Das Lösen von Gleichungen zu lernen ist eine der Hauptaufgaben der Algebra für Studierende. Beginnend mit dem Einfachsten, wenn es aus einer Unbekannten besteht, bis hin zu immer komplexeren. Wenn Sie die Aktionen, die mit den Gleichungen der ersten Gruppe ausgeführt werden müssen, nicht beherrschen, wird es schwierig sein, die anderen zu verstehen.

Um das Gespräch fortzusetzen, müssen Sie sich auf die Schreibweise einigen.

Allgemeine Form einer linearen Gleichung mit einer Unbekannten und das Prinzip ihrer Lösung

Jede Gleichung, die so geschrieben werden kann:

a * x = b,

angerufen linear. Das allgemeine Formel. Aber oft in Aufgaben lineare Gleichungen implizit geschrieben. Dann ist es notwendig, identische Transformationen durchzuführen, um eine allgemein akzeptierte Notation zu erhalten. Zu diesen Aktionen gehören:

öffnende Klammern;
Verschieben aller Terme mit einem variablen Wert in linke Seite Gleichheit und der Rest - nach rechts;
Reduzierung ähnlicher Begriffe.

Wenn im Nenner eines Bruchs eine unbekannte Größe steht, müssen deren Werte ermittelt werden, bei denen der Ausdruck keinen Sinn ergibt. Mit anderen Worten: Sie müssen den Definitionsbereich der Gleichung kennen.

Das Prinzip, nach dem alle linearen Gleichungen gelöst werden, besteht darin, den Wert auf der rechten Seite der Gleichung durch den Koeffizienten vor der Variablen zu dividieren. Das heißt, „x“ ist gleich b/a.

Spezialfälle linearer Gleichungen und ihre Lösungen

Während des Denkens können Momente auftreten, in denen lineare Gleichungen eine der folgenden Aufgaben übernehmen Sondertypen. Jeder von ihnen hat eine spezifische Lösung.

In der ersten Situation:

a * x = 0 und a ≠ 0.

Die Lösung einer solchen Gleichung wird immer x = 0 sein.

Im zweiten Fall nimmt „a“ den Wert Null an:

0 * x = 0.

Die Antwort auf eine solche Gleichung wird eine beliebige Zahl sein. Das heißt, es hat unendlich viele Wurzeln.

Die dritte Situation sieht so aus:

0 * x = Zoll, wobei in ≠ 0.

Diese Gleichung ergibt keinen Sinn. Weil es keine Wurzeln gibt, die es befriedigen.

Gesamtansicht einer linearen Gleichung mit zwei Variablen

Aus seinem Namen wird deutlich, dass darin bereits zwei unbekannte Größen enthalten sind. Lineare Gleichungen in zwei Variablen sieht aus wie das:

a * x + b * y = c.

Da der Datensatz zwei Unbekannte enthält, sieht die Antwort wie ein Zahlenpaar aus. Das heißt, es reicht nicht aus, nur einen Wert anzugeben. Dies wird eine unvollständige Antwort sein. Ein Größenpaar, für das die Gleichung eine Identität wird, ist eine Lösung der Gleichung. Darüber hinaus wird in der Antwort immer die Variable zuerst notiert, die im Alphabet an erster Stelle steht. Manchmal heißt es, dass ihn diese Zahlen befriedigen. Darüber hinaus kann es unendlich viele solcher Paare geben.

Wie löst man eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten?

Dazu müssen Sie lediglich ein beliebiges Zahlenpaar auswählen, das sich als richtig herausstellt. Der Einfachheit halber können Sie eine der Unbekannten nehmen, die einer Primzahl entspricht, und dann die zweite ermitteln.

Beim Lösen müssen Sie häufig Schritte ausführen, um die Gleichung zu vereinfachen. Sie werden Identitätstransformationen genannt. Darüber hinaus gelten für Gleichungen immer die folgenden Eigenschaften:

Jeder Begriff kann in den entgegengesetzten Teil der Gleichheit verschoben werden, indem sein Vorzeichen durch das entgegengesetzte ersetzt wird.
Die linke und rechte Seite jeder Gleichung dürfen durch dieselbe Zahl geteilt werden, solange diese nicht gleich Null ist.

Beispiele für Aufgaben mit linearen Gleichungen

Erste Aufgabe. Lösen Sie lineare Gleichungen: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Teilen Sie in der Gleichung, die in dieser Liste an erster Stelle steht, einfach 20 durch 4. Das Ergebnis ist 5. Das ist die Antwort: x = 5.

Die dritte Gleichung erfordert, dass eine Identitätstransformation durchgeführt wird. Es besteht darin, die Klammern zu öffnen und ähnliche Begriffe einzufügen. Nach dem ersten Schritt nimmt die Gleichung die Form an: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Dann müssen Sie alle Unbekannten auf die linke Seite der Gleichung verschieben und den Rest auf die rechte Seite. Die Gleichung sieht folgendermaßen aus: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Nach dem Hinzufügen ähnlicher Terme: 14x = 16. Jetzt sieht sie genauso aus wie die erste und ihre Lösung ist leicht zu finden. Die Antwort lautet x=8/7. Aber in der Mathematik soll man den ganzen Teil aus einem unechten Bruch isolieren. Dann wird das Ergebnis transformiert und „x“ entspricht einem Ganzen und einem Siebtel.

In den übrigen Beispielen stehen die Variablen im Nenner. Das bedeutet, dass Sie zunächst herausfinden müssen, bei welchen Werten die Gleichungen definiert sind. Dazu müssen Sie Zahlen ausschließen, deren Nenner gegen Null gehen. Im ersten Beispiel ist es „-4“, im zweiten „-3“. Das heißt, diese Werte müssen aus der Antwort ausgeschlossen werden. Danach müssen Sie beide Seiten der Gleichheit mit den Ausdrücken im Nenner multiplizieren.

Wenn wir die Klammern öffnen und ähnliche Terme angeben, erhalten wir in der ersten dieser Gleichungen: 5x + 15 = 4x + 16 und in der zweiten 5x + 15 = 4x + 12. Nach Transformationen lautet die Lösung der ersten Gleichung x = -1. Der zweite Wert ist gleich „-3“, was bedeutet, dass letzterer keine Lösungen hat.

Zweite Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: -7x + 2y = 5.

Angenommen, die erste Unbekannte x = 1, dann nimmt die Gleichung die Form -7 * 1 + 2y = 5 an. Weiter zu rechte Seite Gleichheit, der Faktor ist „-7“ und wenn man sein Vorzeichen auf Plus ändert, stellt sich heraus, dass 2y = 12. Das bedeutet y = 6. Antwort: eine der Lösungen der Gleichung x = 1, y = 6.

Allgemeine Form der Ungleichung mit einer Variablen

Alle mögliche Situationen für Ungleichungen werden hier dargestellt:

a * x > b;
ein * x< в;
a * x ≥b;
a * x ≤в.

Im Allgemeinen sieht es aus wie eine einfache lineare Gleichung, nur das Gleichheitszeichen wird durch eine Ungleichung ersetzt.

Regeln für Identitätstransformationen von Ungleichheit

Ebenso wie lineare Gleichungen können Ungleichungen nach bestimmten Gesetzen modifiziert werden. Sie laufen auf Folgendes hinaus:

Auf der linken und rechten Seite der Ungleichung kann jeder beliebige alphabetische oder numerische Ausdruck hinzugefügt werden, und das Vorzeichen der Ungleichung bleibt dasselbe.
Sie können auch mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder dividieren, auch hier ändert sich das Vorzeichen nicht;
wenn man mit demselben Ding multipliziert oder dividiert eine negative Zahl Gleichheit bleibt wahr, sofern das Ungleichheitszeichen umgekehrt wird.

Allgemeine Sicht auf doppelte Ungleichungen

Die folgenden Ungleichungen können in Problemen dargestellt werden:

V< а * х < с;
c ≤ a * x< с;
V< а * х ≤ с;
c ≤ a * x ≤ c.

Es wird doppelt genannt, weil es auf beiden Seiten durch Ungleichheitszeichen begrenzt ist. Die Lösung erfolgt nach den gleichen Regeln wie bei gewöhnlichen Ungleichungen. Und um die Antwort zu finden, kommt es auf eine Reihe identischer Transformationen an. Bis das Einfachste erreicht ist.

Merkmale der Lösung doppelter Ungleichungen

Das erste davon ist sein Bild auf der Koordinatenachse. Verwenden Sie diese Methode für einfache Ungleichungen es besteht keine Notwendigkeit. Aber in schwierigen Fällen kann es einfach notwendig sein.

Um eine Ungleichung darzustellen, müssen Sie auf der Achse alle Punkte markieren, die während der Argumentation ermittelt wurden. Dies sind ungültige Werte, die durch punktierte Punkte gekennzeichnet sind, und Werte aus Ungleichungen, die nach Transformationen erhalten werden. Auch hier ist es wichtig, die Punkte richtig zu zeichnen. Das heißt, wenn die Ungleichung streng ist< или >, dann werden diese Werte ausgestanzt. Bei nichtstrikten Ungleichungen müssen die Punkte schattiert werden.

Dann ist es notwendig, die Bedeutung der Ungleichungen anzugeben. Dies kann durch Schattierungen oder Bögen erfolgen. Ihr Schnittpunkt gibt die Antwort an.

Das zweite Merkmal hängt mit der Aufnahme zusammen. Hier werden zwei Möglichkeiten angeboten. Die erste ist die ultimative Ungleichheit. Die zweite hat die Form von Intervallen. Bei ihm kommt es vor, dass Schwierigkeiten auftauchen. Die Antwort in Leerzeichen sieht immer wie eine Variable mit einem Zugehörigkeitszeichen und Klammern mit Zahlen aus. Manchmal gibt es mehrere Leerzeichen, dann müssen Sie das „und“-Symbol zwischen die Klammern schreiben. Diese Zeichen sehen so aus: ∈ und ∩. Auch Abstandshalter spielen eine Rolle. Der runde Punkt wird platziert, wenn der Punkt aus der Antwort ausgeschlossen wird, und der rechteckige enthält diesen Wert. Das Unendlichkeitszeichen steht immer in Klammern.

Beispiele für die Lösung von Ungleichungen

1. Lösen Sie die Ungleichung 7 - 5x ≥ 37.

Nach einfachen Transformationen erhalten wir: -5x ≥ 30. Durch Division durch „-5“ erhalten wir den folgenden Ausdruck: x ≤ -6. Dies ist bereits die Antwort, kann aber auch anders geschrieben werden: x ∈ (-∞; -6].

2. Lösen Sie die doppelte Ungleichung -4< 2x + 6 ≤ 8.

Zuerst müssen Sie überall 6 subtrahieren. Sie erhalten: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Lineare Gleichungen. Lösung, Beispiele.

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Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Lineare Gleichungen.

Lineare Gleichungen sind nicht das schwierigste Thema in der Schulmathematik. Aber es gibt einige Tricks, die selbst einen geübten Schüler verwirren können. Lass es uns herausfinden?)

Typischerweise wird eine lineare Gleichung als Gleichung der Form definiert:

Axt + B = 0 Wo A und B– beliebige Zahlen.

2x + 7 = 0. Hier a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Hier a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Hier a=12, b=1/2

Nichts Kompliziertes, oder? Vor allem, wenn Ihnen die Worte nicht auffallen: „wobei a und b beliebige Zahlen sind“... Und wenn Sie es bemerken und unachtsam darüber nachdenken?) Immerhin, wenn a=0, b=0(Alle Zahlen sind möglich?), dann erhalten wir einen lustigen Ausdruck:

Aber das ist nicht alles! Wenn, sagen wir, a=0, A b=5, Es stellt sich heraus, dass dies etwas völlig Außergewöhnliches ist:

Das ist nervig und untergräbt das Selbstvertrauen in Mathematik, ja...) Vor allem bei Prüfungen. Aber aus diesen seltsamen Ausdrücken müssen Sie auch X finden! Was überhaupt nicht existiert. Und überraschenderweise ist dieses X sehr leicht zu finden. Wir werden lernen, dies zu tun. In dieser Lektion.

Wie erkennt man eine lineare Gleichung an ihrem Aussehen? Es kommt darauf an, was Aussehen.) Der Trick besteht darin, dass nicht nur Gleichungen der Form lineare Gleichungen genannt werden Axt + B = 0 , aber auch alle Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form reduziert werden können. Und wer weiß, ob es runterkommt oder nicht?)

In einigen Fällen ist eine lineare Gleichung deutlich zu erkennen. Nehmen wir an, wir haben eine Gleichung, in der es nur Unbekannte ersten Grades und Zahlen gibt. Und in der Gleichung gibt es nein Brüche dividiert durch Unbekannt , es ist wichtig! Und Division durch Nummer, oder ein numerischer Bruch – gerne! Zum Beispiel:

Dies ist eine lineare Gleichung. Hier gibt es Brüche, aber es gibt keine x im Quadrat, im Würfel usw. und keine x im Nenner, d. h. Nein Division durch x. Und hier ist die Gleichung

kann nicht als linear bezeichnet werden. Hier sind die X alle im ersten Grad, aber es gibt sie Division durch Ausdruck mit x. Nach Vereinfachungen und Transformationen können Sie eine lineare Gleichung, eine quadratische Gleichung oder alles, was Sie wollen, erhalten.

Es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist, die lineare Gleichung in einem komplizierten Beispiel zu erkennen, bis man sie fast gelöst hat. Das ist ärgerlich. Aber bei Aufgaben wird in der Regel nicht nach der Form der Gleichung gefragt, oder? Die Aufgaben erfordern Gleichungen entscheiden. Es gefällt.)

Lineare Gleichungen lösen. Beispiele.

Die gesamte Lösung linearer Gleichungen besteht aus identischen Transformationen der Gleichungen. Diese Transformationen (zwei davon!) sind übrigens die Grundlage der Lösungen alle Gleichungen der Mathematik. Mit anderen Worten: die Lösung beliebig Die Gleichung beginnt mit genau diesen Transformationen. Bei linearen Gleichungen basiert sie (die Lösung) auf diesen Transformationen und endet mit einer vollständigen Antwort. Es macht Sinn, dem Link zu folgen, oder?) Darüber hinaus gibt es dort auch Beispiele für die Lösung linearer Gleichungen.

Schauen wir uns zunächst das einfachste Beispiel an. Ohne Fallstricke. Angenommen, wir müssen diese Gleichung lösen.

x - 3 = 2 - 4x

Dies ist eine lineare Gleichung. Die X stehen alle in der ersten Potenz, es gibt keine Division durch X. Aber eigentlich ist es uns egal, um welche Art von Gleichung es sich handelt. Wir müssen es lösen. Das Schema hier ist einfach. Sammeln Sie alles mit X auf der linken Seite der Gleichung, alles ohne X (Zahlen) auf der rechten Seite.

Dazu ist eine Überweisung erforderlich - 4x nach links, natürlich mit Vorzeichenwechsel und - 3 - Nach rechts. Das ist übrigens so die erste identische Transformation von Gleichungen.Überrascht? Das bedeutet, dass Sie dem Link nicht gefolgt sind, sondern umsonst...) Wir erhalten:

x + 4x = 2 + 3

Hier sind ähnliche, wir betrachten:

Was brauchen wir für vollkommenes Glück? Ja, damit links ein reines X steht! Fünf ist im Weg. Mit der Hilfe die Fünf loswerden die zweite identische Transformation von Gleichungen. Wir dividieren nämlich beide Seiten der Gleichung durch 5. Wir erhalten eine fertige Antwort:

Ein elementares Beispiel natürlich. Dies dient zum Aufwärmen.) Es ist nicht ganz klar, warum ich mich hier an identische Transformationen erinnerte? Okay. Lasst uns den Stier bei den Hörnern packen.) Lasst uns etwas Konkreteres beschließen.

Hier ist zum Beispiel die Gleichung:

Mit was fangen wir an? Mit X – nach links, ohne X – nach rechts? Könnte so sein. Kleine Schritte auf einem langen Weg. Oder Sie können sofort, universell und auf kraftvolle Weise. Wenn Sie natürlich identische Gleichungstransformationen in Ihrem Arsenal haben.

Ich stelle Ihnen eine Schlüsselfrage: Was gefällt Ihnen an dieser Gleichung am wenigsten?

95 von 100 Personen werden antworten: Brüche ! Die Antwort ist richtig. Also lasst uns sie loswerden. Deshalb beginnen wir sofort mit zweite Identitätstransformation. Womit muss man den Bruch links multiplizieren, damit der Nenner vollständig reduziert wird? Stimmt, bei 3. Und rechts? Mit 4. Aber die Mathematik erlaubt uns, beide Seiten mit zu multiplizieren die gleiche Nummer. Wie können wir rauskommen? Lasst uns beide Seiten mit 12 multiplizieren! Diese. auf einen gemeinsamen Nenner. Dann werden sowohl die Drei als auch die Vier reduziert. Vergessen Sie nicht, dass Sie jeden Teil multiplizieren müssen vollständig. So sieht der erste Schritt aus:

Klammern erweitern:

Beachten Sie! Zähler (x+2) Ich habe es in Klammern gesetzt! Denn bei der Multiplikation von Brüchen wird der gesamte Zähler multipliziert! Jetzt können Sie Brüche kürzen:

Erweitern Sie die restlichen Klammern:

Kein Beispiel, sondern pures Vergnügen!) Erinnern wir uns nun an einen Spruch aus der Grundschule: mit X - nach links, ohne X - nach rechts! Und wenden Sie diese Transformation an:

Hier sind einige ähnliche:

Und dividiere beide Teile durch 25, d.h. Wenden Sie die zweite Transformation erneut an:

Das ist alles. Antwort: X=0,16

Beachten Sie: Um die ursprüngliche verwirrende Gleichung auf den Punkt zu bringen angenehme Aussicht, wir haben zwei (nur zwei!) verwendet Identitätstransformationen– Übersetzung von links nach rechts mit Vorzeichenwechsel und Multiplikation/Division einer Gleichung mit derselben Zahl. Dies ist eine universelle Methode! Wir werden auf diese Weise mit zusammenarbeiten beliebig Gleichungen! Absolut jeder. Deshalb wiederhole ich diese identischen Transformationen ständig mühsam.)

Wie Sie sehen, ist das Prinzip der Lösung linearer Gleichungen einfach. Wir nehmen die Gleichung und vereinfachen sie mit identischen Transformationen, bis wir die Antwort erhalten. Die Hauptprobleme liegen hier in den Berechnungen, nicht im Lösungsprinzip.

Aber... Es gibt solche Überraschungen bei der Lösung der elementarsten linearen Gleichungen, dass sie einen in eine starke Benommenheit versetzen können...) Glücklicherweise kann es nur zwei solcher Überraschungen geben. Nennen wir sie Sonderfälle.

Sonderfälle bei der Lösung linearer Gleichungen.

Erste Überraschung.

Angenommen, Sie stoßen auf eine sehr einfache Gleichung, etwa:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Etwas gelangweilt verschieben wir es mit einem X nach links, ohne X - nach rechts... Mit einem Vorzeichenwechsel ist alles perfekt... Wir bekommen:

2x-5x+3x=5-2-3

Wir zählen und... ups!!! Wir bekommen:

Diese Gleichheit ist an sich nicht zu beanstanden. Null ist wirklich Null. Aber X fehlt! Und wir müssen in der Antwort aufschreiben: was ist x gleich? Sonst zählt die Lösung nicht, oder...) Deadlock?

Ruhig! In solchen Zweifelsfällen helfen Ihnen die allgemeinsten Regeln. Wie löst man Gleichungen? Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Das heisst, Finden Sie alle Werte von x, die, wenn sie in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, die richtige Gleichheit ergeben.

Aber wir haben echte Gleichberechtigung bereits passiert! 0=0, wie viel genauer?! Es bleibt abzuwarten, bei welchen x-Werten dies geschieht. Durch welche Werte von X kann ersetzt werden? Original Gleichung, wenn diese x's Werden sie trotzdem auf Null reduziert? Aufleuchten?)

Ja!!! Xs können ersetzt werden beliebig! Welche möchtest du? Mindestens 5, mindestens 0,05, mindestens -220. Sie werden immer noch schrumpfen. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen.) Ersetzen Sie alle Werte von X durch Original Gleichung und berechnen. Es wird immer klappen reine Wahrheit: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 und so weiter.

Hier ist Ihre Antwort: x – eine beliebige Zahl.

Die Antwort kann in verschiedenen mathematischen Symbolen geschrieben werden, das Wesentliche ändert sich nicht. Dies ist eine völlig korrekte und vollständige Antwort.

Zweite Überraschung.

Nehmen wir dieselbe elementare lineare Gleichung und ändern wir darin nur eine Zahl. Das werden wir entscheiden:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Nach denselben identischen Transformationen erhalten wir etwas Interessantes:

So. Wir haben eine lineare Gleichung gelöst und eine seltsame Gleichheit erhalten. Mathematisch gesehen haben wir es geschafft falsche Gleichheit. Und sprechen in einfacher Sprache, das ist nicht wahr. Rave. Dennoch ist dieser Unsinn ein sehr guter Grund dafür die richtige Entscheidung Gleichungen.)

Auch hier denken wir basierend auf Allgemeine Regeln. Was x uns ergibt, wenn wir es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen WAHR Gleichwertigkeit? Ja, keine! Es gibt keine solchen Xs. Egal was man eingibt, alles wird reduziert, nur Unsinn bleibt übrig.)

Hier ist Ihre Antwort: es gibt keine Lösungen.

Dies ist auch eine völlig vollständige Antwort. In der Mathematik findet man solche Antworten oft.

So. Nun hoffe ich, dass Sie das Verschwinden von X beim Lösen einer Gleichung (nicht nur einer linearen Gleichung) überhaupt nicht verwirrt. Das ist schon eine bekannte Angelegenheit.)

Nachdem wir uns nun mit allen Fallstricken linearer Gleichungen befasst haben, ist es sinnvoll, sie zu lösen.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Usw. ist es logisch, sich mit Gleichungen anderer Art vertraut zu machen. Die nächsten in der Reihe sind lineare Gleichungen, dessen gezieltes Studium im Algebraunterricht in der 7. Klasse beginnt.

Es ist klar, dass Sie zuerst erklären müssen, was eine lineare Gleichung ist, eine Definition einer linearen Gleichung und ihrer Koeffizienten geben und sie zeigen müssen generelle Form. Dann können Sie herausfinden, wie viele Lösungen eine lineare Gleichung abhängig von den Werten der Koeffizienten hat und wie die Wurzeln gefunden werden. Dadurch können Sie mit der Lösung von Beispielen fortfahren und so die erlernte Theorie festigen. In diesem Artikel werden wir Folgendes tun: Wir werden ausführlich auf alle theoretischen und praktischen Punkte im Zusammenhang mit linearen Gleichungen und ihren Lösungen eingehen.

Nehmen wir gleich an, dass wir hier nur lineare Gleichungen mit einer Variablen betrachten und in einem separaten Artikel die Lösungsprinzipien untersuchen lineare Gleichungen mit zwei Variablen.

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Was ist eine lineare Gleichung?

Die Definition einer linearen Gleichung ergibt sich aus der Art und Weise, wie sie geschrieben wird. Darüber hinaus weisen die Formulierungen der Definitionen linearer Gleichungen in verschiedenen Lehrbüchern der Mathematik und Algebra einige Unterschiede auf, die den Kern des Problems nicht beeinträchtigen.

Beispielsweise ist im Algebra-Lehrbuch für die 7. Klasse von Yu N. Makarychev et al. eine lineare Gleichung wie folgt definiert:

Definition.

Gleichung des Formulars ein x=b, wobei x eine Variable ist, a und b einige Zahlen sind, heißt lineare Gleichung mit einer Variablen.

Lassen Sie uns Beispiele für lineare Gleichungen geben, die der angegebenen Definition entsprechen. Zum Beispiel ist 5 x = 10 eine lineare Gleichung mit einer Variablen x, hier ist der Koeffizient a 5 und die Zahl b ist 10. Ein weiteres Beispiel: −2,3·y=0 ist ebenfalls eine lineare Gleichung, jedoch mit einer Variablen y, in der a=−2,3 und b=0. Und in linearen Gleichungen x=−2 und −x=3,33 a sind nicht explizit vorhanden und sind gleich 1 bzw. −1, während in der ersten Gleichung b=−2 und in der zweiten - b=3,33.

Und ein Jahr zuvor galten im Lehrbuch der Mathematik von N. Ya. Vilenkin neben Gleichungen der Form a x = b auch lineare Gleichungen mit einer Unbekannten als Gleichungen, die durch Termübertragung in diese Form gebracht werden können von einem Teil der Gleichung zum anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen sowie durch Reduzierung ähnlicher Begriffe. Nach dieser Definition sind Gleichungen der Form 5 x = 2 x + 6 usw. auch linear.

Im Algebra-Lehrbuch für die 7. Klasse von A. G. Mordkovich wiederum findet sich folgende Definition:

Definition.

Lineare Gleichung mit einer Variablen x ist eine Gleichung der Form a·x+b=0, wobei a und b einige Zahlen sind, die Koeffizienten der linearen Gleichung genannt werden.

Lineare Gleichungen dieser Art lauten beispielsweise 2 x−12=0, hier ist der Koeffizient a 2 und b gleich −12, und 0,2 y+4,6=0 mit den Koeffizienten a=0,2 und b =4,6. Gleichzeitig gibt es aber auch Beispiele für lineare Gleichungen, die nicht die Form a·x+b=0, sondern a·x=b haben, zum Beispiel 3·x=12.

Damit wir in Zukunft keine Unstimmigkeiten haben, meinen wir unter einer linearen Gleichung mit einer Variablen x und den Koeffizienten a und b eine Gleichung der Form a x + b = 0. Diese Art der linearen Gleichung scheint am gerechtfertigtsten zu sein, da lineare Gleichungen dies auch sind algebraische Gleichungen erster Abschluss. Und alle anderen oben angegebenen Gleichungen sowie Gleichungen, die durch äquivalente Transformationen auf die Form a x + b = 0 reduziert werden, nennen wir Gleichungen, die sich auf lineare Gleichungen reduzieren lassen. Bei diesem Ansatz ist die Gleichung 2 x+6=0 eine lineare Gleichung und 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12 usw. - Dies sind Gleichungen, die auf lineare Gleichungen reduziert werden.

Wie löst man lineare Gleichungen?

Jetzt ist es an der Zeit herauszufinden, wie lineare Gleichungen a·x+b=0 gelöst werden. Mit anderen Worten: Es ist an der Zeit herauszufinden, ob eine lineare Gleichung Wurzeln hat und wenn ja, wie viele davon und wie man sie findet.

Das Vorhandensein von Wurzeln einer linearen Gleichung hängt von den Werten der Koeffizienten a und b ab. In diesem Fall gilt für die lineare Gleichung a x+b=0

die einzige Wurzel für a≠0,
hat keine Wurzeln für a=0 und b≠0,
hat unendlich viele Wurzeln für a=0 und b=0, wobei jede Zahl eine Wurzel einer linearen Gleichung ist.

Lassen Sie uns erklären, wie diese Ergebnisse erzielt wurden.

Wir wissen, dass wir zur Lösung von Gleichungen von der ursprünglichen Gleichung zu äquivalenten Gleichungen übergehen können, also zu Gleichungen mit denselben Wurzeln oder, wie die ursprüngliche, ohne Wurzeln. Dazu können Sie die folgenden äquivalenten Transformationen verwenden:

einen Term mit umgekehrtem Vorzeichen von einem Teil der Gleichung auf einen anderen übertragen,
sowie das Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null.

In einer linearen Gleichung mit einer Variablen der Form a·x+b=0 können wir also den Term b mit umgekehrtem Vorzeichen von der linken Seite auf die rechte Seite verschieben. In diesem Fall nimmt die Gleichung die Form a·x=−b an.

Und dann stellt sich die Frage, beide Seiten der Gleichung durch die Zahl a zu dividieren. Aber es gibt eine Sache: Die Zahl a kann gleich Null sein, dann ist eine solche Division unmöglich. Um dieses Problem zu lösen, gehen wir zunächst davon aus, dass die Zahl a ungleich Null ist, und betrachten den Fall, dass a gleich Null ist, etwas später separat.

Wenn also a ungleich Null ist, können wir beide Seiten der Gleichung a·x=−b durch a dividieren, woraufhin sie in die Form x=(−b):a transformiert wird, dieses Ergebnis kann sein geschrieben mit dem gebrochenen Schrägstrich as.

Somit ist für a≠0 die lineare Gleichung a·x+b=0 äquivalent zu der Gleichung, aus der ihre Wurzel ersichtlich ist.

Es lässt sich leicht zeigen, dass diese Wurzel eindeutig ist, das heißt, die lineare Gleichung hat keine anderen Wurzeln. Dies ermöglicht Ihnen die umgekehrte Methode.

Bezeichnen wir die Wurzel als x 1. Nehmen wir an, dass es eine weitere Wurzel der linearen Gleichung gibt, die wir als x 2 bezeichnen, und x 2 ≠x 1, die aufgrund Bestimmung gleicher Zahlen durch Differenz ist äquivalent zur Bedingung x 1 −x 2 ≠0. Da x 1 und x 2 Wurzeln der linearen Gleichung a·x+b=0 sind, gelten die numerischen Gleichungen a·x 1 +b=0 und a·x 2 +b=0. Wir können die entsprechenden Teile dieser Gleichungen subtrahieren, was uns die Eigenschaften numerischer Gleichungen erlauben, wir haben a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, woraus a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 und dann a·(x 1 −x 2)=0 . Diese Gleichheit ist jedoch unmöglich, da sowohl a≠0 als auch x 1 − x 2 ≠0 sind. Wir kamen also zu einem Widerspruch, der die Eindeutigkeit der Wurzel der linearen Gleichung a·x+b=0 für a≠0 beweist.

Also haben wir die lineare Gleichung a·x+b=0 für a≠0 gelöst. Das erste Ergebnis zu Beginn dieses Absatzes ist gerechtfertigt. Es sind noch zwei weitere übrig, die die Bedingung a=0 erfüllen.

Wenn a=0, nimmt die lineare Gleichung a·x+b=0 die Form 0·x+b=0 an. Aus dieser Gleichung und der Eigenschaft, Zahlen mit Null zu multiplizieren, folgt, dass unabhängig von der Zahl, die wir als x nehmen, wenn wir sie in die Gleichung 0 x + b=0 einsetzen, die numerische Gleichheit b=0 erhalten wird. Diese Gleichheit ist wahr, wenn b=0, und in anderen Fällen, wenn b≠0, ist diese Gleichheit falsch.

Folglich ist mit a=0 und b=0 jede Zahl die Wurzel der linearen Gleichung a·x+b=0, da unter diesen Bedingungen das Ersetzen einer beliebigen Zahl durch x die korrekte numerische Gleichheit 0=0 ergibt. Und wenn a=0 und b≠0, hat die lineare Gleichung a·x+b=0 keine Wurzeln, da unter diesen Bedingungen das Ersetzen einer beliebigen Zahl anstelle von x zur falschen numerischen Gleichheit b=0 führt.

Die gegebenen Begründungen ermöglichen es uns, eine Abfolge von Aktionen zu formulieren, die es uns ermöglicht, jede lineare Gleichung zu lösen. Also, Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungen Ist:

Indem wir zunächst die lineare Gleichung schreiben, ermitteln wir die Werte der Koeffizienten a und b.
Wenn a=0 und b=0, dann hat diese Gleichung unendlich viele Wurzeln, nämlich jede Zahl ist eine Wurzel dieser linearen Gleichung.
Wenn a ungleich Null ist, dann

der Koeffizient b wird mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite übertragen und die lineare Gleichung wird in die Form a·x=−b transformiert,
Danach werden beide Seiten der resultierenden Gleichung durch eine Zahl a ungleich Null dividiert, was die gewünschte Wurzel der ursprünglichen linearen Gleichung ergibt.

Der geschriebene Algorithmus ist eine umfassende Antwort auf die Frage, wie lineare Gleichungen gelöst werden können.

Abschließend ist es erwähnenswert, dass ein ähnlicher Algorithmus verwendet wird, um Gleichungen der Form a·x=b zu lösen. Der Unterschied besteht darin, dass bei a≠0 beide Seiten der Gleichung sofort durch diese Zahl geteilt werden; hier steht b bereits im erforderlichen Teil der Gleichung und es besteht keine Notwendigkeit, sie zu übertragen.

Um Gleichungen der Form a x = b zu lösen, wird der folgende Algorithmus verwendet:

Wenn a=0 und b=0, dann hat die Gleichung unendlich viele Wurzeln, die beliebige Zahlen sind.
Wenn a=0 und b≠0, dann hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.
Wenn a ungleich Null ist, werden beide Seiten der Gleichung durch eine Zahl a ungleich Null dividiert, aus der die einzige Wurzel der Gleichung ermittelt wird, die gleich b/a ist.

Beispiele für die Lösung linearer Gleichungen

Kommen wir zum Üben. Schauen wir uns an, wie der Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen verwendet wird. Lassen Sie uns Lösungen für typische Beispiele entsprechend geben unterschiedliche Bedeutungen Koeffizienten linearer Gleichungen.

Beispiel.

Lösen Sie die lineare Gleichung 0·x−0=0.

Lösung.

In dieser linearen Gleichung sind a=0 und b=−0 , was dasselbe ist wie b=0 . Daher hat diese Gleichung unendlich viele Wurzeln; jede Zahl ist eine Wurzel dieser Gleichung.

Antwort:

x – eine beliebige Zahl.

Beispiel.

Hat die lineare Gleichung 0 x + 2,7 = 0 Lösungen?

Lösung.

In diesem Fall ist der Koeffizient a gleich Null und der Koeffizient b dieser linearen Gleichung ist gleich 2,7, also von Null verschieden. Daher hat eine lineare Gleichung keine Wurzeln.

Erste Ebene

Lineare Gleichungen. Vollständiger Leitfaden (2019)

Was sind „lineare Gleichungen“?

oder mündlich – drei Freunde bekamen jeweils Äpfel, weil Vasya alle Äpfel hatte, die er hatte.

Und jetzt haben Sie sich bereits entschieden Lineargleichung
Geben wir diesem Begriff nun eine mathematische Definition.

Lineare Gleichung - ist eine algebraische Gleichung, deren Gesamtgrad der sie bildenden Polynome gleich ist. Es sieht aus wie das:

Wo und sind irgendwelche Zahlen und

Für unseren Fall mit Vasya und Äpfeln schreiben wir:

- „Wenn Vasya allen drei Freunden die gleiche Anzahl Äpfel gibt, hat er keine Äpfel mehr“

„Versteckte“ lineare Gleichungen oder die Bedeutung von Identitätstransformationen

Obwohl auf den ersten Blick alles äußerst einfach ist, muss man beim Lösen von Gleichungen vorsichtig sein, denn als lineare Gleichungen werden nicht nur Gleichungen dieser Art bezeichnet, sondern auch alle Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Art reduziert werden können. Zum Beispiel:

Wir sehen, was rechts steht, was theoretisch bereits darauf hindeutet, dass die Gleichung nicht linear ist. Wenn wir außerdem die Klammern öffnen, erhalten wir zwei weitere Begriffe, in denen es heißt: Aber ziehen Sie keine voreiligen Schlüsse! Bevor beurteilt werden kann, ob eine Gleichung linear ist, müssen alle Transformationen durchgeführt und so das ursprüngliche Beispiel vereinfacht werden. In diesem Fall können Transformationen das Erscheinungsbild verändern, aber nicht das eigentliche Wesen der Gleichung.

Mit anderen Worten: Die Transformationsdaten müssen vorhanden sein identisch oder Äquivalent. Es gibt nur zwei solcher Transformationen, aber sie spielen eine sehr, SEHR wichtige Rolle bei der Lösung von Problemen. Schauen wir uns beide Transformationen anhand konkreter Beispiele an.

Übertragen von links nach rechts.

Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen:

Auch in Grundschule Uns wurde gesagt: „Mit X – nach links, ohne X – nach rechts.“ Welcher Ausdruck mit einem X steht rechts? Das stimmt, aber nicht wie nicht. Und das ist wichtig, denn wenn dies missverstanden wird, scheint es so einfache Frage, die Antwort ist falsch. Welcher Ausdruck mit einem X steht links? Rechts, .

Nachdem wir das nun herausgefunden haben, übertragen wir alle Begriffe mit Unbekannten auf linke Seite, und alles, was bekannt ist - auf der rechten Seite. Denken Sie daran, dass, wenn beispielsweise kein Zeichen vor der Zahl steht, die Zahl positiv ist, d. h., davor steht ein „ “-Zeichen.

Übertragen? Was hast du bekommen?

Es bleibt nur noch, ähnliche Begriffe einzuführen. Wir präsentieren:

Wir haben also die erste identische Transformation erfolgreich analysiert, obwohl ich sicher bin, dass Sie sie bereits kannten und ohne mich aktiv nutzten. Die Hauptsache ist, die Vorzeichen von Zahlen nicht zu vergessen und sie bei der Übertragung durch das Gleichheitszeichen in die entgegengesetzten zu ändern!

Multiplikation-Division.

Beginnen wir gleich mit einem Beispiel

Schauen wir mal hin und überlegen: Was gefällt uns an diesem Beispiel nicht? Das Unbekannte ist alles in einem Teil, das Bekannte in einem anderen, aber etwas hält uns auf ... Und dieses Etwas ist eine Vier, denn wenn es nicht wäre, wäre alles perfekt - x gleich der Zahl- genau so, wie wir es brauchen!

Wie kann man es loswerden? Wir können es nicht nach rechts verschieben, weil wir dann den gesamten Multiplikator verschieben müssen (wir können ihn nicht nehmen und wegreißen), und es macht auch keinen Sinn, den gesamten Multiplikator zu verschieben ...

Es ist Zeit, sich an die Division zu erinnern, also teilen wir alles durch! Alles – also sowohl die linke als auch die rechte Seite. So und nur so! Was machen wir?

Hier ist die Antwort.

Schauen wir uns nun ein weiteres Beispiel an:

Können Sie erraten, was in diesem Fall zu tun ist? Das ist richtig, multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit! Welche Antwort haben Sie erhalten? Rechts. .

Sicherlich wussten Sie bereits alles über Identitätstransformationen. Bedenken Sie, dass wir dieses Wissen einfach in Ihrem Gedächtnis aufgefrischt haben und es Zeit für etwas mehr ist – zum Beispiel für die Lösung unseres großen Beispiels:

Wie wir bereits sagten, kann man von der Betrachtung her nicht sagen, dass diese Gleichung linear ist, aber wir müssen die Klammern öffnen und identische Transformationen durchführen. Also lasst uns anfangen!

Zunächst erinnern wir uns an die Formeln der abgekürzten Multiplikation, insbesondere an das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz. Wenn Sie sich nicht erinnern, was es ist und wie die Klammern geöffnet werden, empfehle ich Ihnen dringend, das Thema zu lesen, da Ihnen diese Fähigkeiten bei der Lösung fast aller in der Prüfung vorkommenden Beispiele nützlich sein werden.
Enthüllt? Lass uns vergleichen:

Jetzt ist es an der Zeit, ähnliche Begriffe einzuführen. Erinnern Sie sich, wie wir im selben Jahr waren? Grundschule Haben sie gesagt: „Bei uns gibt es keine Fliegen und Koteletts“? Hier möchte ich Sie daran erinnern. Wir addieren alles separat: Faktoren, die haben, Faktoren, die haben, und andere Faktoren, die keine Unbekannten haben. Wenn Sie ähnliche Begriffe verwenden, verschieben Sie alle Unbekannten nach links und alles Bekannte nach rechts. Was hast du bekommen?

Wie Sie sehen können, sind die X im Quadrat verschwunden und wir sehen etwas völlig Normales. Lineargleichung. Es bleibt nur noch, es zu finden!

Und zum Schluss möchte ich noch etwas sehr Wichtiges über Identitätstransformationen sagen: Identitätstransformationen sind nicht nur auf lineare Gleichungen anwendbar, sondern auch auf quadratische, gebrochenrationale Gleichungen und andere. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass wir bei der Übertragung von Faktoren durch das Gleichheitszeichen das Vorzeichen in das Gegenteil ändern, und wenn wir mit einer Zahl dividieren oder multiplizieren, multiplizieren/dividieren wir beide Seiten der Gleichung mit der GLEICHEN Zahl.

Was haben Sie aus diesem Beispiel noch mitgenommen? Dass es durch die Betrachtung einer Gleichung nicht immer möglich ist, direkt und genau zu bestimmen, ob sie linear ist oder nicht. Es ist notwendig, den Ausdruck zunächst vollständig zu vereinfachen und erst dann zu beurteilen, was er ist.

Lineare Gleichungen. Beispiele.

Hier sind ein paar weitere Beispiele, die Sie selbst üben können: Bestimmen Sie, ob die Gleichung linear ist, und wenn ja, finden Sie ihre Wurzeln:

Antworten:

1. Ist.

2. Ist nicht.

Öffnen wir die Klammern und präsentieren wir ähnliche Begriffe:

Führen wir eine identische Transformation durch – teilen Sie die linke und rechte Seite in:

Wir sehen, dass die Gleichung nicht linear ist und daher nicht nach ihren Wurzeln gesucht werden muss.

3. Ist.

Führen wir eine identische Transformation durch – multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit, um den Nenner loszuwerden.

Denken Sie darüber nach, warum das so wichtig ist? Wenn Sie die Antwort auf diese Frage kennen, fahren Sie mit der weiteren Lösung der Gleichung fort. Wenn nicht, schauen Sie sich unbedingt das Thema an, um bei komplexeren Beispielen keine Fehler zu machen. Wie Sie sehen, ist die Situation übrigens unmöglich. Warum?
Lassen Sie uns also fortfahren und die Gleichung neu ordnen:

Wenn Sie alles problemlos geschafft haben, sprechen wir über lineare Gleichungen mit zwei Variablen.

Lineare Gleichungen in zwei Variablen

Kommen wir nun zu etwas komplexeren linearen Gleichungen mit zwei Variablen.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen haben die Form:

Wo und - beliebige Zahlen und.

Wie Sie sehen, besteht der einzige Unterschied darin, dass der Gleichung eine weitere Variable hinzugefügt wird. Und so ist alles gleich – es gibt kein x-Quadrat, keine Division durch eine Variable usw. usw.

Welches soll ich dir mitbringen? Lebensbeispiel... Nehmen wir den gleichen Vasya. Nehmen wir an, er hat beschlossen, jedem seiner drei Freunde die gleiche Anzahl Äpfel zu geben und die Äpfel für sich zu behalten. Wie viele Äpfel muss Vasya kaufen, wenn er jedem Freund einen Apfel gibt? Wie wäre es mit? Was wäre, wenn bis?

Das Verhältnis zwischen der Anzahl der Äpfel, die jede Person erhält, und der Gesamtzahl der Äpfel, die gekauft werden müssen, wird durch die Gleichung ausgedrückt:

- die Anzahl der Äpfel, die eine Person erhält (, oder, oder);
- die Anzahl der Äpfel, die Vasya für sich nehmen wird;
- Wie viele Äpfel muss Vasya kaufen, wenn man die Anzahl der Äpfel pro Person berücksichtigt?

Bei der Lösung dieses Problems stellen wir fest, dass Vasya, wenn er einem Freund einen Apfel gibt, Stücke kaufen muss, wenn er Äpfel gibt usw.

Und überhaupt. Wir haben zwei Variablen. Warum nicht diesen Zusammenhang grafisch darstellen? Wir bauen und markieren unseren Wert, also Punkte, mit Koordinaten und!

Wie Sie sehen, sind sie voneinander abhängig linear, daher der Name der Gleichungen – „ linear».

Lassen Sie uns von Äpfeln abstrahieren und verschiedene Gleichungen grafisch betrachten. Schauen Sie sich die beiden konstruierten Graphen – eine Gerade und eine Parabel, die durch beliebige Funktionen angegeben werden – genau an:

Suchen und markieren Sie die entsprechenden Punkte in beiden Bildern.
Was hast du bekommen?

Das sehen Sie im Diagramm der ersten Funktion allein entspricht eins, das heißt, sie hängen auch linear voneinander ab, was man von der zweiten Funktion nicht sagen kann. Natürlich kann man argumentieren, dass im zweiten Diagramm auch das x – entspricht, aber das ist nur ein Punkt, also ein Sonderfall, da man immer noch einen finden kann, der mehr als nur einem entspricht. Und der konstruierte Graph ähnelt in keiner Weise einer Linie, sondern ist eine Parabel.

Ich wiederhole noch einmal: Der Graph einer linearen Gleichung muss eine GERADE sein.

Mit der Tatsache, dass die Gleichung nicht linear sein wird, wenn wir bis zu irgendeinem Grad gehen – das ist am Beispiel einer Parabel verständlich, obwohl Sie selbst noch ein paar mehr bauen können einfache Diagramme, zum Beispiel oder. Aber ich versichere Ihnen – keines davon wird eine GERADE LINIE sein.

Glaubst du nicht? Bauen Sie es und vergleichen Sie es dann mit dem, was ich habe:

Was passiert, wenn wir etwas beispielsweise durch eine Zahl dividieren? Wird es einen linearen Zusammenhang geben und? Lasst uns nicht streiten, sondern lasst uns aufbauen! Lassen Sie uns zum Beispiel einen Graphen einer Funktion erstellen.

Irgendwie sieht es nicht so aus, als wäre es eine Gerade konstruiert... dementsprechend ist die Gleichung auch nicht linear.
Fassen wir zusammen:

Lineare Gleichung - ist eine algebraische Gleichung, in der der Gesamtgrad der Polynome, aus denen sie besteht, gleich ist.
Lineare Gleichung mit einer Variablen hat die Form:
, wo und sind beliebige Zahlen;
Lineare Gleichung mit zwei Variablen:
, wo und sind beliebige Zahlen.
Es ist nicht immer möglich, sofort zu bestimmen, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. Um dies zu verstehen, ist es manchmal notwendig, identische Transformationen durchzuführen, ähnliche Terme nach links/rechts zu verschieben, nicht zu vergessen, das Vorzeichen zu ändern, oder beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren/dividieren.

LINEARE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

1. Lineare Gleichung

Dies ist eine algebraische Gleichung, in der der Gesamtgrad der Polynome, aus denen sie besteht, gleich ist.

2. Lineare Gleichung mit einer Variablen hat die Form:

Wo und sind irgendwelche Zahlen;

3. Lineare Gleichung mit zwei Variablen hat die Form:

Wo und - beliebige Zahlen.

4. Identitätstransformationen

Um festzustellen, ob eine Gleichung linear ist oder nicht, müssen identische Transformationen durchgeführt werden:

Verschieben Sie ähnliche Begriffe nach links/rechts und vergessen Sie nicht, das Vorzeichen zu ändern.
Beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren/dividieren.

Gleichungen. Anders ausgedrückt: Die Lösung aller Gleichungen beginnt mit diesen Transformationen. Beim Lösen linearer Gleichungen ist es (die Lösung). Identitätstransformationen und endet mit der endgültigen Antwort.

Der Fall eines Koeffizienten ungleich Null für eine unbekannte Variable.

ax+b=0, a ≠ 0

Wir verschieben Terme mit X auf die eine Seite und Zahlen auf die andere Seite. Denken Sie unbedingt daran, dass Sie beim Verschieben von Termen auf die entgegengesetzte Seite der Gleichung das Vorzeichen ändern müssen:

ax:(a)=-b:(a)

Lassen Sie uns abkürzen A bei X und wir bekommen:

x=-b:(a)

Das ist die Antwort. Wenn Sie überprüfen müssen, ob eine Nummer vorhanden ist -b:(a) Wurzel unserer Gleichung, dann müssen wir stattdessen die ursprüngliche Gleichung einsetzen X das ist die Nummer:

a(-b:(a))+b=0 ( diese. 0=0)

Weil Diese Gleichheit ist also richtig -b:(a) und die Wahrheit ist die Wurzel der Gleichung.

Antwort: x=-b:(a), a ≠ 0.

Erstes Beispiel:

5x+2=7x-6

Wir verschieben Mitglieder mit auf eine Seite X, und auf der anderen Seite die Zahlen:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Für einen unbekannten Faktor haben wir den Koeffizienten reduziert und die Antwort erhalten:

Das ist die Antwort. Wenn Sie überprüfen müssen, ob die Zahl 4 wirklich die Wurzel unserer Gleichung ist, ersetzen wir diese Zahl anstelle von X in der ursprünglichen Gleichung:

5*4+2=7*4-6 ( diese. 22=22)

Weil Wenn diese Gleichheit wahr ist, dann ist 4 die Wurzel der Gleichung.

Zweites Beispiel:

Löse die Gleichung:

5x+14=x-49

Durch die Übertragung der Unbekannten und Zahlen in verschiedene Seiten, bekommen:

Teilen Sie die Teile der Gleichung durch den Koeffizienten bei X(durch 4) und wir erhalten:

Drittes Beispiel:

Löse die Gleichung:

Zuerst beseitigen wir die Irrationalität im Koeffizienten für die Unbekannte, indem wir alle Terme mit multiplizieren:

Dieses Formular gilt als vereinfacht, weil Die Zahl hat die Wurzel der Zahl im Nenner. Wir müssen die Antwort vereinfachen, indem wir Zähler und Nenner mit multiplizieren selbe Nummer, wir haben das:

Der Fall, dass es keine Lösungen gibt.

Löse die Gleichung:

2x+3=2x+7

Vor allen X unsere Gleichung wird keine echte Gleichheit werden. Das heißt, unsere Gleichung hat keine Wurzeln.

Antwort: Es gibt keine Lösungen.

Ein Sonderfall sind unendlich viele Lösungen.

Löse die Gleichung:

2x+3=2x+3

Wenn wir die xs und Zahlen in verschiedene Richtungen verschieben und ähnliche Terme hinzufügen, erhalten wir die Gleichung:

Auch hier ist es nicht möglich, beide Teile durch 0 zu dividieren, weil es ist verboten. Allerdings an Ort und Stelle setzen X Wenn wir eine beliebige Zahl haben, erhalten wir die richtige Gleichheit. Das heißt, jede Zahl ist eine Lösung einer solchen Gleichung. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

Antwort: unendlich viele Lösungen.