teilbar ist, die Zahl selbst:

So erhalten wir die Zahl 940, zerlegt in Primfaktoren:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Wenn die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren mehrere identische Faktoren ergeben hat, können sie der Kürze halber als Grad geschrieben werden:

940 = 2 2 5 47

Am bequemsten schreibt man die Zerlegung in Primfaktoren wie folgt: Zuerst schreiben wir die gegebene zusammengesetzte Zahl auf und ziehen rechts davon einen senkrechten Strich:

Rechts von der Zeile schreiben wir den kleinsten einfachen Teiler, durch den die gegebene zusammengesetzte Zahl teilbar ist:

Wir führen die Division durch und schreiben den resultierenden Quotienten unter den Dividenden:

Bei einem Quotienten machen wir dasselbe wie bei einer gegebenen zusammengesetzten Zahl, d.h. wir wählen die kleinste Primzahl, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und dividieren. Und so wiederholen wir, bis die Einheit im Quotienten erhalten wird:

Bitte beachten Sie, dass es manchmal ziemlich schwierig ist, die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren durchzuführen, da wir während der Zerlegung auf eine große Zahl stoßen können, bei der wir unterwegs nur schwer feststellen können, ob es sich um eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl handelt. Und wenn es zusammengesetzt ist, dann ist es nicht immer einfach, seinen kleinsten Primteiler zu finden.

Versuchen wir beispielsweise, die Zahl 5106 in Primfaktoren zu zerlegen:

Wenn der Quotient 851 erreicht ist, ist es schwierig, sofort seinen kleinsten Teiler zu bestimmen. Wir wenden uns der Tabelle der Primzahlen zu. Wenn es eine Zahl gibt, die uns in Schwierigkeiten bringt, dann ist sie nur durch sich selbst und durch Eins teilbar. Die Zahl 851 steht nicht in der Tabelle der Primzahlen, was bedeutet, dass sie zusammengesetzt ist. Es bleibt nur, es durch die Methode der sequentiellen Aufzählung in Primzahlen zu unterteilen: 3, 7, 11, 13, ..., und so weiter, bis wir einen geeigneten Primteiler finden. Mit der Aufzählungsmethode finden wir heraus, dass 851 durch die Zahl 23 teilbar ist.

(außer 0 und 1) haben mindestens zwei Teiler: 1 und sich selbst. Zahlen, die keine anderen Teiler haben, werden genannt einfach Zahlen. Zahlen, die andere Teiler haben, werden genannt Bestandteil(oder Komplex) Zahlen. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Die folgenden sind Primzahlen, die 200 nicht überschreiten:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Multiplikation- eine der vier Grundrechenarten, eine binäre mathematische Operation, bei der ein Argument so oft hinzugefügt wird, wie das andere anzeigt. In der Arithmetik versteht man unter Multiplikation eine kurze Aufzeichnung der Addition einer bestimmten Anzahl identischer Glieder.

Zum Beispiel, bedeutet die Eingabe 5 * 3 „addiere drei Fünfen“, also 5 + 5 + 5. Das Ergebnis der Multiplikation wird aufgerufen arbeiten, und die multiplizierten Zahlen sind Multiplikatoren oder Faktoren. Der erste Faktor wird manchmal als " Multiplikand».

Jede zusammengesetzte Zahl kann in Primfaktoren zerlegt werden. Bei jeder Methode erhält man die gleiche Zerlegung, wenn man die Schreibreihenfolge der Faktoren nicht berücksichtigt.

Faktorisieren einer Zahl (Faktorisierung).

Faktorisierung (Faktorisierung)- Aufzählung von Teilern - ein Algorithmus zum Faktorisieren oder Testen der Einfachheit einer Zahl durch eine vollständige Aufzählung aller möglichen möglichen Teiler.

Diese., einfache Sprache, Faktorisierung ist der Name des Prozesses, Zahlen in Faktoren zu zerlegen, in wissenschaftlicher Sprache ausgedrückt.

Die Reihenfolge der Aktionen bei der Zerlegung in Primfaktoren:

1. Überprüfen Sie, ob die vorgeschlagene Zahl eine Primzahl ist.

2. Wenn nicht, dann wählen wir, geleitet von den Teilungszeichen, einen Teiler aus Primzahlen, beginnend mit der kleinsten (2, 3, 5 ...).

3. Wiederholen Sie diese Aktion, bis der Quotient eine Primzahl ist.

Der Online-Rechner zerlegt Zahlen in Primfaktoren durch Aufzählung von Primteilern. Wenn die Zahl groß ist, verwenden Sie zur einfacheren Darstellung ein Zifferntrennzeichen.

Das Ergebnis liegt bereits vor!

Faktorisieren einer Zahl in Primfaktoren - Theorie, Algorithmus, Beispiele und Lösungen

Eine der einfachsten Möglichkeiten, eine Zahl zu faktorisieren, besteht darin, zu prüfen, ob die angegebene Zahl durch 2, 3, 5 usw. teilbar ist, d.h. Prüfen Sie, ob eine Zahl durch eine Reihe von Primzahlen teilbar ist. Wenn Zahl N durch keine Primzahl bis auf teilbar ist, dann ist diese Zahl eine Primzahl, weil Wenn die Zahl zusammengesetzt ist, dann hat sie mindestens zwei Faktoren, und beide können nicht größer als sein.

Stellen wir uns den Zahlenzerlegungsalgorithmus vor N zu Primfaktoren. Bereiten Sie im Voraus eine Tabelle mit Primzahlen vor S=. Bezeichne eine Reihe von Primzahlen durch P 1 , P 2 , P 3 , ...

Algorithmus zur Zerlegung einer Zahl in Primteiler:

Beispiel 1. Zerlege die Zahl 153 in Primfaktoren.

Lösung. Es genügt uns, eine Tabelle mit Primzahlen bis zu haben , d.h. 2, 3, 5, 7, 11.

Teile 153 durch 2. 153 ist nicht ohne Rest durch 2 teilbar. Als nächstes dividieren wir 153 durch das nächste Element der Primzahlentabelle, d.h. durch 3. 153:3=51. Fülle die Tabelle aus:

Als nächstes prüfen wir, ob die Zahl 17 teilbar ist durch 3. Die Zahl 17 ist nicht teilbar durch 3. Sie ist auch nicht teilbar durch die Zahlen 5, 7, 11. Der nächste Teiler ist größer . Daher ist 17 eine Primzahl, die nur durch sich selbst teilbar ist: 17:17=1. Das Verfahren wurde eingestellt. fülle die Tabelle aus:

Wir wählen diejenigen Teiler aus, bei denen die Zahlen 153, 51, 17 ohne Rest geteilt wurden, also alle Nummern von rechte Seite Tische. Das sind die Teiler 3, 3, 17. Nun lässt sich die Zahl 153 als Produkt von Primzahlen darstellen: 153=3 3 17.

Beispiel 2. Zerlege die Zahl 137 in Primfaktoren.

Lösung. Berechnung . Wir müssen also die Teilbarkeit der Zahl 137 durch Primzahlen bis 11 prüfen: 2,3,5,7,11. Wenn wir abwechselnd die Zahl 137 durch diese Zahlen teilen, finden wir heraus, dass die Zahl 137 durch keine der Zahlen 2,3,5,7,11 teilbar ist. Also ist 137 eine Primzahl.