Berechnung des Abstands zwischen Punkten. Berechnung der Entfernungen zwischen Städten anhand ihrer Koordinaten

Entfernung von Punkt zu Punkt ist die Länge des Segments, das diese Punkte auf einer bestimmten Skala verbindet. Also wann wir reden über Um Entfernungen zu messen, müssen Sie den Maßstab (Längeneinheit) kennen, in dem die Messungen durchgeführt werden. Daher wird das Problem, den Abstand von Punkt zu Punkt zu ermitteln, üblicherweise entweder auf einer Koordinatenlinie oder in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum betrachtet. Mit anderen Worten: In den meisten Fällen müssen Sie die Entfernung zwischen Punkten anhand ihrer Koordinaten berechnen.

In diesem Artikel erinnern wir uns zunächst daran, wie der Abstand von Punkt zu Punkt auf einer Koordinatenlinie bestimmt wird. Als nächstes erhalten wir Formeln zur Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten einer Ebene oder eines Raums anhand gegebener Koordinaten. Abschließend werden wir die Lösungen typischer Beispiele und Probleme im Detail betrachten.

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Der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenlinie.

Definieren wir zunächst die Notation. Wir bezeichnen den Abstand von Punkt A zu Punkt B als .

Daraus können wir schließen Der Abstand von Punkt A mit Koordinaten zu Punkt B mit Koordinaten ist gleich dem Modul der Koordinatendifferenz, also, für jede beliebige Lage von Punkten auf der Koordinatenlinie.

Abstand von Punkt zu Punkt auf einer Ebene, Formel.

Wir erhalten eine Formel zur Berechnung des Abstands zwischen Punkten, die in einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem auf einer Ebene angegeben ist.

Abhängig von der Lage der Punkte A und B sind folgende Optionen möglich.

Wenn die Punkte A und B zusammenfallen, ist der Abstand zwischen ihnen Null.

Liegen die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur Abszissenachse, dann fallen die Punkte zusammen und der Abstand ist gleich dem Abstand . Im vorherigen Absatz haben wir herausgefunden, dass der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenlinie gleich dem Modul der Differenz zwischen ihren Koordinaten ist. Daher gilt: . Somit, .

Wenn die Punkte A und B auf einer geraden Linie senkrecht zur Ordinatenachse liegen, ergibt sich für den Abstand von Punkt A zu Punkt B ebenfalls .

In diesem Fall ist das Dreieck ABC rechteckig aufgebaut und Und . Von Satz des Pythagoras wir können die Gleichheit aufschreiben, woher.

Fassen wir alle erzielten Ergebnisse zusammen: Der Abstand von einem Punkt zu einem Punkt auf einer Ebene wird durch die Koordinaten der Punkte mithilfe der Formel ermittelt .

Die resultierende Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen Punkten kann verwendet werden, wenn die Punkte A und B zusammenfallen oder auf einer geraden Linie senkrecht zu einer der Koordinatenachsen liegen. In der Tat, wenn A und B zusammenfallen, dann . Wenn die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur Ox-Achse liegen, dann. Wenn A und B auf einer Geraden senkrecht zur Oy-Achse liegen, dann .

Abstand zwischen Punkten im Raum, Formel.

Lassen Sie uns ein rechteckiges Koordinatensystem Oxyz im Raum einführen. Lassen Sie uns eine Formel zum Ermitteln der Entfernung von einem Punkt erhalten auf den Punkt .

Im Allgemeinen liegen die Punkte A und B nicht in einer Ebene parallel zu einer der Koordinatenebenen. Zeichnen wir durch die Punkte A und B Ebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen Ox, Oy und Oz. Die Schnittpunkte dieser Ebenen mit den Koordinatenachsen geben uns Projektionen der Punkte A und B auf diese Achsen. Wir bezeichnen die Projektionen .

Der erforderliche Abstand zwischen den Punkten A und B ist eine Diagonale rechteckiges Parallelepiped in der Abbildung dargestellt. Konstruktionsbedingt sind die Abmessungen dieses Parallelepipeds gleich Und . Im Zuge der Geometrie weiterführende Schule Es ist erwiesen, dass das Quadrat der Diagonale eines Quaders ist gleich der Summe Quadrate seiner drei Dimensionen, also . Basierend auf den Informationen im ersten Abschnitt dieses Artikels können wir daher die folgenden Gleichheiten schreiben:

Woher bekommen wir es? Formel zum Ermitteln des Abstands zwischen Punkten im Raum .

Diese Formel gilt auch für die Punkte A und B

• zusammenpassen;
• gehören zu einer der Koordinatenachsen oder einer Linie parallel zu einer der Koordinatenachsen;
• gehören zu einer der Koordinatenebenen oder einer Ebene parallel zu einer der Koordinatenebenen.

Den Abstand von Punkt zu Punkt ermitteln, Beispiele und Lösungen.

Wir haben also Formeln erhalten, um den Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Koordinatenlinie, einer Ebene und einem dreidimensionalen Raum zu ermitteln. Es ist Zeit, nach Lösungen für typische Beispiele zu suchen.

Die Anzahl der Probleme, bei denen der letzte Schritt darin besteht, den Abstand zwischen zwei Punkten anhand ihrer Koordinaten zu ermitteln, ist wirklich enorm. Vollständige Rezension Solche Beispiele würden den Rahmen dieses Artikels sprengen. Wir beschränken uns hier auf Beispiele, bei denen die Koordinaten zweier Punkte bekannt sind und der Abstand zwischen ihnen berechnet werden muss.

THEORETISCHE FRAGEN

ANALYTISCHE GEOMETRIE AUF DER EBENE

1. Koordinatenmethode: Zahlenstrahl, Koordinaten auf einer Linie; rechteckiges (kartesisches) Koordinatensystem auf einer Ebene; Polar Koordinaten.

Betrachten wir eine gerade Linie. Wählen wir darauf eine Richtung (dann wird daraus eine Achse) und einen Punkt 0 (den Koordinatenursprung). Eine Gerade mit gewählter Richtung und Ursprung heißt Koordinatenlinie(Wir gehen davon aus, dass die Skalierungseinheit ausgewählt ist).

Lassen M– ein beliebiger Punkt auf der Koordinatenlinie. Sagen wir es dem Punkt entsprechend M reelle Zahl X, gleich dem Wert OM Segment: x=OM. Nummer X wird als Koordinate des Punktes bezeichnet M.

Somit entspricht jeder Punkt auf der Koordinatenlinie einer bestimmten reellen Zahl – seiner Koordinate. Das Umgekehrte gilt auch: Jede reelle Zahl x entspricht einem bestimmten Punkt auf der Koordinatenlinie, nämlich einem solchen Punkt M, dessen Koordinate x ist. Diese Korrespondenz heißt eins zu eins.

So können reelle Zahlen durch Punkte einer Koordinatenlinie dargestellt werden, d.h. Die Koordinatenlinie dient als Abbild der Menge aller reellen Zahlen. Daher heißt die Menge aller reellen Zahlen Zahlenstrahl, und jede Zahl ist ein Punkt auf dieser Linie. In der Nähe eines Punktes auf einer Zahlengeraden wird oft eine Zahl angegeben – ihre Koordinate.

Rechteckiges (oder kartesisches) Koordinatensystem auf einer Ebene.

Zwei zueinander senkrechte Achsen Ungefähr x Und Über dich einen gemeinsamen Ursprung haben UM und die gleiche Maßeinheit, Form rechteckiges (oder kartesisches) Koordinatensystem auf einer Ebene.

Achse OH nennt man die Abszissenachse, die Achse OY– Ordinatenachse. Punkt UM Der Schnittpunkt der Achsen wird Ursprung genannt. Die Ebene, in der sich die Achsen befinden OH Und OY, heißt Koordinatenebene und wird bezeichnet Ungefähr xy.

Ein rechteckiges Koordinatensystem auf einer Ebene stellt also eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen der Menge aller Punkte der Ebene und der Menge der Zahlenpaare her, was eine Lösung ermöglicht geometrische Probleme algebraische Methoden anwenden. Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in 4 Teile, sie werden genannt in Vierteln, Quadrat oder Koordinatenwinkel.

Polar Koordinaten.

Das Polarkoordinatensystem besteht aus einem bestimmten Punkt UM, angerufen Pole und der von ihm ausgehende Strahl OE angerufen Polarachse. Darüber hinaus wird die Maßstabseinheit zur Messung der Segmentlängen eingestellt. Gegeben sei ein Polarkoordinatensystem und sei M– beliebiger Punkt der Ebene. Bezeichnen wir mit R– Punktabstand M vom Punkt UM, Und durch φ – der Winkel, um den der Strahl gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird, um die Polarachse mit dem Strahl auszurichten OM.

Polar Koordinaten Punkte M Rufnummern R Und φ . Nummer R gilt als erste Koordinate und wird aufgerufen Polarradius, Nummer φ – die zweite Koordinate wird aufgerufen Polarwinkel.

Punkt M mit Polarkoordinaten R Und φ werden wie folgt bezeichnet: M( ;φ). Stellen wir einen Zusammenhang zwischen den Polarkoordinaten eines Punktes und seinen rechtwinkligen Koordinaten her.
In diesem Fall gehen wir davon aus, dass der Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems am Pol liegt und die positive Halbabszissenachse mit der Polarachse zusammenfällt.

Der Punkt M habe rechteckige Koordinaten X Und Y und Polarkoordinaten R Und φ .

Nachweisen.

Von Punkten fallen lassen M 1 Und M 2 Senkrechte M 1 V Und M 1 A,. als (x 2 ; y 2). Nach dem Theorem, wenn M 1 (x 1) Und M 2 (x 2) sind dann zwei beliebige Punkte und α ist der Abstand zwischen ihnen α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

Das Lösen von Problemen in der Mathematik ist für Studierende oft mit vielen Schwierigkeiten verbunden. Helfen Sie dem Schüler, mit diesen Schwierigkeiten umzugehen, und bringen Sie ihm bei, das zu nutzen, was er hat Theoretisches Wissen bei der Lösung spezifischer Probleme in allen Abschnitten des Studiengangs „Mathematik“ – dem Hauptzweck unserer Website.

Wenn die Schüler mit der Lösung von Problemen zu diesem Thema beginnen, sollten sie in der Lage sein, anhand seiner Koordinaten einen Punkt auf einer Ebene zu konstruieren und die Koordinaten eines bestimmten Punktes zu ermitteln.

Die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten A(x A; y A) und B(x B; y B) in einer Ebene erfolgt mit der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), wobei d die Länge des Segments ist, das diese Punkte auf der Ebene verbindet.

Wenn eines der Enden des Segments mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt und das andere die Koordinaten M(x M; y M) hat, dann hat die Formel zur Berechnung von d die Form OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten basierend auf den angegebenen Koordinaten dieser Punkte

Beispiel 1.

Finden Sie die Länge des Segments, das die Punkte A(2; -5) und B(-4; 3) auf der Koordinatenebene verbindet (Abb. 1).

Lösung.

In der Problemstellung heißt es: x A = 2; xB = -4; y A = -5 und y B = 3. Finden Sie d.

Wenn wir die Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) anwenden, erhalten wir:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Berechnung der Koordinaten eines Punktes, der von drei gegebenen Punkten gleich weit entfernt ist

Beispiel 2.

Finden Sie die Koordinaten des Punktes O 1, der von den drei Punkten A(7; -1) und B(-2; 2) und C(-1; -5) gleich weit entfernt ist.

Lösung.

Aus der Formulierung der Problembedingungen folgt O 1 A = O 1 B = O 1 C. Der gewünschte Punkt O 1 habe die Koordinaten (a; b). Mit der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) finden wir:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Erstellen wir ein System aus zwei Gleichungen:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Nach dem Quadrieren der linken und die richtigen Teile Wir schreiben die Gleichungen:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Vereinfachen wir, schreiben wir

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Nachdem wir das System gelöst haben, erhalten wir: a = 2; b = -1.

Punkt O 1 (2; -1) ist von den drei in der Bedingung angegebenen Punkten gleich weit entfernt, die nicht auf derselben Geraden liegen. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch drei gegebene Punkte verläuft (Abb. 2).

3. Berechnung der Abszisse (Ordinate) eines Punktes, der auf der Abszissenachse (Ordinate) liegt und sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befindet

Beispiel 3.

Der Abstand von Punkt B(-5; 6) zu Punkt A, der auf der Ox-Achse liegt, beträgt 10. Finden Sie Punkt A.

Lösung.

Aus der Formulierung der Problembedingungen folgt, dass die Ordinate des Punktes A gleich Null und AB = 10 ist.

Wenn wir die Abszisse des Punktes A mit a bezeichnen, schreiben wir A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Wir erhalten die Gleichung √((a + 5) 2 + 36) = 10. Vereinfacht ausgedrückt gilt:

a 2 + 10a – 39 = 0.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind a 1 = -13; und 2 = 3.

Wir erhalten zwei Punkte A 1 (-13; 0) und A 2 (3; 0).

Untersuchung:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Beide erhaltenen Punkte sind entsprechend den Problembedingungen geeignet (Abb. 3).

4. Berechnung der Abszisse (Ordinate) eines Punktes, der auf der Abszissenachse (Ordinate) liegt und von zwei gegebenen Punkten den gleichen Abstand hat

Beispiel 4.

Suchen Sie einen Punkt auf der Oy-Achse, der den gleichen Abstand von den Punkten A (6, 12) und B (-8, 10) hat.

Lösung.

Die Koordinaten des auf der Oy-Achse liegenden, durch die Problembedingungen geforderten Punktes seien O 1 (0; b) (an dem auf der Oy-Achse liegenden Punkt ist die Abszisse Null). Es folgt aus der Bedingung, dass O 1 A = O 1 B.

Mit der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) finden wir:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Wir haben die Gleichung √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) oder 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Nach der Vereinfachung erhalten wir: b – 4 = 0, b = 4.

Punkt O 1 (0; 4) durch die Bedingungen des Problems erforderlich (Abb. 4).

5. Berechnung der Koordinaten eines Punktes, der sich im gleichen Abstand von den Koordinatenachsen und einem bestimmten Punkt befindet

Beispiel 5.

Suchen Sie den Punkt M, der sich auf der Koordinatenebene im gleichen Abstand von den Koordinatenachsen und vom Punkt A(-2; 1) befindet.

Lösung.

Der gesuchte Punkt M liegt wie der Punkt A(-2; 1) im zweiten Koordinatenwinkel, da er von den Punkten A, P 1 und P 2 gleich weit entfernt ist (Abb. 5). Die Abstände des Punktes M von den Koordinatenachsen sind gleich, daher sind seine Koordinaten (-a; a), wobei a > 0.

Aus den Bedingungen des Problems folgt MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

diese. |-a| = a.

Mit der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) finden wir:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Machen wir eine Gleichung:

√((-à + 2) 2 + (à – 1) 2) = a.

Nach der Quadrierung und Vereinfachung erhalten wir: a 2 – 6a + 5 = 0. Lösen Sie die Gleichung und finden Sie a 1 = 1; und 2 = 5.

Wir erhalten zwei Punkte M 1 (-1; 1) und M 2 (-5; 5), die die Bedingungen des Problems erfüllen.

6. Berechnung der Koordinaten eines Punktes, der sich im gleichen angegebenen Abstand von der Abszissenachse (Ordinatenachse) und vom angegebenen Punkt befindet

Beispiel 6.

Finden Sie einen Punkt M, dessen Abstand von der Ordinatenachse und vom Punkt A(8; 6) gleich 5 ist.

Lösung.

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass MA = 5 und die Abszisse des Punktes M gleich 5 ist. Sei die Ordinate des Punktes M gleich b, dann ist M(5; b) (Abb. 6).

Nach der Formel d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) gilt:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Machen wir eine Gleichung:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Vereinfacht erhalten wir: b 2 – 12b + 20 = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sind b 1 = 2; b 2 = 10. Folglich gibt es zwei Punkte, die die Bedingungen des Problems erfüllen: M 1 (5; 2) und M 2 (5; 10).

Es ist bekannt, dass viele Studierende bei der eigenständigen Lösung von Problemen eine ständige Beratung zu Techniken und Methoden zu deren Lösung benötigen. Oft kann ein Schüler ohne die Hilfe eines Lehrers keinen Weg finden, ein Problem zu lösen. Der Student kann auf unserer Website die notwendigen Ratschläge zur Lösung von Problemen erhalten.

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In diesem Artikel betrachten wir Möglichkeiten, die Entfernung von Punkt zu Punkt theoretisch und am Beispiel konkreter Aufgabenstellungen zu bestimmen. Lassen Sie uns zunächst einige Definitionen vorstellen.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1

Abstand zwischen Punkten ist die Länge des sie verbindenden Segments im bestehenden Maßstab. Es ist notwendig, einen Maßstab festzulegen, um eine Längeneinheit zur Messung zu haben. Daher wird das Problem, den Abstand zwischen Punkten zu ermitteln, grundsätzlich durch die Verwendung ihrer Koordinaten auf einer Koordinatenlinie, in einer Koordinatenebene oder im dreidimensionalen Raum gelöst.

Ausgangsdaten: Koordinatenlinie O x und ein darauf liegender beliebiger Punkt A. Jeder Punkt auf der Linie hat eine reelle Zahl: Es sei eine bestimmte Zahl für Punkt A x A, es ist auch die Koordinate von Punkt A.

Im Allgemeinen können wir sagen, dass die Länge eines bestimmten Segments im Vergleich zu einem Segment als Längeneinheit auf einer bestimmten Skala beurteilt wird.

Wenn Punkt A einer ganzzahligen reellen Zahl entspricht, können wir durch sequentielles Ablegen von Segmenten – Längeneinheiten – von Punkt O zu Punkt entlang der Geraden O A die Länge des Segments O A aus der Gesamtzahl der beiseite gelegten Einheitssegmente bestimmen.

Punkt A entspricht beispielsweise der Zahl 3 – um von Punkt O dorthin zu gelangen, müssen Sie drei Einheitssegmente ablegen. Wenn Punkt A die Koordinate -4 hat, werden Einheitssegmente auf ähnliche Weise angeordnet, jedoch in einer anderen, negativen Richtung. Somit ist im ersten Fall der Abstand O A gleich 3; im zweiten Fall O A = 4.

Wenn Punkt A als Koordinate hat Rationale Zahl, dann legen wir vom Ursprung (Punkt O) eine ganze Zahl von Einheitssegmenten beiseite und dann ihren notwendigen Teil. Aber geometrisch ist eine Messung nicht immer möglich. Beispielsweise scheint es schwierig zu sein, den Bruch 4 · 111 auf der Koordinatenlinie darzustellen.

Platzieren Sie es mit der oben beschriebenen Methode auf einer geraden Linie irrationale Zahl und völlig unmöglich. Zum Beispiel, wenn die Koordinate von Punkt A 11 ist. In diesem Fall kann man sich der Abstraktion zuwenden: Wenn die gegebene Koordinate des Punktes A größer als Null ist, dann ist O A = x A (die Zahl wird als Abstand genommen); wenn die Koordinate weniger als Null, dann O A = - x A . Im Allgemeinen gelten diese Aussagen für jede reelle Zahl x A.

Zusammenfassend lässt sich sagen: Der Abstand vom Ursprung zu dem Punkt, der einer reellen Zahl auf der Koordinatenlinie entspricht, ist gleich:

• 0, wenn der Punkt mit dem Ursprung übereinstimmt;

• x A, wenn x A > 0;

• - x A, wenn x A< 0 .

In diesem Fall ist es offensichtlich, dass die Länge des Segments selbst nicht negativ sein kann, daher schreiben wir mit dem Modulzeichen den Abstand von Punkt O zu Punkt A mit der Koordinate x A: O A = x A

Die folgende Aussage wird wahr sein: Der Abstand von einem Punkt zum anderen ist gleich dem Modul der Koordinatendifferenz. Diese. für die Punkte A und B, die für jeden Ort auf derselben Koordinatenlinie liegen und entsprechende Koordinaten haben x A Und x B: A B = x B - x A .

Ausgangsdaten: Punkte A und B, die auf einer Ebene in einem rechteckigen Koordinatensystem O x y mit den gegebenen Koordinaten liegen: A (x A, y A) und B (x B, y B).

Zeichnen wir Senkrechte durch die Punkte A und B zu den Koordinatenachsen O x und O y und erhalten als Ergebnis die Projektionspunkte: A x, A y, B x, B y. Basierend auf der Lage der Punkte A und B sind dann folgende Optionen möglich:

Wenn die Punkte A und B zusammenfallen, ist der Abstand zwischen ihnen Null;

Liegen die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur O x-Achse (Abszissenachse), dann fallen die Punkte zusammen und | A B | = | A y B y | . Da der Abstand zwischen den Punkten gleich dem Modul der Differenz ihrer Koordinaten ist, gilt A y B y = y B - y A und daher A B = A y B y = y B - y A.

Liegen die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur O y-Achse (Ordinatenachse) – analog zum vorherigen Absatz: A B = A x B x = x B – x A

Wenn die Punkte A und B nicht auf einer Geraden senkrecht zu einer der Koordinatenachsen liegen, ermitteln wir den Abstand zwischen ihnen, indem wir die Berechnungsformel ableiten:

Wir sehen, dass das Dreieck A B C rechteckig aufgebaut ist. In diesem Fall ist A C = A x B x und B C = A y B y. Mit dem Satz des Pythagoras erstellen wir die Gleichheit: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 und transformieren sie dann: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Lassen Sie uns aus dem erhaltenen Ergebnis eine Schlussfolgerung ziehen: Der Abstand von Punkt A zu Punkt B in der Ebene wird durch Berechnung nach der Formel unter Verwendung der Koordinaten dieser Punkte bestimmt

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Die resultierende Formel bestätigt auch zuvor gemachte Aussagen für Fälle des Zusammentreffens von Punkten oder für Situationen, in denen die Punkte auf Geraden senkrecht zu den Achsen liegen. Wenn also die Punkte A und B zusammenfallen, gilt die folgende Gleichheit: A B = (x B – x A) 2 + (y B – y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Für eine Situation, in der die Punkte A und B auf einer geraden Linie senkrecht zur x-Achse liegen:

A B = (x B – x A) 2 + (y B – y A) 2 = 0 2 + (y B – y A) 2 = y B – y A

Für den Fall, dass die Punkte A und B auf einer Geraden senkrecht zur Ordinatenachse liegen:

A B = (x B – x A) 2 + (y B – y A) 2 = (x B – x A) 2 + 0 2 = x B – x A

Ausgangsdaten: ein rechteckiges Koordinatensystem O x y z mit darauf liegenden beliebigen Punkten mit gegebenen Koordinaten A (x A, y A, z A) und B (x B, y B, z B). Es ist notwendig, den Abstand zwischen diesen Punkten zu bestimmen.

Betrachten wir den allgemeinen Fall, wenn die Punkte A und B nicht in einer Ebene parallel zu einer der Koordinatenebenen liegen. Zeichnen wir Ebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen durch die Punkte A und B und erhalten wir die entsprechenden Projektionspunkte: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Der Abstand zwischen den Punkten A und B ist die Diagonale des resultierenden Parallelepipeds. Entsprechend der Konstruktion der Maße dieses Parallelepipeds: A x B x , A y B y und A z B z

Aus dem Geometriekurs wissen wir, dass das Quadrat der Diagonale eines Parallelepipeds gleich der Summe der Quadrate seiner Abmessungen ist. Basierend auf dieser Aussage erhalten wir die Gleichheit: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Unter Verwendung der zuvor gewonnenen Schlussfolgerungen schreiben wir Folgendes:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Finale Formel zur Bestimmung des Abstands zwischen Punkten im Raum wird so aussehen:

A B = x B – x A 2 + y B – y A 2 + (z B – z A) 2

Die resultierende Formel gilt auch für Fälle, in denen:

Die Punkte fallen zusammen;

Sie liegen auf einer Koordinatenachse oder einer Geraden parallel zu einer der Koordinatenachsen.

Beispiele für die Lösung von Problemen beim Ermitteln des Abstands zwischen Punkten

Ausgangsdaten: Gegeben sind eine Koordinatenlinie und darauf liegende Punkte mit den gegebenen Koordinaten A (1 - 2) und B (11 + 2). Es ist notwendig, den Abstand vom Ursprungspunkt O zum Punkt A und zwischen den Punkten A und B zu ermitteln.

Lösung

1. Der Abstand vom Referenzpunkt zum Punkt ist gleich dem Modul der Koordinate dieses Punktes bzw. O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Wir definieren den Abstand zwischen den Punkten A und B als Modul der Differenz zwischen den Koordinaten dieser Punkte: A B = 11 + 2 – (1 – 2) = 10 + 2 2

Antwort: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Beispiel 2

Ausgangsdaten: Gegeben sind ein rechteckiges Koordinatensystem und zwei darauf liegende Punkte A (1, - 1) und B (λ + 1, 3). λ ist eine reelle Zahl. Es müssen alle Werte dieser Zahl gefunden werden, bei denen der Abstand A B gleich 5 ist.

Lösung

Um den Abstand zwischen den Punkten A und B zu ermitteln, müssen Sie die Formel A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 verwenden

Wenn wir die realen Koordinatenwerte ersetzen, erhalten wir: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Wir verwenden auch die bestehende Bedingung, dass A B = 5 und dann ist die Gleichheit wahr:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Antwort: A B = 5, wenn λ = ± 3.

Beispiel 3

Ausgangsdaten: Ein dreidimensionaler Raum wird im rechteckigen Koordinatensystem O x y z und den darin liegenden Punkten A (1, 2, 3) und B - 7, - 2, 4 angegeben.

Lösung

Um das Problem zu lösen, verwenden wir die Formel A B = x B – x A 2 + y B – y A 2 + (z B – z A) 2

Wenn wir reale Werte ersetzen, erhalten wir: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Antwort: | A B | = 9

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Als Nullmeridian gilt nach allgemeiner Auffassung derjenige, der durch das alte Greenwich-Observatorium in Greenwich verläuft. Geografische Koordinaten des Standorts können mit einem GPS-Navigator ermittelt werden. Dieses Gerät empfängt die Signale des Satellitenortungssystems im weltweit einheitlichen WGS-84-Koordinatensystem.

Navigator-Modelle unterscheiden sich in Hersteller, Funktionalität und Schnittstelle. Derzeit sind in einigen Mobiltelefonmodellen auch integrierte GPS-Navigationsgeräte verfügbar. Aber jedes Modell kann die Koordinaten eines Punktes aufzeichnen und speichern.

Abstand zwischen GPS-Koordinaten

Sie können beispielsweise den Abstand zwischen den folgenden Koordinaten bestimmen: Punkt Nr. 1 – Breitengrad 55°45′07″ N, Längengrad 37°36′56″ E; Punkt Nr. 2 – Breitengrad 58°00′02″ N, Längengrad 102°39′42″ E.

Am einfachsten ist es, die Länge zwischen zwei Punkten mit einem Taschenrechner zu berechnen. In der Browser-Suchmaschine müssen Sie einstellen folgende Parameter Zur Suche: Online zur Berechnung des Abstands zwischen zwei Koordinaten. Im Online-Rechner werden Breiten- und Längengrade in die Abfragefelder für die erste und zweite Koordinaten eingegeben. Bei der Berechnung ergab der Online-Rechner das Ergebnis - 3.800.619 m.

Die nächste Methode ist arbeitsintensiver, aber auch visueller. Sie müssen jedes verfügbare Karten- oder Navigationsprogramm verwenden. Zu den Programmen, mit denen Sie Punkte mithilfe von Koordinaten erstellen und Abstände zwischen ihnen messen können, gehören die folgenden Anwendungen: BaseCamp ( modernes Analogon MapSource-Programme), Google Earth, SAS.Planet.

Alle oben genannten Programme stehen jedem Netzwerkbenutzer zur Verfügung. Um beispielsweise den Abstand zwischen zwei Koordinaten in Google Earth zu berechnen, müssen Sie zwei Beschriftungen erstellen, die die Koordinaten des ersten und des zweiten Punkts angeben. Dann müssen Sie mit dem „Lineal“-Werkzeug die erste und zweite Markierung mit einer Linie verbinden, das Programm zeigt automatisch das Messergebnis an und zeigt den Weg auf dem Satellitenbild der Erde an.

Im oben genannten Beispiel lieferte das Programm Google Earth das Ergebnis: Die Länge der Entfernung zwischen Punkt Nr. 1 und Punkt Nr. 2 beträgt 3.817.353 m.

Warum es bei der Entfernungsbestimmung zu einem Fehler kommt