So ermitteln Sie den Wert eines Logarithmus mit unterschiedlichen Basen. Mechanische Bedeutung von Derivat

Folgt aus seiner Definition. Und so der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A ist definiert als der Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss A um die Nummer zu bekommen B(Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, entspricht der Lösung der Gleichung a x =b. Zum Beispiel, log 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das Wenn zu begründen b=a c, dann der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A gleicht Mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmen eng mit dem Thema Potenzen einer Zahl verbunden ist.

Mit Logarithmen können Sie wie mit allen Zahlen umgehen Operationen der Addition, Subtraktion und auf jede erdenkliche Weise verwandeln. Da es sich bei Logarithmen jedoch nicht um ganz gewöhnliche Zahlen handelt, gelten hier eigene Sonderregeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Logarithmen addieren und subtrahieren.

Nehmen wir zwei Logarithmen mit aus den gleichen Gründen: Log ein x Und log ein y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = Log ein x 1 + Log ein x 2 + Log ein x 3 + ... + log a x k.

Aus Logarithmus-Quotientensatz Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann ermittelt werden. Es ist allgemein bekannt, dass log A 1= 0 also

Protokoll A 1 /B=log A 1 - Protokoll ein b= - Protokoll ein b.

Das heißt, es besteht eine Gleichheit:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithmen zweier reziproker Zahlen aus dem gleichen Grund werden sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden. Also:

Protokoll 3 9= - Protokoll 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logarithmus einer Zahl N bezogen auf A Exponent genannt X , auf die Sie aufbauen müssen A um die Nummer zu bekommen N

Unter der Vorraussetzung, dass
,
,

Aus der Definition des Logarithmus folgt Folgendes
, d.h.
- Diese Gleichheit ist die grundlegende logarithmische Identität.

Logarithmen zur Basis 10 werden dezimale Logarithmen genannt. Anstatt
schreiben
.

Logarithmen zur Basis e werden als natürlich bezeichnet und bezeichnet
.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

Der Logarithmus von Eins ist für jede Basis gleich Null.

Logarithmus des Produkts gleich der Summe Logarithmen von Faktoren.

3) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen

Faktor
wird als Übergangsmodul vom Logarithmus zur Basis bezeichnet A zu Logarithmen an der Basis B .

Mithilfe der Eigenschaften 2–5 ist es häufig möglich, den Logarithmus eines komplexen Ausdrucks auf das Ergebnis einfacher arithmetischer Operationen an Logarithmen zu reduzieren.

Zum Beispiel,

Solche Transformationen eines Logarithmus werden Logarithmen genannt. Zum Logarithmus inverse Transformationen nennt man Potenzierung.

Kapitel 2. Elemente der höheren Mathematik.

1. Grenzen

Grenze der Funktion
ist eine endliche Zahl A if, as xx 0 für jeden vorgegeben
, es gibt so eine Nummer
das sobald
, Das
.

Eine Funktion, die einen Grenzwert hat, unterscheidet sich von ihr um einen verschwindend kleinen Betrag:
, wo- b.m.v., d.h.
.

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion
.

Beim Streben
, Funktion j tendiert gegen Null:

1.1. Grundlegende Sätze über Grenzen.

Der Grenzwert eines konstanten Wertes ist gleich diesem konstanten Wert

.

Der Grenzwert der Summe (Differenz) einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Produkts einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners nicht Null ist.

Wunderbare Grenzen

,
, Wo

1.2. Beispiele für Grenzwertberechnungen

Allerdings lassen sich nicht alle Grenzwerte so einfach berechnen. In den meisten Fällen kommt es bei der Berechnung des Grenzwerts darauf an, eine Unsicherheit der folgenden Art aufzudecken: oder .

.

2. Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns eine Funktion haben
, kontinuierlich auf dem Segment
.

Streit habe etwas Zuwachs bekommen
. Dann erhält die Funktion ein Inkrement
.

Argumentwert entspricht dem Funktionswert
.

Argumentwert
entspricht dem Funktionswert.

Somit, .

Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses bei
. Wenn dieser Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der gegebenen Funktion bezeichnet.

Definition 3 Ableitung einer gegebenen Funktion
durch Argumentation heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn das Inkrement des Arguments willkürlich gegen Null tendiert.

Ableitung einer Funktion
kann wie folgt bezeichnet werden:

; ; ; .

Definition 4Die Operation zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion wird aufgerufen Differenzierung.

2.1. Mechanische Bedeutung von Derivat.

Betrachten wir die geradlinige Bewegung eines starren Körpers oder materiellen Punktes.

Irgendwann mal lassen beweglicher Punkt
war in einiger Entfernung von der Ausgangsposition aus
.

Nach einiger Zeit
sie bewegte sich ein Stück
. Attitüde =- Durchschnittsgeschwindigkeit materieller Punkt
. Lassen Sie uns unter Berücksichtigung dessen die Grenze dieses Verhältnisses ermitteln
.

Folglich reduziert sich die Bestimmung der momentanen Bewegungsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes auf die Ermittlung der Ableitung des Weges nach der Zeit.

2.2. Geometrischer Wert der Ableitung

Lassen Sie uns eine grafisch definierte Funktion haben
.

Reis. 1. Geometrische Bedeutung der Ableitung

Wenn
, dann zeigen
, bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt
.

Somit
, d.h. der Wert der Ableitung für einen gegebenen Wert des Arguments numerisch gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an einem bestimmten Punkt mit der positiven Richtung der Achse bildet
.

2.3. Tabelle der grundlegenden Differenzierungsformeln.

Power-Funktion

Exponentialfunktion

Logarithmische Funktion

Trigonometrische Funktion

Umkehren Trigonometrische Funktion

2.4. Differenzierungsregeln.

Ableitung von

Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

2.5. Ableitung einer komplexen Funktion.

Die Funktion sei gegeben
so dass es in der Form dargestellt werden kann

Und
, wo die Variable ist also ein Zwischenargument

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach x.

Beispiel 1.

Beispiel 2.

3. Differentialfunktion.

Lass es sein
, differenzierbar auf einem bestimmten Intervall
lassen Sie es gehen bei Diese Funktion hat eine Ableitung

,

dann können wir schreiben

(1),

Wo - eine unendlich kleine Größe,

seit wann

Multiplikation aller Gleichheitsterme (1) mit
wir haben:

Wo
- b.m.v. Auftrag von oben.

Größe
wird als Differential der Funktion bezeichnet
und ist bezeichnet

.

3.1. Geometrischer Wert des Differentials.

Die Funktion sei gegeben
.

Abb.2. Geometrische Bedeutung des Differentials.

.

Offensichtlich das Differential der Funktion
ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an einem bestimmten Punkt.

3.2. Ableitungen und Differentiale verschiedener Ordnungen.

Wenn es gibt
, Dann
heißt die erste Ableitung.

Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung und wird geschrieben
.

Ableitung der n-ten Ordnung der Funktion
heißt die Ableitung (n-1)-ter Ordnung und wird geschrieben:

.

Das Differential des Differentials einer Funktion wird zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung genannt.

.

.

3.3 Lösung biologischer Probleme durch Differenzierung.

Aufgabe 1. Studien haben gezeigt, dass das Wachstum einer Kolonie von Mikroorganismen einem Gesetz unterliegt
, Wo N – Anzahl der Mikroorganismen (in Tausend), T – Zeit (Tage).

b) Wird die Population der Kolonie in diesem Zeitraum zunehmen oder abnehmen?

Antwort. Die Größe der Kolonie wird zunehmen.

Aufgabe 2. Das Wasser im See wird regelmäßig getestet, um den Gehalt an pathogenen Bakterien zu überwachen. Durch T Tage nach dem Test wird die Bakterienkonzentration anhand des Verhältnisses bestimmt

.

Wann wird der See eine minimale Bakterienkonzentration aufweisen und kann man darin schwimmen?

Lösung: Eine Funktion erreicht ihr Maximum oder Minimum, wenn ihre Ableitung Null ist.

,

Lassen Sie uns das Maximum oder Minimum in 6 Tagen bestimmen. Nehmen wir dazu die zweite Ableitung.

Antwort: Nach 6 Tagen ist eine minimale Bakterienkonzentration vorhanden.

Anweisungen

Schreiben Sie den angegebenen logarithmischen Ausdruck. Wenn der Ausdruck den Logarithmus von 10 verwendet, wird seine Schreibweise verkürzt und sieht folgendermaßen aus: lg b ist der dezimale Logarithmus. Wenn der Logarithmus die Zahl e als Basis hat, dann schreiben Sie den Ausdruck: ln b – natürlicher Logarithmus. Es versteht sich, dass das Ergebnis von any die Potenz ist, mit der die Basiszahl erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn Sie die Summe zweier Funktionen ermitteln möchten, müssen Sie diese lediglich einzeln differenzieren und die Ergebnisse addieren: (u+v)" = u"+v";

Um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu ermitteln, ist es notwendig, die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten zu multiplizieren und die Ableitung der zweiten Funktion multipliziert mit der ersten Funktion zu addieren: (u*v)“ = u“*v +v"*u;

Um die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen zu ermitteln, ist es notwendig, vom Produkt der Ableitung des Dividenden multipliziert mit der Divisorfunktion das Produkt der Ableitung des Divisors multipliziert mit der Funktion des Dividenden zu subtrahieren und zu dividieren das alles durch die Divisorfunktion quadriert. (u/v)“ = (u“*v-v“*u)/v^2;

Wenn eine komplexe Funktion gegeben ist, muss die Ableitung von multipliziert werden interne Funktion und die Ableitung des externen. Sei y=u(v(x)), dann ist y"(x)=y"(u)*v"(x).

Anhand der oben erhaltenen Ergebnisse können Sie nahezu jede Funktion differenzieren. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Es gibt auch Probleme bei der Berechnung der Ableitung an einem Punkt. Angenommen, die Funktion y=e^(x^2+6x+5) sei gegeben, Sie müssen den Wert der Funktion am Punkt x=1 finden.
1) Finden Sie die Ableitung der Funktion: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Berechnen Sie den Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt y"(1)=8*e^0=8

Video zum Thema

Hilfreicher Rat

Lernen Sie die Tabelle der elementaren Ableitungen. Dies wird erheblich Zeit sparen.

Quellen:

• Ableitung einer Konstante

Was ist also der Unterschied zwischen rationale Gleichung aus dem Rationalen? Wenn die unbekannte Variable unter dem Vorzeichen steht Quadratwurzel, dann gilt die Gleichung als irrational.

Anweisungen

Die Hauptmethode zur Lösung solcher Gleichungen ist die Methode der Konstruktion beider Seiten Gleichungen in ein Quadrat. Jedoch. Das ist natürlich, das erste, was Sie tun müssen, ist, das Schild zu entfernen. Diese Methode ist technisch nicht schwierig, kann aber manchmal zu Problemen führen. Die Gleichung lautet beispielsweise v(2x-5)=v(4x-7). Durch Quadrieren beider Seiten erhält man 2x-5=4x-7. Eine solche Gleichung zu lösen ist nicht schwierig; x=1. Aber die Nummer 1 wird nicht vergeben Gleichungen. Warum? Setzen Sie eins anstelle des Werts von x in die Gleichung ein, und die rechte und linke Seite enthalten Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Dieser Wert ist für eine Quadratwurzel nicht gültig. Daher ist 1 eine Fremdwurzel und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Also, irrationale Gleichung wird durch die Methode der Quadrierung beider Teile gelöst. Und nachdem die Gleichung gelöst ist, müssen überflüssige Wurzeln abgeschnitten werden. Ersetzen Sie dazu die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung.

Betrachten Sie einen anderen.
2x+vx-3=0
Natürlich kann diese Gleichung mit derselben Gleichung wie die vorherige gelöst werden. Verbindungen verschieben Gleichungen, die keine Quadratwurzel haben, in rechte Seite und verwenden Sie dann die Quadrierungsmethode. Lösen Sie die resultierende rationale Gleichung und Wurzeln. Aber auch eine andere, elegantere. Geben Sie eine neue Variable ein; vх=y. Dementsprechend erhalten Sie eine Gleichung der Form 2y2+y-3=0. Das heißt, das Übliche quadratische Gleichung. Finden Sie seine Wurzeln; y1=1 und y2=-3/2. Als nächstes lösen Sie zwei Gleichungen vх=1; vх=-3/2. Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln; aus der ersten finden wir, dass x=1. Vergessen Sie nicht, die Wurzeln zu überprüfen.

Identitäten zu lösen ist ganz einfach. Dazu müssen Sie Folgendes tun Identitätstransformationen bis das Ziel erreicht ist. Somit wird das gestellte Problem mit Hilfe einfacher Rechenoperationen gelöst.

Du wirst brauchen

• - Papier;
• - Griff.

Anweisungen

Die einfachsten dieser Transformationen sind algebraische abgekürzte Multiplikationen (z. B. Quadrat der Summe (Differenz), Differenz von Quadraten, Summe (Differenz), Kubik der Summe (Differenz)). Darüber hinaus gibt es viele und trigonometrische Formeln, die im Wesentlichen die gleichen Identitäten sind.

Tatsächlich ist das Quadrat der Summe zweier Terme gleich dem Quadrat des ersten plus dem doppelten Produkt des ersten mit dem zweiten und plus dem Quadrat des zweiten, also (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Vereinfachen Sie beides

Allgemeine Prinzipien der Lösung

Variable Ersetzungsmethode

Integrale zweiter Art lösen

Substitution von Integrationsgrenzen

Lass uns beginnen mit Eigenschaften des Logarithmus von Eins. Seine Formulierung lautet wie folgt: Der Logarithmus der Einheit ist gleich Null, d. h. log a 1=0 für jedes a>0, a≠1. Der Beweis ist nicht schwierig: Da a 0 =1 für jedes a, das die oben genannten Bedingungen a>0 und a≠1 erfüllt, folgt der zu beweisende Gleichheitslog a 1=0 unmittelbar aus der Definition des Logarithmus.

Geben wir Beispiele für die Anwendung der betrachteten Eigenschaft: log 3 1=0, log1=0 und .

Kommen wir zur nächsten Eigenschaft: Der Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ist gleich eins, also, log a a=1 für a>0, a≠1. Da für jedes a a 1 =a gilt, gilt nach Definition des Logarithmus log a a = 1.

Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen sind die Gleichungen log 5 5=1, log 5,6 5,6 und lne=1.

Zum Beispiel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 und .

Logarithmus des Produkts zweier positiver Zahlen x und y ist gleich dem Produkt der Logarithmen dieser Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Beweisen wir die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts. Aufgrund der Eigenschaften des Abschlusses a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, und da durch die logarithmische Hauptidentität a log a x =x und a log a y =y, dann a log a x ·a log a y =x·y. Somit ist ein log a x+log a y =x·y, woraus nach der Definition eines Logarithmus die zu beweisende Gleichheit folgt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts zeigen: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 und .

Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts lässt sich auf das Produkt einer endlichen Zahl n positiver Zahlen x 1 , x 2 , …, x n as verallgemeinern log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Diese Gleichheit lässt sich problemlos beweisen.

Beispielsweise kann der natürliche Logarithmus des Produkts durch die Summe dreier natürlicher Logarithmen der Zahlen 4, e und ersetzt werden.

Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen x und y ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Quotienten entspricht einer Formel der Form, wobei a>0, a≠1, x und y einige positive Zahlen sind. Die Gültigkeit dieser Formel ist ebenso bewiesen wie die Formel für den Logarithmus eines Produkts: seit , dann per Definition eines Logarithmus.

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft des Logarithmus: .

Lass uns weitergehen zu Eigenschaft des Logarithmus der Potenz. Der Logarithmus eines Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus des Basismoduls dieses Grades. Schreiben wir diese Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz als Formel: log a b p =p·log a |b|, wobei a>0, a≠1, b und p Zahlen sind, so dass der Grad b p sinnvoll ist und b p > 0.

Zuerst beweisen wir, dass diese Eigenschaft positiv b ist. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als a log a b darzustellen, dann ist b p =(a log a b) p , und der resultierende Ausdruck ist aufgrund der Potenzeigenschaft gleich a p·log a b . Wir kommen also zu der Gleichung b p =a p·log a b, woraus wir durch die Definition eines Logarithmus schließen, dass log a b p =p·log a b.

Es bleibt noch, diese Eigenschaft für negatives b zu beweisen. Hier stellen wir fest, dass der Ausdruck log a b p für negatives b nur für gerade Exponenten p sinnvoll ist (da der Wert des Grades b p größer als Null sein muss, sonst ergibt der Logarithmus keinen Sinn), und in diesem Fall b p =|b| P. Dann b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, woraus log a b p =p·log a |b| .

Zum Beispiel, und ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Es folgt aus der vorherigen Eigenschaft Eigenschaft des Logarithmus von der Wurzel: Der Logarithmus der n-ten Wurzel ist gleich dem Produkt des Bruchs 1/n mit dem Logarithmus des Wurzelausdrucks, d. h. , wobei a>0, a≠1, n – natürliche Zahl, größer als eins, b>0.

Der Beweis basiert auf der Gleichheit (siehe), die für jedes positive b gilt, und der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz: .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft: .

Jetzt lasst uns beweisen Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis Art . Dazu genügt es, die Gültigkeit der Gleichheit log c b=log a b·log c a zu beweisen. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als log a b darzustellen, dann log c b=log c a log a b . Es bleibt die Eigenschaft des Logarithmus des Grades zu verwenden: log c a log a b =log a b log c a. Damit ist die Gleichheit log c b=log a b·log c a bewiesen, was bedeutet, dass auch die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus bewiesen ist.

Lassen Sie uns einige Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen zeigen: und .

Die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis ermöglicht es Ihnen, mit Logarithmen zu arbeiten, die eine „bequeme“ Basis haben. Mit seiner Hilfe können Sie beispielsweise auf natürliche oder natürliche Weise umsteigen dezimale Logarithmen damit Sie den Wert des Logarithmus aus der Logarithmentabelle berechnen können. Die Formel zum Wechseln zu einer neuen Logarithmusbasis ermöglicht es in einigen Fällen auch, den Wert eines bestimmten Logarithmus zu ermitteln, wenn die Werte einiger Logarithmen mit anderen Basen bekannt sind.

Ein Sonderfall der Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis für c=b der Form wird häufig verwendet . Dies zeigt, dass log a b und log b a – . Z.B, .

Die Formel wird auch häufig verwendet , was zum Finden von Logarithmuswerten praktisch ist. Um unsere Worte zu bestätigen, zeigen wir, wie man damit den Wert eines Logarithmus der Form berechnen kann. Wir haben . Um die Formel zu beweisen es reicht aus, die Formel für den Übergang zur neuen Basis des Logarithmus a zu verwenden: .

Es bleibt noch, die Eigenschaften des Vergleichs von Logarithmen zu beweisen.

Beweisen wir, dass für alle positiven Zahlen b 1 und b 2, b 1 log a b 2 und für a>1 – die Ungleichung log a b 1

Abschließend bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Logarithmen zu beweisen. Beschränken wir uns auf den Beweis des ersten Teils, das heißt, wir werden beweisen, dass a 1 > 1, a 2 > 1 und a 1 gilt 1 ist wahr log a 1 b>log a 2 b . Die übrigen Aussagen dieser Eigenschaft von Logarithmen werden nach einem ähnlichen Prinzip bewiesen.

Lassen Sie uns die umgekehrte Methode verwenden. Angenommen, für a 1 >1, a 2 >1 und a 1 1 ist wahr log a 1 b≤log a 2 b . Basierend auf den Eigenschaften von Logarithmen können diese Ungleichungen umgeschrieben werden als Und und daraus folgt, dass log b a 1 ≤log b a 2 bzw. log b a 1 ≥log b a 2. Dann müssen entsprechend den Eigenschaften von Potenzen mit gleichen Basen die Gleichungen b log b a 1 ≥b log b a 2 und b log b a 1 ≥b log b a 2 gelten, also a 1 ≥a 2 . Wir kamen also zu einem Widerspruch zur Bedingung a 1

Referenzliste.