So lösen Sie Logarithmen mit gleichen Basen. So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

1.1. Bestimmen des Exponenten für einen ganzzahligen Exponenten

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N mal

1.2. Null Grad.

Per Definition ist dies allgemein anerkannt Null Grad Jede Zahl ist gleich 1:

1.3. Negativer Abschluss.

X -N = 1/X N

1.4. Bruchteilskraft, Wurzel.

X 1/N = N Wurzel von X.

Zum Beispiel: X 1/2 = √X.

1.5. Formel zum Addieren von Potenzen.

X (N+M) = X N *X M

1.6.Formel zum Subtrahieren von Potenzen.

X (N-M) = X N /X M

1.7. Formel zur Multiplikation von Potenzen.

X N*M = (X N) M

1.8. Formel zur Potenzierung eines Bruchs.

(X/Y) N = X N /Y N

2. Nummer e.

Der Wert der Zahl e entspricht dem folgenden Grenzwert:

E = lim(1+1/N), da N → ∞.

Mit einer Genauigkeit von 17 Stellen beträgt die Zahl e 2,71828182845904512.

3. Eulers Gleichheit.

Diese Gleichheit verbindet fünf Zahlen, die in der Mathematik eine besondere Rolle spielen: 0, 1, e, Pi, imaginäre Einheit.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Exponentialfunktion exp(x)

exp(x) = e x

5. Ableitung der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Die Ableitung der Funktion ist gleich der Exponentialfunktion selbst:

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithmus.

6.1. Definition der Logarithmusfunktion

Wenn x = by, dann ist der Logarithmus die Funktion

Y = Log b(x).

Der Logarithmus zeigt, mit welcher Potenz eine Zahl erhöht werden muss – die Basis des Logarithmus (b), um eine gegebene Zahl (X) zu erhalten. Die Logarithmusfunktion ist für X größer als Null definiert.

Beispiel: Log 10 (100) = 2.

6.2. Dezimaler Logarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis 10:

Y = Log 10 (x) .

Bezeichnet durch Log(x): Log(x) = Log 10 (x).

Anwendungsbeispiel dezimaler Logarithmus- Dezibel.

6.3. Dezibel

Der Artikel wird auf einer separaten Seite Dezibel hervorgehoben

6.4. Binärer Logarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis 2:

Y = Log 2 (x).

Bezeichnet durch Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Natürlicher Logarithmus

Dies ist der Logarithmus zur Basis e:

Y = Log e (x) .

Bezeichnet durch Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Natürlicher Logarithmus - Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion exp(X).

6.6. Charakteristische Punkte

Loga(1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Produktlogarithmusformel

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. Formel für den Logarithmus des Quotienten

Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)

6.9. Logarithmus der Potenzformel

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. Formel zur Umrechnung in einen Logarithmus mit anderer Basis

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

Beispiel:

Protokoll 2 (8) = Protokoll 10 (8)/Protokoll 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Im Leben nützliche Formeln

Oft gibt es Probleme bei der Umrechnung von Volumen in Fläche oder Länge und das umgekehrte Problem – die Umrechnung von Fläche in Volumen. Bretter werden beispielsweise in Würfeln (Kubikmetern) verkauft und wir müssen berechnen, wie viel Wandfläche mit Brettern in einem bestimmten Volumen abgedeckt werden kann, siehe Berechnung von Brettern, wie viele Bretter ein Würfel enthält. Wenn die Abmessungen der Wand bekannt sind, müssen Sie auch die Anzahl der Ziegel berechnen, siehe Ziegelberechnung.

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Im Verhältnis zu

Es kann die Aufgabe gestellt werden, aus den beiden anderen Zahlen eine der drei Zahlen zu finden. Wenn a und dann N gegeben sind, werden sie durch Potenzierung gefunden. Wenn N und dann a gegeben sind, indem man die Wurzel aus dem Grad x zieht (oder ihn potenziert). Betrachten wir nun den Fall, dass wir bei gegebenem a und N x finden müssen.

Sei die Zahl N positiv: die Zahl a sei positiv und ungleich eins: .

Definition. Der Logarithmus der Zahl N zur Basis a ist der Exponent, auf den a erhöht werden muss, um die Zahl N zu erhalten; Der Logarithmus wird mit bezeichnet

Somit ergibt sich in Gleichung (26.1) der Exponent als Logarithmus von N zur Basis a. Beiträge

haben die gleiche Bedeutung. Gleichheit (26.1) wird manchmal als Hauptidentität der Logarithmentheorie bezeichnet; in Wirklichkeit drückt es die Definition des Begriffs Logarithmus aus. Von diese Definition Die Basis des Logarithmus a ist immer positiv und von Eins verschieden; die logarithmische Zahl N ist positiv. Negative Zahlen und Null haben keinen Logarithmus. Es kann bewiesen werden, dass jede Zahl mit einer gegebenen Basis einen wohldefinierten Logarithmus hat. Deshalb bedeutet Gleichheit. Beachten Sie, dass die Bedingung hier wesentlich ist; andernfalls wäre die Schlussfolgerung nicht gerechtfertigt, da die Gleichheit für alle Werte von x und y gilt.

Beispiel 1. Finden

Lösung. Um eine Zahl zu erhalten, müssen Sie die Basis 2 potenzieren.

Beim Lösen solcher Beispiele können Sie sich in folgender Form Notizen machen:

Beispiel 2. Finden.

Lösung. Wir haben

In den Beispielen 1 und 2 haben wir den gewünschten Logarithmus leicht gefunden, indem wir die Logarithmuszahl als Potenz der Basis mit einem rationalen Exponenten dargestellt haben. Im allgemeinen Fall, zum Beispiel für usw., ist dies nicht möglich, da der Logarithmus einen irrationalen Wert hat. Lassen Sie uns auf ein Problem im Zusammenhang mit dieser Aussage achten. In Absatz 12 haben wir das Konzept der Möglichkeit dargelegt, jede reelle Potenz einer gegebenen positiven Zahl zu bestimmen. Dies war notwendig für die Einführung von Logarithmen, die im Allgemeinen irrationale Zahlen sein können.

Schauen wir uns einige Eigenschaften von Logarithmen an.

Eigenschaft 1. Wenn Zahl und Basis gleich sind, ist der Logarithmus gleich eins, und umgekehrt, wenn der Logarithmus gleich eins ist, sind Zahl und Basis gleich.

Nachweisen. Nach der Definition eines Logarithmus haben wir und woher

Umgekehrt sei Then per Definition

Eigenschaft 2. Der Logarithmus von eins zu jeder Basis ist gleich Null.

Nachweisen. Per Definition eines Logarithmus (die Nullpotenz jeder positiven Basis ist gleich eins, siehe (10.1)). Von hier

Q.E.D.

Die umgekehrte Aussage gilt auch: wenn, dann ist N = 1. Tatsächlich gilt.

Bevor wir die nächste Eigenschaft von Logarithmen formulieren, wollen wir uns darauf einigen, dass zwei Zahlen a und b auf derselben Seite der dritten Zahl c liegen, wenn sie beide größer als c oder kleiner als c sind. Wenn eine dieser Zahlen größer als c und die andere kleiner als c ist, dann sagen wir, dass sie nebeneinander liegen verschiedene Seiten aus dem Dorf

Eigenschaft 3. Liegen Zahl und Basis auf der gleichen Seite von Eins, dann ist der Logarithmus positiv; Liegen Zahl und Basis auf gegenüberliegenden Seiten von eins, ist der Logarithmus negativ.

Der Beweis der Eigenschaft 3 basiert auf der Tatsache, dass die Potenz von a größer als eins ist, wenn die Basis größer als eins und der Exponent positiv ist oder die Basis kleiner als eins und der Exponent negativ ist. Eine Potenz ist kleiner als eins, wenn die Basis größer als eins und der Exponent negativ ist oder die Basis kleiner als eins ist und der Exponent positiv ist.

Es sind vier Fälle zu berücksichtigen:

Wir beschränken uns auf die Analyse des ersten Teils; der Rest wird dem Leser selbst überlassen.

Bei Gleichheit kann der Exponent weder negativ noch gleich Null sein, also ist er positiv, d. h. wie es zu beweisen ist.

Beispiel 3. Finden Sie heraus, welche der folgenden Logarithmen positiv und welche negativ sind:

Lösung: a) Da die Zahl 15 und die Basis 12 auf derselben Seite von Eins liegen;

b) da sich 1000 und 2 auf einer Seite der Einheit befinden; in diesem Fall ist es nicht wichtig, dass die Basis größer als die logarithmische Zahl ist;

c) da 3,1 und 0,8 auf gegenüberliegenden Seiten der Einheit liegen;

G) ; Warum?

D) ; Warum?

Die folgenden Eigenschaften 4-6 werden oft als Logarithmationsregeln bezeichnet: Sie ermöglichen es, bei Kenntnis der Logarithmen einiger Zahlen die Logarithmen ihres Produkts, ihres Quotienten und ihres Grades zu ermitteln.

Eigenschaft 4 (Produktlogarithmusregel). Logarithmus des Produkts mehrerer positiver Zahlen von diese Grundlage gleich der Summe Logarithmen dieser Zahlen zur gleichen Basis.

Nachweisen. Die angegebenen Zahlen seien positiv.

Für den Logarithmus ihres Produkts schreiben wir die Gleichung (26.1), die den Logarithmus definiert:

Von hier aus werden wir finden

Durch Vergleich der Exponenten des ersten und letzten Ausdrucks erhalten wir die erforderliche Gleichheit:

Beachten Sie, dass die Bedingung wesentlich ist; Logarithmus des Produkts von zwei negative Zahlen macht Sinn, aber in diesem Fall bekommen wir

Wenn das Produkt mehrerer Faktoren positiv ist, ist sein Logarithmus im Allgemeinen gleich der Summe der Logarithmen der Absolutwerte dieser Faktoren.

Eigenschaft 5 (Regel für die Logarithmierung von Quotienten). Der Logarithmus eines Quotienten positiver Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors, bezogen auf die gleiche Basis. Nachweisen. Wir finden immer wieder

Q.E.D.

Eigenschaft 6 (Potenzlogarithmusregel). Der Logarithmus der Potenz einer positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus dieser Zahl multipliziert mit dem Exponenten.

Nachweisen. Schreiben wir noch einmal die Hauptidentität (26.1) für die Zahl:

Q.E.D.

Folge. Der Logarithmus einer Wurzel einer positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus der Wurzel dividiert durch den Exponenten der Wurzel:

Die Gültigkeit dieser Folgerung kann bewiesen werden, indem man sich vorstellt, wie und Eigenschaft 6 verwendet.

Beispiel 4. Logarithmieren zur Basis von a:

a) (es wird angenommen, dass alle Werte b, c, d, e positiv sind);

b) (es wird angenommen, dass ).

Lösung: a) Es ist zweckmäßig, in diesem Ausdruck auf gebrochene Potenzen zu gehen:

Basierend auf den Gleichungen (26.5)–(26.7) können wir nun schreiben:

Wir stellen fest, dass mit den Logarithmen von Zahlen einfachere Operationen durchgeführt werden als mit den Zahlen selbst: Beim Multiplizieren von Zahlen werden ihre Logarithmen addiert, beim Dividieren werden sie subtrahiert usw.

Deshalb werden in der Rechenpraxis Logarithmen verwendet (siehe Absatz 29).

Die umgekehrte Wirkung des Logarithmus wird Potenzierung genannt, nämlich: Potenzierung ist die Wirkung, durch die die Zahl selbst aus einem gegebenen Logarithmus einer Zahl ermittelt wird. Im Wesentlichen handelt es sich bei der Potenzierung nicht um eine besondere Aktion: Es geht darum, eine Basis zu potenzieren (gleich dem Logarithmus einer Zahl). Der Begriff „Potenzierung“ kann als Synonym für den Begriff „Potenzierung“ angesehen werden.

Beim Potenzieren muss man die umgekehrten Regeln zu den Regeln der Logarithmierung anwenden: Ersetzen Sie die Summe der Logarithmen durch den Logarithmus des Produkts, die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten usw. Insbesondere, wenn ein Faktor vorne steht des Vorzeichens des Logarithmus, dann muss es bei der Potenzierung in die Exponentengrade unter dem Vorzeichen des Logarithmus übertragen werden.

Beispiel 5. Finden Sie N, wenn das bekannt ist

Lösung. Im Zusammenhang mit der eben genannten Potenzierungsregel werden wir die Faktoren 2/3 und 1/3, die vor den Vorzeichen der Logarithmen auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen, in Exponenten unter den Vorzeichen dieser Logarithmen übertragen; wir bekommen

Jetzt ersetzen wir die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten:

Um den letzten Bruch in dieser Gleichungskette zu erhalten, haben wir den vorherigen Bruch im Nenner von der Irrationalität befreit (Absatz 25).

Eigenschaft 7. Wenn die Basis größer als eins ist, dann größere Zahl hat einen größeren Logarithmus (und eine kleinere Zahl hat einen kleineren), wenn die Basis kleiner als eins ist, dann hat eine größere Zahl einen kleineren Logarithmus (und eine kleinere Zahl hat einen größeren).

Diese Eigenschaft wird auch als Regel für die Logarithmierung von Ungleichungen formuliert, deren beide Seiten positiv sind:

Bei der Logarithmierung von Ungleichungen mit einer Basis größer als eins bleibt das Vorzeichen der Ungleichheit erhalten, und wenn sie mit einer Basis kleiner als eins logarithmiert wird, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichheit in das Gegenteil (siehe auch Absatz 80).

Der Beweis basiert auf den Eigenschaften 5 und 3. Betrachten Sie den Fall, wenn Wenn , dann und durch Logarithmen erhalten wir

(a und N/M liegen auf der gleichen Seite der Einheit). Von hier

Fall a folgt, der Leser wird es selbst herausfinden.

Haupteigenschaften.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identische Gründe

Log6 4 + log6 9.

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x >

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Übergang zu einer neuen Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

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Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

4. Wo .

Beispiel 2. Finden Sie x, wenn

Beispiel 3. Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Aber da sind Logarithmen nicht genau reguläre Zahlen, hier gibt es Regeln, die aufgerufen werden Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes logarithmisches Problem lösen. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit aus den gleichen Gründen: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Beachten Sie: Schlüsselmoment Hier - identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, einen logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele bauen auf dieser Tatsache auf Testpapiere. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Das merkt man leicht letzte Regel folgt den ersten beiden. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

ich denke an letztes Beispiel Aufklärung erforderlich. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum letzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Logarithmusformeln. Beispiellösungen für Logarithmen.

Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele bleiben dabei hängen.

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 – einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus genommen hat. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus von b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine Potenz x() zu finden, bei der die Gleichheit erfüllt ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Es ist notwendig, die oben genannten Eigenschaften zu kennen, da fast alle Probleme und Beispiele im Zusammenhang mit Logarithmen auf ihrer Grundlage gelöst werden. Ausruhen exotische Eigenschaften kann durch mathematische Manipulation dieser Formeln abgeleitet werden

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Bei der Berechnung der Formel für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) stößt man häufig darauf. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gebräuchlichsten Logarithmen sind solche, bei denen die Basis gerade zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird üblicherweise als dezimaler Logarithmus bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus der Aufnahme geht klar hervor, dass die Grundlagen in der Aufnahme nicht festgeschrieben sind. Beispielsweise

Ein natürlicher Logarithmus ist ein Logarithmus, dessen Basis ein Exponent ist (bezeichnet mit ln(x)).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich den Exponenten zu merken, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist gleich 2,7 und doppelt so groß wie das Geburtsjahr von Leo Nikolajewitsch Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei wird mit bezeichnet

Die Ableitung des Logarithmus einer Funktion ist gleich eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Beziehung bestimmt

Das bereitgestellte Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern, werde ich nur einige gängige Beispiele aus dem Lehrplan von Schulen und Universitäten nennen.

Beispiele für Logarithmen

Logarithmische Ausdrücke

Beispiel 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Mit den Eigenschaften 3.5 berechnen wir

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Durch die Eigenschaft der Differenz von Logarithmen haben wir

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Mit den Eigenschaften 3.5 finden wir

4. Wo .

Dem Aussehen nach komplexer Ausdruck Durch die Verwendung einer Reihe von Regeln wird die Form vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2. Finden Sie x, wenn

Lösung. Für die Berechnung gelten bis zu das letzte Semester 5 und 13 Eigenschaften

Wir halten es zu Protokoll und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Der Wert von Logarithmen sei gegeben

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nehmen wir einen Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe ihrer Terme zu schreiben

Dies ist erst der Anfang unserer Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie das Rechnen, erweitern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – das erworbene Wissen benötigen Sie schon bald zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zur Lösung solcher Gleichungen studiert haben, werden wir Ihr Wissen auf ein weiteres, ebenso wichtiges Thema erweitern – logarithmische Ungleichungen...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit denselben Basen: Logax und Logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

Es ist leicht zu erkennen, dass die letzte Regel den ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

So lösen Sie Logarithmen

Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum letzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Diese Formeln kommen selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken vor. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur bei der Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen beurteilen.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen beschäftigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So heißt es: .

Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

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Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

Wenn Sie auf der Website eine Bewerbung einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer und Ihrer Adresse Email usw.

Wie wir Ihre persönlichen Daten verwenden:

Die von uns erfassten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie mit einzigartigen Angeboten, Werbeaktionen und anderen Veranstaltungen sowie bevorstehenden Veranstaltungen zu kontaktieren.
Von Zeit zu Zeit können wir Ihre persönlichen Daten verwenden, um wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu versenden.
Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, beispielsweise zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Forschungsarbeiten, um die von uns bereitgestellten Dienste zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Diensten zu geben.
Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einer ähnlichen Aktion teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen zur Verwaltung solcher Programme verwenden.

Weitergabe von Informationen an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

Bei Bedarf – in Übereinstimmung mit dem Gesetz, dem Gerichtsverfahren, dem Gerichtsverfahren und/oder auf der Grundlage öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden auf dem Territorium der Russischen Föderation - Ihre persönlichen Daten offenlegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass eine solche Offenlegung aus Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder anderen Gründen von öffentlicher Bedeutung notwendig oder angemessen ist.
Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den jeweiligen Nachfolger-Dritten weitergeben.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer –, um Ihre persönlichen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung zu schützen.

Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lassen Sie es uns einfacher erklären. Beispiel: \(\log_(2)(8)\) gleich der Leistung, auf den \(2\) erhöht werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Beispiele:	\(\log_(5)(25)=2\)	Weil \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	Weil \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	Weil \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende „Anatomie“:

Das Argument eines Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt näher am Logarithmuszeichen geschrieben. Und dieser Eintrag lautet wie folgt: „Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis fünf.“

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Auf welche Potenz muss die Basis erhöht werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Auf welche Potenz muss \(4\) erhöht werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(5)\) erhöht werden, um \(1\) zu erhalten? Welche Macht macht eine Nummer eins? Null, natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(7)\) erhöht werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Erstens ist jede Zahl in der ersten Potenz gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Auf welche Potenz muss \(3\) erhöht werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Wir wissen, dass es sich um eine Bruchzahl handelt, das heißt Quadratwurzel ist die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechnen Sie den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen wir ihn als x. Lassen Sie uns nun die Definition eines Logarithmus verwenden: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Was verbindet \(4\sqrt(2)\) und \(8\)? Zwei, weil beide Zahlen durch Zweien dargestellt werden können: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links verwenden wir die Eigenschaften des Grades: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) und \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Die Grundlagen sind gleich, wir kommen zur Gleichheit der Indikatoren
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \(\frac(2)(5)\)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antwort : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichung funktioniert. Natürlich ist \(x=2\).

Lösen Sie nun die Gleichung: \(3^(x)=8\). Womit ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Klügsten werden sagen: „X ist etwas kleiner als zwei.“ Wie genau schreibt man diese Nummer? Um diese Frage zu beantworten, wurde der Logarithmus erfunden. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass \(\log_(3)(8)\), wie Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es in das Formular schreiben wollten Dezimal, dann würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Lösen Sie die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) und \(10\) können nicht auf die gleiche Basis gebracht werden. Das bedeutet, dass Sie auf einen Logarithmus nicht verzichten können. Verwenden wir die Definition des Logarithmus: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Drehen wir die Gleichung um, so dass X auf der linken Seite steht
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Vor uns. Bewegen wir \(4\) nach rechts. Und haben Sie keine Angst vor dem Logarithmus, behandeln Sie ihn wie eine gewöhnliche Zahl.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Das ist unsere Wurzel. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber sie wählen die Antwort nicht aus.

Antwort : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimale und natürliche Logarithmen

Wie in der Definition eines Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: ein Logarithmus, dessen Basis die Eulersche Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimallogarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird als \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt „Basic Logarithmic Identity“ und sieht folgendermaßen aus:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel zustande kam.

Erinnern wir uns an eine kurze Notation der Definition des Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir in der Formel \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) anstelle von \(b\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) die wichtigste logarithmische Identität ist.

Weitere Eigenschaften von Logarithmen finden Sie hier. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen, die schwer direkt zu berechnen sind, vereinfachen und berechnen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antwort : \(25\)

Wie schreibe ich eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Das Umgekehrte gilt auch: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Wir wissen zum Beispiel, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie statt zwei auch \(\log_(2)(4)\) schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), was bedeutet, dass wir auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben können. Ebenso mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\) usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Bei Bedarf können wir also zwei als Logarithmus mit beliebiger Basis an beliebiger Stelle schreiben (sei es in einer Gleichung, in einem Ausdruck oder in einer Ungleichung) – wir schreiben einfach das Quadrat der Basis als Argument.

Das Gleiche gilt für das Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\) oder als \(\log_(4)( 64) \)... Hier schreiben wir die Basis im Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit der Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antwort : \(1\)