Grundformeln für Sinus und Cosinus. Universelle trigonometrische Substitution, Ableitung von Formeln, Beispiele

Die Konzepte Sinus (), Cosinus (), Tangens (), Kotangens () sind untrennbar mit dem Konzept des Winkels verbunden. Um diese auf den ersten Blick komplexen Konzepte (die bei vielen Schulkindern einen Zustand des Entsetzens auslösen) gut zu verstehen und um sicherzustellen, dass „der Teufel nicht so schrecklich ist, wie er dargestellt wird“, beginnen wir mit dem ganz am Anfang und verstehe das Konzept eines Winkels.

Winkelkonzept: Bogenmaß, Grad

Schauen wir uns das Bild an. Der Vektor hat sich relativ zum Punkt um einen bestimmten Betrag „gedreht“. Das Maß dieser Drehung relativ zur Ausgangsposition ist also Ecke.

Was müssen Sie sonst noch über das Konzept des Winkels wissen? Nun, natürlich, Winkeleinheiten!

Winkel können sowohl in der Geometrie als auch in der Trigonometrie in Grad und Bogenmaß gemessen werden.

Der Winkel (ein Grad) ist der Mittelpunktswinkel in einem Kreis, der von einem Kreisbogen begrenzt wird, der einem Teil des Kreises entspricht. Somit besteht der gesamte Kreis aus „Teilen“ von Kreisbögen, oder der vom Kreis beschriebene Winkel ist gleich.

Das heißt, die obige Abbildung zeigt einen Winkel gleich, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen mit der Größe des Umfangs.

Ein Winkel im Bogenmaß ist der Mittelpunktswinkel in einem Kreis, der von einem Kreisbogen begrenzt wird, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist. Na, hast du es herausgefunden? Wenn nicht, dann lassen Sie es uns anhand der Zeichnung herausfinden.

Die Abbildung zeigt also einen Winkel gleich einem Bogenmaß, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist (die Länge ist gleich der Länge oder dem Radius). gleich der Länge Bögen). Somit wird die Bogenlänge nach folgender Formel berechnet:

Wo ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß?

Nun, wenn Sie das wissen, können Sie dann antworten, wie viele Bogenmaße in dem Winkel enthalten sind, der durch den Kreis beschrieben wird? Ja, dafür müssen Sie sich die Formel für den Umfang merken. Da ist sie:

Nun wollen wir diese beiden Formeln korrelieren und feststellen, dass der durch den Kreis beschriebene Winkel gleich ist. Das heißt, indem wir den Wert in Grad und Bogenmaß korrelieren, erhalten wir das. Jeweils, . Wie Sie sehen, wird im Gegensatz zu „Grad“ das Wort „Radiant“ weggelassen, da die Maßeinheit normalerweise aus dem Kontext klar hervorgeht.

Wie viele Radianten gibt es? Alles ist richtig!

Habe es? Dann machen Sie weiter und beheben Sie das Problem:

Haben Sie Schwierigkeiten? Dann schau Antworten:

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Cosinus, Tangens, Winkelkotangens

Also haben wir das Konzept eines Winkels herausgefunden. Aber was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels? Lass es uns herausfinden. Dabei wird es uns helfen rechtwinkliges Dreieck.

Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die gegenüberliegende Seite rechter Winkel(in unserem Beispiel ist dies die Seite); Die Beine sind die beiden verbleibenden Seiten und (diejenigen, die an den rechten Winkel angrenzen), und wenn wir die Beine relativ zum Winkel betrachten, dann ist das Bein das benachbarte Bein und das Bein das Gegenteil. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Winkelsinus- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (entfernten) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck.

Kosinus des Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck.

Tangente des Winkels- Dies ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (entfernten) Seite zur benachbarten (nahen).

In unserem Dreieck.

Kotangens des Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

In unserem Dreieck.

Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein in was unterteilt werden soll, müssen Sie dies klar verstehen Tangente Und Kotangens nur die Beine sitzen und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus Und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieses hier:

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens→Berührung→Berührung→benachbart.

Zunächst müssen Sie bedenken, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (im gleichen Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann vergewissern Sie sich anhand des Bildes:

Betrachten Sie zum Beispiel den Kosinus eines Winkels. Per Definition aus einem Dreieck: , aber wir können den Kosinus eines Winkels aus einem Dreieck berechnen: . Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist derselbe. Somit hängen die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstanden haben, dann machen Sie weiter und festigen Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck finden wir.

Na, hast du es verstanden? Dann probieren Sie es selbst: Berechnen Sie das Gleiche auch für den Winkel.

Einheitskreis (trigonometrisch).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Bogenmaß verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich. Ein solcher Kreis heißt einzel. Es wird beim Studium der Trigonometrie sehr nützlich sein. Deshalb schauen wir uns das etwas genauer an.

Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem konstruiert. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Achsenkoordinate und der Achsenkoordinate. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und was haben sie generell mit dem jeweiligen Thema zu tun? Dazu müssen wir uns an das betrachtete rechtwinklige Dreieck erinnern. In der Abbildung oben sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist rechteckig, weil es senkrecht zur Achse steht.

Was ist das Dreieck gleich? Alles ist richtig. Darüber hinaus wissen wir, dass dies der Radius des Einheitskreises ist, was bedeutet. Setzen wir diesen Wert in unsere Formel für den Kosinus ein. Folgendes passiert:

Was ist das Dreieck gleich? Nun, natürlich, ! Setzen Sie den Radiuswert in diese Formel ein und erhalten Sie:

Können Sie also sagen, welche Koordinaten ein Punkt hat, der zu einem Kreis gehört? Nun ja, auf keinen Fall? Was wäre, wenn Sie das erkennen und nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht es? Na klar, die Koordinaten! Und welcher Koordinate entspricht es? Genau, Koordinaten! Also Punkt.

Was sind dann und gleich? Richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und erhalten das: a.

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Zum Beispiel wie auf diesem Bild:

Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Lass es uns herausfinden. Dazu wenden wir uns noch einmal einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck: Winkel (als angrenzend an einen Winkel). Welche Werte haben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate; und die Werte von Tangens und Kotangens an die entsprechenden Verhältnisse. Somit gelten diese Beziehungen für jede Drehung des Radiusvektors.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel mit einem bestimmten Wert, aber nur dieser ist negativ. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und bei Drehung im Uhrzeigersinn - Negativ.

Wir wissen also, dass eine ganze Umdrehung des Radiusvektors um einen Kreis oder ist. Ist es möglich, den Radiusvektor nach oder nach zu drehen? Nun, natürlich können Sie das! Im ersten Fall macht der Radiusvektor daher eine volle Umdrehung und stoppt an der Position oder.

Im zweiten Fall macht der Radiusvektor drei volle Umdrehungen und stoppt an der Position oder.

Aus den obigen Beispielen können wir daher schließen, dass Winkel, die sich um oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) unterscheiden, derselben Position des Radiusvektors entsprechen.

Die folgende Abbildung zeigt einen Winkel. Das gleiche Bild entspricht der Ecke usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese Winkel können durch die allgemeine Formel oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) geschrieben werden

Versuchen Sie nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu kennen und den Einheitskreis zu verwenden, die Werte zu beantworten:

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen helfen soll:

Haben Sie Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Wir wissen also:

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Der Winkel entspricht einem Punkt mit Koordinaten, also:

Existiert nicht;

Wenn wir der gleichen Logik folgen, finden wir außerdem heraus, dass die Ecken jeweils Punkten mit Koordinaten entsprechen. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zunächst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

Existiert nicht

Existiert nicht

Existiert nicht

Existiert nicht

Somit können wir die folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich alle diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und, angegeben in der folgenden Tabelle, muss in Erinnerung bleiben:

Haben Sie keine Angst, jetzt zeigen wir Ihnen ein Beispiel ganz einfach, sich die entsprechenden Werte zu merken:

Um diese Methode verwenden zu können, ist es wichtig, sich die Werte des Sinus für alle drei Winkelmaße () sowie den Wert des Tangens des Winkels zu merken. Wenn man diese Werte kennt, ist es ganz einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen – die Kosinuswerte werden entsprechend den Pfeilen übertragen, das heißt:

Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte wiederherstellen. Der Zähler „ “ stimmt überein und der Nenner „ “ stimmt überein. Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung angegebenen Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich das Diagramm mit den Pfeilen merken, reicht es aus, sich alle Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden? Kenntnis der Koordinaten des Kreismittelpunkts, seines Radius und Drehwinkels?

Nun, natürlich können Sie das! Lass es uns rausholen allgemeine Formel um die Koordinaten eines Punktes zu finden.

Hier ist zum Beispiel ein Kreis vor uns:

Wir wissen, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten eines Punktes zu ermitteln, indem man den Punkt um Grad dreht.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate des Punktes der Länge des Segments. Die Länge des Segments entspricht der Koordinate des Kreismittelpunkts, ist also gleich. Die Länge eines Segments kann mit der Definition des Kosinus ausgedrückt werden:

Dann haben wir das für die Punktkoordinate.

Mit derselben Logik ermitteln wir den y-Koordinatenwert für den Punkt. Auf diese Weise,

Also rein Gesamtansicht Koordinaten von Punkten werden durch die Formeln bestimmt:

Koordinaten des Kreismittelpunkts,

Kreisradius,

Der Drehwinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, werden diese Formeln für den betrachteten Einheitskreis erheblich reduziert, da die Koordinaten des Mittelpunkts gleich Null und der Radius gleich eins sind:

Probieren wir diese Formeln aus, indem wir üben, Punkte auf einem Kreis zu finden.

1. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

2. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

3. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

4. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.

5. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.

Haben Sie Schwierigkeiten, die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis zu finden?

Lösen Sie diese fünf Beispiele (oder werden Sie darin gut), und Sie werden lernen, sie zu finden!

1.

Das merkt man. Aber wir wissen, was einer vollständigen Umdrehung des Ausgangspunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:

2. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:

Das merkt man. Wir wissen, was zwei entspricht Vollgas Startpunkt. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:

Sinus und Cosinus sind Tabellenwerte. Wir erinnern uns an ihre Bedeutung und erhalten:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

3. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:

Das merkt man. Lassen Sie uns das betreffende Beispiel in der Abbildung darstellen:

Der Radius bildet Winkel, die gleich und mit der Achse sind. Da wir wissen, dass die Tabellenwerte von Cosinus und Sinus gleich sind, und nachdem wir festgestellt haben, dass der Cosinus hier einen negativen Wert und der Sinus einen positiven Wert annimmt, haben wir:

Solche Beispiele werden beim Studium der Formeln zur Reduzierung trigonometrischer Funktionen im Thema ausführlicher besprochen.

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

4.

Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung)

Um die entsprechenden Vorzeichen von Sinus und Cosinus zu bestimmen, konstruieren wir einen Einheitskreis und einen Einheitswinkel:

Wie Sie sehen, ist der Wert positiv und der Wert negativ. Wenn wir die Tabellenwerte der entsprechenden trigonometrischen Funktionen kennen, erhalten wir Folgendes:

Setzen wir die erhaltenen Werte in unsere Formel ein und ermitteln die Koordinaten:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

5. Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir Formeln in allgemeiner Form, wo

Koordinaten des Kreismittelpunkts (in unserem Beispiel

Kreisradius (nach Bedingung)

Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung).

Setzen wir alle Werte in die Formel ein und erhalten:

und - Tabellenwerte. Erinnern wir uns und setzen sie in die Formel ein:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (fernen) Seite zur benachbarten (nahen) Seite.

Der Kotangens eines Winkels ist das Verhältnis der benachbarten (nahen) Seite zur gegenüberliegenden (fernen) Seite.

Anweisungen

Nutzen Sie Ihre Kenntnisse der Planimetrie zum Ausdruck Sinus durch co Sinus. Laut Definition ist Sinus Ohm-Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Länge entgegengesetzt zu , und zu Sinus om – das benachbarte Bein zur Hypotenuse. Selbst die Kenntnis des Satzes des Pythagoras ermöglicht es Ihnen in manchen Fällen, schnell die gewünschte Transformation zu erhalten.

Äußern Sinus durch co Sinus, mit dem einfachsten trigonometrische Identität, wonach die Summe der Quadrate dieser Größen eins ergibt. Bitte beachten Sie, dass Sie die Aufgabe nur dann richtig lösen können, wenn Sie wissen, dass der erforderliche Winkel im Viertel liegt, andernfalls erhalten Sie zwei mögliche Ergebnisse– mit einem positiven und Vorzeichen.

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Es gibt ein Dreieck mit den Seiten a, b, c gleich 3, 4 bzw. 5 mm.

Finden Kosinus der Winkel zwischen den größeren Seiten.

Bezeichnen wir den Winkel gegenüber der Seite a mit ?, dann haben wir gemäß der oben abgeleiteten Formel:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Antwort: 0,8.

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, dann zu finden Kosinus und für einen Winkel reicht es aus, die Längen von zwei beliebigen Seiten zu kennen ( Kosinus rechter Winkel ist 0).

Es gebe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b, c, wobei c die Hypotenuse ist.

Betrachten wir alle Optionen:

Finden Sie cos?, wenn die Längen der Seiten a und b (des Dreiecks) bekannt sind

Nutzen wir zusätzlich den Satz des Pythagoras:

cos?=(b?+c?-à?)/(2*b*c)=(b?+b?+à?-à?)/(2*b*v(b?+à?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Um sicherzustellen, dass die resultierende Formel korrekt ist, ersetzen wir sie aus Beispiel 1, d. h.

Nachdem wir einige grundlegende Berechnungen durchgeführt haben, erhalten wir:

Ebenso gefunden Kosinus in einem Rechteck Dreieck in anderen Fällen:

Kennen Sie a und c (Hypotenuse und Gegenseite), finden Sie cos?

cos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Wenn wir die Werte a=3 und c=5 aus dem Beispiel einsetzen, erhalten wir:

Bekannte b und c (Hypotenuse und angrenzendes Bein).

Finden Sie cos?

Nachdem wir ähnliche Transformationen durchgeführt haben (in den Beispielen 2 und 3 gezeigt), erhalten wir das in diesem Fall Kosinus V Dreieck berechnet nach einer sehr einfachen Formel:

Die Einfachheit der abgeleiteten Formel lässt sich einfach erklären: Ist die Ecke tatsächlich angrenzend? Das Bein ist eine Projektion der Hypotenuse, seine Länge ist gleich der Länge der Hypotenuse multipliziert mit cos?.

Wenn wir die Werte b=4 und c=5 aus dem ersten Beispiel einsetzen, erhalten wir:

Das bedeutet, dass alle unsere Formeln korrekt sind.

Um eine entsprechende Formel zu erhalten Sinus und Co Sinus Winkel ist es notwendig, einige Definitionen anzugeben oder sich daran zu erinnern. Also, Sinus Winkel ist das Verhältnis (Teilungsquotient) der gegenüberliegenden Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zur Hypotenuse. Co. Sinus Der Winkel ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Anweisungen

Hilfreicher Rat

Der Betrag von Sinus und Cosinus eines Winkels kann nicht größer als 1 sein.

Sinus Und Kosinus- Dies sind direkte trigonometrische Funktionen, für die es mehrere Definitionen gibt – durch einen Kreis in einem kartesischen Koordinatensystem, durch Lösungen einer Differentialgleichung, durch spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Jede dieser Definitionen ermöglicht es uns, die Beziehung zwischen diesen beiden Funktionen abzuleiten. Unten ist vielleicht die einfachste Art, es auszudrücken Kosinus durch den Sinus - durch ihre Definitionen für die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Anweisungen

Drücken Sie den Sinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Länge der Seiten dieser Figur aus. Laut Definition muss der Sinus eines Winkels (α) das Verhältnis der Länge der ihm gegenüber liegenden Seite (a) – des Schenkels – zur Länge der Seite (c) gegenüber dem rechten Winkel – der Hypotenuse – sein: sin(α) = a/c.

Finden Sie eine ähnliche Formel für Kosinus aber der gleiche Winkel. Per Definition muss dieser Wert als Verhältnis der Länge der an diesen Winkel angrenzenden Seite (b) (des zweiten Schenkels) zur Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite (c) ausgedrückt werden: cos(a) = a /C.

Schreiben Sie die aus dem Satz des Pythagoras folgende Gleichheit so um, dass sie die in den beiden vorherigen Schritten abgeleiteten Beziehungen zwischen den Beinen und der Hypotenuse einschließt. Teilen Sie dazu zunächst beide ursprünglichen Sätze (a² + b² = c²) durch das Quadrat der Hypotenuse (a²/c² + b²/c² = 1) und schreiben Sie dann die resultierende Gleichheit in dieser Form um: (a/c )² + (b/c )² = 1.

Ersetzen Sie im resultierenden Ausdruck das Verhältnis der Längen der Beine und der Hypotenuse durch trigonometrische Funktionen, basierend auf den Formeln des ersten und zweiten Schritts: sin²(a) + cos²(a) = 1. Drücken Sie aus Kosinus aus der resultierenden Gleichheit: cos(a) = √(1 - sin²(a)). Damit kann das Problem in allgemeiner Form gelöst werden.

Wenn Sie zusätzlich zum allgemeinen Ergebnis ein numerisches Ergebnis benötigen, verwenden Sie beispielsweise einen im Operationssaal eingebauten Taschenrechner Windows-System. Ein Link zum Starten im Unterabschnitt „Standard“ des Abschnitts „Alle Programme“ des Betriebssystemmenüs. Dieser Link ist kurz und bündig formuliert: „Rechner“. Um mit diesem Programm trigonometrische Funktionen berechnen zu können, aktivieren Sie dessen „Engineering“-Schnittstelle – drücken Sie die Tastenkombination Alt + 2.

Geben Sie den Wert des Sinus des Winkels in den Bedingungen ein und klicken Sie auf die mit x² gekennzeichnete Schnittstellenschaltfläche. Dadurch wird der ursprüngliche Wert quadriert. Geben Sie dann *-1 auf der Tastatur ein, drücken Sie die Eingabetaste, geben Sie +1 ein und drücken Sie erneut die Eingabetaste – auf diese Weise subtrahieren Sie das Quadrat des Sinus von eins. Klicken Sie auf die Radikaltaste, um das Quadrat zu extrahieren und das Endergebnis zu erhalten.

Eine der grundlegenden Grundlagen der exakten Wissenschaften ist das Konzept der trigonometrischen Funktionen. Sie definieren einfache Beziehungen zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Zu dieser Funktionsfamilie gehört auch der Sinus. Sie können es finden, wenn Sie den Winkel kennen, und zwar auf viele Arten, einschließlich experimenteller, rechnerischer Methoden und auch durch Verwendung Referenzinformationen.

Du wirst brauchen

• - Taschenrechner;
• - Computer;
• - Tabellenkalkulationen;
• - Bradis-Tische;
• - Papier;
• - Bleistift.

Anweisungen

Verwenden Sie die Sinusfunktion, um die gewünschten Werte basierend auf der Kenntnis des Winkels zu erhalten. Selbst die einfachsten verfügen heute über eine ähnliche Funktionalität. In diesem Fall werden Berechnungen mit sehr durchgeführt hochgradig Genauigkeit (normalerweise bis zu acht oder mehr Dezimalstellen).

Anwenden Software, eine Tabellenkalkulationsumgebung, auf der ausgeführt wird persönlicher Computer. Beispiele für solche Anwendungen sind Microsoft Office Excel und OpenOffice.org Calc. Geben Sie in eine beliebige Zelle eine Formel ein, die darin besteht, die Sinusfunktion mit dem gewünschten Argument aufzurufen. Drücken Sie Enter. Der erforderliche Wert wird in der Zelle angezeigt. Der Vorteil von Tabellenkalkulationen besteht darin, dass sie Funktionswerte für eine große Menge von Argumenten schnell berechnen können.

Ermitteln Sie den ungefähren Wert des Sinus des Winkels aus den Bradis-Tabellen, sofern diese verfügbar sind. Ihr Nachteil ist die Genauigkeit der Werte, die auf vier Nachkommastellen beschränkt ist.

Ermitteln Sie durch Ausführen den ungefähren Wert des Sinus des Winkels geometrische Konstruktionen. Zeichnen Sie ein Liniensegment auf ein Blatt Papier. Markieren Sie mit einem Winkelmesser den Winkel, dessen Sinus Sie ermitteln möchten. Zeichnen Sie an einem bestimmten Punkt ein weiteres Liniensegment, das das erste schneidet. Zeichnen Sie senkrecht zum ersten Segment eine gerade Linie, die zwei vorhandene Segmente schneidet. Sie erhalten ein rechtwinkliges Dreieck. Messen Sie die Länge seiner Hypotenuse und des Schenkels gegenüber dem mit einem Winkelmesser gebildeten Winkel. Teilen Sie den zweiten Wert durch den ersten. Dies wird der gewünschte Wert sein.

Berechnen Sie den Sinus des Winkels mithilfe der Taylor-Reihenentwicklung. Wenn der Winkel in Grad angegeben ist, konvertieren Sie ihn in Bogenmaß. Verwenden Sie eine Formel wie: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! - ... Um die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen, schreiben Sie auf Vorhandener Wert Zähler und Nenner des letzten Gliedes der Reihe, berechnend nächster Wert basierend auf dem vorherigen. Erhöhen Sie die Reihenlänge, um eine genauere Messung zu erhalten.

So wurden die Konzepte Sinus und Cosinus eingeführt. Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse, und der Kosinus ist das Verhältnis der Seite neben der Hypotenuse.

Sätze von Kosinus und Sinus

Kosinus und Sinus können jedoch nicht nur für rechtwinklige Dreiecke verwendet werden. Um den Wert eines stumpfen oder spitzen Winkels oder einer Seite eines Dreiecks zu ermitteln, reicht es aus, den Satz von Kosinus und Sinus anzuwenden.

Der Kosinussatz ist ganz einfach: „Das Quadrat einer Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten minus dem doppelten Produkt dieser Seiten und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.“

Es gibt zwei Interpretationen des Sinussatzes: klein und erweitert. Laut dem Minderjährigen: „In einem Dreieck sind die Winkel proportional zu den gegenüberliegenden Seiten.“ Dieser Satz wird aufgrund der Eigenschaft des umschriebenen Kreises eines Dreiecks oft erweitert: „In einem Dreieck sind die Winkel proportional zu den gegenüberliegenden Seiten und ihr Verhältnis ist gleich dem Durchmesser des umschriebenen Kreises.“

Derivate

Die Ableitung ist ein mathematisches Hilfsmittel, das zeigt, wie schnell sich eine Funktion relativ zu einer Änderung ihres Arguments ändert. Ableitungen werden in der Geometrie und in einer Reihe technischer Disziplinen verwendet.

Beim Lösen von Problemen müssen Sie die Tabellenwerte der Ableitungen trigonometrischer Funktionen kennen: Sinus und Cosinus. Die Ableitung eines Sinus ist ein Kosinus, und ein Kosinus ist ein Sinus, aber mit einem Minuszeichen.

Anwendung in der Mathematik

Sinus und Kosinus werden besonders häufig zur Lösung rechtwinkliger Dreiecke und damit verbundener Probleme verwendet.

Die Bequemlichkeit von Sinus und Cosinus spiegelt sich auch in der Technologie wider. Winkel und Seiten ließen sich mithilfe des Kosinus- und Sinussatzes leicht ermitteln, indem komplexe Formen und Objekte in „einfache“ Dreiecke zerlegt wurden. Ingenieure, die sich häufig mit der Berechnung von Seitenverhältnissen und Gradmaßen befassen, haben viel Zeit und Mühe in die Berechnung der Kosinus- und Sinuswerte nichttafelförmiger Winkel investiert.

Dann kamen Bradis-Tabellen zur Rettung, die Tausende von Werten für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens enthielten verschiedene Winkel. In der Sowjetzeit zwangen einige Lehrer ihre Schüler, Seiten von Bradis-Tabellen auswendig zu lernen.

Radian ist der Winkelwert eines Bogens, dessen Länge dem Radius oder 57,295779513° Grad entspricht.

Ein Grad (in der Geometrie) ist 1/360 eines Kreises oder 1/90 eines rechten Winkels.

π = 3,141592653589793238462… (ungefährer Wert von Pi).

Kosinustabelle für Winkel: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Kosinus der Summe und Differenz zweier Winkel

In diesem Abschnitt werden die folgenden zwei Formeln bewiesen:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Der Kosinus der Summe (Differenz) zweier Winkel ist gleich dem Produkt der Kosinuswerte dieser Winkel minus (plus) dem Produkt der Sinuswerte dieser Winkel.

Für uns ist es bequemer, mit dem Beweis der Formel (2) zu beginnen. Zur Vereinfachung der Darstellung gehen wir zunächst von den Winkeln aus α Und β die folgenden Bedingungen erfüllen:

1) Jeder dieser Winkel ist nicht negativ und kleiner 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Der positive Teil der 0x-Achse sei die gemeinsame Startseite der Winkel α Und β .

Wir bezeichnen die Endseiten dieser Winkel mit 0A bzw. 0B. Offensichtlich der Winkel α - β kann als der Winkel betrachtet werden, um den der Strahl 0B um den Punkt 0 gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden muss, damit seine Richtung mit der Richtung des Strahls 0A übereinstimmt.

Auf den Strahlen 0A und 0B markieren wir die Punkte M und N, die sich in einem Abstand von 1 vom Ursprung der Koordinaten 0 befinden, sodass 0M = 0N = 1.

Im x0y-Koordinatensystem hat Punkt M die Koordinaten ( cos α, sin α), und Punkt N ist die Koordinaten ( cos β, sin β). Daher ist das Quadrat des Abstands zwischen ihnen:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

In unseren Berechnungen haben wir die Identität verwendet

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Betrachten Sie nun ein anderes Koordinatensystem B0C, das durch Drehen der 0x- und 0y-Achsen um den Punkt 0 um einen Winkel gegen den Uhrzeigersinn erhalten wird β .

In diesem Koordinatensystem hat Punkt M Koordinaten (cos ( α - β ), Sünde ( α - β )), und der Punkt N hat die Koordinaten (1,0). Daher ist das Quadrat des Abstands zwischen ihnen:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α – β) – 2 cos (α – β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) = 2 .

Der Abstand zwischen den Punkten M und N hängt jedoch nicht davon ab, auf welches Koordinatensystem wir diese Punkte beziehen. Deshalb

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Hier folgt Formel (2).

Nun sollten wir uns an die beiden Einschränkungen erinnern, die wir zur Vereinfachung der Darstellung der Winkel auferlegt haben α Und β .

Die Anforderung, dass jede der Ecken α Und β war nicht negativ, nicht wirklich signifikant. Schließlich können Sie zu jedem dieser Winkel einen Winkel hinzufügen, der ein Vielfaches von 2 ist, was keinen Einfluss auf die Gültigkeit der Formel (2) hat. Auf die gleiche Weise können Sie von jedem dieser Winkel einen Winkel subtrahieren, der ein Vielfaches von ist 2π. Daher können wir davon ausgehen 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Auch der Zustand erweist sich als unbedeutend α > β . In der Tat, wenn α < β , Das β >α ; Daher ist die Parität der Funktion gegeben cos X , wir bekommen:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

was im Wesentlichen mit Formel (2) übereinstimmt. Also die Formel

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

gilt für alle Winkel α Und β . Insbesondere das Ersetzen darin β An - β und gegeben, dass die Funktion cosX gerade ist, und die Funktion SündeX seltsam, wir bekommen:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

was Formel (1) beweist.

Damit sind die Formeln (1) und (2) bewiesen.

Beispiele.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Übungen

1 . Berechnen Sie, ohne trigonometrische Tabellen zu verwenden:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Ausdrücke vereinfachen:

A). weil( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

B). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) Sünde ( α - 24°).

V). sin(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α + tg α Sünde 2 α .

3 . Berechnung :

A) cos(α - β), Wenn

cos α = - 2 / 5 , Sünde β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) weil ( α + π / 6), wenn cos α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . Finden cos(α + β) und cos (α - β) ,wenn es bekannt ist, dass Sünde α = 7 / 25, cos β = - 5 / 13 und beide Winkel ( α Und β ) enden im selben Quartal.

5 .Berechnung:

A). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

B). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]

In diesem Artikel werfen wir einen umfassenden Blick darauf. Grundlegende trigonometrische Identitäten sind Gleichheiten, die eine Verbindung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen und es einem ermöglichen, jede dieser trigonometrischen Funktionen über eine bekannte andere zu finden.

Lassen Sie uns gleich die wichtigsten trigonometrischen Identitäten auflisten, die wir in diesem Artikel analysieren werden. Schreiben wir sie in eine Tabelle, und unten geben wir die Ergebnisse dieser Formeln an und geben die notwendigen Erklärungen.

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Beziehung zwischen Sinus und Cosinus eines Winkels

Manchmal geht es nicht um die in der obigen Tabelle aufgeführten wichtigsten trigonometrischen Identitäten, sondern um eine einzige grundlegende trigonometrische Identität Art . Die Erklärung für diese Tatsache ist ganz einfach: Die Gleichheiten werden aus der trigonometrischen Hauptidentität erhalten, nachdem beide Teile durch und bzw. und die Gleichheiten dividiert wurden Und ergeben sich aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Wir werden in den folgenden Abschnitten ausführlicher darauf eingehen.

Das heißt, von besonderem Interesse ist die Gleichheit, die den Namen der wichtigsten trigonometrischen Identität erhielt.

Bevor wir die trigonometrische Hauptidentität beweisen, geben wir ihre Formulierung an: Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels ist identisch gleich eins. Jetzt lasst es uns beweisen.

Die grundlegende trigonometrische Identität wird sehr oft verwendet, wenn Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke. Es ermöglicht, die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels durch eins zu ersetzen. Nicht seltener wird die grundlegende trigonometrische Identität in umgekehrter Reihenfolge verwendet: Die Einheit wird durch die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines beliebigen Winkels ersetzt.

Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus

Identitäten, die Tangens und Kotangens mit Sinus und Cosinus eines Blickwinkels verbinden und ergeben sich unmittelbar aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Tatsächlich ist der Sinus per Definition die Ordinate von y, der Kosinus die Abszisse von x und der Tangens das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse, d. h. , und der Kotangens ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate, d. h. .

Dank dieser Offensichtlichkeit der Identitäten und Tangens und Kotangens werden oft nicht durch das Verhältnis von Abszisse und Ordinate, sondern durch das Verhältnis von Sinus und Cosinus definiert. Der Tangens eines Winkels ist also das Verhältnis des Sinus zum Cosinus dieses Winkels, und der Kotangens ist das Verhältnis des Cosinus zum Sinus.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass die Identitäten und finden für alle Winkel statt, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen sinnvoll sind. Die Formel gilt also für alle außer (ansonsten hat der Nenner eine Null, und wir haben die Division durch Null nicht definiert) und die Formel - für alle, anders als wenn z irgendein Wert ist.

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

Eine noch offensichtlichere trigonometrische Identität als die beiden vorherigen ist die Identität, die Tangens und Kotangens eines Winkels der Form verbindet . Es ist klar, dass dies für alle anderen Winkel als gilt, da sonst entweder der Tangens oder der Kotangens nicht definiert sind.

Beweis der Formel sehr einfach. Per Definition und von wo . Der Beweis hätte etwas anders erfolgen können. Seit , Das .

Tangens und Kotangens des gleichen Winkels, bei dem sie sinnvoll sind, sind also .