Geometrie im Raum. Die relative Position zweier Ebenen im Raum. Zeichen der Parallelität zweier Ebenen

Der Zusammenhang zwischen der Parallelität von Ebenen, seinen Eigenschaften und Anwendungen wird betrachtet.

Eine visuelle Darstellung des Standorts der beiden

Flugzeuge ermöglicht die Modellierung anhand der Ebenen der Oberflächen benachbarter Wände, der Decke und des Bodens des Raums, Etagenbetten und zweier befestigter Blätter Papier

Zauberer usw. (Abb. 242–244).

Obwohl es unendlich viele Möglichkeiten für die relative Lage verschiedener Ebenen gibt, um festzustellen und zu charakterisieren, welche Messungen von Winkeln und Abständen in Zukunft verwendet werden, konzentrieren wir uns zunächst auf diejenigen, bei denen die Klassifizierung (sowie Geraden mit Ebenen) erfolgt ) basiert auf der Anzahl ihrer gemeinsamen Punkte.

1. Zwei Ebenen haben mindestens drei gemeinsame Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen. Solche Ebenen fallen zusammen (Axiom C 2, §7).

2. Die gemeinsamen Punkte zweier Ebenen liegen auf einer Geraden, die die Schnittlinie dieser Ebenen ist (Axiom C 3, §7). Solche Ebenen schneiden sich.

3. Die beiden Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte.

IN in diesem Fall heißen sie parallel-

Zwei Ebenen heißen parallel, wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben.

Die Parallelität von Ebenen wird durch das Zeichen ||: α || angegeben β.

Wie immer bei der Vorstellung geometrische Konzepte entstand-

Es gibt kein Problem mit ihrer Existenz. Die Existenz von sich überschneidenden

Xia-Flugzeuge sind charakteristisches Merkmal Raum,

und das haben wir schon oft genutzt. Weniger offensichtlich ist

Die Existenz paralleler Ebenen wird offenbart. Es gibt kein

bezweifelt, dass zum Beispiel Ebenen entgegengesetzter Graphen

Die Würfel sind parallel, das heißt, sie schneiden sich nicht. Aber direkt

Tatsächlich kann dies per Definition nicht festgestellt werden. Zum Lösen

Verständnis der gestellten Frage sowie anderer damit zusammenhängender Probleme

Parallelität von Ebenen erfordert ein Zeichen der Parallelität.

Um nach einem Schild zu suchen, empfiehlt es sich, ein Flugzeug in Betracht zu ziehen,

aus geraden Linien „gewebt“. Es ist offensichtlich, dass jede Gerade eine davon ist

Parallele Ebenen müssen parallel zueinander sein.

Andernfalls haben die Ebenen einen gemeinsamen Punkt. Genug

Ist die Ebene β genau parallel zur gleichen Geraden α?

sodass die Ebenen α und β parallel sind? Absolut

aber nein (begründen Sie dies!). Praktische Erfahrung weist darauf hin, dass

zwei solcher Schnittlinien genügen. Absichern

Auf dem Mast befindet sich eine Plattform parallel zum Boden, einfach aufstellen

Wenn die Ebenen parallel zur zweiten Ebene sind, dann sind diese Ebenen parallel.

 Die Schnittlinien a und b der Ebene α seien parallel zur Ebene β. Beweisen wir, dass die Ebenen α und β durch Widerspruch parallel sind. Nehmen wir dazu an, dass sich die Ebenen α und β entlang einer Geraden schneiden

t (Abb. 246). Die Linien a und b können gemäß der Bedingung keine Linien schneiden. Allerdings werden dann in der Ebene α zwei Geraden durch einen Punkt gezogen, die die Gerade nicht schneiden, also parallel zu ihr verlaufen. Das ist ein Widerspruch

und vervollständigt den Beweis des Satzes.

Das Zeichen der Parallelität von Ebenen wird verwendet, wenn flache Strukturen (Betonplatten, Böden, Scheiben von Goniometergeräten usw.) horizontal platziert werden, wobei zwei Ebenen verwendet werden, die in der Ebene der Struktur auf sich schneidenden Geraden platziert werden. Basierend auf dieser Funktion ist es möglich, eine Ebene parallel zu dieser zu konstruieren.

Aufgabe 1. Zeichnen Sie durch einen Punkt, der außerhalb einer gegebenen Ebene liegt, eine Ebene parallel zu dieser.

 Gegeben sei die Ebene β und ein Punkt M außerhalb der Ebene (Abb. 247, a). Zeichnen wir durch den Punkt M zwei Schnittlinien a und b parallel zur Ebene β. Dazu müssen Sie zwei sich schneidende Geraden c und d in der β-Ebene nehmen (Abb. 247, b). Zeichnen Sie dann durch Punkt M die Linien a und b parallel zu den Linien c bzw. d.

aber (Abb. 247, c).

Schnittlinien a und b parallel zur Ebene β, basierend auf der Parallelität der Linie und der Ebene (Satz 1 §11). Sie definieren die Ebene α eindeutig. Nach dem bewährten Kriterium ist α || β.

Beispiel 1. Bei einem gegebenen Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sind die Punkte M, N, P die Mittelpunkte der Kanten BC, B 1 C 1 bzw. A 1 D 1. Installieren gegenseitige Übereinkunft Flugzeuge: 1)ABV 1 und PNM; 2) NMA und A 1 C 1 C ; 3)A 1 NM

und PC 1 C; 4) MAD 1 und DB 1 C.

 1) Die Ebenen ABB 1 und РNM (Abb. 248) sind parallel, basierend auf der Parallelität der Ebenen (Satz 1). Tatsächlich schneiden sich die Geraden PN und NM und sind parallel zur Ebene ABB 1, basierend auf der Parallelität der Geraden und der Ebene (Satz 1 §11), weil die Strecken PN und NM die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten der Quadrate verbinden , also sind sie parallel zu den Seiten der Quadrate:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) Die Ebenen NMA und A 1 C 1 C schneiden sich entlang der Geraden AA 1 (Abb. 249). Tatsächlich sind die Linien AA 1 und CC 1 parallel, basierend auf der Parallelität der Linien (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Daher liegt die Gerade AA 1 in der Ebene A 1 C 1 C. Ebenso begründet ist die Zugehörigkeit der Geraden AA 1 zur Ebene NMA.

3) Die Ebenen A 1 NM und РС 1 C (Abb. 250) sind aufgrund der Parallelität der Ebenen parallel. Tatsächlich ist NM ||С 1 C . Daher ist die Gerade NM parallel zur Ebene PC 1 C. Die Segmente PC 1 und A 1 N sind ebenfalls parallel, da das Viereck PC 1 NA 1 ein Parallelogramm ist (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Somit ist die Linie A 1 N parallel zur Ebene PC 1 C. Die Linien A 1 N und NM schneiden sich.

4) Die Ebenen MAD 1 und DB 1 C schneiden sich (Abb. 251). Obwohl die Schnittlinie nicht einfach zu konstruieren ist, ist es nicht schwierig, einen Punkt dieser Linie anzugeben. Tatsächlich sind die Geraden A 1 D und B 1 C parallel, da das Viereck A 1 B 1 CD ein Parallelogramm ist (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Daher gehört die Linie A 1 D zur Ebene DB 1 C. Die Linien A 1 D und AD 1 schneiden sich in einem Punkt, der den Ebenen MAD 1 und DB 1 C gemeinsam ist.

Wenn zwei sich schneidende Geraden einer Ebene jeweils parallel zu zwei Geraden einer anderen Ebene sind, dann sind diese Ebenen parallel.

Unter Verwendung des Kriteriums der Parallelität einer Geraden und einer Ebene (Satz 1 §11) lässt sich leicht feststellen, dass die Bedingung von Satz 1 aus den Bedingungen von Satz 1 folgt. Die Anwendung des Satzes ist umgekehrt zum Kriterium der Parallelität von a Gerade und eine Ebene (Satz 2 §11) vervollständigt die Begründung für die Äquivalenz der Bedingungen der Sätze 1 und 1 ′.

Es stellt sich natürlich die Frage nach der Einzigartigkeit der in Aufgabe 1 gegebenen Konstruktion. Da wir diese Eigenschaft mehr als einmal verwenden müssen, werden wir sie als separaten Satz hervorheben. Schauen wir uns jedoch zunächst eine andere Aussage an.

Satz 2 (über den Schnittpunkt zweier paralleler Ebenen mit einer dritten).

Wenn zwei parallele Ebenen von einer dritten Ebene geschnitten werden, sind die Schnittlinien der Ebenen parallel.

 Gegeben seien parallele Ebenen α, β und eine sie schneidende Ebene γ (Abb. 252). Bezeichnen wir die Schnittlinien

durch a und b. Diese Linien liegen in der γ-Ebene und schneiden sich nicht, da die α- und β-Ebenen keine gemeinsamen Punkte haben. Daher direkt

a und b sind parallel.

Satz 3 (über die Existenz und Einzigartigkeit einer Ebene parallel zu dieser).

Durch einen Punkt, der außerhalb einer gegebenen Ebene liegt, kann man eine einzelne Ebene parallel zu dieser zeichnen.

 Die Konstruktion eines solchen Flugzeugs wurde in Aufgabe 1 durchgeführt. Wir werden die Einzigartigkeit der Konstruktion durch Widerspruch beweisen. Nehmen wir an, dass zwei verschiedene Ebenen α und γ durch den Punkt M gezogen werden, pa-

parallele Ebenen β (Abb. 253) und gerade Linie t ist die Linie ihrer Schnittlinie. Zeichnen wir eine Ebene δ durch den Punkt M, die die Gerade schneidet

m und der β-Ebene (wie geht das?). Bezeichnen wir mit a und b

die Schnittlinie der Ebene δ mit den Ebenen α und γ und durch c - die Schnittlinie der Ebenen δ und β (Abb. 253). Nach Satz 2,a ||c

und b ||s. Das heißt, in der δ-Ebene durch

Zwei Geraden parallel zu Geraden gehen durch den Punkt M. Ein Widerspruch weist darauf hin, dass die Annahme falsch ist.

Die Parallelitätsbeziehung von Ebenen weist eine Reihe von Eigenschaften auf, die in der Planimetrie analog sind.

Satz 4 (auf Abschnitten paralleler Linien zwischen parallelen Ebenen).

Segmente paralleler Linien, die durch parallele Ebenen geschnitten werden, sind einander gleich.

 Gegeben seien zwei parallele Ebenen α und β sowie Segmente AB

und CD paralleler Geraden a und d, abgeschnitten durch diese Ebenen (Abb. 254, a). Zeichnen wir die Ebene γ durch die Geraden a und d (Abb. 254, b). Es schneidet die Ebenen α und β entlang der Geraden AC und BD, die nach Satz 2 parallel sind. Daher ist das Viereck ABCD ein Parallelogramm; seine gegenüberliegenden Seiten AC und BD sind gleich.

Aus der obigen Eigenschaft folgt, dass wir von allen Punkten der Ebene aus zeichnen

auf einer Seite des Flugzeugs parallele Linien gleicher Länge, dann bilden die Enden dieser Segmente zwei parallele Ebenen. Auf dieser Eigenschaft basiert die Konstruktion eines Parallelepipeds durch Ablagerung von Segmenten (Abb. 255).

Satz 5 (zur Transitivität der Parallelitätsbeziehung von Ebenen).

Wenn jede von zwei Ebenen parallel zu einer dritten ist, dann sind die beiden Ebenen parallel zueinander.

 Die Ebenen α und β seien parallel zur Ebene γ. Nehmen wir das an

α und β sind nicht parallel. Dann haben die Ebenen α und β einen gemeinsamen Punkt, und durch diesen Punkt verlaufen zwei verschiedene Ebenen parallel zur Ebene γ, was Satz 3 widerspricht. Daher haben die Ebenen α und β keine gemeinsamen Punkte, das heißt, sie sind parallel .

Satz 5 ist ein weiteres Zeichen für die Parallelität von Ebenen. Es wird häufig sowohl in der Geometrie als auch in der Geometrie verwendet praktische Tätigkeiten. In einem mehrstöckigen Gebäude beispielsweise garantiert die Parallelität der Boden- und Deckenebenen auf jeder Etage deren Parallelität auf verschiedenen Etagen.

Aufgabe 2. Beweisen Sie: Wenn eine Gerade die Ebene α schneidet, dann schneidet sie auch jede Ebene parallel zur Ebene α.

 Die Ebenen α und β seien parallel und die Gerade a schneidet die Ebene α im Punkt A. Beweisen wir, dass es auch die Ebene schneidet

β. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann ist die Gerade a parallel zur Ebene β. Zeichnen wir die Ebene γ durch eine Gerade und einen beliebigen Punkt der Ebene β (Abb. 256).

Diese Ebene schneidet parallele Ebenen α und β entlang der Geraden b is. Co-

nach Satz 2, b || c, das heißt, in der Ebene γ verlaufen zwei Geraden a und b durch den Punkt A, parallel zur Geraden c . Dieser Widerspruch beweist die Aussage.

Versuchen Sie selbst zu beweisen, dass, wenn die Ebene α die Ebene β schneidet, sie auch jede Ebene parallel zur Ebene β schneidet.

Beispiel 2. Im Tetraeder ABCD sind die Punkte K, F, E die Mittelpunkte der Kanten DA, DC, DB, aM und P – die Massenschwerpunkte der Flächen ABD bzw. ВСD.

1) Bestimmen Sie die relative Position der Ebenen KEF und ABC;

DEF und ABC.

2) Konstruieren Sie die Schnittlinie der AFB- und KEC-Ebenen.

3) Ermitteln Sie die Querschnittsfläche des Tetraeders durch eine Ebene parallel zur Ebene ABD, die durch den Punkt P verläuft, wenn alle Kanten des Tetraeders gleich sind.

 Erstellen wir eine Zeichnung, die die Bedingung erfüllt (Abb. 257, a). 1) Die Ebenen KEF und ABC sind parallel, basierend auf der Parallelität der Ebenen (Satz 1'): Die Schnittlinien KE und KF der KEF-Ebene sind parallel zu den Schnittlinien AB und AC der ABC-Ebene (den Mittellinien von). die entsprechende

bestehende Dreiecke).

Die Ebenen DEF und ABC schneiden sich entlang der Geraden BC, da die Gerade BC zu beiden Ebenen gehört und sie nicht zusammenfallen können – die Punkte A, B, C, D liegen nicht in derselben Ebene.

2) Die Ebene AFB schneidet die Ebene KEC entlang einer Geraden, die den Punkt P enthält, da die in diesen Ebenen liegenden Linien CE und BF in der Ebene BCD liegen und sich im Punkt P schneiden. Ein weiterer Punkt ist der Schnittpunkt Q der Geraden AF und CK in der Ebene ACD (Abb. 257, b). Offensichtlich ist dieser Punkt der Massenschwerpunkt der ACD-Fläche. Der erforderliche Schnittpunkt ist die Linie PQ.

3) Konstruieren Sie den in der Bedingung angegebenen Abschnitt unter Verwendung des Zeichens der Parallelität der Ebenen. Zeichnen wir Linien durch die Punkte P und Q parallel zu den Linien DB bzw. DA (Abb. 257, c). Diese Linien schneiden das Segment CD im Punkt L. Letzteres ergibt sich aus der Eigenschaft des Schwerpunkts eines Dreiecks – es teilt die Mediane des Dreiecks im Verhältnis 2:1, gerechnet vom Scheitelpunkt. Es bleibt noch der Satz von Thales anzuwenden. Somit sind die PLQ- und BDA-Ebenen parallel. Der erforderliche Abschnitt ist Dreieck LSN.

Konstruktionsbedingt sind die Dreiecke BCD und SCL ähnlich mit dem Ähnlichkeitskoeffizienten CE CP =3 2. Daher ist LS =3 2 BD . Ähnlich dem etablierten

die folgenden Gleichungen werden hinzugefügt: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Daraus folgt, dass die Dreiecke LSN und ABD ähnlich sind mit einem Ähnlichkeitskoeffizienten von 3 2. Entsprechend den Eigenschaften der Flächen ähnlicher Dreiecke,

S LNS =4 9 S ABD . Es bleibt noch die Fläche des Dreiecks ABD zu finden. Von-

da aufgrund der Bedingung alle Kanten des Tetraeders gleich a sind, dann ist S ABD =4 3 a 2.

Die erforderliche Fläche beträgt 3 1 3 a 2 .

Es ist anzumerken, dass die Antwort nur vom Bereich ABD des Gesichts abhängt. Daher ist die Gleichheit aller Kanten nur ein Mittel, um diese Fläche zu finden. Somit kann dieses Problem deutlich verallgemeinert werden.

Antwort. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 ein 2 .

 Testfragen

1. Stimmt es, dass zwei Ebenen parallel sind, wenn jede Linie, die in einer Ebene liegt, parallel zur anderen Ebene ist?

2. Die Ebenen α und β sind parallel. Liegen in diesen Ebenen Schräglinien?

3. Zwei Seiten eines Dreiecks sind parallel zu einer Ebene. Ist die dritte Seite des Dreiecks parallel zu dieser Ebene?

4. Zwei Seiten eines Parallelogramms sind parallel zu einer bestimmten Ebene. Stimmt es, dass die Ebene eines Parallelogramms parallel zur gegebenen Ebene ist?

5. Können Abschnitte zweier Geraden, die durch parallele Ebenen geschnitten werden, ungleich sein?

6. Kann der Querschnitt eines Würfels ein gleichschenkliges Trapez sein? Kann der Querschnitt eines Würfels ein regelmäßiges Fünfeck sein? Stimmt es, dass zwei Ebenen parallel zu derselben Linie parallel zueinander sind?

Die Schnittlinien der Ebenen α und β mit der Ebene γ verlaufen parallel zueinander. Sind die Ebenen α und β parallel?

Können drei Flächen eines Würfels parallel zur gleichen Ebene sein?

Grafische Übungen

1. Abb. 258 zeigt den Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, die Punkte M, N, K, L, P sind die Mittelpunkte der entsprechenden Kanten. Füllen Sie die Tabelle gemäß dem angegebenen Beispiel aus und wählen Sie die gewünschte Position der α- und β-Ebenen aus.

Gegenseitig

Standort

α || β α = β

α × β α || β α = β

2. In Abb. 259 zeigt ein Tetraeder ABCD, die Punkte K, F, M, N, Q sind die Mittelpunkte der entsprechenden Kanten. Bitte angeben:

1) eine Ebene, die durch Punkt K parallel zur Ebene ABC verläuft;

2) eine Ebene, die durch die Linie BD parallel zur Ebene MNQ verläuft.

3. Bestimmen Sie den Schnitt einer Figur durch eine Ebene, die durch die drei in der Figur gezeigten Punkte verläuft.

kah 260, a)–e) und 261, a)–d).

4. Erstellen Sie eine Zeichnung basierend auf den angegebenen Daten.

1) Von den Eckpunkten eines Parallelogramms ABCD, das in einer von zwei parallelen Ebenen liegt, werden parallele Linien gezogen, die die zweite Ebene jeweils an den Punkten A 1 , B 1 , C 1 , D 1 schneiden.

2) Dreieck A 1 B 1 C 1 ist die Projektion des Dreiecks ABC auf die dazu parallele Ebene α. Punkt M ist die Mitte der Sonne, M 1 ist die Projektion von Punkt M auf die Ebene α.

207. Im Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sind die Punkte O, O 1 die Mittelpunkte der Flächen ABCD bzw. A 1 B 1 C 1 D 1, M ist die Mitte der Kante AB.

1°) Bestimmen Sie die relative Lage der Ebenen MO 1 O

und ADD 1, ABD 1 und CO 1 C 1.

2°) Konstruieren Sie den Schnittpunkt der Ebene DCC 1 und der Geraden MO 1 sowie die Schnittlinie der Ebenen MCC 1 und A 1 D 1 C 1.

3) Ermitteln Sie die Querschnittsfläche eines Würfels durch eine Ebene parallel zur Ebene AD 1 C 1 und durch den Punkt O 1, wenn die Kante des Würfels gleich a ist.

208. Im Tetraeder ABCD sind die Punkte K, L, P die Massenschwerpunkte der Flächen ABD, BDC bzw. ABC und aM ist die Mitte der Kante AD.

1°) Bestimmen Sie die relative Position der ACD-Ebenen

und KLP; MLK und ABC.

2°) Konstruieren Sie den Schnittpunkt der Ebene ABC und der Geraden ML sowie die Schnittlinie der Ebenen MKL und ABC.

3) Ermitteln Sie die Querschnittsfläche des Tetraeders durch eine Ebene, die durch die Punkte K, L und M parallel zur Geraden AD verläuft, wenn alle Kanten des Tetraeders gleich sind.

209. Gegeben sei ein Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Die Punkte L, M, M 1 sind die Mittelpunkte der Kanten AB, AD bzw. A 1 D 1.

1°) Bestimmen Sie die relative Lage der Ebenen B 1 D 1 D

und LMM1.

2) Konstruieren Sie eine Ebene, die durch Punkt M parallel zur Ebene ACC 1 verläuft.

3) Konstruieren Sie einen Abschnitt des Würfels mit einer Ebene, die durch den Punkt M 1 parallel zur Ebene CDD 1 verläuft.

4) Bestimmen Sie die relative Position der Ebenen MA 1 B 1

und CDM1.

5) Konstruieren Sie eine Ebene, die durch die Linie C 1 D 1 parallel zur Ebene CDM 1 verläuft.

210. In einer regelmäßigen viereckigen PyramideSABCD sind alle Kanten einander gleich. Die Punkte L, M und N sind jeweils die Mittelpunkte der Kanten AS, BS und CS.

1°) Bestimmen Sie die relative Position von: den Geraden LM und BC; Gerade LN und Ebene ABD; Flugzeuge LMN und BDC.

2°) Beweisen Sie, dass die Dreiecke ABC und LMN ähnlich sind.

3) Konstruieren Sie einen Abschnitt der Pyramide unter Verwendung der Ebene AMN; Ebene LMN; planeLBC.

4*) Welcher der durch den Scheitelpunkt S verlaufenden Abschnitte der Pyramide hat die größte Fläche?

Parallelität von Linien und Ebenen

Im SABC-Tetraeder sind alle Flächen regelmäßige Dreiecke. Die Punkte L, M und N sind jeweils die Mittelpunkte der Kanten AS, BS und CS. 1°) Bestimmen Sie die relative Position der Geraden LM und BC. 2°) Bestimmen Sie die relative Position der Geraden LN und der Ebene ABC.

3) Beweisen Sie, dass die Dreiecke LMN und ABC ähnlich sind.

Konstruieren Sie einen Abschnitt des Würfels, der: 1°) ein gleichseitiges Dreieck ist; 2) ein Fünfeck.

217. Konstruieren Sie einen Abschnitt eines Tetraeders, der ein Parallelogramm ist.

218°. Beweisen Sie, dass gegenüberliegende Flächen eines Parallelepipeds parallel sind.

219. Beweisen Sie, dass die Menge aller Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verlaufen und parallel zu einer gegebenen Ebene verlaufen, eine Ebene parallel zu dieser bildet.

220. Gegeben seien vier Punkte A, B, C, D, die nicht in derselben Ebene liegen. Beweisen Sie, dass jede Ebene parallel zu den Geraden AB und CD die Geraden AC, AD, BD, BC an den Eckpunkten des Parallelogramms schneidet.

221. Beweisen Sie, dass eine Ebene und eine Gerade, die nicht zu dieser Ebene gehört, parallel zueinander sind, wenn beide parallel zu derselben Ebene sind.

222. Durch den Punkt O des Schnittpunkts der Diagonalen des Würfels ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 wird eine Ebene parallel zur Fläche ABCD gezeichnet. Diese Ebene schneidet die Kanten BB 1 und CC 1 an den Punkten M bzw. N. Beweisen Sie, dass der Winkel MON ein rechter Winkel ist.

223. Beweisen Sie, dass zwei Ebenen genau dann parallel zueinander sind, wenn jede Gerade, die eine der Ebenen schneidet, auch die zweite schneidet.

224*. Zeichnen Sie in einer dreieckigen Pyramide SABC durch die Segmente AD und CE, wobei D der Mittelpunkt SB und E der Mittelpunkt SA ist, Abschnitte der Pyramide parallel zueinander.

225. Finden Sie geometrische Orte:

1) die Mittelpunkte aller Segmente mit Enden auf zwei Daten parallele Ebenen; 2*) Mittelpunkte von Segmenten mit Enden auf zwei gegebenen Schnittlinien.

226*. Die Seite AB des Dreiecks ABC, die in der Ebene α liegt, ist parallel zur Ebene β. Das gleichseitige Dreieck 1 B 1 C 1 ist eine Parallelprojektion des Dreiecks ABC auf die Ebene β; BC = 6, AC = 9.

1) Bestimmen Sie die relative Position der Geraden AB und A 1 B 1,

BC und B1 C1, A1 C1 und AC.

2) Finden Sie die Fläche des Dreiecks A 1 B 1 C 1.

227*. Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden. Geben Sie die Menge aller Punkte im Raum an, durch die eine Linie gezogen werden kann, die jeweils zwei gegebene Linien schneidet.

Grundlegende Definition

Die beiden Flugzeuge werden aufgerufen

sind parallel,

wenn sie keine Gemeinsamkeiten haben.

Hauptaussagen

Parallelzeichen - Wenn zwei sich schneidende Geraden einer Ebene der Ebene jeweils parallel zu zwei Geraden der zweiten Ebene sind, dann sind diese Ebenen

die Knochen sind parallel.

Satz über die Schnittmenge Wenn zwei sich parallel schneidende zwei nicht parallele Ebenen von einer dritten Ebene geschnitten werden, dann sind die Linien des dritten Schnittpunkts der Ebene

sie sind parallel.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

M α

β: α || β,M β

Bereiten Sie sich auf das Thema vor

zur Beurteilung zum Thema „Parallelität von Linien und Ebenen“

Selbstkontrollaufgaben

1. Die vier Punkte gehören nicht zur selben Ebene. Können etwa drei davon auf derselben Geraden liegen?

2. Können drei verschiedene Ebenen genau zwei Punkte gemeinsam haben?

3. Können zwei Schräglinien gleichzeitig parallel zu einer dritten Linie sein?

4. Stimmt das gerade? a und b sind nicht parallel, wenn es keine Gerade c parallel zu a und b gibt?

5. Können gleiche Segmente unterschiedliche Projektionen haben?

6. Kann ein Strahl eine Parallelprojektion einer Linie sein?

7. Kann ein Quadrat ein Abbild eines Würfels sein?

8. Stimmt es, dass durch einen bestimmten Punkt im Raum nur eine Ebene parallel zu einer bestimmten Linie gezeichnet werden kann?

9. Ist es immer möglich, eine Gerade durch einen gegebenen Punkt parallel zu zwei gegebenen Ebenen zu zeichnen, die diesen Punkt nicht enthalten?

10. Ist es möglich, parallele Ebenen durch zwei sich schneidende Linien zu zeichnen?

Antworten auf Aufgaben zur Selbstkontrolle

Testprobe

Zwei Parallelogramme ABCD und ABC 1 D 1 liegen in unterschiedlichen Ebenen.

1°) Bestimmen Sie die relative Position der Geraden CD und C 1 D 1.

2°) Bestimmen Sie die relative Lage der Geraden C 1 D 1 und der Ebene

3°) Konstruieren Sie die Schnittlinie der Ebenen DD 1 C 1 und ВСС 1.

4°) Bestimmen Sie die relative Lage der Ebenen ADD 1 und BCC 1.

5) Zeichnen Sie durch Punkt M, indem Sie das Segment AB im Verhältnis 2:1 teilen, beginnend mit Punkt A, eine Ebene α parallel zur Ebene C 1 BC. 6) Konstruieren Sie den Schnittpunkt der Geraden AC mit der Ebene α und ermitteln Sie das Verhältnis, in dem dieser Punkt das Segment AC teilt.

Relative Lage von Geraden und Ebenen im Raum

Trigonometrisch

Mit trigonometrischen Funktionen haben Sie sich bereits im Geometrieunterricht beschäftigt. Bisher beschränkten sich ihre Anwendungen hauptsächlich auf das Lösen von Dreiecken, das heißt, wir sprachen davon, einige Elemente eines Dreiecks aus anderen zu ermitteln. Aus der Geschichte der Mathematik ist bekannt, dass die Entstehung der Trigonometrie mit der Messung von Längen und Winkeln verbunden ist. Nun jedoch die Kugel

ihr Die Anwendungen sind viel umfassender als in der Antike.

Das Wort „Trigonometrie“ kommt vom griechischen τριγωνον

(trigonon) – Dreieck und µετρεω (metreo) – Maß, Maß-

Ich belle. Wörtlich bedeutet es, Dreiecke zu messen.

IN Dieses Kapitel systematisiert das Ihnen bereits aus dem Geometriekurs bekannte Material und führt das Studium fort trigonometrische Funktionen und ihre Anwendungen zur Charakterisierung periodische Prozesse, insbesondere Rotationsbewegung, oszillierende Prozesse usw.

Die meisten Anwendungen der Trigonometrie beziehen sich speziell auf periodische Prozesse, also Prozesse, die sich in regelmäßigen Zeitabständen wiederholen. Sonnenauf- und -untergang, Wechsel der Jahreszeiten, Drehung des Rades – das sind die einfachsten Beispiele für solche Prozesse. Auch mechanische und elektromagnetische Schwingungen sind wichtige Beispiele für periodische Prozesse. Daher ist die Untersuchung periodischer Prozesse eine wichtige Aufgabe. Und die Rolle der Mathematik bei ihrer Lösung ist entscheidend.

Vorbereitung auf das Studium des Themas „Trigonometrische Funktionen“

Es empfiehlt sich, das Studium des Themas „Trigonometrische Funktionen“ mit der Betrachtung der Definitionen und Eigenschaften trigonometrischer Funktionen von Dreieckswinkeln und ihrer Anwendungen zur Lösung sowohl rechtwinkliger als auch beliebiger Dreiecke zu beginnen.

Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens rechtwinkliger Winkel

Dreieck

Tabelle 24

Der Sinus eines spitzen Winkels ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse:

sin α = a c .

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse:

cosα = b c .

Der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden zur benachbarten Seite:

tg α =a b .

Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite:

ctgα = a b .

Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens von Winkeln von 0° bis 180°

Tabelle 25

sin α = R y ; cosα = R x ;

tg α = x y ; cotgα = x j.

(X;bei) - Punktkoordinaten A befindet sich im oberen Halbkreis, α - der durch den Radius gebildete Winkel OA Kreis mit Achse X.

Werte von Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens

einige Ecken

Tabelle 26

Ecke T

Beliebige Dreiecke lösen

Tabelle 27

Satz der Sinus

Die Seiten eines Dreiecks sind proportional zu den Sinuswerten entgegengesetzter Winkel:

Sünde Aα = Sünde Bβ = Sünde Cγ .

Kosinussatz

Das Quadrat einer beliebigen Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ohne das Doppelte des Produkts dieser Seiten mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen:

C2 = A2 + B2 − 2 ab cos γ ,B2 = A2 + C2 − 2 ac cos β , A2 = B2 + C2 − 2 v. Chr cos α .

Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt seiner beiden Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen:

S=1 2 abSündeγ = 1 2 acSündeβ = 1 2 v. ChrSündeα .

Grundlegende trigonometrische Identitäten

5. Vergleichen Sie die Summe der Sinuswerte der spitzen Winkel eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks (wir bezeichnen es mitA) mit einer.

< 1. B.A= 1.

> 1. G. Es ist unmöglich zu vergleichen. Ordnen Sie die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge an: A= sin 30°, B= cos 30°,

= TG 30°.

< B<C.B.A<C<B

15. Geben Sie die Koordinaten des Punktes anA, auf einem Kreis mit Radius 1 liegend (siehe Abbildung).

(−1; 0).B.(1; 0).

(0; − 1). G.(0; 1).A.IN.

Parallelität von Ebenen. Wenn zwei Schnittlinien einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittlinien einer anderen Ebene sind, dann sind diese Ebenen parallel.
Nachweisen. Lassen A Und B- Flugzeugdaten, eine 1 Und eine 2– gerade Linien in der Ebene A, sich im Punkt A schneidend, b 1 Und b 2 entsprechend die zu ihnen parallelen Linien in der Ebene B. Nehmen wir an, dass die Flugzeuge A Und B nicht parallel, das heißt, sie schneiden sich entlang einer geraden Linie Mit. Gerade A 1 ist parallel zur Linie B 1, was bedeutet, dass es parallel zur Ebene selbst ist B(ein Zeichen der Parallelität zwischen einer Geraden und einer Ebene). Gerade A 2 ist parallel zur Linie b 2, das bedeutet, dass es parallel zur Ebene selbst ist B(ein Zeichen der Parallelität zwischen einer Geraden und einer Ebene). Gerade Mit gehört zum Flugzeug A, was mindestens eine der Geraden bedeutet eine 1 oder eine 2 schneidet eine Linie Mit, das heißt, es hat einen gemeinsamen Punkt damit. Aber gerade Mit gehört auch zum Flugzeug B, was bedeutet, die Grenze zu überschreiten Mit, gerade eine 1 oder eine 2 schneidet die Ebene B, was nicht sein kann, da sie gerade sind eine 1 Und eine 2 parallel zur Ebene B. Daraus folgt, dass die Flugzeuge A Und B schneiden sich nicht, das heißt, sie sind parallel.

Satz 1 . Wenn sich zwei parallele Ebenen in Dritteln schneiden, sind die Schnittgeraden parallel.
Nachweisen. Lassen A Und B- parallele Ebenen und G - das Flugzeug, das sie schneidet. Flugzeug A schnitt mit der Ebene G in einer geraden Linie A. Flugzeug B schnitt mit der Ebene G in einer geraden Linie B. Schnittlinien A Und B liegen in der gleichen Ebene G und können daher entweder sich schneidende oder parallele Linien sein. Da sie jedoch zu zwei parallelen Ebenen gehören, können sie keine gemeinsamen Punkte haben. Daher sind sie parallel.

Satz 2. Die zwischen zwei parallelen Ebenen eingeschlossenen Abschnitte paralleler Linien sind gleich.
Nachweisen. Lassen A Und B- parallele Ebenen und A Und B- parallele Linien, die sie schneiden. Durch gerade Linien A Und B wir werden dirigieren Flugzeug G (Diese Linien sind parallel, was bedeutet Definieren Sie eine Ebene, und zwar nur eine). Flugzeug A schnitt mit der Ebene G in einer Geraden AB . Flugzeug B schnitt mit der Ebene G entlang der Geraden SD. Nach dem vorherigen Satz die Gerade Mit parallel zur Linie D. Direkte A,B, AB Und SD gehören zum Flugzeug G Ein durch diese Linien begrenztes Viereck ist ein Parallelogramm (seine gegenüberliegenden Seiten sind parallel). Und da es sich um ein Parallelogramm handelt, sind seine gegenüberliegenden Seiten gleich, also AD = BC

Parallelität von Ebenen ist ein Konzept, das erstmals vor mehr als zweitausend Jahren in der euklidischen Geometrie auftauchte.

Die Geburt dieser wissenschaftlichen Disziplin ist mit dem berühmten Werk des antiken griechischen Denkers Euklid verbunden, der im dritten Jahrhundert v. Chr. die Broschüre „Elemente“ verfasste. Die in dreizehn Bücher unterteilten Principia stellten die höchste Errungenschaft der gesamten antiken Mathematik dar und legten grundlegende Postulate im Zusammenhang mit den Eigenschaften ebener Figuren fest.

Die klassische Bedingung für die Parallelität von Ebenen wurde wie folgt formuliert: Zwei Ebenen können als parallel bezeichnet werden, wenn sie keine gemeinsamen Punkte miteinander haben. Dies wurde im fünften Postulat der euklidischen Arbeit dargelegt.

Eigenschaften paralleler Ebenen

In der euklidischen Geometrie gibt es normalerweise fünf davon:

• Eigentum eins(beschreibt die Parallelität von Ebenen und ihre Einzigartigkeit). Durch einen Punkt, der außerhalb einer bestimmten gegebenen Ebene liegt, können wir genau eine Ebene parallel dazu zeichnen

• Eigentum drei(Mit anderen Worten, es wird die Eigenschaft einer Linie genannt, die die Parallelität von Ebenen schneidet). Wenn eine einzelne Gerade eine dieser parallelen Ebenen schneidet, dann schneidet sie auch die andere.

• Eigentum vier(die Eigenschaft gerader Linien, die in zueinander parallelen Ebenen geschnitten werden). Wenn zwei parallele Ebenen eine dritte Ebene schneiden (in einem beliebigen Winkel), sind auch ihre Schnittlinien parallel

• Eigentum fünf(eine Eigenschaft, die Segmente verschiedener paralleler Linien beschreibt, die zwischen zueinander parallelen Ebenen liegen). Die Abschnitte dieser parallelen Linien, die zwischen zwei parallelen Ebenen liegen, sind notwendigerweise gleich.

Parallelität von Ebenen in nichteuklidischen Geometrien

Solche Ansätze sind insbesondere die Geometrie von Lobatschewski und Riemann. Wenn Euklids Geometrie auf flachen Räumen verwirklicht wurde, dann war sie bei Lobatschewski in negativ gekrümmten Räumen (vereinfacht gesagt gekrümmt) und bei Riemann findet sie ihre Verwirklichung in positiv gekrümmten Räumen (mit anderen Worten: Kugeln). Es gibt eine sehr weit verbreitete stereotype Meinung, dass sich in Lobatschewskis parallelen Ebenen (und auch Linien) kreuzen.

Dies ist jedoch nicht wahr. Tatsächlich war die Geburt der hyperbolischen Geometrie mit dem Beweis des fünften Postulats von Euklid und einer Änderung der Ansichten dazu verbunden, aber die Definition paralleler Ebenen und Geraden impliziert, dass sie sich weder bei Lobatschewski noch bei Riemann schneiden können, egal in welchen Räumen sie werden verwirklicht. Und die Änderung der Ansichten und Formulierungen war wie folgt. Das Postulat, dass durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten Ebene liegt, nur eine parallele Ebene gezogen werden kann, wurde durch eine andere Formulierung ersetzt: Durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten Ebene liegt, müssen mindestens zwei Geraden liegen, die in derselben liegen Ebene mit der gegebenen Ebene und schneide sie nicht.

Zwei Ebenen im Raum können parallel sein oder sich schneiden, wie in der folgenden Tabelle gezeigt.

Anzeichen der Parallelität zweier Ebenen

Das erste Zeichen der Parallelität zweier Ebenen. Wenn zwei SchnittlinienSchnittlinien, jeweils in derselben Ebene liegend parallelparallel zwei Geraden, die in einer anderen Ebene liegen, dann sind diese Ebenen parallel.

Nachweisen . Betrachten Sie Abbildung 1, die die Ebenen α und β zeigt

Die Linien a und b liegen in der Ebene α und schneiden sich im Punkt K. Die Linien c und d liegen in der β-Ebene und sind parallel zu den Linien a bzw. b.

Wir werden das erste Zeichen der Parallelität zweier Ebenen mit der Methode „durch Widerspruch“ beweisen. Nehmen Sie dazu an, dass die Ebenen α und β nicht parallel sind. Folglich müssen sich die Ebenen α und β schneiden, und zwar entlang einer geraden Linie. Bezeichnen wir die Gerade, entlang der sich die Ebenen α und β schneiden, mit dem Buchstaben l (Abb. 2) und verwenden wir das Parallelitätszeichen zwischen der Geraden und der Ebene.

Die Ebene α verläuft durch eine Gerade a, die parallel zu einer Geraden c verläuft, und schneidet die Ebene β entlang einer Geraden l. Daraus schließen wir aufgrund von , dass die Geraden a und l parallel sind. Gleichzeitig verläuft die Ebene α durch die Linie b, parallel zur Linie d, und schneidet die Ebene β entlang der Linie l. Aufgrund der Parallelität der Linie und der Ebene schließen wir daraus, dass die Linien b und l parallel sind. Somit haben wir erhalten, dass auf der Ebene α zwei Geraden durch den Punkt K verlaufen, nämlich die Geraden a und b , die parallel zur Linie l sind. Der daraus resultierende Widerspruch mit Axiom der parallelen Geraden ermöglicht die Behauptung, dass die Annahme, dass sich die Ebenen α und β schneiden, falsch ist. Der Beweis des ersten Zeichens der Parallelität zweier Ebenen ist abgeschlossen.

Das zweite Zeichen der Parallelität zweier Ebenen. Wenn zwei Schnittlinien, die in einer Ebene liegen, parallel zu einer anderen Ebene sind, dann sind diese Ebenen parallel.

Nachweisen . Betrachten Sie Abbildung 3, die die Ebenen α und β zeigt.

Diese Abbildung zeigt auch die Linien a und b, die in der Ebene α liegen und sich im Punkt K schneiden. Gemäß der Bedingung ist jede der Linien a und b parallel zur Ebene β. Wir müssen beweisen, dass die Ebenen α und β parallel sind.

Der Beweis dieser Aussage ähnelt dem Beweis des ersten Kriteriums für die Parallelität zweier Ebenen und wir überlassen ihn als nützliche Übung dem Leser.

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