So multiplizieren Sie Wurzeln mit denselben Exponenten. Wurzeln multiplizieren: Methoden und Anwendungen

Es ist bekannt, dass das Vorzeichen der Wurzel die Quadratwurzel einer bestimmten Zahl ist. Das Wurzelzeichen bedeutet jedoch nicht nur eine algebraische Aktion, sondern wird auch in der holzverarbeitenden Industrie verwendet – bei der Berechnung relativer Größen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wenn Sie lernen möchten, wie man Wurzeln mit oder ohne Faktoren multipliziert, dann ist dieser Artikel genau das Richtige für Sie. Darin werden wir uns Methoden zur Wurzelmultiplikation ansehen:

• keine Multiplikatoren;
• mit Multiplikatoren;
• mit unterschiedlichen Indikatoren.

Methode zur Wurzelmultiplikation ohne Faktoren

Aktionsalgorithmus:

Stellen Sie sicher, dass die Wurzel die gleichen Indikatoren (Grade) hat. Denken Sie daran, dass der Grad links über dem Wurzelzeichen steht. Wenn keine Gradangabe vorhanden ist, bedeutet dies, dass die Wurzel quadratisch ist, d. h. mit einer Potenz von 2 und kann mit anderen Wurzeln mit einer Potenz von 2 multipliziert werden.

Beispiel

Beispiel 1: 18 × 2 = ?

Beispiel 2: 10 × 5 = ?

Beispiel

Beispiel 1: 18 × 2 = 36

Beispiel 2: 10 × 5 = 50

Beispiel 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Vereinfachen Sie radikale Ausdrücke. Wenn wir Wurzeln miteinander multiplizieren, können wir den resultierenden Wurzelausdruck auf das Produkt der Zahl (oder des Ausdrucks) durch vereinfachen Perfektes Viereck oder Würfel:

Beispiel

Beispiel 1: 36 = 6. 36 - Quadratwurzel von sechs (6 × 6 = 36).

Beispiel 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2. Wir zerlegen die Zahl 50 in das Produkt aus 25 und 2. Die Wurzel von 25 ist 5, also entfernen wir 5 unter dem Wurzelzeichen und vereinfachen den Ausdruck.

Beispiel 3: 27 3 = 3. Die Kubikwurzel von 27 ist 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Methode zur Multiplikation von Indikatoren mit Faktoren

Aktionsalgorithmus:

Faktoren multiplizieren. Der Multiplikator ist die Zahl, die vor dem Wurzelzeichen steht. Wenn kein Multiplikator vorhanden ist, wird er standardmäßig als Eins betrachtet. Als nächstes müssen Sie die Faktoren multiplizieren:

Beispiel

Beispiel 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3

Beispiel 2: 4 3 × 3 6 = 12? 4 × 3 = 12

Multiplizieren Sie Zahlen unter dem Wurzelzeichen. Nachdem Sie die Faktoren multipliziert haben, können Sie auch die Zahlen unter dem Wurzelzeichen multiplizieren:

Beispiel

Beispiel 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Beispiel 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Vereinfachen Sie den radikalen Ausdruck. Als nächstes sollten Sie die Werte, die unter dem Wurzelzeichen stehen, vereinfachen – Sie müssen die entsprechenden Zahlen über das Wurzelzeichen hinaus verschieben. Danach müssen Sie die Zahlen und Faktoren multiplizieren, die vor dem Wurzelzeichen stehen:

Beispiel

Beispiel 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Beispiel 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Methode zur Multiplikation von Wurzeln mit verschiedenen Exponenten

Aktionsalgorithmus:

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Indikatoren. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die durch beide Exponenten teilbar ist.

Beispiel

Es ist notwendig, die LCM von Indikatoren für den folgenden Ausdruck zu finden:

Die Indikatoren sind 3 und 2. Für diese beiden Zahlen ist das kleinste gemeinsame Vielfache die Zahl 6 (sie ist ohne Rest durch 3 und 2 teilbar). Um Wurzeln zu multiplizieren, ist ein Exponent von 6 erforderlich.

Schreiben Sie jeden Ausdruck mit einem neuen Exponenten:

Finden Sie die Zahlen, mit denen Sie die Indikatoren multiplizieren müssen, um den LOC zu erhalten.

Im Ausdruck 5 3 müssen Sie 3 mit 2 multiplizieren, um 6 zu erhalten. Und im Ausdruck 2 2 - im Gegenteil, man muss mit 3 multiplizieren, um 6 zu erhalten.

Potenzieren Sie die Zahl unter dem Wurzelzeichen gleich der Zahl, die im vorherigen Schritt gefunden wurde. Für den ersten Ausdruck muss 5 mit 2 potenziert werden, und für den zweiten muss 2 mit 3 potenziert werden:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Potenzieren Sie den Ausdruck und schreiben Sie das Ergebnis unter das Wurzelzeichen:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Zahlen unter der Wurzel multiplizieren:

(8 × 25) 6

Notieren Sie das Ergebnis:

(8 × 25) 6 = 200 6

Es ist notwendig, den Ausdruck nach Möglichkeit zu vereinfachen, aber in diesem Fall wird er nicht vereinfacht.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Abschlussformeln im Prozess der Reduktion und Vereinfachung eingesetzt komplexe Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:

Operationen mit Abschlüssen.

1. Potenzen von c multiplizieren die gleiche Grundlage Ihre Indikatoren summieren sich:

Bin·a n = a m + n .

2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:

3. Potenz des Produkts von 2 oder mehr Multiplikatoren entspricht dem Produkt der Potenzen dieser Faktoren:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Abschluss Brüche entspricht dem Verhältnis der Potenzen von Dividende und Divisor:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationen mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich arbeiten Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:

3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:

4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:

Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.

Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, wann m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.

Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Bauen reelle Zahl A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.

Grüße, Katzen! Letztes Mal haben wir ausführlich besprochen, was Wurzeln sind (wenn Sie sich nicht erinnern, empfehle ich Ihnen, es zu lesen). Die wichtigste Erkenntnis aus dieser Lektion: Es gibt nur eine universelle Definition von Wurzeln, die Sie kennen müssen. Der Rest ist Unsinn und Zeitverschwendung.

Heute gehen wir weiter. Wir werden lernen, Wurzeln zu multiplizieren, wir werden einige Probleme im Zusammenhang mit der Multiplikation untersuchen (wenn diese Probleme nicht gelöst werden, können sie in der Prüfung tödlich sein) und wir werden richtig üben. Also Popcorn auffüllen, es sich bequem machen und los geht’s :)

Du hast es auch noch nicht geraucht, oder?

Die Lektion erwies sich als ziemlich lang, deshalb habe ich sie in zwei Teile unterteilt:

1. Zuerst schauen wir uns die Regeln der Multiplikation an. Cap scheint anzudeuten: Dann gibt es zwei Wurzeln, zwischen ihnen steht ein „Multiplikations“-Zeichen – und wir wollen etwas damit machen.
2. Schauen wir uns dann die umgekehrte Situation an: Es gibt eine große Wurzel, aber wir wollten sie unbedingt als Produkt zweier einfacherer Wurzeln darstellen. Warum das notwendig ist, ist eine andere Frage. Wir werden nur den Algorithmus analysieren.

Wer es kaum erwarten kann, sofort mit dem zweiten Teil fortzufahren, ist herzlich willkommen. Beginnen wir der Reihe nach mit dem Rest.

Grundregel der Multiplikation

Beginnen wir mit dem Einfachsten – dem Klassiker Quadratwurzeln. Dieselben, die mit $\sqrt(a)$ und $\sqrt(b)$ bezeichnet werden. Für sie ist alles klar:

Multiplikationsregel. Um eine Quadratwurzel mit einer anderen zu multiplizieren, multiplizieren Sie einfach ihre Wurzelausdrücke und schreiben das Ergebnis unter die gemeinsame Wurzel:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Für die Zahlen rechts und links gibt es keine weiteren Einschränkungen: Wenn die Wurzelfaktoren existieren, dann existiert auch das Produkt.

Beispiele. Schauen wir uns gleich vier Beispiele mit Zahlen an:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen, besteht die Hauptbedeutung dieser Regel darin, irrationale Ausdrücke zu vereinfachen. Und wenn wir im ersten Beispiel selbst ohne neue Regeln die Wurzeln aus 25 und 4 gezogen hätten, dann wird es schwierig: $\sqrt(32)$ und $\sqrt(2)$ werden nicht für sich betrachtet, sondern Ihr Produkt stellt sich als perfektes Quadrat heraus, daher ist seine Wurzel gleich einer rationalen Zahl.

Besonders hervorheben möchte ich die letzte Zeile. Dort sind beide Wurzelausdrücke Brüche. Dank des Produkts werden viele Faktoren aufgehoben und der gesamte Ausdruck wird zu einer angemessenen Zahl.

Natürlich wird es nicht immer so schön sein. Manchmal herrscht unter den Wurzeln ein völliges Durcheinander – es ist nicht klar, was man damit machen soll und wie man es nach der Multiplikation umwandelt. Etwas später, wenn Sie mit dem Lernen beginnen Irrationale Gleichungen und Ungleichungen gibt es im Allgemeinen alle möglichen Variablen und Funktionen. Und sehr oft rechnen Problemschreiber damit, dass Sie einige aufhebende Begriffe oder Faktoren entdecken, nach denen das Problem um ein Vielfaches vereinfacht wird.

Außerdem ist es überhaupt nicht notwendig, genau zwei Wurzeln zu multiplizieren. Sie können drei, vier oder sogar zehn auf einmal multiplizieren! An der Regel ändert sich dadurch nichts. Schau mal:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Und noch einmal eine kleine Anmerkung zum zweiten Beispiel. Wie Sie sehen, befindet sich im dritten Faktor unter der Wurzel ein Dezimalbruch – im Berechnungsprozess ersetzen wir ihn durch einen regulären Bruch, woraufhin alles leicht reduziert wird. Deshalb: Ich empfehle dringend, Dezimalbrüche in allen irrationalen Ausdrücken (d. h. solchen, die mindestens ein Wurzelzeichen enthalten) zu entfernen. Das erspart Ihnen in Zukunft viel Zeit und Nerven.

Aber das war ein lyrischer Exkurs. Betrachten wir nun einen allgemeineren Fall – wenn der Wurzelexponent eine beliebige Zahl $n$ enthält und nicht nur die „klassischen“ zwei.

Der Fall eines willkürlichen Indikators

Also haben wir die Quadratwurzeln herausgefunden. Was tun mit kubischen? Oder sogar mit Wurzeln beliebigen Grades $n$? Ja, alles ist gleich. Die Regel bleibt dieselbe:

Um zwei Wurzeln vom Grad $n$ zu multiplizieren, reicht es aus, ihre Wurzelausdrücke zu multiplizieren und das Ergebnis dann unter eine Wurzel zu schreiben.

Im Allgemeinen nichts Kompliziertes. Allerdings kann der Rechenaufwand größer sein. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiele. Produkte berechnen:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Und noch einmal Aufmerksamkeit auf den zweiten Ausdruck. Wir multiplizieren Kubikwurzeln, werden los Dezimal und als Ergebnis erhalten wir im Nenner das Produkt der Zahlen 625 und 25. Das ist eine ziemlich große Zahl – ich persönlich kann nicht sofort berechnen, was sie ist.

Deshalb haben wir einfach den exakten Würfel im Zähler und Nenner isoliert und dann eine der Schlüsseleigenschaften (oder, wenn Sie es vorziehen, die Definition) der $n$-ten Wurzel verwendet:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(align)\]

Durch solche „Machenschaften“ kann man bei der Prüfung viel Zeit sparen bzw Testarbeit, also denk daran:

Beeilen Sie sich nicht, Zahlen mit radikalen Ausdrücken zu multiplizieren. Überprüfen Sie zunächst: Was ist, wenn der genaue Grad eines Ausdrucks dort „verschlüsselt“ ist?

Trotz der Offensichtlichkeit dieser Bemerkung muss ich zugeben, dass die meisten unvorbereiteten Studenten die genauen Abschlüsse nicht aus nächster Nähe erkennen. Stattdessen multiplizieren sie einfach alles und fragen sich dann: Warum sind sie auf so brutale Zahlen gekommen? :)

Im Vergleich zu dem, was wir jetzt studieren werden, ist dies jedoch alles nur Babysprache.

Wurzeln mit verschiedenen Exponenten multiplizieren

Okay, jetzt können wir Wurzeln mit denselben Indikatoren multiplizieren. Was ist, wenn die Indikatoren unterschiedlich sind? Nehmen wir an, wie multipliziert man ein gewöhnliches $\sqrt(2)$ mit so einem Mist wie $\sqrt(23)$? Ist das überhaupt möglich?

Natürlich kannst du. Alles läuft nach dieser Formel ab:

Regel zum Multiplizieren von Wurzeln. Um $\sqrt[n](a)$ mit $\sqrt[p](b)$ zu multiplizieren, reicht es aus, die folgende Transformation durchzuführen:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Diese Formel funktioniert jedoch nur, wenn Radikale Ausdrücke sind nicht negativ. Dies ist ein sehr wichtiger Hinweis, auf den wir etwas später zurückkommen werden.

Schauen wir uns zunächst einige Beispiele an:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes. Lassen Sie uns nun herausfinden, woher die Nicht-Negativitätsanforderung kommt und was passiert, wenn wir dagegen verstoßen :).

Warum dürfen radikale Ausdrücke nicht negativ sein?

Natürlich können Sie wie Schullehrer das Lehrbuch mit einem klugen Blick zitieren:

Das Erfordernis der Nichtnegativität ist mit unterschiedlichen Definitionen von Wurzeln geraden und ungeraden Grades verbunden (entsprechend sind auch ihre Definitionsbereiche unterschiedlich).

Nun, ist es klarer geworden? Persönlich habe ich, als ich diesen Unsinn in der 8. Klasse las, ungefähr Folgendes verstanden: „Die Anforderung der Nicht-Negativität ist mit *#&^@(*#@^#)~% verbunden“ – kurz gesagt, ich habe es verstanden Ich habe damals überhaupt nichts verstanden :)

Jetzt erkläre ich alles ganz normal.

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, woher die obige Multiplikationsformel kommt. Dazu möchte ich Sie an eine wichtige Eigenschaft der Wurzel erinnern:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Mit anderen Worten, wir können den Wurzelausdruck leicht auf jede natürliche Potenz $k$ erhöhen – in diesem Fall muss der Exponent der Wurzel mit derselben Potenz multipliziert werden. Daher können wir alle Wurzeln leicht auf einen gemeinsamen Exponenten reduzieren und sie dann multiplizieren. Daher stammt die Multiplikationsformel:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Es gibt jedoch ein Problem, das die Verwendung all dieser Formeln stark einschränkt. Betrachten Sie diese Zahl:

Nach der eben gegebenen Formel können wir jeden Grad addieren. Versuchen wir, $k=2$ hinzuzufügen:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Wir haben das Minus genau deshalb entfernt, weil das Quadrat das Minus verbrennt (wie jeder andere gerade Grad auch). Führen wir nun die umgekehrte Transformation durch: „Reduzieren“ Sie die beiden im Exponenten und in der Potenz. Schließlich kann jede Gleichheit sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gelesen werden:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Aber dann stellt sich heraus, dass es eine Art Mist ist:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Dies kann nicht passieren, da $\sqrt(-5) \lt 0$ und $\sqrt(5) \gt 0$. Dies bedeutet, dass für gerade Potenzen und negative Zahlen Unsere Formel funktioniert nicht mehr. Danach haben wir zwei Möglichkeiten:

1. An die Wand stoßen und sagen, dass Mathematik eine dumme Wissenschaft ist, in der es „einige Regeln gibt, aber diese sind ungenau“;
2. Führen Sie zusätzliche Einschränkungen ein, unter denen die Formel zu 100 % funktioniert.

Bei der ersten Option müssen wir ständig „nicht funktionierende“ Fälle aufspüren – das ist schwierig, zeitaufwändig und im Allgemeinen pfui. Daher bevorzugten Mathematiker die zweite Option :).

Aber keine Sorge! In der Praxis hat diese Einschränkung keinerlei Auswirkungen auf die Berechnungen, da alle beschriebenen Probleme nur Wurzeln ungeraden Grades betreffen und daraus Minuspunkte gezogen werden können.

Formulieren wir daher noch eine Regel, die grundsätzlich für alle Handlungen mit Wurzeln gilt:

Stellen Sie vor der Wurzelmultiplikation sicher, dass die Wurzelausdrücke nicht negativ sind.

Beispiel. In der Zahl $\sqrt(-5)$ können Sie das Minus unter dem Wurzelzeichen entfernen – dann ist alles normal:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Spüren Sie den Unterschied? Wenn Sie ein Minus unter der Wurzel belassen, verschwindet es beim Quadrieren des Wurzelausdrucks und der Mist beginnt. Und wenn Sie zuerst das Minus herausnehmen, können Sie es quadrieren/entfernen, bis Sie blau im Gesicht sind – die Zahl bleibt negativ :).

Daher ist die korrekteste und zuverlässigste Methode zur Wurzelmultiplikation wie folgt:

1. Entfernen Sie alle Negative von den Radikalen. Minuspunkte gibt es nur in Wurzeln ungerader Multiplizität – sie können vor die Wurzel gestellt und bei Bedarf gekürzt werden (z. B. wenn es zwei dieser Minuspunkte gibt).
2. Führen Sie die Multiplikation gemäß den oben in der heutigen Lektion besprochenen Regeln durch. Wenn die Indikatoren der Wurzeln gleich sind, multiplizieren wir einfach die Wurzelausdrücke. Und wenn sie unterschiedlich sind, verwenden wir die böse Formel \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Genieße das Ergebnis und gute Noten.:)

Und was? Sollen wir üben?

Beispiel 1: Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Dies ist die einfachste Option: Die Wurzeln sind gleich und ungerade, das einzige Problem besteht darin, dass der zweite Faktor negativ ist. Wir nehmen dieses Minus aus dem Bild, danach lässt sich alles leicht berechnen.

Beispiel 2: Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ausrichten)\]

Viele hier wären verwirrt darüber, was am Ende geschah irrationale Zahl. Ja, es kommt vor: Wir konnten den Stamm nicht ganz loswerden, aber zumindest haben wir den Ausdruck deutlich vereinfacht.

Beispiel 3: Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Auf diese Aufgabe möchte ich Sie aufmerksam machen. Hier gibt es zwei Punkte:

1. Die Wurzel ist keine bestimmte Zahl oder Potenz, sondern die Variable $a$. Auf den ersten Blick ist das etwas ungewöhnlich, aber in Wirklichkeit hat man es bei der Lösung mathematischer Probleme am häufigsten mit Variablen zu tun.
2. Am Ende ist es uns gelungen, den Radikalindikator und den Grad des radikalen Ausdrucks zu „reduzieren“. Das passiert ziemlich oft. Und das bedeutet, dass die Berechnungen deutlich vereinfacht werden konnten, wenn man nicht die Grundformel verwendet hat.

Sie könnten beispielsweise Folgendes tun:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]

Tatsächlich wurden alle Transformationen nur mit dem zweiten Radikal durchgeführt. Und wenn man nicht alle Zwischenschritte detailliert beschreibt, reduziert sich am Ende der Rechenaufwand deutlich.

Tatsächlich sind wir oben bereits auf eine ähnliche Aufgabe gestoßen, als wir das Beispiel $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ gelöst haben. Jetzt lässt es sich viel einfacher schreiben:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Nun, wir haben die Wurzelmultiplikation geklärt. Betrachten wir nun den umgekehrten Vorgang: Was ist zu tun, wenn sich im Stammverzeichnis ein Produkt befindet?

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, welche es gibt Formeln für Wurzeln was sind Eigenschaften von Wurzeln, und was man mit all dem machen kann.

Wurzelformeln, Eigenschaften von Wurzeln und Regeln für die Arbeit mit Wurzeln- Das ist im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was mich auf jeden Fall glücklich macht! Oder besser gesagt, man kann viele verschiedene Formeln schreiben, aber für die praktische und sichere Arbeit mit Wurzeln reichen nur drei. Alles Weitere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl viele Menschen bei den drei Grundformeln verwirrt sind, ja ...

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.