Lernziele:
1) Führen Sie die Schüler in das Konzept der Mittellinie eines Trapezes ein, betrachten Sie seine Eigenschaften und beweisen Sie sie;
2) lehren, wie man die Mittellinie des Trapezes baut;
3) die Fähigkeit der Schüler zu entwickeln, die Definition der Mittellinie eines Trapezes und die Eigenschaften der Mittellinie eines Trapezes bei der Lösung von Problemen zu verwenden;
4) die Fähigkeit der Schüler weiterzuentwickeln, kompetent zu sprechen und dabei die notwendigen mathematischen Begriffe zu verwenden; beweisen Sie Ihren Standpunkt;
5) entwickeln logisches Denken, Erinnerung, Aufmerksamkeit.
Während des Unterrichts
1. Die Hausaufgaben werden während des Unterrichts überprüft. Die Hausaufgabe war mündlich, denken Sie daran:
a) Definition eines Trapezes; Arten von Trapezen;
b) Bestimmen der Mittellinie des Dreiecks;
c) Eigenschaft der Mittellinie eines Dreiecks;
d) Vorzeichen der Mittellinie des Dreiecks.
2. Neues Material studieren.
a) Die Tafel zeigt ein Trapez ABCD.
b) Der Lehrer bittet Sie, sich die Definition eines Trapezes zu merken. Zu jedem Schreibtisch gibt es ein Hinweisdiagramm, das Ihnen hilft, sich an die Grundkonzepte im Thema „Trapez“ zu erinnern (siehe Anhang 1). Anlage 1 wird jedem Schreibtisch ausgehändigt.
Die Schüler zeichnen das Trapez ABCD in ihre Hefte.
c) Der Lehrer bittet Sie, sich zu merken, in welchem Thema dem Konzept einer Mittellinie begegnet ist („Mittellinie eines Dreiecks“). Die Schüler erinnern sich an die Definition der Mittellinie eines Dreiecks und ihre Eigenschaften.
e) Notieren Sie die Definition der Mittellinie des Trapezes und zeichnen Sie sie in ein Notizbuch.
Mittellinie Ein Trapez ist ein Segment, das die Mittelpunkte seiner Seiten verbindet.
Da die Eigenschaft der Mittellinie eines Trapezes zu diesem Zeitpunkt noch nicht bewiesen ist, besteht die nächste Stufe der Lektion darin, die Eigenschaft der Mittellinie eines Trapezes zu beweisen.
Satz. Mittellinie eines Trapezes ist parallel zu seinen Basen und gleich ihrer Halbsumme.
Gegeben: ABCD – Trapez,
MN – Mittellinie ABCD
Beweisen, Was:
1. v. Chr. || MN || ANZEIGE.
2. MN = (AD + BC).
Wir können einige Folgerungen aufschreiben, die sich aus den Bedingungen des Satzes ergeben:
AM = MB, CN = ND, BC || ANZEIGE.
Allein anhand der aufgeführten Eigenschaften lässt sich die Anforderung nicht nachweisen. Das Fragen- und Übungssystem soll bei den Schülern den Wunsch wecken, die Mittellinie eines Trapezes mit der Mittellinie eines Dreiecks zu verbinden, dessen Eigenschaften sie bereits kennen. Wenn es keine Vorschläge gibt, können Sie die Frage stellen: Wie konstruiert man ein Dreieck, für das das Segment MN die Mittellinie wäre?
Schreiben wir für einen der Fälle eine zusätzliche Konstruktion auf.
Zeichnen wir eine Gerade BN, die die Fortsetzung der Seite AD im Punkt K schneidet.
Es erscheinen zusätzliche Elemente - Dreiecke: ABD, BNM, DNK, BCN. Wenn wir beweisen, dass BN = NK ist, bedeutet dies, dass MN die Mittellinie von ABD ist, und dann können wir die Eigenschaft der Mittellinie eines Dreiecks verwenden und das Notwendige beweisen.
Nachweisen:
1. Betrachten Sie BNC und DNK, sie enthalten:
a) CNB =DNK (Eigenschaft vertikale Winkel);
b) BCN = NDK (Eigenschaft der inneren Kreuzwinkel);
c) CN = ND (durch Folge zu den Bedingungen des Satzes).
Das bedeutet BNC =DNK (an der Seite und zwei benachbarten Winkeln).
Q.E.D.
Der Nachweis kann mündlich im Unterricht erfolgen und zu Hause (nach Ermessen des Lehrers) rekonstruiert und in einem Notizbuch niedergeschrieben werden.
Über andere Möglichkeiten zum Beweis dieses Theorems muss Folgendes gesagt werden:
1. Zeichnen Sie eine der Diagonalen des Trapezes und verwenden Sie das Vorzeichen und die Eigenschaft der Mittellinie des Dreiecks.
2. CF || ausführen BA und betrachten Sie die Parallelogramme ABCF und DCF.
3. Führen Sie EF || aus BA und berücksichtigen Sie die Gleichheit von FND und ENC.
g) In dieser Phase werden Hausaufgaben vergeben: Absatz 84, Lehrbuch-Hrsg. Atanasyan L.S. (Beweis der Eigenschaft der Mittellinie eines Trapezes mit einer Vektormethode), notieren Sie ihn in Ihrem Notizbuch.
h) Wir lösen Probleme anhand der Definition und Eigenschaften der Mittellinie eines Trapezes anhand vorgefertigter Zeichnungen (siehe Anhang 2). Anhang 2 wird jedem Schüler ausgehändigt und die Lösung der Aufgaben wird auf demselben Blatt in Kurzform notiert.
- Die Strecke, die die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz der Grundflächen
- Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes gebildet werden, und die Segmente der Diagonalen bis zu ihrem Schnittpunkt sind ähnlich
- Dreiecke, die aus Segmenten der Diagonalen eines Trapezes gebildet werden, deren Seiten auf den Seiten des Trapezes liegen, sind gleich groß (haben die gleiche Fläche)
- Wenn Sie die Seiten des Trapezes in Richtung der kleineren Basis verlängern, schneiden sie sich in einem Punkt mit der geraden Linie, die die Mittelpunkte der Basen verbindet
- Ein Segment, das die Basen eines Trapezes verbindet und durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes verläuft, wird durch diesen Punkt im Verhältnis geteilt, das dem Verhältnis der Längen der Basen des Trapezes entspricht
- Ein Segment parallel zu den Basen des Trapezes, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen gezogen wird, wird durch diesen Punkt in zwei Hälften geteilt, und seine Länge ist gleich 2ab/(a + b), wobei a und b die Basen des Trapezes sind Trapez
Eigenschaften eines Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet
Verbinden wir die Mittelpunkte der Diagonalen des Trapezes ABCD, wodurch wir ein Segment LM erhalten.
Ein Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet liegt auf der Mittellinie des Trapezes.
Dieses Segment parallel zur Basis des Trapezes.
Die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der Hälfte der Differenz seiner Basen.
LM = (AD - BC)/2
oder
LM = (a-b)/2
Eigenschaften von Dreiecken, die durch die Diagonalen eines Trapezes gebildet werden
Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes und den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes gebildet werden - sind ähnlich.
Die Dreiecke BOC und AOD sind ähnlich. Da die Winkel BOC und AOD vertikal sind, sind sie gleich.
Die Winkel OCB und OAD sind Innenwinkel, die kreuzweise mit den parallelen Linien AD und BC (die Basen des Trapezes sind parallel zueinander) und einer Sekantenlinie AC liegen, daher sind sie gleich.
Die Winkel OBC und ODA sind aus dem gleichen Grund gleich (intern kreuzweise).
Da alle drei Winkel eines Dreiecks gleich den entsprechenden Winkeln eines anderen Dreiecks sind, sind diese Dreiecke ähnlich.
Was folgt daraus?
Um Probleme in der Geometrie zu lösen, wird die Ähnlichkeit von Dreiecken wie folgt genutzt. Wenn wir die Längen zweier entsprechender Elemente ähnlicher Dreiecke kennen, ermitteln wir den Ähnlichkeitskoeffizienten (wir dividieren das eine durch das andere). Von hier aus sind die Längen aller anderen Elemente im exakt gleichen Verhältnis zueinander.
Eigenschaften von seitlich liegenden Dreiecken und Diagonalen eines Trapezes
Betrachten Sie zwei Dreiecke, die auf den Seiten des Trapezes AB und CD liegen. Dies sind die Dreiecke AOB und COD. Trotz der Tatsache, dass die Größen der einzelnen Seiten dieser Dreiecke völlig unterschiedlich sein können, aber Die Flächen der Dreiecke, die durch die Seitenflächen und den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes gebildet werden, sind gleich, das heißt, die Dreiecke sind gleich groß.
Wenn wir die Seiten des Trapezes zur kleineren Basis hin verlängern, ergibt sich der Schnittpunkt der Seiten fallen mit einer geraden Linie zusammen, die durch die Mitte der Basen verläuft.
Somit kann jedes Trapez zu einem Dreieck erweitert werden. Dabei:
- Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt am Schnittpunkt der verlängerten Seiten gebildet werden, sind ähnlich
- Die Gerade, die die Mittelpunkte der Grundflächen des Trapezes verbindet, ist zugleich der Median des konstruierten Dreiecks
Eigenschaften eines Segments, das die Basen eines Trapezes verbindet
Wenn Sie ein Segment zeichnen, dessen Enden auf den Basen eines Trapezes liegen, das am Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes (KN) liegt, dann ist das Verhältnis seiner konstituierenden Segmente von der Seite der Basis zum Schnittpunkt der Diagonalen (KO/ON) wird gleich dem Verhältnis der Basen des Trapezes sein(v. Chr./n. Chr.).
KO/ON = BC/AD
Diese Eigenschaft folgt aus der Ähnlichkeit der entsprechenden Dreiecke (siehe oben).
Eigenschaften eines Segments parallel zu den Basen eines Trapezes
Wenn wir ein Segment parallel zu den Basen des Trapezes zeichnen und durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes verlaufen, dann hat es die folgenden Eigenschaften:
- Angegebene Distanz (KM) halbiert durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes
- Abschnittslänge durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes und parallel zu den Basen verläuft, ist gleich KM = 2ab/(a + b)
Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes
a, b- trapezförmige Sockel
CD- Seiten des Trapezes
d1 d2- Diagonalen eines Trapezes
α β - Winkel mit einer größeren Basis des Trapezes
Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes durch die Grundflächen, Seiten und Winkel an der Grundfläche
Die erste Formelgruppe (1-3) spiegelt eine der Haupteigenschaften von Trapezdiagonalen wider:
1. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Trapezes ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten plus dem doppelten Produkt seiner Grundflächen. Diese Eigenschaft von Trapezdiagonalen kann als separater Satz bewiesen werden
2 . Diese Formel wird durch Transformation der vorherigen Formel erhalten. Das Quadrat der zweiten Diagonale wird durch das Gleichheitszeichen geworfen, woraufhin die Quadratwurzel aus der linken und rechten Seite des Ausdrucks gezogen wird.
3 . Diese Formel zum Ermitteln der Länge der Diagonale eines Trapezes ähnelt der vorherigen, mit dem Unterschied, dass auf der linken Seite des Ausdrucks eine weitere Diagonale übrig bleibt
Die nächste Gruppe von Formeln (4-5) hat eine ähnliche Bedeutung und drückt eine ähnliche Beziehung aus.
Mit der Formelgruppe (6-7) können Sie die Diagonale eines Trapezes ermitteln, wenn die größere Basis des Trapezes, eine Seite und der Winkel an der Basis bekannt sind.
Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes durch die Höhe
Aufgabe.
Die Diagonalen des Trapezes ABCD (AD | | BC) schneiden sich im Punkt O. Ermitteln Sie die Länge der Basis BC des Trapezes, wenn die Basis AD = 24 cm, Länge AO = 9 cm, Länge OS = 6 cm.
Lösung.
Die Lösung dieses Problems ist ideologisch absolut identisch mit den vorherigen Problemen.
Die Dreiecke AOD und BOC sind in drei Winkeln ähnlich – AOD und BOC sind vertikal und die übrigen Winkel sind paarweise gleich, da sie durch den Schnittpunkt einer Geraden und zweier paralleler Geraden gebildet werden.
Da die Dreiecke ähnlich sind, stehen alle ihre geometrischen Abmessungen in Beziehung zueinander, ebenso wie die geometrischen Abmessungen der Segmente AO und OC, die uns gemäß den Bedingungen des Problems bekannt sind. Also
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/v.Chr
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Antwort: 16 cm
Aufgabe .
Im Trapez ABCD ist bekannt, dass AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Finden Sie die Fläche des Trapezes. 
Lösung .
Um die Höhe eines Trapezes von den Eckpunkten der kleineren Basis B und C aus zu ermitteln, senken wir zwei Höhen auf die größere Basis. Da das Trapez ungleich ist, bezeichnen wir die Länge AM = a, die Länge KD = b ( Nicht zu verwechseln mit der Notation in der Formel Finden der Fläche eines Trapezes). Da die Grundflächen des Trapezes parallel sind und wir zwei Höhen senkrecht zur größeren Grundfläche abgesenkt haben, ist MBCK ein Rechteck.
Bedeutet
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Die Dreiecke DBM und ACK sind rechteckig, ihre rechten Winkel werden also durch die Höhen des Trapezes gebildet. Bezeichnen wir die Höhe des Trapezes mit h. Dann nach dem Satz des Pythagoras
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Und
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Berücksichtigen wir, dass a = 16 - b, dann in der ersten Gleichung
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Setzen wir den Wert des Quadrats der Höhe in die zweite Gleichung ein, die wir mit dem Satz des Pythagoras erhalten haben. Wir bekommen:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Also KD = 12
Wo
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Ermitteln Sie die Fläche des Trapezes durch seine Höhe und die Hälfte der Summe der Basen
, wo a b – die Basis des Trapezes, h – die Höhe des Trapezes
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2
Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 80 cm2.
Das Konzept der Mittellinie des Trapezes
Erinnern wir uns zunächst daran, welche Art von Figur als Trapez bezeichnet wird.
Definition 1
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind.
In diesem Fall werden parallele Seiten als Basen des Trapezes und nicht parallele Seiten als laterale Seiten des Trapezes bezeichnet.
Definition 2
Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet.
Trapezmittelliniensatz
Nun führen wir den Satz über die Mittellinie eines Trapezes ein und beweisen ihn mit der Vektormethode.
Satz 1
Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu den Basen und entspricht deren Halbsumme.
Nachweisen.
Gegeben sei ein Trapez $ABCD$ mit den Basen $AD\ und\ BC$. Und sei $MN$ die Mittellinie dieses Trapezes (Abb. 1).
Abbildung 1. Mittellinie des Trapezes
Beweisen wir, dass $MN||AD\ und\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Betrachten Sie den Vektor $\overrightarrow(MN)$. Als nächstes verwenden wir die Polygonregel, um Vektoren hinzuzufügen. Einerseits verstehen wir das
Andererseits
Addieren wir die letzten beiden Gleichheiten und erhalten
Da $M$ und $N$ die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes sind, gilt:
Wir bekommen:
Somit
Aus derselben Gleichheit (da $\overrightarrow(BC)$ und $\overrightarrow(AD)$ kodirektional und daher kollinear sind) erhalten wir $MN||AD$.
Der Satz ist bewiesen.
Beispiele für Probleme zum Konzept der Mittellinie eines Trapezes
Beispiel 1
Die Seitenflächen des Trapezes betragen jeweils 15 cm und 17 cm. Der Umfang des Trapezes beträgt $52\cm$. Finden Sie die Länge der Mittellinie des Trapezes.
Lösung.
Bezeichnen wir die Mittellinie des Trapezes mit $n$.
Die Summe der Seiten ist gleich
Da der Umfang also $52\ cm$ beträgt, ist die Summe der Basen gleich
Nach Satz 1 erhalten wir also
Antwort:$10\cm$.
Beispiel 2
Die Enden des Kreisdurchmessers sind $9$ cm bzw. $5$ cm von seiner Tangente entfernt. Ermitteln Sie den Durchmesser dieses Kreises.
Lösung.
Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$ und Durchmesser $AB$. Zeichnen wir eine Tangente $l$ und konstruieren die Abstände $AD=9\ cm$ und $BC=5\ cm$. Zeichnen wir den Radius $OH$ (Abb. 2).
Figur 2.
Da $AD$ und $BC$ die Abstände zur Tangente sind, dann sind $AD\bot l$ und $BC\bot l$ und da $OH$ der Radius ist, dann ist $OH\bot l$, also $OH |\left|AD\right||BC$. Aus all dem erhalten wir, dass $ABCD$ ein Trapez ist und $OH$ seine Mittellinie ist. Nach Satz 1 erhalten wir
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Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten
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Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.
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Ein Viereck, bei dem nur zwei Seiten parallel sind, heißt Trapez.
Die parallelen Seiten eines Trapezes werden als seine bezeichnet Gründe dafür, und die Seiten, die nicht parallel sind, werden aufgerufen Seiten. Wenn die Seiten gleich sind, ist ein solches Trapez gleichschenklig. Der Abstand zwischen den Basen wird als Höhe des Trapezes bezeichnet.
Mittellinien-Trapez
Die Mittellinie ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet. Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu seinen Basen.
Satz:
Wenn die Gerade, die die Mitte einer Seite kreuzt, parallel zu den Grundflächen des Trapezes verläuft, dann halbiert sie die zweite Seite des Trapezes.
Satz:
Die Länge der Mittellinie entspricht dem arithmetischen Mittel der Längen ihrer Basen
MN || AB || GleichstromAM = MD; BN=NC
MN Mittellinie, AB und CD – Basen, AD und BC – laterale Seiten
MN = (AB + DC)/2
Satz:
Die Länge der Mittellinie eines Trapezes entspricht dem arithmetischen Mittel der Längen seiner Grundflächen.
Die Hauptaufgabe: Beweisen Sie, dass die Mittellinie eines Trapezes ein Segment halbiert, dessen Enden in der Mitte der Basen des Trapezes liegen.
Mittellinie des Dreiecks
Das Segment, das die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, wird Mittellinie des Dreiecks genannt. Es verläuft parallel zur dritten Seite und seine Länge entspricht der Hälfte der Länge der dritten Seite.
Satz: Wenn eine Linie, die den Mittelpunkt einer Seite eines Dreiecks schneidet, parallel zur anderen Seite des Dreiecks ist, dann halbiert sie die dritte Seite.
AM = MC und BN = NC =>
Anwenden der Mittellinieneigenschaften eines Dreiecks und Trapezes
Teilen eines Segments in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile.
Aufgabe: Teilen Sie das Segment AB in 5 gleiche Teile.
Lösung:
Sei p ein zufälliger Strahl, dessen Ursprung Punkt A ist und der nicht auf der Linie AB liegt. Wir legen nacheinander 5 gleiche Segmente auf p beiseite AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Wir verbinden A 5 mit B und zeichnen solche Geraden durch A 4, A 3, A 2 und A 1, die parallel zu A 5 B verlaufen. Sie schneiden AB jeweils in den Punkten B 4, B 3, B 2 und B 1. Diese Punkte teilen das Segment AB in 5 gleiche Teile. Tatsächlich sehen wir aus dem Trapez BB 3 A 3 A 5, dass BB 4 = B 4 B 3. Auf die gleiche Weise erhalten wir aus dem Trapez B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2
Während aus dem Trapez B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Dann folgt aus B 2 AA 2, dass B 2 B 1 = B 1 A. Zusammenfassend erhalten wir:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Es ist klar, dass wir, um das Segment AB in eine weitere Anzahl gleicher Teile zu unterteilen, die gleiche Anzahl gleicher Segmente auf den Strahl p projizieren müssen. Und fahren Sie dann wie oben beschrieben fort.
