Ähnliches Monom. Der Begriff eines Monoms und seine Standardform

Das Konzept eines Monoms

Definition eines Monoms: Ein Monom ist Algebraischer Ausdruck, das nur Multiplikation verwendet.

Standardform des Monoms

Was Standard Ansicht Monom? Ein Monom wird in Standardform geschrieben. Wenn es an erster Stelle einen numerischen Faktor hat und dieser Faktor als Koeffizient des Monoms bezeichnet wird, gibt es im Monom nur einen, die Buchstaben des Monoms sind in alphabetischer Reihenfolge und jeder Buchstabe angeordnet kommt nur einmal vor.

Ein Beispiel für ein Monom in Standardform:

Hier steht an erster Stelle die Zahl, der Koeffizient des Monoms, und diese Zahl ist in unserem Monom nur eins, jeder Buchstabe kommt nur einmal vor und die Buchstaben sind in alphabetischer Reihenfolge angeordnet, in diesem Fall ist es das lateinische Alphabet.

Ein weiteres Beispiel für ein Monom in Standardform:

jeder Buchstabe kommt nur einmal vor, sie sind in lateinischer alphabetischer Reihenfolge angeordnet, aber wo ist der Koeffizient des Monoms, d.h. der numerische Faktor, der an erster Stelle stehen sollte? Hier ist es gleich eins: 1adm.

Kann der Koeffizient eines Monoms negativ sein? Ja, vielleicht, Beispiel: -5a.

Kann der Koeffizient eines Monoms gebrochen sein? Ja, vielleicht, Beispiel: 5.2a.

Besteht ein Monom nur aus einer Zahl, d.h. hat keine Buchstaben, wie kann ich es in die Standardform bringen? Jedes Monom, das eine Zahl ist, liegt bereits in der Standardform vor, zum Beispiel: Die Zahl 5 ist ein Monom in der Standardform.

Monome auf Standardform reduzieren

Wie bringt man ein Monom in die Standardform? Schauen wir uns Beispiele an.

Das Monom 2a4b sei gegeben; wir müssen es in die Standardform bringen. Wir multiplizieren seine beiden numerischen Faktoren und erhalten 8ab. Jetzt wird das Monom in Standardform geschrieben, d. h. hat nur einen numerischen Faktor, der an erster Stelle geschrieben wird, jeder Buchstabe im Monom kommt nur einmal vor und diese Buchstaben sind in alphabetischer Reihenfolge angeordnet. Also 2a4b = 8ab.

Gegeben: Monom 2a4a, bringe das Monom in die Standardform. Wir multiplizieren die Zahlen 2 und 4 und ersetzen das Produkt aa durch die zweite Potenz von a 2. Wir erhalten: 8a 2 . Dies ist die Standardform dieses Monoms. Also 2a4a = 8a 2 .

Addition von Monomen

Wie groß ist die Summe der Monome? Wir können nur ähnliche Monome summieren. Schauen wir uns ein Beispiel für die Addition von Monomen an. Wie groß ist die Summe der Monome 5a und 2a? Die Summe dieser Monome wird ein ihnen ähnliches Monom sein, dessen Koeffizient gleich der Summe Koeffizienten der Terme. Die Summe der Monome beträgt also 5a + 2a = 7a.

Weitere Beispiele für das Addieren von Monomen:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Noch einmal. Sie können nur ähnliche Monome addieren; bei der Addition kommt es auf die Addition ihrer Koeffizienten an.

Monome subtrahieren

Was ist der Unterschied zwischen den Monomen? Wir können nur ähnliche Monome subtrahieren. Schauen wir uns ein Beispiel für die Subtraktion von Monomen an. Was ist der Unterschied zwischen den Monomen 5a und 2a? Die Differenz dieser Monome wird ein ihnen ähnliches Monom sein, dessen Koeffizient gleich der Differenz der Koeffizienten dieser Monome ist. Die Differenz der Monome beträgt also 5a - 2a = 3a.

Weitere Beispiele für die Subtraktion von Monomen:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Monome multiplizieren

Was ist das Produkt von Monomen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

diese. Das Produkt von Monomen ist gleich einem Monom, dessen Faktoren sich aus den Faktoren der ursprünglichen Monome zusammensetzen.

Ein anderes Beispiel:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Wie kam es zu diesem Ergebnis? Jeder Faktor enthält „a“ hoch: im ersten – „a“ hoch 2 und im zweiten – „a“ hoch 5. Das bedeutet, dass das Produkt „a“ hoch hoch enthält von 7, denn bei der Multiplikation gleicher Buchstaben addieren sich die Exponenten ihrer Potenzen:

A 2 * a 5 = a 7 .

Gleiches gilt für den Faktor „b“.

Der Koeffizient des ersten Faktors ist zwei und der zweite ist eins, das Ergebnis ist also 2 * 1 = 2.

So wurde das Ergebnis berechnet: 2a 7 b 12.

Aus diesen Beispielen wird deutlich, dass die Koeffizienten von Monomen multipliziert werden und identische Buchstaben durch die Summen ihrer Potenzen im Produkt ersetzt werden.

In der Mathematik gibt es viele verschiedene mathematische Ausdrücke, von denen einige eigene Namen haben. Wir werden uns gleich mit einem dieser Konzepte vertraut machen – das ist ein Monom.

Ein Monom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus einem Produkt von Zahlen und Variablen besteht, von denen jede bis zu einem gewissen Grad im Produkt vorkommen kann. Um das neue Konzept besser zu verstehen, müssen Sie sich mit mehreren Beispielen vertraut machen.

Beispiele für Monome

Ausdrücke 4, x^2 , -3*a^4, 0,7*c, ¾*y^2 sind Monome. Wie Sie sehen, ist auch nur eine Zahl oder Variable (mit oder ohne Potenz) ein Monom. Aber zum Beispiel sind die Ausdrücke 2+с, 3*(y^2)/x, a^2 –x^2 bereits sind keine Monome, da sie nicht den Definitionen entsprechen. Der erste Ausdruck verwendet „Summe“, was inakzeptabel ist, der zweite verwendet „Division“ und der dritte verwendet Differenz.

Lassen Sie uns überlegen noch ein paar Beispiele.

Beispielsweise ist der Ausdruck 2*a^3*b/3 ebenfalls ein Monom, obwohl eine Division erforderlich ist. In diesem Fall erfolgt jedoch eine Division durch eine Zahl, und daher kann der entsprechende Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden: 2/3*a^3*b. Noch ein Beispiel: Welcher der Ausdrücke 2/x und x/2 ist ein Monom und welcher nicht? Die richtige Antwort ist, dass der erste Ausdruck kein Monom ist, der zweite jedoch ein Monom.

Standardform des Monoms

Schauen Sie sich die folgenden zwei Monomausdrücke an: ¾*a^2*b^3 und 3*a*1/4*b^3*a. Tatsächlich handelt es sich hierbei um zwei identische Monome. Stimmt es nicht, dass der erste Ausdruck bequemer erscheint als der zweite?

Der Grund dafür ist, dass der erste Ausdruck in Standardform geschrieben ist. Die Standardform eines Polynoms ist ein Produkt aus einem numerischen Faktor und Potenzen verschiedener Variablen. Der numerische Faktor wird als Koeffizient des Monoms bezeichnet.

Um ein Monom in seine Standardform zu bringen, genügt es, alle im Monom vorhandenen numerischen Faktoren zu multiplizieren und die resultierende Zahl an die erste Stelle zu setzen. Dann multiplizieren Sie alle Potenzen, die die gleiche Buchstabenbasis haben.

Ein Monom auf seine Standardform reduzieren

Wenn wir in unserem Beispiel im zweiten Ausdruck alle numerischen Faktoren mit 3*1/4 multiplizieren und dann a*a multiplizieren, erhalten wir das erste Monom. Diese Aktion wird als Reduktion eines Monoms auf seine Standardform bezeichnet.

Unterscheiden sich zwei Monome nur durch einen Zahlenkoeffizienten oder sind sie einander gleich, so nennt man solche Monome in der Mathematik ähnlich.

In dieser Lektion werden wir eine strenge Definition eines Monoms geben verschiedene Beispiele aus dem Lehrbuch. Erinnern wir uns an die Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit aus den gleichen Gründen. Definieren wir die Standardform eines Monoms, den Koeffizienten des Monoms und seinen Buchstabenteil. Betrachten wir zwei typische Hauptoperationen für Monome, nämlich die Reduktion auf eine Standardform und die Berechnung eines bestimmten numerischen Werts eines Monoms für gegebene Werte der darin enthaltenen Literalvariablen. Lassen Sie uns eine Regel formulieren, um ein Monom auf die Standardform zu reduzieren. Lassen Sie uns lernen, wie man Standardprobleme mit beliebigen Monomen löst.

Thema:Monome. Arithmetische Operationen auf Monomen

Lektion:Das Konzept eines Monoms. Standardform des Monoms

Betrachten Sie einige Beispiele:

3. ;

Wir werden finden Gemeinsamkeiten für die angegebenen Ausdrücke. In allen drei Fällen ist der Ausdruck das Produkt von Zahlen und Variablen, die potenziert werden. Auf dieser Grundlage geben wir Definition von Monom : Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus dem Produkt von Potenzen und Zahlen besteht.

Nun geben wir Beispiele für Ausdrücke, die keine Monome sind:

Lassen Sie uns den Unterschied zwischen diesen Ausdrücken und den vorherigen finden. Es besteht darin, dass es in den Beispielen 4–7 Additions-, Subtraktions- oder Divisionsoperationen gibt, während es in den Beispielen 1–3, bei denen es sich um Monome handelt, diese Operationen nicht gibt.

Hier noch ein paar Beispiele:

Ausdruck Nummer 8 ist ein Monom, weil er das Produkt einer Potenz und einer Zahl ist, wohingegen Beispiel 9 kein Monom ist.

Finden wir es jetzt heraus Aktionen auf Monome .

1. Vereinfachung. Schauen wir uns Beispiel Nr. 3 an ;und Beispiel Nr. 2 /

Im zweiten Beispiel sehen wir nur einen Koeffizienten – jede Variable kommt nur einmal vor, also die Variable „ A„ wird in einer einzigen Kopie als „“ dargestellt, ebenso erscheinen die Variablen „“ und „“ nur einmal.

Im Beispiel Nr. 3 hingegen gibt es zwei verschiedene Koeffizienten – und wir sehen die Variable „“ zweimal – als „“ und als „“, ebenso erscheint die Variable „“ zweimal. Das heißt, dieser Ausdruck sollte vereinfacht werden, so kommen wir zu dem Ergebnis Die erste Aktion, die bei Monomen durchgeführt wird, besteht darin, das Monom auf die Standardform zu reduzieren . Dazu reduzieren wir den Ausdruck aus Beispiel 3 auf die Standardform, definieren dann diese Operation und lernen, wie man jedes Monom auf die Standardform reduziert.

Betrachten Sie also ein Beispiel:

Die erste Aktion bei der Reduktion auf die Standardform besteht immer darin, alle numerischen Faktoren zu multiplizieren:

;

Ergebnis dieser Aktion wird angerufen werden Koeffizient des Monoms .

Als nächstes müssen Sie die Potenzen multiplizieren. Multiplizieren wir die Potenzen der Variablen „ X„nach der Regel zur Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen, die besagt, dass beim Multiplizieren die Exponenten addiert werden:

Jetzt lasst uns die Potenzen vervielfachen“ bei»:

;

Hier ist also ein vereinfachter Ausdruck:

;

Jedes Monom kann auf die Standardform reduziert werden. Lassen Sie uns formulieren Standardisierungsregel :

Multiplizieren Sie alle numerischen Faktoren;

Platzieren Sie den resultierenden Koeffizienten an erster Stelle;

Multiplizieren Sie alle Grade, das heißt, Sie erhalten den Buchstabenteil;

Das heißt, jedes Monom wird durch einen Koeffizienten und einen Buchstabenteil charakterisiert. Mit Blick auf die Zukunft stellen wir fest, dass Monome, die denselben Buchstabenteil haben, als ähnlich bezeichnet werden.

Jetzt müssen wir trainieren Technik zur Reduktion von Monomen auf die Standardform . Betrachten Sie Beispiele aus dem Lehrbuch:

Aufgabe: Bringen Sie das Monom in die Standardform, benennen Sie den Koeffizienten und den Buchstabenteil.

Um die Aufgabe zu lösen, verwenden wir die Regel zur Reduktion eines Monoms auf eine Standardform und die Eigenschaften von Potenzen.

1. ;

3. ;

Kommentare zum ersten Beispiel: Lassen Sie uns zunächst feststellen, ob dieser Ausdruck wirklich ein Monom ist. Dazu prüfen wir, ob er Operationen der Multiplikation von Zahlen und Potenzen enthält und ob er Operationen der Addition, Subtraktion oder Division enthält. Wir können sagen, dass dieser Ausdruck ein Monom ist, da die obige Bedingung erfüllt ist. Als nächstes multiplizieren wir gemäß der Regel zum Reduzieren eines Monoms auf eine Standardform die numerischen Faktoren:

- Wir haben den Koeffizienten eines bestimmten Monoms gefunden;

; ; ; das heißt, der wörtliche Teil des Ausdrucks wird erhalten:;

Schreiben wir die Antwort auf: ;

Kommentare zum zweiten Beispiel: Nach der Regel führen wir aus:

1) numerische Faktoren multiplizieren:

2) Multiplizieren Sie die Potenzen:

Variablen werden in einer einzigen Kopie dargestellt, das heißt, sie können mit nichts multipliziert werden, sie werden ohne Änderungen umgeschrieben, der Grad wird multipliziert:

Schreiben wir die Antwort auf:

;

In diesem Beispiel ist der Koeffizient des Monoms gleich eins und der Buchstabenteil ist .

Anmerkungen zum dritten Beispiel: aÄhnlich wie in den vorherigen Beispielen führen wir die folgenden Aktionen aus:

1) numerische Faktoren multiplizieren:

;

2) Multiplizieren Sie die Potenzen:

;

Schreiben wir die Antwort auf: ;

In diesem Fall ist der Koeffizient des Monoms „“ und der Buchstabenteil .

Lassen Sie uns nun überlegen zweite Standardoperation auf Monomen . Da ein Monom ein algebraischer Ausdruck ist, der aus Literalvariablen besteht, die bestimmte numerische Werte annehmen können, haben wir einen arithmetischen numerischen Ausdruck, der ausgewertet werden muss. Also, nächste Operationüber Polynome besteht aus Berechnung ihres spezifischen numerischen Wertes .

Schauen wir uns ein Beispiel an. Monom gegeben:

Dieses Monom wurde bereits auf die Standardform reduziert, sein Koeffizient ist gleich eins und der Buchstabenteil

Zuvor haben wir gesagt, dass ein algebraischer Ausdruck nicht immer berechnet werden kann, das heißt, die darin enthaltenen Variablen können keinen Wert annehmen. Im Falle eines Monoms können die darin enthaltenen Variablen beliebige sein; dies ist ein Merkmal des Monoms.

Im gegebenen Beispiel müssen Sie also den Wert des Monoms bei , , , berechnen.

In dieser Lektion geben wir eine strenge Definition eines Monoms und schauen uns verschiedene Beispiele aus dem Lehrbuch an. Erinnern wir uns an die Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen. Definieren wir die Standardform eines Monoms, den Koeffizienten des Monoms und seinen Buchstabenteil. Betrachten wir zwei typische Hauptoperationen für Monome, nämlich die Reduktion auf eine Standardform und die Berechnung eines bestimmten numerischen Werts eines Monoms für gegebene Werte der darin enthaltenen Literalvariablen. Lassen Sie uns eine Regel formulieren, um ein Monom auf die Standardform zu reduzieren. Lassen Sie uns lernen, wie man Standardprobleme mit beliebigen Monomen löst.

Thema:Monome. Arithmetische Operationen auf Monomen

Lektion:Das Konzept eines Monoms. Standardform des Monoms

Betrachten Sie einige Beispiele:

3. ;

Lassen Sie uns Gemeinsamkeiten für die gegebenen Ausdrücke finden. In allen drei Fällen ist der Ausdruck das Produkt von Zahlen und Variablen, die potenziert werden. Auf dieser Grundlage geben wir Definition von Monom : Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus dem Produkt von Potenzen und Zahlen besteht.

Nun geben wir Beispiele für Ausdrücke, die keine Monome sind:

Hier noch ein paar Beispiele:

Ausdruck Nummer 8 ist ein Monom, weil er das Produkt einer Potenz und einer Zahl ist, wohingegen Beispiel 9 kein Monom ist.

Finden wir es jetzt heraus Aktionen auf Monome .

1. Vereinfachung. Schauen wir uns Beispiel Nr. 3 an ;und Beispiel Nr. 2 /

Betrachten Sie also ein Beispiel:

Die erste Aktion bei der Reduktion auf die Standardform besteht immer darin, alle numerischen Faktoren zu multiplizieren:

;

Das Ergebnis dieser Aktion wird aufgerufen Koeffizient des Monoms .

Jetzt lasst uns die Potenzen vervielfachen“ bei»:

;

Hier ist also ein vereinfachter Ausdruck:

;

Jedes Monom kann auf die Standardform reduziert werden. Lassen Sie uns formulieren Standardisierungsregel :

Multiplizieren Sie alle numerischen Faktoren;

Platzieren Sie den resultierenden Koeffizienten an erster Stelle;

Multiplizieren Sie alle Grade, das heißt, Sie erhalten den Buchstabenteil;

Jetzt müssen wir trainieren Technik zur Reduktion von Monomen auf die Standardform . Betrachten Sie Beispiele aus dem Lehrbuch:

Aufgabe: Bringen Sie das Monom in die Standardform, benennen Sie den Koeffizienten und den Buchstabenteil.

Um die Aufgabe zu lösen, verwenden wir die Regel zur Reduktion eines Monoms auf eine Standardform und die Eigenschaften von Potenzen.

1. ;

3. ;

- Wir haben den Koeffizienten eines bestimmten Monoms gefunden;

; ; ; das heißt, der wörtliche Teil des Ausdrucks wird erhalten:;

Schreiben wir die Antwort auf: ;

Kommentare zum zweiten Beispiel: Nach der Regel führen wir aus:

1) numerische Faktoren multiplizieren:

2) Multiplizieren Sie die Potenzen:

Variablen werden in einer einzigen Kopie dargestellt, das heißt, sie können mit nichts multipliziert werden, sie werden ohne Änderungen umgeschrieben, der Grad wird multipliziert:

Schreiben wir die Antwort auf:

;

In diesem Beispiel ist der Koeffizient des Monoms gleich eins und der Buchstabenteil ist .

Anmerkungen zum dritten Beispiel: aÄhnlich wie in den vorherigen Beispielen führen wir die folgenden Aktionen aus:

1) numerische Faktoren multiplizieren:

;

2) Multiplizieren Sie die Potenzen:

;

Schreiben wir die Antwort auf: ;

In diesem Fall ist der Koeffizient des Monoms „“ und der Buchstabenteil .

Lassen Sie uns nun überlegen zweite Standardoperation auf Monomen . Da ein Monom ein algebraischer Ausdruck ist, der aus Literalvariablen besteht, die bestimmte numerische Werte annehmen können, haben wir einen arithmetischen numerischen Ausdruck, der ausgewertet werden muss. Das heißt, die nächste Operation an Polynomen ist Berechnung ihres spezifischen numerischen Wertes .

Schauen wir uns ein Beispiel an. Monom gegeben:

Dieses Monom wurde bereits auf die Standardform reduziert, sein Koeffizient ist gleich eins und der Buchstabenteil

Im gegebenen Beispiel müssen Sie also den Wert des Monoms bei , , , berechnen.

Potenz eines Monoms

Für ein Monom gibt es den Begriff seines Grades. Lassen Sie uns herausfinden, was es ist.

Definition.

Potenz eines Monoms Die Standardform ist die Summe der Exponenten aller in ihrem Datensatz enthaltenen Variablen. Wenn die Notation eines Monoms keine Variablen enthält und es von Null verschieden ist, wird sein Grad als gleich Null betrachtet; Die Zahl Null gilt als Monom, dessen Grad nicht definiert ist.

Durch die Bestimmung des Grades eines Monoms können Sie Beispiele nennen. Der Grad des Monoms a ist gleich eins, da a eine 1 ist. Die Potenz des Monoms 5 ist Null, da es ungleich Null ist und seine Notation keine Variablen enthält. Und das Produkt 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 ist ein Monom achten Grades, da die Summe der Exponenten aller Variablen a, x und y gleich 2+1+3+2=8 ist.

Übrigens ist der Grad eines nicht in Standardform geschriebenen Monoms gleich dem Grad des entsprechenden Monoms in Standardform. Um dies zu veranschaulichen, berechnen wir den Grad des Monoms 3 x 2 Jahre 3 x (−2) x 5 Jahre. Dieses Monom in Standardform hat die Form −6·x 8 ·y 4, sein Grad ist 8+4=12. Somit beträgt der Grad des ursprünglichen Monoms 12.

Monomialkoeffizient

Ein Monom in Standardform, das in seiner Notation mindestens eine Variable hat, ist ein Produkt mit einem einzigen numerischen Faktor – einem numerischen Koeffizienten. Dieser Koeffizient wird Monomkoeffizient genannt. Formulieren wir die obigen Argumente in Form einer Definition.

Definition.

Monomialkoeffizient ist der numerische Faktor eines in Standardform geschriebenen Monoms.

Jetzt können wir Beispiele für Koeffizienten verschiedener Monome geben. Die Zahl 5 ist per Definition der Koeffizient des Monoms 5·a 3, ebenso hat das Monom (−2,3)·x·y·z einen Koeffizienten von −2,3.

Besondere Aufmerksamkeit verdienen die Koeffizienten der Monome gleich 1 und −1. Der Punkt hierbei ist, dass sie in der Aufzeichnung normalerweise nicht explizit vorhanden sind. Es wird angenommen, dass der Koeffizient von Monomen in Standardform, die keinen numerischen Faktor in ihrer Notation haben, gleich eins ist. Zum Beispiel Monome a, x·z 3, a·t·x usw. haben einen Koeffizienten von 1, da a als 1·a, x·z 3 - als 1·x·z 3 usw. betrachtet werden kann.

Ebenso gilt der Koeffizient von Monomen, deren Einträge in der Standardform keinen numerischen Faktor haben und mit einem Minuszeichen beginnen, als minus eins. Zum Beispiel Monome −x, −x 3 y z 3 usw. einen Koeffizienten −1 haben, da −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 usw.

Übrigens wird der Begriff des Koeffizienten eines Monoms oft als Monome der Standardform bezeichnet, bei denen es sich um Zahlen ohne Buchstabenfaktoren handelt. Die Koeffizienten solcher Monome-Zahlen werden als diese Zahlen betrachtet. So wird beispielsweise der Koeffizient des Monoms 7 als gleich 7 betrachtet.

Referenzliste.

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Mordkovich A. G. Algebra. 7. Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich. - 17. Aufl., hinzufügen. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 S.: Abb. ISBN 978-5-346-02432-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.