الرسم على الجانبين والزاوية بينهما. بناء مثلث باستخدام ثلاثة عناصر

فصل: 7

أهداف الدرس:

• نقل المواد التي تتم دراستها للطلاب قدر الإمكان؛
• تطوير التفكير والذاكرة والقدرة على استخدام البوصلة بحرية؛
• حاول زيادة نشاط الطلاب واستقلاليتهم عند إكمال المهام.

معدات:

• بوصلة المدرسة
• منقلة،
• مسطرة،
• بطاقات للعمل المستقل.

خلال الفصول الدراسية

موضوع الدرس: "مشاكل البناء".

سنتعلم اليوم كيفية بناء المثلثات باستخدام ثلاثة عناصر معينة باستخدام البوصلة والمسطرة.

لإنشاء مثلث، يجب عليك أولًا أن تكون قادرًا على إنشاء قطعة تساوي قطعة معينة وزاوية تساوي قطعة معينة. بالطبع، يمكنك القيام بذلك باستخدام مسطرة ذات أقسام ومنقلة، ولكن في الرياضيات تحتاج أيضًا إلى أن تكون قادرًا على تنفيذ الإنشاءات باستخدام بوصلة ومسطرة بدون أقسام.

تتضمن أي مهمة بناء أربع مراحل رئيسية:

• تحليل؛
• بناء؛
• دليل؛
• يذاكر.

إن التحليل والبحث عن المشكلة ضروريان مثل البناء نفسه. من الضروري معرفة أي الحالات يكون للمشكلة حل، وأيها لا يوجد حل.

1. بناء قطعة مساوية لقطعة معينة.

2. أنشئ زاوية مساوية للزاوية المعطاة باستخدام البوصلة والمسطرة.

الآن دعنا ننتقل إلى بناء المثلثات باستخدام ثلاثة عناصر.

3. بناء مثلث باستخدام الضلعين والزاوية بينهما.

المخطط رقم 3.

منح	مطلوب للبناء	بناء
1. أنشئ الزاوية A مساوية للزاوية المعطاة. 2. على أحد جانبي الزاوية، ضع علامة على النقطة C بحيث يكون المقطع AC مساويًا للقطعة المحددة b. 3. على الجانب الآخر من الزاوية، حدد النقطة B بحيث يكون الجزء AB مساويًا للجزء المحدد c. 4. قم بتوصيل النقطتين B وC باستخدام المسطرة. يتم إنشاء المثلث ACB باستخدام ضلعين والزاوية بينهما.

العمل المستقل للمخطط 3.

الخيار 1.

أنشئ مثلثًا ВСН، إذا كان ВС = 3 سم، СН = 4 سم، С = 35є.

الخيار 2.

قم ببناء مثلث SDE، حيث DS = 4 سم، DE = 5 سم، D = 110 درجة.

فكرة. قبل إنشاء مثلث، من الضروري عمل رسم يدوي للمثلث، والذي يوضح جميع العناصر المحددة.

4. بناء مثلث باستخدام الضلع والزوايا المجاورة له.

منح	مطلوب للبناء	بناء
1. ارسم القطعة AB بشكل تعسفي مساوية للقطعة المعطاة c. 2. أنشئ الزاوية A مساوية للزاوية المعطاة. 3. أنشئ الزاوية B مساوية للزاوية المعطاة. نقطة تقاطع ضلعي الزاويتين A وB هي رأس المثلث C. قمنا ببناء مثلث ACB باستخدام جانب وزاويتين محددتين.

العمل المستقل للمخطط 4.

الخيار 1

أنشئ مثلث KMO إذا كانت KO = 6 cm، K = 130°، O = 20°.

الخيار 2

قم بإنشاء مثلث HRV إذا كانت C = 15 درجة، D = 50 درجة، SD = 3 سم.

5. بناء مثلث باستخدام ثلاثة أضلاع.

جوهرهم هو بناء أي كائن هندسي على أساس أي مجموعة كافية من الشروط الأولية، مع وجود بوصلة ومسطرة فقط في متناول اليد. دعونا نفكر في مخطط عام لأداء مثل هذه المهام:

تحليل المهمة.

يتضمن هذا الجزء إنشاء علاقة بين العناصر التي يجب بناؤها والظروف الأولية للمشكلة. بعد الانتهاء من هذه النقطة يجب أن يكون لدينا خطة لحل مشكلتنا.

بناء.

نحن هنا نقوم بالبناء وفقًا للخطة التي رسمناها أعلاه.

دليل.

نثبت هنا أن الشكل الذي بنيناه يفي بالفعل بالشروط الأولية للمشكلة.

يذاكر.

هنا نتعرف على البيانات التي تحتوي المشكلة على حل واحد، والتي بموجبها يوجد العديد من الحلول، والتي بموجبها لا يوجد أي حل.

بعد ذلك، سننظر في مشاكل بناء المثلثات باستخدام ثلاثة عناصر مختلفة. هنا لن نأخذ في الاعتبار الإنشاءات الأولية، مثل القطعة والزاوية وما إلى ذلك. الآن يجب أن تكون لديك هذه المهارات بالفعل.

بناء مثلث باستخدام الضلعين والزاوية بينهما

مثال 1

أنشئ مثلثًا إذا كان لدينا ضلعان وزاوية بين هذين الضلعين.

تحليل.

دعونا نحصل على القطع $AB$ و$AC$ والزاوية $α$. نحتاج إلى إنشاء مثلث $ABC$ بزاوية $C$ تساوي $α$.

دعونا نضع خطة البناء:

1. بأخذ $AB$ أحد أضلاع الزاوية، انطلقنا منه الزاوية $BAM$، التي تساوي الزاوية $α$.
2. على الخط المستقيم $AM$ نرسم القطعة $AC$.
3. دعونا نربط النقطتين $B$ و $C$.

بناء.

لنقم ببناء رسم وفقًا للخطة المرسومة أعلاه (الشكل 1).

دليل.

يذاكر.

بما أن مجموع زوايا المثلث هو $180^\circ$. هذا يعني أنه إذا كانت الزاوية α أكبر من أو تساوي $180^\circ$، فلن يكون للمشكلة أي حل.

خلاف ذلك، هناك حل. وبما أن الخط $a$ هو خط عشوائي، فسيكون هناك عدد لا نهائي من هذه المثلثات. لكن بما أنهم جميعاً متساوون مع بعضهم البعض حسب الإشارة الأولى، فإننا سنفترض أن حل هذه المشكلة فريد من نوعه.

بناء مثلث باستخدام ثلاثة أضلاع

مثال 2

أنشئ مثلثًا إذا أعطينا ثلاثة أضلاع.

تحليل.

دعونا نحصل على المقاطع $AB$ و$AC$ و$BC$. نحن بحاجة إلى بناء المثلث $ABC$.

دعونا نضع خطة البناء:

1. دعونا نرسم خطًا مستقيمًا $a$ وننشئ قطعة $AB$ عليه.
2. لنقم بإنشاء دوائر $2$: الأولى بمركزها $A$ ونصف قطرها $AC$، والثانية بمركزها $B$ ونصف قطرها $BC$.
3. لنقم بتوصيل إحدى نقاط تقاطع الدوائر (والتي ستكون النقطة $C$) بالنقطتين $A$ و$B$.

بناء.

لنقم ببناء رسم وفقًا للخطة المرسومة أعلاه (الشكل 2).

دليل.

يتضح من البناء أنه تم استيفاء جميع الشروط الأولية.

يذاكر.

نعلم من متباينة المثلث أن أي ضلع يجب أن يكون أقل من مجموع الضلعين الآخرين. وبالتالي، عندما لا يتم استيفاء هذه المتباينة للأجزاء الثلاثة الأصلية، فلن يكون للمشكلة حل.

وبما أن دوائر البناء لها نقطتي تقاطع، فيمكننا بناء مثلثين من هذا القبيل. لكن بما أنهما متساويان بحسب المعيار الثالث، فإننا سنفترض أن حل هذه المشكلة فريد من نوعه.

بناء مثلث باستخدام ضلع وزاويتين متجاورتين

مثال 3

أنشئ مثلثًا إذا كان لدينا ضلع واحد وزوايا $α$ و $β$ مجاورة له.

تحليل.

دعونا نحصل على القطعة $BC$ والزوايا $α$ و$β$. نحتاج إلى إنشاء مثلث $ABC$، حيث $∠B=α$ و$∠C=β$.

دعونا نضع خطة البناء:

1. لنرسم خطًا مستقيمًا $a$ وننشئ قطعة $BC$ عليه.
2. دعونا نبني زاوية $∠ K=α$ عند الرأس $B$ إلى الجانب $BC$.
3. دعونا نبني زاوية $∠ M=β$ عند الرأس $C$ إلى الجانب $BC$.
4. دعونا نربط نقطة التقاطع (ستكون هذه النقطة $A$) للأشعة $∠ K$ و $∠ M$ مع النقطتين $C$ و $B$،

بناء.

لنقم ببناء رسم وفقًا للخطة المرسومة أعلاه (الشكل 3).

دليل.

يتضح من البناء أنه تم استيفاء جميع الشروط الأولية.

يذاكر.

نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث يساوي $180^\circ$، فإذا كانت $α+β≥180^\circ$ فلن يكون للمشكلة أي حلول.

خلاف ذلك، هناك حل. وبما أنه يمكننا بناء زوايا من كلا الجانبين، فيمكننا بناء مثلثين من هذا القبيل. لكن بما أنهما متساويان بحسب المعيار الثاني، فإننا سنفترض أن حل هذه المشكلة فريد من نوعه.

الصورة 3 من عرض "المثلث 2"لدروس الهندسة حول موضوع "المثلث"

الأبعاد: 720 × 540 بكسل، التنسيق: jpg. لتنزيل صورة مجانية لدرس الهندسة، انقر بزر الماوس الأيمن على الصورة ثم انقر على "حفظ الصورة باسم...". لعرض الصور في الدرس، يمكنك أيضًا تنزيل العرض التقديمي بأكمله "Triangle 2.ppt" مع جميع الصور في أرشيف مضغوط مجانًا. حجم الأرشيف هو 16 كيلو بايت.

مثلث

"المتجهات في الفضاء" - ناقلات مشتركة الاتجاه. ك (أ+ب) = كا + كيلو بايت - قانون التوزيع الأول. أ+ب=ب+أ (القانون التبادلي). ضرب المتجه بعدد. المتجه هو قطعة موجهة. المتجهات في الفضاء. المتجهات Codirectional هي ناقلات لها نفس الاتجاه. إذا كانت المتجهات ذات اتجاه مشترك وأطوالها متساوية، فإن هذه المتجهات تسمى متساوية.

"الزاوية بين المتجهات" - إحداثيات المتجهات. ناقل الاتجاه مستقيم. التحليل البصري للمشكلات من الكتاب المدرسي. مقدمة لنظام الإحداثيات. دعونا نفكر في أدلة الخطوط المستقيمة D1B وCB1. كيف يمكنك العثور على المسافة بين النقاط؟ أوجد الزاوية بين الخطين ВD وCD1. الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة AB و CD. الزاوية بين المتجهات. كيف يمكنك العثور على إحداثيات نقطة المنتصف للقطعة؟

"علماء الرياضيات العظماء" - حصل نظام الإحداثيات الذي اقترحه ديكارت على اسمه. أعرب ديكارت عن قانون الحفاظ على الزخم وأعطى مفهوم دفعة القوة. "الطريقة" (أو "الافود") و"السباعي العادي". لايبنيز جوتفريد فيلهلم. كلديش مستيسلاف فسيفولودوفيتش. إسحاق نيوتن. فيثاغورس ساموس. حصل غاوس على الدكتوراه عام 1799 من جامعة هيلمستيدت.

"الرياضيات كعلم" - مسابقة "آلة الحوسبة". الرياضيات والتاريخ مجالان لا ينفصلان عن المعرفة. نيكولاي إيجوروفيتش جوكوفسكي. ولد سوبوليف في 22 أكتوبر 1793 في مقاطعة نيجني نوفغورود. ليوباشيفسكي هو أستاذ في جامعة موسكو و المدرسة التقنية الإمبراطورية، الألغاز، ليونارد أويلر البسط: كان والدا ألكسندروف معلمين في المدرسة.

"علامات تساوي المثلثات" - أي مثلث له ثلاثة متوسطات. مثلث متساوي الأضلاع ومتساوي الساقين. المثلث هو أبسط شكل مسطح. مثلث. ارتفاع المثلث. علامات المساواة في المثلثات. أدت دراسة المثلث إلى ظهور علم المثلثات. أي مثلث له ثلاثة ارتفاعات. عمودي مرسوم من رأس المثلث على خط مستقيم.

"وظيفة الجيب" - الرسم البياني لغروب الشمس. تاريخ. يتم وصف عملية غروب الشمس بواسطة دالة الجيب المثلثية. متوسط ​​وقت غروب الشمس هو 18:00. باستخدام التقويم الممزق، من السهل تحديد لحظة غروب الشمس. هدف. الاستنتاجات. وقت. غروب. وجوه مختلفة لعلم المثلثات.

هناك إجمالي 42 عرضًا تقديميًا في هذا الموضوع

نقدم انتباهكم إلى فيديو تعليمي حول موضوع "إنشاء مثلث باستخدام ثلاثة عناصر". ستكون قادرًا على حل العديد من الأمثلة من فئة مشاكل البناء. سوف يحلل المعلم بالتفصيل مشكلة بناء مثلث باستخدام ثلاثة عناصر، وسيتذكر أيضًا نظرية تساوي المثلثات.

هذا الموضوع له تطبيق عملي واسع، لذلك سننظر في بعض أنواع حل المشكلات. أذكرك أن أي إنشاءات يتم تنفيذها حصريًا بمساعدة البوصلة والمسطرة.

مثال 1:

أنشئ مثلثًا باستخدام ضلعين والزاوية بينهما.

معطى: لنفترض أن المثلث الذي تم تحليله يبدو هكذا

أرز. 1.1. تحليل المثلث مثال 1

دع القطع المعطاة تكون c و a، وتكون الزاوية المعطاة

أرز. 1.2. العناصر المحددة على سبيل المثال 1

بناء:

أولاً يجب عليك وضع الزاوية 1 جانباً

أرز. 1.3. الزاوية المؤجلة 1 مثلا 1

بعد ذلك، على جانبي زاوية معينة، نرسم ضلعين محددين باستخدام البوصلة: قم بقياس طول الجانب باستخدام البوصلة أونضع طرف البوصلة على رأس الزاوية 1، وبالجزء الآخر نصنع حزاً على جانب الزاوية 1. ونقوم بنفس الإجراء مع الجانب مع

أرز. 1.4. نضع الجوانب جانبا أو مععلى سبيل المثال 1

ثم نقوم بتوصيل الشقوق الناتجة، ونحصل على المثلث ABC المطلوب

أرز. 1.5. المثلث المبني ABC على سبيل المثال 1

هل سيكون هذا المثلث مساويا للمثلث المتوقع؟ سوف يحدث ذلك، لأن عناصر المثلث الناتج (الضلعان والزاوية بينهما) متساوية على التوالي مع الضلعين والزاوية بينهما المعطاة في الشرط. ولذلك بالخاصية الأولى لتساوي المثلثات - - المرغوبة.

اكتمل البناء.

ملحوظة:

دعونا نتذكر كيفية رسم زاوية تساوي زاوية معطاة.

مثال 2

اطرح زاوية من شعاع معين تساوي شعاعًا معينًا. يتم إعطاء الزاوية A والشعاع OM. يبني.

بناء:

أرز. 2.1. الحالة على سبيل المثال 2

1. أنشئ دائرة Okr(A, r = AB). النقطتان B وC هما نقطتا التقاطع مع أضلاع الزاوية A

أرز. 2.2. الحل مثلا 2

1. أنشئ دائرة Okr(D, r = CB). النقطتان E وM هما نقطتا التقاطع مع أضلاع الزاوية A

أرز. 2.3. الحل مثلا 2

1. زاوية MOE هي الزاوية المطلوبة منذ ذلك الحين .

اكتمل البناء.

مثال 3

أنشئ المثلث ABC باستخدام ضلع معلوم وزاويتين متجاورتين.

دع المثلث الذي تم تحليله يبدو كما يلي:

أرز. 3.1. الحالة على سبيل المثال 3

ثم تبدو الأجزاء المحددة هكذا

أرز. 3.2. الحالة على سبيل المثال 3

بناء:

دعونا نرسم الزاوية على المستوى

أرز. 3.3. الحل مثلا 3

على ضلع زاوية معينة نرسم طول الضلع أ

أرز. 3.4. الحل مثلا 3

ثم نضع الزاوية C جانبًا من الرأس. تتقاطع الجوانب غير المشتركة للزوايا γ و α عند النقطة A

أرز. 3.5. الحل مثلا 3

هل المثلث المبني هو المطلوب؟ نظرًا لأن الضلع والزاويتين المتجاورتين للمثلث المبني متساويان على التوالي مع الضلع والزاوية بينهما المعطاة في الشرط

تم البحث عنه بالمعيار الثاني لتساوي المثلثات

اكتمل البناء

مثال 4

بناء مثلث على قدمين

دع المثلث الذي تم تحليله يبدو هكذا

أرز. 4.1. الحالة على سبيل المثال 4

العناصر المعروفة - الساقين

أرز. 4.2. الحالة على سبيل المثال 4

تختلف هذه المهمة عن المهام السابقة حيث يمكن تحديد الزاوية بين الجانبين بشكل افتراضي - 90 0

بناء:

دعونا نضع جانبا زاوية تساوي 90 0. سنفعل ذلك بنفس الطريقة تمامًا كما هو موضح في المثال 2

أرز. 4.3. الحل على سبيل المثال 4

ثم على جوانب هذه الزاوية نرسم أطوال الجوانب أو ب، معطى في الشرط

أرز. 4.4. الحل على سبيل المثال 4

ونتيجة لذلك فإن المثلث الناتج هو المثلث المرغوب، لأن ضلعيه والزاوية بينهما متساويان على التوالي مع الضلعين والزاوية بينهما المعطاة في الشرط

لاحظ أنه يمكنك تخصيص زاوية مقدارها 90 0 عن طريق إنشاء خطين متعامدين. دعونا نلقي نظرة على كيفية إنجاز هذه المهمة في مثال إضافي.

مثال إضافي

استعادة العمودي على الخط p الذي يمر عبر النقطة A،

الخط p والنقطة A تقع على هذا الخط

أرز. 5.1. شرط لمثال إضافي

بناء:

أولاً، لنقم بإنشاء دائرة نصف قطرها عشوائيًا ومركزها عند النقطة A

أرز. 5.2. الحل لمثال إضافي

هذه الدائرة تتقاطع مع خط رعند النقطتين K وE. ثم نقوم ببناء دائرتين Okr(K, R = KE)، Okr(E, R = KE). تتقاطع هذه الدوائر عند النقطتين C و B. والقطعة NE هي القطعة المطلوبة،

أرز. 5.3. الإجابة على مثال إضافي

1. المجموعة الموحدة للموارد التعليمية الرقمية ().
2. مدرس الرياضيات ().

1. رقم 285، 288. Atanasyan L. S.، Butuzov V. F.، Kadomtsev S. B.، Poznyak E. G.، Yudina I. I.، تم تحريره بواسطة Tikhonov A. N. Geometry Grades 7-9. م: التنوير. 2010
2. أنشئ مثلثًا متساوي الساقين باستخدام ضلع وزاوية مقابلة للقاعدة.
3. أنشئ مثلثًا قائمًا باستخدام الوتر والزاوية الحادة
4. أنشئ مثلثًا باستخدام الزاوية والارتفاع والمنصف المرسوم من رأس الزاوية المعطاة.