Die Mathematik wurde geboren, als der Mensch sich seiner selbst bewusst wurde und begann, sich als autonome Einheit der Welt zu positionieren. Der Wunsch zu messen, zu vergleichen, zu berechnen, was einen umgibt, liegt einer der grundlegenden Wissenschaften unserer Tage zugrunde. Anfangs waren dies Teile der elementaren Mathematik, die es ermöglichten, Zahlen mit ihren physikalischen Ausdrücken zu verbinden, später wurden die Schlussfolgerungen (aufgrund ihrer Abstraktheit) nur noch theoretisch präsentiert, aber nach einer Weile, wie ein Wissenschaftler es ausdrückte: " Die Mathematik erreichte die Grenze der Komplexität, als alle Zahlen auftauchten." Das Konzept der "Quadratwurzel" entstand zu einer Zeit, als es leicht durch empirische Daten gestützt werden konnte, die über die Ebene der Berechnungen hinausgingen.
Wie alles begann
Die erste Erwähnung der Wurzel, die auf dieser Moment mit √ bezeichnet, wurde in den Schriften der babylonischen Mathematiker aufgezeichnet, die den Grundstein für die moderne Arithmetik legten. Natürlich sahen sie ein wenig aus wie die heutige Form – die Wissenschaftler jener Jahre verwendeten zuerst sperrige Tabletten. Aber im zweiten Jahrtausend v. e. Sie entwickelten eine ungefähre Berechnungsformel, die zeigte, wie man die Quadratwurzel zieht. Das Foto unten zeigt einen Stein, in den babylonische Wissenschaftler den Ausgabeprozess √2 gemeißelt haben, und es stellte sich als so richtig heraus, dass die Diskrepanz in der Antwort nur in der zehnten Dezimalstelle gefunden wurde.
Außerdem wurde die Wurzel verwendet, wenn es notwendig war, die Seite eines Dreiecks zu finden, vorausgesetzt, die anderen beiden waren bekannt. Nun, beim Lösen quadratischer Gleichungen führt kein Weg daran vorbei, die Wurzel zu ziehen.
Zusammen mit den babylonischen Werken wurde der Gegenstand des Artikels in der chinesischen Arbeit "Mathematik in neun Büchern" untersucht, und die alten Griechen kamen zu dem Schluss, dass jede Zahl, aus der die Wurzel nicht ohne Rest gezogen wird, ein irrationales Ergebnis ergibt.
Herkunft diese Bezeichnung verbunden mit der arabischen Darstellung der Zahl: Alte Wissenschaftler glaubten, dass das Quadrat einer beliebigen Zahl wie eine Pflanze aus der Wurzel wächst. Im Lateinischen klingt dieses Wort wie Radix (man kann ein Muster verfolgen - alles, was eine semantische "Wurzel"-Ladung hat, ist konsonant, sei es Rettich oder Ischias).
Wissenschaftler nachfolgender Generationen griffen diese Idee auf und bezeichneten sie als Rx. Um anzuzeigen, dass die Quadratwurzel aus einer beliebigen Zahl a gezogen wird, schrieben sie beispielsweise im 15. Jahrhundert R 2 a. Gewohnheit moderner Look„Tick“ √ tauchte erst im 17. Jahrhundert dank Rene Descartes auf.
Unsere Tage
Mathematisch gesehen ist die Quadratwurzel von y die Zahl z, deren Quadrat y ist. Mit anderen Worten, z 2 =y ist äquivalent zu √y=z. Jedoch diese Definition nur für die arithmetische Wurzel relevant, da sie einen nicht negativen Wert des Ausdrucks impliziert. Mit anderen Worten, √y=z, wobei z größer oder gleich 0 ist.
Allgemein, was für die Bestimmung einer algebraischen Wurzel gilt, kann der Wert eines Ausdrucks entweder positiv oder negativ sein. Aufgrund der Tatsache, dass z 2 =y und (-z) 2 =y, haben wir also: √y=±z oder √y=|z|.
Da die Liebe zur Mathematik erst mit der Entwicklung der Naturwissenschaften zugenommen hat, gibt es verschiedene Manifestationen der Zuneigung dafür, die sich nicht in trockenen Berechnungen ausdrücken. Zum Beispiel werden neben so interessanten Ereignissen wie dem Tag von Pi auch die Feiertage der Quadratwurzel gefeiert. Sie werden neun Mal in hundert Jahren gefeiert und nach folgendem Prinzip bestimmt: Die Zahlen, die den Tag und den Monat in der Reihenfolge bezeichnen, müssen die Quadratwurzel des Jahres sein. Das nächste Mal wird dieser Feiertag also am 4. April 2016 gefeiert.
Eigenschaften der Quadratwurzel auf dem Körper R
Fast alle mathematischen Ausdrücke haben eine geometrische Grundlage, dieses Schicksal ist nicht passiert und √y, das als die Seite eines Quadrats mit der Fläche y definiert ist.
Wie finde ich die Wurzel einer Zahl?
Es gibt mehrere Berechnungsalgorithmen. Am einfachsten, aber gleichzeitig ziemlich umständlich, ist die übliche arithmetische Berechnung, die wie folgt lautet:
1) Von der Zahl, deren Wurzel wir brauchen, werden nacheinander ungerade Zahlen subtrahiert - bis der Rest der Ausgabe kleiner als die subtrahierte Eins oder gerade gleich Null ist. Die Anzahl der Züge wird schließlich zur gewünschten Anzahl. Zum Beispiel die Berechnung Quadratwurzel von 25:
Die nächste ungerade Zahl ist 11, der Rest ist: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Für solche Fälle gibt es eine Taylorreihenentwicklung:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , wobei n Werte von 0 bis annimmt
+∞ und |y|≤1.
Grafische Darstellung der Funktion z=√y
Betrachten Sie eine elementare Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R, wobei y größer oder gleich Null ist. Ihr Diagramm sieht so aus:
Die Kurve wächst vom Ursprung aus und kreuzt notwendigerweise den Punkt (1; 1).
Eigenschaften der Funktion z=√y auf dem Körper der reellen Zahlen R
1. Der Definitionsbereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus Unendlich (Null ist eingeschlossen).
2. Der Wertebereich der betrachteten Funktion ist das Intervall von Null bis plus unendlich (Null ist wieder enthalten).
3. Die Funktion nimmt den Minimalwert (0) nur an der Stelle (0; 0) an. Es gibt keinen Maximalwert.
4. Die Funktion z=√y ist weder gerade noch ungerade.
5. Die Funktion z=√y ist nicht periodisch.
6. Es gibt nur einen Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y mit den Koordinatenachsen: (0; 0).
7. Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion z=√y ist auch die Nullstelle dieser Funktion.
8. Die Funktion z=√y wächst ständig.
9. Die Funktion z=√y nimmt nur positive Werte an, daher nimmt ihr Graph den ersten Koordinatenwinkel ein.
Optionen zur Anzeige der Funktion z=√y
In der Mathematik wird zur Erleichterung der Berechnung komplexer Ausdrücke manchmal die Potenzform der Quadratwurzel verwendet: √y=y 1/2. Diese Option ist beispielsweise praktisch, um eine Funktion zu potenzieren: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Diese Methode ist auch eine gute Darstellung für die Differenzierung mit Integration, da dank ihr die Quadratwurzel durch eine gewöhnliche Potenzfunktion dargestellt wird.
Und in der Programmierung ist der Ersatz für das Symbol √ die Buchstabenkombination sqrt.
Es ist erwähnenswert, dass die Quadratwurzel in diesem Bereich sehr gefragt ist, da sie Teil der meisten geometrischen Formeln ist, die für Berechnungen erforderlich sind. Der Zählalgorithmus selbst ist ziemlich kompliziert und basiert auf Rekursion (einer Funktion, die sich selbst aufruft).
Die Quadratwurzel im komplexen Körper C
Im Großen und Ganzen war es das Thema dieses Artikels, das die Entdeckung des Gebiets der komplexen Zahlen C anregte, da die Mathematiker von der Frage verfolgt wurden, wie man eine gerade Gradwurzel aus einer negativen Zahl erhält. So entstand die imaginäre Einheit i, die sich durch eine sehr interessante Eigenschaft auszeichnet: Ihr Quadrat ist -1. Dank dessen haben quadratische Gleichungen und mit negativer Diskriminante eine Lösung. In C sind für die Quadratwurzel die gleichen Eigenschaften relevant wie in R, nur dass die Beschränkungen für den Wurzelausdruck aufgehoben werden.
Und hast du Abhängigkeit vom Taschenrechner? Oder denkst du, dass es sehr schwierig ist, außer mit einem Taschenrechner oder einer Tabelle mit Quadraten zu rechnen, zum Beispiel.
Es kommt vor, dass Schulkinder an einen Taschenrechner gebunden sind und sogar 0,7 mit 0,5 multiplizieren, indem sie die geschätzten Tasten drücken. Sie sagen, na ja, ich kann immer noch rechnen, aber jetzt spare ich Zeit ... Es wird eine Prüfung geben ... dann werde ich mich anspannen ...
Tatsache ist also, dass es bei der Prüfung sowieso viele „angespannte Momente“ geben wird ... Wie man so schön sagt, Wasser trägt einen Stein ab. Also bei der Prüfung können kleine Dinge, wenn es viele davon gibt, dich umhauen ...
Lassen Sie uns die Anzahl möglicher Probleme minimieren.
Aus einer großen Zahl die Quadratwurzel ziehen
Wir werden jetzt nur über den Fall sprechen, wenn das Ergebnis des Quadratwurzelziehens eine ganze Zahl ist.
Fall 1
Lassen Sie uns also auf jeden Fall (z. B. bei der Berechnung der Diskriminante) die Quadratwurzel von 86436 berechnen.
Wir werden die Zahl 86436 in Primfaktoren zerlegen. Wir dividieren durch 2, wir erhalten 43218; wieder teilen wir durch 2, - wir erhalten 21609. Die Zahl ist nicht mehr durch 2 teilbar. Da aber die Quersumme durch 3 teilbar ist, ist die Zahl selbst durch 3 teilbar (allgemein kann man sehen, dass sie auch durch 9 teilbar ist). . Wieder teilen wir durch 3, wir bekommen 2401. 2401 ist nicht vollständig durch 3 teilbar. Nicht durch fünf teilbar (endet nicht mit 0 oder 5).
Wir vermuten Teilbarkeit durch 7. Tatsächlich ist a ,
Also, volle Bestellung!
Fall 2
Lassen Sie uns berechnen. Es ist unbequem, auf die gleiche Weise wie oben beschrieben vorzugehen. Versuch zu faktorisieren...
Die Zahl 1849 ist nicht vollständig durch 2 teilbar (sie ist nicht gerade) ...
Es ist nicht vollständig durch 3 teilbar (die Quersumme ist kein Vielfaches von 3) ...
Es ist nicht vollständig durch 5 teilbar (die letzte Ziffer ist nicht 5 oder 0) ...
Es ist nicht vollständig durch 7 teilbar, es ist nicht durch 11 teilbar, es ist nicht durch 13 teilbar ... Nun, wie lange werden wir brauchen, um alle Primzahlen so durchzugehen?
Lassen Sie uns etwas anders argumentieren.
Wir verstehen das
Wir haben die Suche eingegrenzt. Jetzt sortieren wir die Zahlen von 41 bis 49. Außerdem ist klar, dass es sich lohnt, bei den Optionen 43 oder 47 anzuhalten, da die letzte Ziffer der Zahl 9 ist - nur diese Zahlen ergeben, wenn sie quadriert werden, die letzte Ziffer 9.
Nun, hier hören wir natürlich schon bei 43 auf. In der Tat,
P.S. Wie zum Teufel multiplizieren wir 0,7 mit 0,5?
Multipliziere 5 mit 7, ignoriere die Nullen und Vorzeichen und trenne dann von rechts nach links zwei Dezimalstellen. Wir bekommen 0,35.
Wie man die Wurzel extrahiert aus der Nummer. In diesem Artikel lernen wir, wie man die Quadratwurzel von vier- und fünfstelligen Zahlen zieht.
Nehmen wir als Beispiel die Quadratwurzel von 1936.
Folglich, 
.
Die letzte Ziffer in 1936 ist 6. Das Quadrat von 4 und 6 endet bei 6. Daher kann 1936 das Quadrat von 44 oder 46 sein. Es bleibt durch Multiplikation zu überprüfen.
Meint,
Lassen Sie uns die Quadratwurzel aus der Zahl 15129 ziehen.
Folglich, 
.
Die letzte Ziffer in 15129 ist 9. Die 9 endet mit dem Quadrat von 3 und 7. Daher kann 15129 das Quadrat von 123 oder 127 sein. Überprüfen wir es mit der Multiplikation.
Meint, 
Wie man rootet - Video
Und jetzt schlage ich vor, dass Sie sich das Video von Anna Denisova ansehen - "Wie man die Wurzel extrahiert ", Seitenautor " einfache Physik“, in dem sie erklärt, wie man Quadrat- und Kubikwurzeln ohne Taschenrechner zieht.
Das Video diskutiert verschiedene Möglichkeiten, Wurzeln zu extrahieren:
1. Der einfachste Weg, die Quadratwurzel zu ziehen.
2. Matching mit dem Quadrat der Summe.
3. Babylonischer Weg.
4. Eine Methode zum Ziehen einer Quadratwurzel in einer Spalte.
5. Ein schneller Weg, um die Kubikwurzel zu extrahieren.
6. Die Methode zum Ziehen der Kubikwurzel in einer Spalte.
Eine Spalte von Najna, und wenn mehr als fünfzehn Zeichen benötigt werden, ruhen Computer und Telefone mit Taschenrechnern meistens. Es bleibt zu prüfen, ob die Beschreibung der Methodik 4-5.000 Zeichen umfassen wird.
Berm jede Zahl, ab einem Komma zählen wir Ziffernpaare nach rechts und links
Beispiel: 1234567890.098765432100
Ein Ziffernpaar ist wie eine zweistellige Zahl. Die Wurzel einer zweistelligen Zahl ist eins zu eins. Wir wählen einen einwertigen aus, dessen Quadrat kleiner als das erste Ziffernpaar ist. In unserem Fall ist es 3.
Wie beim Teilen durch eine Spalte schreiben wir dieses Quadrat unter das erste Paar und subtrahieren vom ersten Paar. Das Ergebnis ist unterstrichen. 12 - 9 = 3. Fügen Sie dieser Differenz ein zweites Ziffernpaar hinzu (es wird 334 sein). Links neben der Anzahl der Bermen wird der doppelte Wert des bereits gefundenen Teils des Ergebnisses um eine Ziffer ergänzt (wir haben 2 * 6 = 6), so dass er multipliziert mit der nicht erhaltenen Zahl gilt die Zahl mit dem zweiten Ziffernpaar nicht überschreiten. Wir bekommen, dass die gefundene Zahl fünf ist. Wieder finden wir die Differenz (9), brechen das nächste Ziffernpaar ab und erhalten 956, schreiben erneut den verdoppelten Teil des Ergebnisses (70), fügen erneut die erforderliche Ziffer hinzu und so weiter, bis es aufhört. Oder auf die geforderte Genauigkeit der Berechnungen.
Erstens, um die Quadratwurzel zu berechnen, musst du das Einmaleins gut kennen. Die einfachsten Beispiele sind 25 (5 mal 5 = 25) und so weiter. Wenn wir kompliziertere Zahlen nehmen, dann können wir diese Tabelle verwenden, in der es horizontal Einheiten und vertikal Zehner gibt.
Es gibt eine gute Möglichkeit, die Wurzel einer Zahl ohne die Hilfe von Taschenrechnern zu finden. Dazu benötigen Sie ein Lineal und einen Kompass. Unterm Strich finden Sie auf dem Lineal den Wert, den Sie unter der Wurzel haben. Setzen Sie beispielsweise eine Markierung in der Nähe von 9. Ihre Aufgabe besteht darin, diese Zahl in eine gleiche Anzahl von Segmenten zu unterteilen, dh in zwei Linien von jeweils 4,5 cm, und in ein gerades Segment. Es ist leicht zu erraten, dass Sie am Ende 3 Segmente von 3 Zentimetern erhalten.
Die Methode ist nicht einfach und wird bei großen Zahlen nicht funktionieren, wird aber ohne Taschenrechner betrachtet.
ohne die Hilfe eines Taschenrechners wurde die Methode des Ziehens der Quadratwurzel zu Sowjetzeiten in der Schule in der 8. Klasse gelehrt.
Dazu müssen Sie eine mehrstellige Zahl von rechts nach links in zweistellige Ziffern aufteilen :
Die erste Ziffer der Wurzel ist die ganze Wurzel der linken Seite, in diesem Fall 5.
Subtrahiere 5 zum Quadrat von 31, 31-25=6 und addiere die nächste Seite zu der Sechs, wir haben 678.
Die nächste Ziffer x wird ausgewählt, um die fünf damit zu verdoppeln
10x*x war das Maximum, aber weniger als 678.
x=6 weil 106*6=636,
Jetzt berechnen wir 678 - 636 = 42 und fügen die nächste Seite 92 hinzu, wir haben 4292.
Wieder suchen wir nach dem Maximum x, so dass 112x*x lt; 4292.
Antwort: Die Wurzel ist 563
Sie können also so lange weitermachen, wie Sie möchten.
In einigen Fällen können Sie versuchen, die Wurzelzahl in zwei oder mehr Quadratfaktoren zu erweitern.
Es ist auch nützlich, sich an die Tabelle (oder zumindest einen Teil davon) zu erinnern - die Quadrate der natürlichen Zahlen von 10 bis 99.
Ich schlage eine Variante vor, die Quadratwurzel in eine von mir erfundene Spalte zu ziehen. Es unterscheidet sich von Bekanntem, bis auf die Zahlenauswahl. Aber wie ich später erfuhr, gab es diese Methode schon viele Jahre vor meiner Geburt. Der große Isaac Newton hat es in seinem Buch Allgemeine Arithmetik oder einem Buch über arithmetische Synthese und Analyse beschrieben. Hier präsentiere ich also meine Vision und Begründung für den Algorithmus der Newton-Methode. Sie müssen sich den Algorithmus nicht merken. Sie können das Diagramm in der Abbildung bei Bedarf einfach als Anschauungshilfe verwenden.
Mit Hilfe von Tabellen können Sie die Quadratwurzeln nicht berechnen, sondern nur aus den Zahlen finden, die in den Tabellen stehen. Am einfachsten lassen sich die Wurzeln nicht nur quadratisch, sondern auch in anderen Graden nach der Methode der sukzessiven Approximation berechnen. Zum Beispiel berechnen wir die Quadratwurzel von 10739, ersetzen die letzten drei Ziffern durch Nullen und ziehen die Wurzel von 10000, wir erhalten 100 mit einem Nachteil, also nehmen wir die Zahl 102 und quadrieren sie, wir erhalten 10404, was auch weniger ist als das angegebene nehmen wir 103 * 103 = 10609 wieder mit einem Nachteil, wir nehmen 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, wir nehmen noch mehr 103,6 * 103,6 \u003d 10732, wir nehmen 103,7 * 103,7 \u003d 10753,69, was bereits drin ist Überschuss. Sie können die Quadratwurzel von 10739 nehmen, um ungefähr gleich 103,6 zu sein. Genauer gesagt 10739=103.629... . . In ähnlicher Weise berechnen wir die Kubikwurzel, zuerst erhalten wir von 10000 ungefähr 25 * 25 * 25 = 15625, was im Überschuss liegt, wir nehmen 22 * 22 * 22 = 10,648, wir nehmen etwas mehr als 22,06 * 22,06 * 22,06 = 10735, was sehr nahe an der gegebenen liegt.
Die Berechnung (oder Extraktion) der Quadratwurzel kann auf verschiedene Arten erfolgen, aber alle sind nicht sehr einfach. Einfacher ist es natürlich, auf die Hilfe eines Taschenrechners zurückzugreifen. Aber wenn dies nicht möglich ist (oder Sie die Essenz der Quadratwurzel verstehen möchten), kann ich Ihnen raten, den folgenden Weg zu gehen, sein Algorithmus ist wie folgt:
Wenn Sie für solch langwierige Berechnungen nicht die Kraft, Lust oder Geduld haben, können Sie auf eine grobe Auswahl zurückgreifen, deren Pluspunkt ist, dass sie unglaublich schnell und bei entsprechendem Einfallsreichtum genau ist. Beispiel:
Als ich in der Schule war (Anfang der 60er Jahre), wurde uns beigebracht, aus einer beliebigen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen. Die Technik ist einfach, äußerlich ähnlich der Teilung durch eine Spalte, aber um sie hier anzugeben, dauert es eine halbe Stunde und 4-5.000 Zeichen Text. Aber warum brauchen Sie es? Haben Sie ein Telefon oder ein anderes Gerät, gibt es einen Taschenrechner in nm. In jedem Computer steckt ein Taschenrechner. Ich persönlich mache solche Berechnungen am liebsten in Excel.
In der Schule ist es oft erforderlich, die Quadratwurzeln verschiedener Zahlen zu finden. Aber wenn wir es gewohnt sind, dafür ständig einen Taschenrechner zu verwenden, gibt es in Prüfungen keine solche Gelegenheit, also müssen Sie lernen, wie man ohne Hilfe eines Taschenrechners nach der Wurzel sucht. Und das ist grundsätzlich möglich.
Der Algorithmus lautet:
Schauen Sie zuerst auf die letzte Ziffer Ihrer Nummer:
Zum Beispiel,
Jetzt müssen Sie ungefähr den Wert für die Wurzel aus der Gruppe ganz links bestimmen
Falls die Nummer mehr als zwei Gruppen hat, müssen Sie die Wurzel wie folgt finden:
Aber die nächste Zahl sollte genau die größte sein, Sie müssen sie so abholen:
Jetzt müssen wir eine neue Zahl A bilden, indem wir zu dem oben erhaltenen Rest die nächste Gruppe hinzufügen.
In unseren Beispielen:
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