Das Konzept eines Monoms. Standardform des Monoms

Das Konzept eines Monoms

Definition eines Monoms: Ein Monom ist Algebraischer Ausdruck, das nur Multiplikation verwendet.

Standardform des Monoms

Was ist die Standardform eines Monoms? Ein Monom wird in Standardform geschrieben. Wenn es an erster Stelle einen numerischen Faktor hat und dieser Faktor als Koeffizient des Monoms bezeichnet wird, gibt es im Monom nur einen, die Buchstaben des Monoms sind in alphabetischer Reihenfolge und jeder Buchstabe angeordnet kommt nur einmal vor.

Ein Beispiel für ein Monom in Standardform:

Hier steht an erster Stelle die Zahl, der Koeffizient des Monoms, und diese Zahl ist in unserem Monom nur eins, jeder Buchstabe kommt nur einmal vor und die Buchstaben sind in alphabetischer Reihenfolge angeordnet, in diesem Fall ist es das lateinische Alphabet.

Ein weiteres Beispiel für ein Monom in Standardform:

jeder Buchstabe kommt nur einmal vor, sie sind in lateinischer alphabetischer Reihenfolge angeordnet, aber wo ist der Koeffizient des Monoms, d.h. Welcher numerische Faktor sollte an erster Stelle stehen? Hier ist es gleich eins: 1adm.

Kann der Koeffizient eines Monoms negativ sein? Ja, vielleicht, Beispiel: -5a.

Kann der Koeffizient eines Monoms gebrochen sein? Ja, vielleicht, Beispiel: 5.2a.

Besteht ein Monom nur aus einer Zahl, d.h. hat keine Buchstaben, wie kann ich es in die Standardform bringen? Jedes Monom, das eine Zahl ist, liegt bereits in der Standardform vor, zum Beispiel: Die Zahl 5 ist ein Monom in der Standardform.

Monome auf Standardform reduzieren

Wie bringt man ein Monom in die Standardform? Schauen wir uns Beispiele an.

Das Monom 2a4b sei gegeben; wir müssen es in die Standardform bringen. Wir multiplizieren seine beiden numerischen Faktoren und erhalten 8ab. Jetzt wird das Monom in Standardform geschrieben, d. h. hat nur einen numerischen Faktor, der an erster Stelle geschrieben wird, jeder Buchstabe im Monom kommt nur einmal vor und diese Buchstaben sind in alphabetischer Reihenfolge angeordnet. Also 2a4b = 8ab.

Gegeben: Monom 2a4a, bringe das Monom in die Standardform. Wir multiplizieren die Zahlen 2 und 4 und ersetzen das Produkt aa durch die zweite Potenz von a 2. Wir erhalten: 8a 2 . Dies ist die Standardform dieses Monoms. Also 2a4a = 8a 2 .

Ähnliche Monome

Was ähnliche Monome? Wenn sich Monome nur in den Koeffizienten unterscheiden oder gleich sind, werden sie als ähnlich bezeichnet.

Beispiel für ähnliche Monome: 5a und 2a. Diese Monome unterscheiden sich nur in den Koeffizienten, sind also ähnlich.

Sind die Monome 5abc und 10cba ähnlich? Bringen wir das zweite Monom in die Standardform und erhalten wir 10abc. Jetzt können wir sehen, dass sich die Monome 5abc und 10abc nur in ihren Koeffizienten unterscheiden, was bedeutet, dass sie ähnlich sind.

Addition von Monomen

Wie groß ist die Summe der Monome? Wir können nur ähnliche Monome summieren. Schauen wir uns ein Beispiel für die Addition von Monomen an. Wie groß ist die Summe der Monome 5a und 2a? Die Summe dieser Monome wird ein ihnen ähnliches Monom sein, dessen Koeffizient gleich der Summe Koeffizienten der Terme. Die Summe der Monome beträgt also 5a + 2a = 7a.

Weitere Beispiele für das Addieren von Monomen:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Noch einmal. Sie können nur ähnliche Monome addieren; bei der Addition kommt es auf die Addition ihrer Koeffizienten an.

Monome subtrahieren

Was ist der Unterschied zwischen den Monomen? Wir können nur ähnliche Monome subtrahieren. Schauen wir uns ein Beispiel für die Subtraktion von Monomen an. Was ist der Unterschied zwischen den Monomen 5a und 2a? Die Differenz dieser Monome wird ein ihnen ähnliches Monom sein, dessen Koeffizient gleich der Differenz der Koeffizienten dieser Monome ist. Die Differenz der Monome beträgt also 5a - 2a = 3a.

Weitere Beispiele für die Subtraktion von Monomen:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Monome multiplizieren

Was ist das Produkt von Monomen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

diese. Das Produkt von Monomen ist gleich einem Monom, dessen Faktoren sich aus den Faktoren der ursprünglichen Monome zusammensetzen.

Ein anderes Beispiel:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Wie kam es zu diesem Ergebnis? Jeder Faktor enthält „a“ hoch: im ersten – „a“ hoch 2 und im zweiten – „a“ hoch 5. Das bedeutet, dass das Produkt „a“ hoch hoch enthält von 7, denn bei der Multiplikation gleicher Buchstaben addieren sich die Exponenten ihrer Potenzen:

A 2 * a 5 = a 7 .

Gleiches gilt für den Faktor „b“.

Der Koeffizient des ersten Faktors ist zwei und der zweite ist eins, das Ergebnis ist also 2 * 1 = 2.

So wurde das Ergebnis berechnet: 2a 7 b 12.

Aus diesen Beispielen wird deutlich, dass die Koeffizienten von Monomen multipliziert werden und identische Buchstaben durch die Summen ihrer Potenzen im Produkt ersetzt werden.

Wir haben festgestellt, dass jedes Monom sein kann zur Standardform bringen. In diesem Artikel werden wir verstehen, was es heißt, ein Monom in die Standardform zu bringen, welche Aktionen die Durchführung dieses Prozesses ermöglichen und Lösungen für Beispiele mit detaillierten Erklärungen betrachten.

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Was bedeutet es, ein Monom auf die Standardform zu reduzieren?

Es ist praktisch, mit Monomen zu arbeiten, wenn sie in Standardform geschrieben sind. Allerdings werden Monome häufig in einer anderen als der Standardform angegeben. In diesen Fällen können Sie jederzeit vom ursprünglichen Monom zu einem Monom der Standardform wechseln, indem Sie Identitätstransformationen durchführen. Der Vorgang der Durchführung solcher Transformationen wird als Reduktion eines Monoms auf eine Standardform bezeichnet.

Fassen wir die obigen Argumente zusammen. Reduzieren Sie das Monom auf die Standardform- das bedeutet, Folgendes mit ihm zu tun Identitätstransformationen sodass es die Standardform annimmt.

Wie bringt man ein Monom in die Standardform?

Es ist an der Zeit herauszufinden, wie man Monome auf die Standardform reduziert.

Wie aus der Definition hervorgeht, sind Monome nicht standardmäßiger Form Produkte von Zahlen, Variablen und deren Potenzen sowie möglicherweise sich wiederholenden. Und ein Monom der Standardform kann in seiner Notation nur eine Zahl und sich nicht wiederholende Variablen oder deren Potenzen enthalten. Nun bleibt es zu verstehen, wie man Produkte des ersten Typs auf den Typ des zweiten bringt?

Dazu müssen Sie Folgendes verwenden die Regel zum Reduzieren eines Monoms auf die Standardform bestehend aus zwei Schritten:

• Zunächst wird eine Gruppierung numerischer Faktoren sowie identischer Variablen und ihrer Potenzen durchgeführt;
• Zweitens wird das Produkt der Zahlen berechnet und angewendet.

Durch die Anwendung der genannten Regel wird jedes Monom auf eine Standardform reduziert.

Beispiele, Lösungen

Es bleibt nur noch zu lernen, wie man die Regel aus dem vorherigen Absatz beim Lösen von Beispielen anwendet.

Beispiel.

Reduzieren Sie das Monom 3 x 2 x 2 auf die Standardform.

Lösung.

Lassen Sie uns numerische Faktoren und Faktoren mit der Variablen x gruppieren. Nach der Gruppierung nimmt das ursprüngliche Monom die Form (3·2)·(x·x 2) an. Das Produkt der Zahlen in den ersten Klammern ist gleich 6 und die Regel zum Multiplizieren von Potenzen mit aus den gleichen Gründen ermöglicht die Darstellung des Ausdrucks in den zweiten Klammern als x 1 +2=x 3. Als Ergebnis erhalten wir ein Polynom der Standardform 6 x 3.

Hier eine kurze Zusammenfassung der Lösung: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Antwort:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

Um also ein Monom in eine Standardform zu bringen, müssen Sie in der Lage sein, Faktoren zu gruppieren, Zahlen zu multiplizieren und mit Potenzen zu arbeiten.

Um das Material zu festigen, lösen wir noch ein Beispiel.

Beispiel.

Stellen Sie das Monom in Standardform dar und geben Sie seinen Koeffizienten an.

Lösung.

Das ursprüngliche Monom hat in seiner Notation einen einzigen numerischen Faktor −1, verschieben wir ihn an den Anfang. Danach gruppieren wir die Faktoren separat mit der Variablen a, separat mit der Variablen b, und es gibt nichts, womit wir die Variable m gruppieren könnten, wir lassen es so, wie es ist . Nachdem wir Operationen mit Potenzen in Klammern durchgeführt haben, nimmt das Monom die von uns benötigte Standardform an, aus der wir den Koeffizienten des Monoms gleich −1 ersehen können. Minus eins kann durch ein Minuszeichen ersetzt werden: .

Potenz eines Monoms

Für ein Monom gibt es den Begriff seines Grades. Lassen Sie uns herausfinden, was es ist.

Definition.

Potenz eines Monoms Die Standardform ist die Summe der Exponenten aller in ihrem Datensatz enthaltenen Variablen. Wenn die Notation eines Monoms keine Variablen enthält und es von Null verschieden ist, wird sein Grad als gleich Null betrachtet; Die Zahl Null gilt als Monom, dessen Grad nicht definiert ist.

Durch die Bestimmung des Grades eines Monoms können Sie Beispiele nennen. Der Grad des Monoms a ist gleich eins, da a eine 1 ist. Die Potenz des Monoms 5 ist Null, da es ungleich Null ist und seine Notation keine Variablen enthält. Und das Produkt 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 ist ein Monom achten Grades, da die Summe der Exponenten aller Variablen a, x und y gleich 2+1+3+2=8 ist.

Übrigens ist der Grad eines nicht in Standardform geschriebenen Monoms gleich dem Grad des entsprechenden Monoms in Standardform. Um dies zu veranschaulichen, berechnen wir den Grad des Monoms 3 x 2 Jahre 3 x (−2) x 5 Jahre. Dieses Monom in Standardform hat die Form −6·x 8 ·y 4, sein Grad ist 8+4=12. Somit beträgt der Grad des ursprünglichen Monoms 12.

Monomialkoeffizient

Ein Monom in Standardform, das in seiner Notation mindestens eine Variable hat, ist ein Produkt mit einem einzigen numerischen Faktor – einem numerischen Koeffizienten. Dieser Koeffizient wird Monomkoeffizient genannt. Formulieren wir die obigen Argumente in Form einer Definition.

Definition.

Monomialkoeffizient ist der numerische Faktor eines in Standardform geschriebenen Monoms.

Jetzt können wir Beispiele für Koeffizienten verschiedener Monome geben. Die Zahl 5 ist per Definition der Koeffizient des Monoms 5·a 3, ebenso hat das Monom (−2,3)·x·y·z einen Koeffizienten von −2,3.

Besondere Aufmerksamkeit verdienen die Koeffizienten der Monome gleich 1 und −1. Der Punkt hierbei ist, dass sie in der Aufzeichnung normalerweise nicht explizit vorhanden sind. Es wird angenommen, dass der Koeffizient von Monomen in Standardform, die keinen numerischen Faktor in ihrer Notation haben, gleich eins ist. Zum Beispiel Monome a, x·z 3, a·t·x usw. haben einen Koeffizienten von 1, da a als 1·a, x·z 3 - als 1·x·z 3 usw. betrachtet werden kann.

Ebenso gilt der Koeffizient von Monomen, deren Einträge in der Standardform keinen numerischen Faktor haben und mit einem Minuszeichen beginnen, als minus eins. Zum Beispiel Monome −x, −x 3 y z 3 usw. einen Koeffizienten −1 haben, da −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 usw.

Übrigens wird der Begriff des Koeffizienten eines Monoms oft als Monome der Standardform bezeichnet, bei denen es sich um Zahlen ohne Buchstabenfaktoren handelt. Die Koeffizienten solcher Monome-Zahlen werden als diese Zahlen betrachtet. So wird beispielsweise der Koeffizient des Monoms 7 als gleich 7 betrachtet.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für die 7. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; Hrsg. S. A. Telyakovsky. - 17. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 17. Aufl., hinzufügen. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 S.: Abb. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Lektion zum Thema: „Standardform eines Monoms. Definition. Beispiele“

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Monom. Definition

Monome umfassen alle Zahlen, Variablen, ihre Potenzen mit einem natürlichen Exponenten:
42;  3; 

Sehr oft ist es schwierig zu bestimmen, ob sich ein bestimmter mathematischer Ausdruck auf ein Monom bezieht oder nicht. Zum Beispiel $\frac(4a^3)(5)$. Ist das ein Monom oder nicht? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir den Ausdruck vereinfachen, d.h. liegt in der Form vor: $\frac(4)(5)*a^3$.
Wir können mit Sicherheit sagen, dass dieser Ausdruck ein Monom ist.

Standardform des Monoms

Das Verfahren zum Reduzieren eines Monoms auf die Standardform ist wie folgt:
1. Multiplizieren Sie die Koeffizienten des Monoms (oder numerischen Faktoren) und platzieren Sie das resultierende Ergebnis an erster Stelle.
2. Wählen Sie alle Potenzen mit der gleichen Buchstabenbasis aus und multiplizieren Sie sie.
3. Wiederholen Sie Punkt 2 für alle Variablen.

Beispiele.
I. Reduzieren Sie das gegebene Monom $3x^2zy^3*5y^2z^4$ auf die Standardform.

Lösung.
1. Multiplizieren Sie die Koeffizienten des Monoms $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Jetzt präsentieren wir ähnliche Begriffe $15x^2y^5z^5$.

II. Reduzieren Sie das gegebene Monom $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ auf die Standardform.

Lösung.
1. Multiplizieren Sie die Koeffizienten des Monoms $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Jetzt stellen wir ähnliche Begriffe $\frac(10)(7)a^5b^5c$ vor.