So ermitteln Sie den linearen Winkel eines Diederwinkels. Konstruieren Sie den linearen Winkel des Diederwinkels ВДСК

KAPITEL EINS GERADE UND FLUGZEUG

V. DIHEDRALWINKEL, RECHTER WINKEL MIT EINER EBENE,
WINKEL ZWEIER KREUZENDER RECHTER GERADE, POLYHEDALE WINKEL

Diederwinkel

38. Definitionen. Der Teil der Ebene, der auf einer Seite einer in dieser Ebene liegenden Geraden liegt, wird genannt Halbebene. Eine Figur, die aus zwei Halbebenen (P und Q, Abb. 26) besteht, die von einer Geraden (AB) ausgehen, heißt Diederwinkel. Direct AB heißt Rand, und die Halbebenen P und Q - Parteien oder Kanten Diederwinkel.

Ein solcher Winkel wird üblicherweise durch zwei an seiner Kante angebrachte Buchstaben bezeichnet (Diederwinkel AB). Wenn jedoch an einer Kante mehrere Diederwinkel vorhanden sind, wird jeder von ihnen durch vier Buchstaben bezeichnet, von denen sich die mittleren beiden an der Kante und die äußeren beiden an den Flächen befinden (z. B. Diederwinkel SCDR) (Abb. 27).

Wenn von einem beliebigen Punkt D Kanten AB (Abb. 28) auf jeder Fläche senkrecht zur Kante gezeichnet werden, dann wird der von ihnen gebildete Winkel CDE genannt linearer Winkel Diederwinkel.

Die Größe eines linearen Winkels hängt nicht von der Position seines Scheitelpunkts auf der Kante ab. Somit sind die linearen Winkel CDE und C 1 D 1 E 1 gleich, da ihre Seiten jeweils parallel und in die gleiche Richtung verlaufen.

Die Ebene eines linearen Winkels steht senkrecht zur Kante, da sie zwei senkrecht dazu stehende Geraden enthält. Um einen linearen Winkel zu erhalten, reicht es daher aus, die Fläche eines gegebenen Diederwinkels mit einer Ebene senkrecht zur Kante zu schneiden und den resultierenden Winkel in dieser Ebene zu betrachten.

39. Gleichheit und Ungleichheit der Diederwinkel. Zwei Diederwinkel gelten als gleich, wenn sie beim Einfügen kombiniert werden können; andernfalls bildet der als kleiner betrachtete Diederwinkel einen Teil des anderen Winkels.

Wie Winkel in der Planimetrie können Diederwinkel sein angrenzend, vertikal usw.

Wenn zwei benachbarte Diederwinkel einander gleich sind, wird jeder von ihnen aufgerufen rechter Diederwinkel.

Theoreme. 1) Gleiche Diederwinkel entsprechen gleichen linearen Winkeln.

2) Ein größerer Diederwinkel entspricht einem größeren linearer Winkel.

Seien PABQ und P 1 A 1 B 1 Q 1 (Abb. 29) zwei Diederwinkel. Wir fügen den Winkel A 1 B 1 in den Winkel AB ein, sodass die Kante A 1 B 1 mit der Kante AB und die Fläche P 1 mit der Fläche P zusammenfällt.

Dann wenn diese Dieder Winkel sind gleich, dann fällt die Fläche Q 1 mit der Fläche Q zusammen; Wenn der Winkel A 1 B 1 kleiner als der Winkel AB ist, nimmt die Fläche Q 1 eine Position innerhalb des Diederwinkels ein, zum Beispiel Q 2.

Nachdem wir dies bemerkt haben, nehmen wir einen Punkt B auf einer gemeinsamen Kante und zeichnen eine Ebene R durch ihn, senkrecht zur Kante. Aus dem Schnittpunkt dieser Ebene mit den Flächen der Diederwinkel erhält man lineare Winkel. Es ist klar, dass, wenn die Diederwinkel zusammenfallen, sie den gleichen linearen Winkel CBD haben; Wenn die Diederwinkel nicht übereinstimmen, wenn beispielsweise die Fläche Q 1 die Position Q 2 einnimmt, dann hat der größere Diederwinkel einen größeren linearen Winkel (nämlich: / CBD > / C 2 BD).

40. Umkehrsätze. 1) Gleiche lineare Winkel entsprechen gleichen Diederwinkeln.

2) Ein größerer linearer Winkel entspricht einem größeren Diederwinkel .

Diese Sätze lassen sich leicht durch Widerspruch beweisen.

41. Konsequenzen. 1) Ein rechter Diederwinkel entspricht einem rechten linearen Winkel und umgekehrt.

Sei (Abb. 30) der Diederwinkel PABQ gerade. Das bedeutet, dass es gleich ist angrenzende Ecke QABP 1. Aber auch in diesem Fall sind die linearen Winkel CDE und CDE 1 gleich; und da sie benachbart sind, muss jeder von ihnen gerade sein. Wenn umgekehrt benachbarte lineare Winkel CDE und CDE 1 gleich sind, dann sind benachbarte Diederwinkel gleich, d. h. jeder von ihnen muss gerade sein.

2) Alle rechten Diederwinkel sind gleich, weil ihre linearen Winkel gleich sind .

Ebenso lässt sich leicht beweisen, dass:

3) Die vertikalen Diederwinkel sind gleich.

4) Dieder Winkel mit jeweils parallelen und gleich (oder entgegengesetzt) ​​gerichteten Kanten sind gleich.

5) Wenn wir als Einheit von Diederwinkeln einen Diederwinkel nehmen, der einer Einheit von linearen Winkeln entspricht, dann können wir sagen, dass ein Diederwinkel durch seinen linearen Winkel gemessen wird.

Konzept des Diederwinkels

Um das Konzept eines Diederwinkels einzuführen, erinnern wir uns zunächst an eines der Axiome der Stereometrie.

Jede Ebene kann in zwei Halbebenen der in dieser Ebene liegenden Geraden $a$ geteilt werden. In diesem Fall liegen Punkte, die in derselben Halbebene liegen, auf einer Seite der Geraden $a$, und Punkte, die in verschiedenen Halbebenen liegen, liegen auf derselben Seite. verschiedene Seiten von der Geraden $a$ (Abb. 1).

Bild 1.

Das Prinzip der Konstruktion eines Diederwinkels basiert auf diesem Axiom.

Definition 1

Die Figur heißt Diederwinkel, wenn sie aus einer Geraden und zwei Halbebenen dieser Geraden besteht, die nicht zur gleichen Ebene gehören.

In diesem Fall werden die Halbebenen als Diederwinkel bezeichnet Kanten, und die gerade Linie, die die Halbebenen trennt, ist Diederkante(Abb. 1).

Abbildung 2. Diederwinkel

Gradmaß des Diederwinkels

Definition 2

Wählen wir einen beliebigen Punkt $A$ auf der Kante. Der Winkel zwischen zwei Geraden, die in verschiedenen Halbebenen liegen, senkrecht zu einer Kante stehen und sich im Punkt $A$ schneiden, wird genannt linearer Diederwinkel(Abb. 3).

Figur 3.

Offensichtlich hat jeder Diederwinkel unendlich viele lineare Winkel.

Satz 1

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich.

Nachweisen.

Betrachten wir zwei lineare Winkel $AOB$ und $A_1(OB)_1$ (Abb. 4).

Figur 4.

Da die Strahlen $OA$ und $(OA)_1$ in derselben Halbebene $\alpha $ liegen und senkrecht auf derselben Geraden stehen, sind sie gleichgerichtet. Da die Strahlen $OB$ und $(OB)_1$ in derselben Halbebene $\beta $ liegen und senkrecht auf derselben Geraden stehen, sind sie gleichgerichtet. Somit

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Aufgrund der Willkür der Wahl der linearen Winkel. Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich.

Der Satz ist bewiesen.

Definition 3

Das Gradmaß eines Diederwinkels ist das Gradmaß des linearen Winkels eines Diederwinkels.

Beispielprobleme

Beispiel 1

Gegeben seien zwei nicht senkrechte Ebenen $\alpha $ und $\beta $, die sich entlang der Geraden $m$ schneiden. Der Punkt $A$ gehört zur Ebene $\beta$. $AB$ steht senkrecht zur Linie $m$. $AC$ steht senkrecht zur Ebene $\alpha $ (Punkt $C$ gehört zu $\alpha $). Beweisen Sie, dass der Winkel $ABC$ ein linearer Winkel eines Diederwinkels ist.

Nachweisen.

Zeichnen wir ein Bild entsprechend den Bedingungen des Problems (Abb. 5).

Abbildung 5.

Um dies zu beweisen, erinnern Sie sich an den folgenden Satz

Satz 2: Eine gerade Linie, die durch die Basis einer geneigten Linie verläuft, steht senkrecht dazu, senkrecht zu ihrer Projektion.

Da $AC$ senkrecht zur Ebene $\alpha $ steht, ist Punkt $C$ die Projektion von Punkt $A$ auf die Ebene $\alpha $. Daher ist $BC$ eine Projektion des schrägen $AB$. Nach Satz 2 steht $BC$ senkrecht zur Kante des Diederwinkels.

Dann erfüllt der Winkel $ABC$ alle Anforderungen zur Definition eines linearen Diederwinkels.

Beispiel 2

Der Diederwinkel beträgt $30^\circ$. Auf einer der Flächen liegt ein Punkt $A$, der sich in einem Abstand von $4$ cm von der anderen Fläche befindet. Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt $A$ zur Kante des Diederwinkels.

Lösung.

Schauen wir uns Abbildung 5 an.

Gemäß der Bedingung gilt $AC=4\cm$.

Durch die Definition des Gradmaßes eines Diederwinkels gilt, dass der Winkel $ABC$ gleich $30^\circ$ ist.

Das Dreieck $ABC$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Per Definition der Sinus eines spitzen Winkels

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Konzept des Diederwinkels

Um das Konzept eines Diederwinkels einzuführen, erinnern wir uns zunächst an eines der Axiome der Stereometrie.

Jede Ebene kann in zwei Halbebenen der in dieser Ebene liegenden Geraden $a$ geteilt werden. In diesem Fall liegen Punkte, die in derselben Halbebene liegen, auf einer Seite der Geraden $a$, und Punkte, die in verschiedenen Halbebenen liegen, liegen auf gegenüberliegenden Seiten der Geraden $a$ (Abb. 1).

Bild 1.

Das Prinzip der Konstruktion eines Diederwinkels basiert auf diesem Axiom.

Definition 1

Die Figur heißt Diederwinkel, wenn sie aus einer Geraden und zwei Halbebenen dieser Geraden besteht, die nicht zur gleichen Ebene gehören.

In diesem Fall werden die Halbebenen als Diederwinkel bezeichnet Kanten, und die gerade Linie, die die Halbebenen trennt, ist Diederkante(Abb. 1).

Abbildung 2. Diederwinkel

Gradmaß des Diederwinkels

Definition 2

Wählen wir einen beliebigen Punkt $A$ auf der Kante. Der Winkel zwischen zwei Geraden, die in verschiedenen Halbebenen liegen, senkrecht zu einer Kante stehen und sich im Punkt $A$ schneiden, wird genannt linearer Diederwinkel(Abb. 3).

Figur 3.

Offensichtlich hat jeder Diederwinkel unendlich viele lineare Winkel.

Satz 1

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich.

Nachweisen.

Betrachten wir zwei lineare Winkel $AOB$ und $A_1(OB)_1$ (Abb. 4).

Figur 4.

Da die Strahlen $OA$ und $(OA)_1$ in derselben Halbebene $\alpha $ liegen und senkrecht auf derselben Geraden stehen, sind sie gleichgerichtet. Da die Strahlen $OB$ und $(OB)_1$ in derselben Halbebene $\beta $ liegen und senkrecht auf derselben Geraden stehen, sind sie gleichgerichtet. Somit

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Aufgrund der Willkür der Wahl der linearen Winkel. Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich.

Der Satz ist bewiesen.

Definition 3

Das Gradmaß eines Diederwinkels ist das Gradmaß des linearen Winkels eines Diederwinkels.

Beispielprobleme

Beispiel 1

Gegeben seien zwei nicht senkrechte Ebenen $\alpha $ und $\beta $, die sich entlang der Geraden $m$ schneiden. Der Punkt $A$ gehört zur Ebene $\beta$. $AB$ steht senkrecht zur Linie $m$. $AC$ steht senkrecht zur Ebene $\alpha $ (Punkt $C$ gehört zu $\alpha $). Beweisen Sie, dass der Winkel $ABC$ ein linearer Winkel eines Diederwinkels ist.

Nachweisen.

Zeichnen wir ein Bild entsprechend den Bedingungen des Problems (Abb. 5).

Abbildung 5.

Um dies zu beweisen, erinnern Sie sich an den folgenden Satz

Satz 2: Eine gerade Linie, die durch die Basis einer geneigten Linie verläuft, steht senkrecht dazu, senkrecht zu ihrer Projektion.

Da $AC$ senkrecht zur Ebene $\alpha $ steht, ist Punkt $C$ die Projektion von Punkt $A$ auf die Ebene $\alpha $. Daher ist $BC$ eine Projektion des schrägen $AB$. Nach Satz 2 steht $BC$ senkrecht zur Kante des Diederwinkels.

Dann erfüllt der Winkel $ABC$ alle Anforderungen zur Definition eines linearen Diederwinkels.

Beispiel 2

Der Diederwinkel beträgt $30^\circ$. Auf einer der Flächen liegt ein Punkt $A$, der sich in einem Abstand von $4$ cm von der anderen Fläche befindet. Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt $A$ zur Kante des Diederwinkels.

Lösung.

Schauen wir uns Abbildung 5 an.

Gemäß der Bedingung gilt $AC=4\cm$.

Durch die Definition des Gradmaßes eines Diederwinkels gilt, dass der Winkel $ABC$ gleich $30^\circ$ ist.

Das Dreieck $ABC$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Per Definition der Sinus eines spitzen Winkels

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Diese Lektion richtet sich an Selbststudium Thema „Diederwinkel“. In dieser Lektion lernen die Schüler eine der wichtigsten geometrischen Formen kennen, den Diederwinkel. Außerdem lernen wir in der Lektion, wie man den linearen Winkel der betreffenden geometrischen Figur bestimmt und wie groß der Diederwinkel an der Basis der Figur ist.

Lassen Sie uns wiederholen, was ein Winkel in einer Ebene ist und wie er gemessen wird.

Reis. 1. Flugzeug

Betrachten wir die Ebene α (Abb. 1). Von diesem Punkt UM zwei Strahlen gehen aus - OB Und OA.

Definition. Eine Figur, die aus zwei von einem Punkt ausgehenden Strahlen besteht, wird Winkel genannt.

Der Winkel wird in Grad und Bogenmaß gemessen.

Erinnern wir uns daran, was ein Bogenmaß ist.

Reis. 2. Bogenmaß

Wenn wir einen Mittelpunktswinkel haben, dessen Bogenlänge gleich dem Radius ist, dann wird ein solcher Mittelpunktswinkel als Winkel von 1 Bogenmaß bezeichnet. ,∠ AOB= 1 rad (Abb. 2).

Beziehung zwischen Bogenmaß und Grad.

froh.

Wir haben es verstanden, ich bin froh. (). Dann,

Definition. Diederwinkel eine durch eine gerade Linie gebildete Figur heißt A und zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Grenze A, nicht zur selben Ebene gehörend.

Reis. 3. Halbebenen

Betrachten wir zwei Halbebenen α und β (Abb. 3). Ihre gemeinsame Grenze ist A. Diese Zahl wird als Diederwinkel bezeichnet.

Terminologie

Die Halbebenen α und β sind die Flächen eines Diederwinkels.

Gerade A ist eine Kante eines Diederwinkels.

Auf einer gemeinsamen Kante A Diederwinkel, wählen Sie einen beliebigen Punkt UM(Abb. 4). In der Halbebene α vom Punkt UM die Senkrechte wiederherstellen OA zu einer geraden Linie A. Vom selben Punkt aus UM in der zweiten Halbebene β konstruieren wir eine Senkrechte OB bis zum Rand A. Habe einen Winkel AOB, der als linearer Winkel des Diederwinkels bezeichnet wird.

Reis. 4. Diederwinkelmessung

Beweisen wir die Gleichheit aller linearen Winkel für einen gegebenen Diederwinkel.

Nehmen wir einen Diederwinkel an (Abb. 5). Wählen wir einen Punkt UM und Punkt O 1 auf einer geraden Linie A. Konstruieren wir einen linearen Winkel, der dem Punkt entspricht UM, d.h. wir zeichnen zwei Senkrechte OA Und OB in den Ebenen α bzw. β zur Kante A. Wir verstehen den Winkel AOB- linearer Winkel des Diederwinkels.

Reis. 5. Veranschaulichung des Beweises

Von diesem Punkt O 1 Zeichnen wir zwei Senkrechte OA 1 Und OB 1 bis zum Rand A in den Ebenen α bzw. β und wir erhalten den zweiten linearen Winkel A 1 O 1 B 1.

Strahlen O 1 A 1 Und OA gleichgerichtet, da sie in derselben Halbebene liegen und parallel zueinander sind wie zwei Senkrechte auf derselben Geraden A.

Ebenso Strahlen Ungefähr 1 in 1 Und OB sind co-regie, das heißt ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 als Winkel mit gleichgerichteten Seiten, was bewiesen werden musste.

Die Ebene des linearen Winkels steht senkrecht zur Kante des Diederwinkels.

Beweisen: A ⊥ AOB.

Reis. 6. Beweisdarstellung

Nachweisen:

OA ⊥ A Durch den Bau, OB ⊥ A konstruktionsbedingt (Abb. 6).

Wir finden, dass die Linie A senkrecht zu zwei Schnittlinien OA Und OB aus der Ebene AOB, was bedeutet, dass es gerade ist A senkrecht zur Ebene OAV, was bewiesen werden musste.

Ein Diederwinkel wird durch seinen linearen Winkel gemessen. Das bedeutet, dass ein linearer Winkel genauso viele Grad Bogenmaß enthält wie sein Diederwinkel ebenso viele Grad Bogenmaß enthält. Dementsprechend unterscheiden sie die folgenden Typen Diederwinkel.

Akut (Abb. 6)

Ein Diederwinkel ist spitz, wenn sein linearer Winkel spitz ist, d. h. .

Gerade (Abb. 7)

Ein Diederwinkel ist rechts, wenn sein linearer Winkel 90° beträgt – stumpf (Abb. 8)

Ein Diederwinkel ist stumpf, wenn sein linearer Winkel stumpf ist, d. h. .

Reis. 7. Rechter Winkel

Reis. 8. Stumpfer Winkel

Beispiele für die Konstruktion linearer Winkel in realen Figuren

ABCD- Tetraeder.

1. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante AB.

Reis. 9. Illustration des Problems

Konstruktion:

Wir sprechen von einem Diederwinkel, der durch eine Kante gebildet wird AB und Kanten ABD Und ABC(Abb. 9).

Machen wir eine direkte DN senkrecht zur Ebene ABC, N- die Basis der Senkrechten. Lassen Sie uns eine Schräge zeichnen DM senkrecht zu einer Geraden AB,M- geneigter Sockel. Aus dem Satz der drei Senkrechten schließen wir, dass die Projektion eine Schräge ist NM auch senkrecht zur Linie AB.

Das heißt, vom Punkt her M zwei Senkrechte zur Kante wurden wiederhergestellt AB auf zwei seiten ABD Und ABC. Wir haben den linearen Winkel erhalten DMN.

beachte das AB, eine Kante eines Diederwinkels, senkrecht zur Ebene des linearen Winkels, d. h. der Ebene DMN. Das Problem ist behoben.

Kommentar. Der Diederwinkel kann wie folgt bezeichnet werden: DABC, Wo

AB- Kante und Punkte D Und MIT ausschlafen verschiedene Gesichter Ecke.

2. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante Wechselstrom.

Zeichnen wir eine Senkrechte DN zum Flugzeug ABC und geneigt DN senkrecht zu einer Geraden Wechselstrom. Mit dem Drei-Senkrechten-Theorem finden wir das heraus НN- Schrägprojektion DN zum Flugzeug ABC, auch senkrecht zur Linie Wechselstrom.DNH- linearer Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante Wechselstrom.

In einem Tetraeder DABC alle Kanten sind gleich. Punkt M- Mitte der Rippe Wechselstrom. Beweisen Sie, dass der Winkel DMV- linearer Diederwinkel DUD, also ein Diederwinkel mit einer Kante Wechselstrom. Eines seiner Gesichter ist WechselstromD, zweite - DIA(Abb. 10).

Reis. 10. Illustration des Problems

Lösung:

Dreieck ADC- gleichseitig, DM- Median und damit Höhe. Bedeutet, DM ⊥ Wechselstrom. Ebenso Dreieck AINC- gleichseitig, INM- Median und damit Höhe. Bedeutet, VM ⊥ Wechselstrom.

Also vom Punkt her M Rippen Wechselstrom Der Diederwinkel stellte zwei Senkrechte wieder her DM Und VM zu dieser Kante in den Flächen des Diederwinkels.

Also, ∠ DMIN ist der lineare Winkel des Diederwinkels, der bewiesen werden musste.

Wir haben also den Diederwinkel definiert, den linearen Winkel des Diederwinkels.

In der nächsten Lektion werden wir uns mit der Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen befassen und dann lernen, was ein Diederwinkel an der Basis von Figuren ist.

Literaturverzeichnis zum Thema „Diederwinkel“, „Diederwinkel an der Basis geometrischer Figuren“

1. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Allgemeinbildung Bildungsinstitutionen/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 S.: Abb.
2. Geometrie. 10. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen mit vertieftem und spezialisiertem Studium der Mathematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Auflage, Stereotyp. - M.: Bustard, 2008. - 233 S.: Abb.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Hausaufgabe zum Thema „Diederwinkel“, Bestimmung des Diederwinkels an der Basis von Figuren

Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Grund- und Fachniveau) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. – 5. Auflage, korrigiert und erweitert – M.: Mnemosyne, 2008. – 288 Seiten: Abb.

Aufgaben 2, 3 S. 67.

Was ist der lineare Diederwinkel? Wie baue ich es?

ABCD- Tetraeder. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit einer Kante:

A) IND B) DMIT.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - Würfel Konstruieren Sie den linearen Winkel des Diederwinkels Ein 1 ABC mit Rippe AB. Bestimmen Sie das Gradmaß.

Der Winkel zwischen zwei verschiedenen Ebenen kann für jeden bestimmt werden relative Position Flugzeuge.

Ein trivialer Fall, wenn die Ebenen parallel sind. Dann wird der Winkel zwischen ihnen als gleich Null betrachtet.

Ein nicht trivialer Fall, wenn sich die Ebenen schneiden. Dieser Fall ist Gegenstand weiterer Diskussionen. Zuerst benötigen wir das Konzept eines Diederwinkels.

9.1 Diederwinkel

Ein Diederwinkel besteht aus zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Geraden (die als Kante des Diederwinkels bezeichnet wird). In Abb. 50 zeigt einen durch Halbebenen gebildeten Diederwinkel; Die Kante dieses Diederwinkels ist die diesen Halbebenen gemeinsame Gerade a.

Reis. 50. Diederwinkel

Der Diederwinkel kann in Grad oder Bogenmaß gemessen werden, kurz gesagt, geben Sie den Winkelwert des Diederwinkels ein. Dies geschieht wie folgt.

An der Kante des Diederwinkels, der durch die Halbebenen und gebildet wird, nehmen wir einen beliebigen Punkt M. Zeichnen wir die Strahlen MA und MB, die jeweils in diesen Halbebenen und senkrecht zur Kante liegen (Abb. 51).

Reis. 51. Linearer Diederwinkel

Der resultierende Winkel AMB ist der lineare Winkel des Diederwinkels. Der Winkel " = \AMB ist genau der Winkelwert unseres Diederwinkels.

Definition. Die Winkelgröße eines Diederwinkels ist die Größe des linearen Winkels eines gegebenen Diederwinkels.

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich (schließlich ergeben sie sich durch Parallelverschiebung voneinander). Deshalb diese Definition richtig: Der Wert „ hängt nicht von der konkreten Wahl des Punktes M am Rand des Diederwinkels ab.

9.2 Bestimmung des Winkels zwischen Ebenen

Wenn sich zwei Ebenen schneiden, erhält man vier Diederwinkel. Wenn sie alle die gleiche Größe haben (jeweils 90), dann heißen die Ebenen senkrecht; Der Winkel zwischen den Ebenen beträgt dann 90°.

Wenn nicht alle Diederwinkel gleich sind (d. h. es gibt zwei spitze und zwei stumpfe), dann ist der Winkel zwischen den Ebenen der Wert des spitzen Diederwinkels (Abb. 52).

Reis. 52. Winkel zwischen Ebenen

9.3 Beispiele für Problemlösungen

Schauen wir uns drei Probleme an. Der erste ist einfach, der zweite und dritte liegen ungefähr auf dem Niveau C2 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik.

Aufgabe 1. Finden Sie den Winkel zwischen zwei Flächen eines regelmäßigen Tetraeders.

Lösung. Sei ABCD ein reguläres Tetraeder. Zeichnen wir die Mediane AM und DM der entsprechenden Flächen sowie die Höhe des Tetraeders DH ein (Abb. 53).

Reis. 53. Zu Aufgabe 1

Als Mediane sind AM und DM auch Höhen der gleichseitigen Dreiecke ABC und DBC. Daher ist der Winkel " = \AMD der lineare Winkel des Diederwinkels, der durch die Flächen ABC und DBC gebildet wird. Wir finden ihn aus dem Dreieck DHM:

Antwort: arccos 1 3 .

Aufgabe 2. Im richtigen viereckige Pyramide SABCD (Scheitelpunkt S) Seitenkante gleich der Basisseite. Punkt K ist die Mitte der Kante SA. Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen

Lösung. Die Linie BC verläuft parallel zu AD und somit parallel zur Ebene ADS. Daher schneidet die Ebene KBC die Ebene ADS entlang der Geraden KL parallel zu BC (Abb. 54).

Reis. 54. Zu Aufgabe 2

In diesem Fall ist KL auch parallel zur Linie AD; deshalb KL Mittellinie Dreieck ADS und Punkt L ist der Mittelpunkt von DS.

Finden wir die Höhe der Pyramide SO. Sei N die Mitte von DO. Dann ist LN die Mittellinie des Dreiecks DOS und daher LN k SO. Das bedeutet, dass LN senkrecht zur Ebene ABC steht.

Vom Punkt N senken wir die Senkrechte NM auf die Gerade BC. Die Gerade NM ist die Projektion des geneigten LM auf die ABC-Ebene. Aus dem Drei-Senkrechten-Theorem folgt dann, dass LM auch senkrecht zu BC steht.

Somit ist der Winkel " = \LMN der lineare Winkel des Diederwinkels, der durch die Halbebenen KBC und ABC gebildet wird. Wir werden diesen Winkel aus suchen rechtwinkliges Dreieck LMN.

Der Rand der Pyramide sei gleich a. Zuerst ermitteln wir die Höhe der Pyramide:

Lösung. Sei L der Schnittpunkt der Geraden A1 K und AB. Dann schneidet die Ebene A1 KC die Ebene ABC entlang der Geraden CL (Abb. 55).

A C

Reis. 55. Zu Aufgabe 3

Die Dreiecke A1 B1 K und KBL haben den gleichen Schenkel und den gleichen spitzen Winkel. Daher sind die anderen Beine gleich: A1 B1 = BL.

Betrachten Sie die Dreiecks-ACL. Darin ist BA = BC = BL. Der Winkel CBL beträgt 120; daher ist \BCL = 30 . Außerdem ist \BCA = 60 . Daher ist \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Also, LC? Wechselstrom. Die Linie AC dient jedoch als Projektion der Linie A1 C auf die Ebene ABC. Mit dem Satz der drei Senkrechten schließen wir dann, dass LC ? A1 C.

Somit ist der Winkel A1 CA der lineare Winkel des Diederwinkels, der durch die Halbebenen A1 KC und ABC gebildet wird. Dies ist der gewünschte Winkel. Aus dem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck A1 AC sehen wir, dass es gleich 45 ist.