So werden Sie einen negativen Abschluss los. Potenzierung, Regeln, Beispiele

Eines der Hauptmerkmale in der Algebra und in der gesamten Mathematik ist der Abschluss. Natürlich können im 21. Jahrhundert alle Berechnungen mit einem Online-Rechner durchgeführt werden, aber für die Entwicklung des Gehirns ist es besser, zu lernen, wie man das selbst macht.

In diesem Artikel werden wir uns die meisten ansehen wichtige Fragen im Zusammenhang mit dieser Definition. Wir werden nämlich verstehen, was es im Allgemeinen ist und welche Hauptfunktionen es hat und welche Eigenschaften es in der Mathematik gibt.

Schauen wir uns Beispiele an, wie die Berechnung aussieht und wie die Grundformeln lauten. Schauen wir uns die wichtigsten Arten von Größen an und wie sie sich von anderen Funktionen unterscheiden.

Lassen Sie uns verstehen, wie man mit dieser Menge verschiedene Probleme lösen kann. Wir zeigen anhand von Beispielen, wie man einbaut Null Grad, irrational, negativ usw.

Online-Potenzierungsrechner

Was ist eine Potenz einer Zahl?

Was versteht man unter dem Ausdruck „eine Zahl potenzieren“?

Die Potenz n einer Zahl ist das Produkt von Größenfaktoren a n-mal hintereinander.

Mathematisch sieht es so aus:

a n = a * a * a * …a n .

Zum Beispiel:

• 2 3 = 2 im dritten Grad. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 zum Schritt. zwei = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 zum Schritt. vier = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 in 5 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 in 4 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Unten finden Sie eine Tabelle mit Quadraten und Würfeln von 1 bis 10.

Gradtabelle von 1 bis 10

Nachfolgend finden Sie die Ergebnisse der Potenzierung natürlicher Zahlen auf positive Potenzen – „von 1 auf 100“.

Eigenschaften von Graden

Was ist charakteristisch für eine solche mathematische Funktion? Schauen wir uns die grundlegenden Eigenschaften an.

Wissenschaftler haben Folgendes festgestellt für alle Grade charakteristische Zeichen:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Andererseits ist 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Ähnlich: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Ansonsten 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Was ist, wenn es anders ist? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Wie Sie sehen, funktionieren die Regeln.

Aber was ist mit mit Addition und Subtraktion? Es ist einfach. Zuerst wird die Potenzierung durchgeführt, dann die Addition und Subtraktion.

Schauen wir uns Beispiele an:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Bitte beachten Sie: Die Regel gilt nicht, wenn Sie zuerst subtrahieren: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

In diesem Fall müssen Sie jedoch zuerst die Addition berechnen, da in Klammern Aktionen stehen: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Wie man produziert Berechnungen in komplexeren Fällen? Die Reihenfolge ist dieselbe:

• Wenn Klammern vorhanden sind, müssen Sie mit ihnen beginnen.
• dann Potenzierung;
• führen Sie dann die Operationen der Multiplikation und Division durch;
• nach Addition, Subtraktion.

Es gibt bestimmte Eigenschaften, die nicht für alle Abschlüsse charakteristisch sind:

1. Die n-te Wurzel einer Zahl a zum m-Grad wird geschrieben als: a m / n.
2. Bei der Potenzierung eines Bruchs: Sowohl der Zähler als auch der Nenner unterliegen diesem Verfahren.
3. Wenn man das Produkt verschiedener Zahlen potenziert, entspricht der Ausdruck dem Produkt dieser Zahlen mit der gegebenen Potenz. Das heißt: (a * b) n = a n * b n .
4. Wenn Sie eine Zahl negativ potenzieren möchten, müssen Sie 1 durch eine Zahl im selben Jahrhundert dividieren, jedoch mit einem „+“-Zeichen.
5. Wenn der Nenner eines Bruchs eine negative Potenz ist, ist dieser Ausdruck gleich dem Produkt aus Zähler und Nenner einer positiven Potenz.
6. Jede Zahl hoch 0 = 1 und hoch. 1 = zu dir selbst.

Diese Regeln sind in manchen Fällen wichtig; wir werden sie im Folgenden genauer betrachten.

Abschluss mit negativem Exponenten

Was wann tun? Minusgrad, also wenn der Indikator negativ ist?

Basierend auf den Eigenschaften 4 und 5(siehe Punkt oben), es stellt sich heraus:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

Umgekehrt:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 · 3 = 8.

Was ist, wenn es ein Bruchteil ist?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Abschluss mit natürlichem Indikator

Es wird als Grad verstanden, dessen Exponenten ganzen Zahlen entsprechen.

Dinge, die Sie sich merken sollten:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1...usw.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...usw.

Wenn außerdem (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... ist, wird das Ergebnis mit einem „+“-Zeichen versehen. Wenn eine negative Zahl ungerade potenziert wird, dann ist es umgekehrt.

Charakteristisch für sie sind auch allgemeine Eigenschaften und alle oben beschriebenen spezifischen Merkmale.

Bruchgrad

Dieser Typ kann als Schema geschrieben werden: A m / n. Gelesen als: die n-te Wurzel der Zahl A hoch m.

Sie können mit einem gebrochenen Indikator machen, was Sie wollen: ihn verkleinern, in Teile aufteilen, auf eine andere Potenz erhöhen usw.

Grad mit irrationalem Exponenten

Sei α – irrationale Zahl, und A ˃ 0.

Um das Wesen eines Abschlusses mit einem solchen Indikator zu verstehen, Schauen wir uns verschiedene mögliche Fälle an:

• A = 1. Das Ergebnis ist gleich 1. Da es ein Axiom gibt, ist 1 in allen Potenzen gleich eins;

À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 – rationale Zahlen;

• 0˂А˂1.

In diesem Fall ist es umgekehrt: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 unter den gleichen Bedingungen wie im zweiten Absatz.

Der Exponent ist beispielsweise die Zahl π. Es ist rational.

r 1 – in diesem Fall gleich 3;

r 2 – wird gleich 4 sein.

Dann ist für A = 1 1 π = 1.

A = 2, dann 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, dann (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Solche Abschlüsse zeichnen sich durch alle oben beschriebenen mathematischen Operationen und spezifischen Eigenschaften aus.

Abschluss

Fassen wir zusammen: Wofür werden diese Größen benötigt, was sind die Vorteile solcher Funktionen? Natürlich vereinfachen sie zunächst einmal das Leben von Mathematikern und Programmierern beim Lösen von Beispielen, da sie es ihnen ermöglichen, Berechnungen zu minimieren, Algorithmen zu verkürzen, Daten zu systematisieren und vieles mehr.

Wo sonst kann dieses Wissen nützlich sein? In jedem Arbeitsgebiet: Medizin, Pharmakologie, Zahnmedizin, Bauwesen, Technologie, Ingenieurwesen, Design usw.

Es ist offensichtlich, dass Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden können , indem man sie nacheinander mit ihren Zeichen hinzufügt.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2.
Die Summe von a 3 - b n und h 5 -d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chancen gleiche Grade identische Variablen kann addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also gleich 5a 2.

Es ist auch offensichtlich, dass man zwei Quadrate a, drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nimmt.

Aber Grad verschiedene Variablen Und verschiedene Grade identische Variablen, müssen durch Hinzufügen ihrer Zeichen zusammengesetzt werden.

Die Summe einer 2 und einer 3 ist also die Summe einer 2 + einer 3.

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und die Potenz von a nicht gleich dem Doppelten des Quadrats von a sind, sondern dem Doppelten der Potenz von a.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen der Subtrahenden entsprechend geändert werden müssen.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzen multiplizieren

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie nacheinander schreibt, mit oder ohne ein Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ergebnis in letztes Beispiel können durch Hinzufügen identischer Variablen bestellt werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3.

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass das Ergebnis einer Multiplikation von zwei beliebigen Zahlen eine Zahl (Variable) mit einer Potenz von ist Menge Grad der Begriffe.

Also, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, a n .a m = a m+n .

Für a n wird a als Faktor so oft wie die Potenz von n verwendet;

Und ein m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten der Potenzen multipliziert werden.

Also, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplizieren Sie (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multiplizieren Sie (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten sind Negativ.

1. Also, a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa geschrieben werden.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert werden, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen gleich der Summe oder die Differenz ihrer Quadrate.

Wenn Sie die Summe und Differenz zweier erhöhter Zahlen multiplizieren Quadrat, das Ergebnis ist gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Aufteilung der Abschlüsse

Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Dividenden subtrahiert oder sie in Bruchform umwandelt.

Somit ist a 3 b 2 dividiert durch b 2 gleich a 3.

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 dividiert durch eine 3 sieht wie folgt aus: $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Zahlenreihe
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Beim Teilen von Graden mit die gleiche Grundlage ihre Indikatoren werden subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und a n+1:a = a n+1-1 = a n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Werte von Grad.
Das Ergebnis der Division von -5 durch -3 ist -2.
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Potenzenteilung sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele für das Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduzieren Sie die Exponenten um $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Verringern Sie die Exponenten um $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Reduzieren Sie die Exponenten a 2 /a 3 und a -3 /a -4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.
a 2 .a -4 ist a -2 der erste Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach der Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduzieren Sie die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 /5a 7 und 5a 5 /5a 7 oder 2a 3 /5a 2 und 5/5a 2.

5. Multiplizieren Sie (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multiplizieren Sie (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplizieren Sie b 4 /a -2 mit h -3 /x und a n /y -3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teilen Sie (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.

Wenn man das Gespräch über die Potenz einer Zahl fortsetzt, ist es logisch, herauszufinden, wie man den Wert der Potenz ermittelt. Dieser Vorgang wird aufgerufen Potenzierung. In diesem Artikel untersuchen wir, wie Potenzierung durchgeführt wird, und gehen auf alle möglichen Exponenten ein – natürliche, ganzzahlige, rationale und irrationale. Und der Tradition entsprechend werden wir Lösungen für Beispiele für die Potenzierung von Zahlen im Detail betrachten.

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Was bedeutet „Potenzierung“?

Beginnen wir mit der Erklärung der sogenannten Potenzierung. Hier ist die entsprechende Definition.

Definition.

Potenzierung- Hier geht es darum, den Wert der Potenz einer Zahl zu ermitteln.

Daher ist es dasselbe, den Wert der Potenz einer Zahl a mit dem Exponenten r zu ermitteln und die Zahl a mit der Potenz r zu potenzieren. Wenn die Aufgabe beispielsweise „Berechnen Sie den Wert der Potenz (0,5) 5“ lautet, kann sie wie folgt umformuliert werden: „Erhöhen Sie die Zahl 0,5 auf die Potenz 5.“

Jetzt können Sie direkt zu den Regeln gehen, nach denen die Potenzierung durchgeführt wird.

Eine Zahl zu einer natürlichen Potenz erhöhen

In der Praxis wird Gleichheit aufgrund von meist in der Form angewendet. Das heißt, wenn eine Zahl a auf eine gebrochene Potenz m/n erhöht wird, wird zunächst die n-te Wurzel der Zahl a gezogen und anschließend das resultierende Ergebnis auf eine ganzzahlige Potenz m erhöht.

Schauen wir uns Lösungen für Beispiele für die Erhöhung auf eine Bruchpotenz an.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert des Abschlusses.

Lösung.

Wir zeigen zwei Lösungen.

Erster Weg. Per Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten. Wir berechnen den Wert des Grades unter dem Wurzelzeichen und extrahieren dann die Kubikwurzel: .

Zweiter Weg. Durch die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten und basierend auf den Eigenschaften der Wurzeln gelten die folgenden Gleichungen: . Jetzt extrahieren wir die Wurzel , schließlich erhöhen wir es auf eine ganzzahlige Potenz .

Offensichtlich stimmen die erhaltenen Ergebnisse der Erhöhung auf eine gebrochene Potenz überein.

Antwort:

Beachten Sie, dass der gebrochene Exponent geschrieben werden kann als Dezimal oder gemischte Zahl In diesen Fällen sollte er durch den entsprechenden gewöhnlichen Bruch ersetzt und dann potenziert werden.

Beispiel.

Berechnen Sie (44,89) 2,5.

Lösung.

Schreiben wir den Exponenten in die Form gemeinsamer Bruch(ggf. siehe Artikel): . Nun führen wir die Potenzierung auf eine gebrochene Potenz durch:

Antwort:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Es sollte auch gesagt werden, dass die Potenzierung von Zahlen ein ziemlich arbeitsintensiver Prozess ist (insbesondere wenn Zähler und Nenner des Bruchexponenten ausreichend große Zahlen enthalten), der normalerweise mithilfe von Computertechnologie durchgeführt wird.

Um diesen Punkt abzuschließen, wollen wir uns mit der Potenzierung der Zahl Null auf eine gebrochene Potenz befassen. Wir haben der gebrochenen Potenz von Null der Form folgende Bedeutung gegeben: wenn wir haben und bei Null hoch m/n ist nicht definiert. Null zu einer gebrochenen positiven Potenz ist also beispielsweise Null. . Und Null in einer gebrochenen negativen Potenz macht keinen Sinn, zum Beispiel ergeben die Ausdrücke 0 -4,3 keinen Sinn.

Aufstieg zu einer irrationalen Macht

Manchmal ist es notwendig, den Wert der Potenz einer Zahl mit einem irrationalen Exponenten herauszufinden. In diesem Fall reicht es aus praktischen Gründen meist aus, den Gradwert auf ein bestimmtes Vorzeichen genau zu ermitteln. Wir stellen sofort fest, dass dieser Wert in der Praxis mithilfe elektronischer Computer berechnet wird, da die Erhöhung auf eine irrationale Potenz manuell erforderlich ist große Menge umständliche Berechnungen. Aber wir werden es trotzdem beschreiben allgemeiner Überblick die Essenz der Aktion.

Um einen Näherungswert für die Potenz einer Zahl a mit einem irrationalen Exponenten zu erhalten, wird eine dezimale Näherung des Exponenten vorgenommen und der Wert der Potenz berechnet. Dieser Wert ist ein Näherungswert der Potenz der Zahl a mit einem irrationalen Exponenten. Je genauer die dezimale Näherung einer Zahl zunächst vorgenommen wird, desto genauer wird am Ende der Gradwert erhalten.

Berechnen wir als Beispiel den ungefähren Wert der Potenz von 2 1,174367... . Nehmen wir die folgende dezimale Näherung des irrationalen Exponenten: . Erhöhen wir nun 2 auf die rationale Potenz 1,17 (wir haben die Essenz dieses Prozesses im vorherigen Absatz beschrieben), erhalten wir 2 1,17 ≈2,250116. Auf diese Weise, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Wenn wir beispielsweise eine genauere dezimale Näherung des irrationalen Exponenten vornehmen, erhalten wir einen genaueren Wert des ursprünglichen Exponenten: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Referenzliste.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematiklehrbuch für die 5. Klasse. Bildungsinstitutionen.
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• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Bildungsinstitutionen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 9. Klasse. Bildungsinstitutionen.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 – 11 allgemeinbildender Einrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Abschlussformeln im Prozess der Reduktion und Vereinfachung eingesetzt komplexe Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:

Operationen mit Abschlüssen.

1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

Bin·a n = a m + n .

2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:

3. Potenz des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Potenzen dieser Faktoren:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operationen mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:

3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:

4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:

Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.

Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, wann m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.

Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.

In diesem Artikel werden wir herausfinden, was es ist Grad von. Hier geben wir Definitionen der Potenz einer Zahl und betrachten im Detail alle möglichen Exponenten, beginnend mit dem natürlichen Exponenten und endend mit dem irrationalen Exponenten. Im Material finden Sie viele Beispiele für Abschlüsse, die alle auftretenden Feinheiten abdecken.

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Potenz mit natürlichem Exponenten, Quadrat einer Zahl, Potenz einer Zahl

Lass uns beginnen mit . Nehmen wir für die Zukunft an, dass die Definition der Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n für a gegeben ist, die wir nennen werden Abschlussbasis, und n, die wir nennen werden Exponent. Wir weisen auch darauf hin, dass eine Potenz mit einem natürlichen Exponenten durch ein Produkt bestimmt wird. Um das folgende Material zu verstehen, müssen Sie also Kenntnisse über die Multiplikation von Zahlen haben.

Definition.

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten n ist ein Ausdruck der Form a n, dessen Wert gleich dem Produkt von n Faktoren ist, von denen jeder gleich a ist, also .
Insbesondere ist die Potenz einer Zahl a mit Exponent 1 die Zahl a selbst, also a 1 =a.

Erwähnenswert sind gleich die Regeln für das Lesen von Abschlüssen. Die universelle Schreibweise a n lautet: „a hoch n“. In manchen Fällen sind auch die folgenden Optionen akzeptabel: „a hoch n-tel“ und „n-te Potenz a“. Nehmen wir zum Beispiel die Potenz 8 12, das ist „acht hoch zwölf“ oder „acht hoch zwölfte Potenz“ oder „zwölfte Potenz von acht“.

Sowohl die zweite Potenz einer Zahl als auch die dritte Potenz einer Zahl haben jeweils eigene Namen. Die zweite Potenz einer Zahl heißt Quadriere die Zahl Beispielsweise wird 7 2 als „Sieben im Quadrat“ oder „das Quadrat der Zahl Sieben“ gelesen. Die dritte Potenz einer Zahl heißt Würfelzahlen Beispielsweise kann 5 3 als „fünf gewürfelt“ gelesen werden, oder man kann „Würfel der Zahl 5“ sagen.

Es ist Zeit zu bringen Beispiele für Grade mit natürlichen Exponenten. Beginnen wir mit dem Grad 5 7, hier ist 5 die Basis des Grades und 7 der Exponent. Geben wir ein weiteres Beispiel: 4,32 ist die Basis und natürliche Zahl 9 – Exponent (4.32) 9 .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Beispiel die Basis der Potenz 4,32 in Klammern geschrieben ist: Um Unstimmigkeiten zu vermeiden, werden wir alle Basen der Potenz, die sich von natürlichen Zahlen unterscheiden, in Klammern setzen. Als Beispiel geben wir die folgenden Grade mit natürlichen Exponenten an , ihre Basen sind keine natürlichen Zahlen, daher werden sie in Klammern geschrieben. Nun, der vollständigen Klarheit halber zeigen wir an dieser Stelle den Unterschied, der in Datensätzen der Form (−2) 3 und −2 3 enthalten ist. Der Ausdruck (−2) 3 ist eine Potenz von −2 mit einem natürlichen Exponenten von 3, und der Ausdruck −2 3 (er kann als −(2 3) geschrieben werden) entspricht der Zahl, dem Wert der Potenz 2 3 .

Beachten Sie, dass es eine Notation für die Potenz einer Zahl a mit einem Exponenten n der Form a^n gibt. Wenn n außerdem eine mehrwertige natürliche Zahl ist, wird der Exponent in Klammern angegeben. Beispielsweise ist 4^9 eine andere Schreibweise für die Potenz von 4 9 . Und hier sind einige weitere Beispiele für die Schreibweise von Graden mit dem Symbol „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Im Folgenden verwenden wir hauptsächlich die Gradschreibweise der Form a n .

Eines der umgekehrten Probleme zur Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten ist das Problem, die Basis einer Potenz aus einem bekannten Wert der Potenz und einem bekannten Exponenten zu ermitteln. Diese Aufgabe führt zu .

Es ist bekannt, dass viele Rationale Zahlen besteht jeweils aus ganzen und gebrochenen Zahlen eine Bruchzahl kann als positiver oder negativer gemeinsamer Bruch dargestellt werden. Wir haben im vorherigen Absatz einen Grad mit einem ganzzahligen Exponenten definiert. Um die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten zu vervollständigen, müssen wir daher dem Grad der Zahl a mit einem gebrochenen Exponenten m/n eine Bedeutung geben, wobei m ist eine ganze Zahl und n ist eine natürliche Zahl. Lass es uns tun.

Betrachten wir einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten der Form. Damit die Power-to-Power-Eigenschaft gültig bleibt, muss die Gleichheit gelten . Wenn wir die resultierende Gleichheit und die Art und Weise, wie wir sie bestimmt haben, berücksichtigen, ist es logisch, sie zu akzeptieren, vorausgesetzt, dass der Ausdruck für gegebenes m, n und a sinnvoll ist.

Es lässt sich leicht überprüfen, ob alle Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten gültig sind (dies wurde im Abschnitt Eigenschaften eines Grades mit einem rationalen Exponenten durchgeführt).

Die obige Argumentation ermöglicht es uns, Folgendes zu sagen Abschluss: Wenn m, n und a gegeben sind, ergibt der Ausdruck einen Sinn, dann heißt die Potenz von a mit einem gebrochenen Exponenten m/n die n-te Wurzel von a hoch m.

Diese Aussage bringt uns der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten nahe. Es bleibt nur noch zu beschreiben, bei welchen m, n und a der Ausdruck Sinn macht. Abhängig von den Einschränkungen für m, n und a gibt es zwei Hauptansätze.

Der einfachste Weg besteht darin, a eine Einschränkung aufzuerlegen, indem man a≥0 für positives m und a>0 für negatives m annimmt (da für m≤0 der Grad 0 von m nicht definiert ist). Dann erhalten wir die folgende Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Potenz einer positiven Zahl a mit gebrochenem Exponenten m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, heißt die n-te Wurzel der Zahl a hoch m, also .

Die gebrochene Potenz von Null wird ebenfalls bestimmt, mit der einzigen Einschränkung, dass der Indikator positiv sein muss.

Definition.

Potenz von Null mit gebrochenem positivem Exponenten m/n, wobei m eine positive ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist, ist definiert als .
Wenn der Grad nicht bestimmt ist, also der Grad der Zahl Null mit einem gebrochenen negativen Exponenten, ergibt dies keinen Sinn.

Es ist zu beachten, dass es bei dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten eine Einschränkung gibt: Für einige negative a und einige m und n ist der Ausdruck sinnvoll, und wir haben diese Fälle verworfen, indem wir die Bedingung a≥0 eingeführt haben. Beispielsweise sind die Einträge sinnvoll oder , und die oben angegebene Definition zwingt uns zu sagen, dass Potenzen mit einem gebrochenen Exponenten der Form sind machen keinen Sinn, da die Basis nicht negativ sein sollte.

Ein anderer Ansatz zur Bestimmung eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten m/n besteht darin, gerade und ungerade Exponenten der Wurzel getrennt zu betrachten. Dieser Ansatz erfordert eine zusätzliche Bedingung: Die Potenz der Zahl a, deren Exponent ist, wird als Potenz der Zahl a betrachtet, deren Exponent der entsprechende irreduzible Bruch ist (wir werden die Bedeutung dieser Bedingung weiter unten erklären). ). Das heißt, wenn m/n ein irreduzibler Bruch ist, dann wird für jede natürliche Zahl k zunächst der Grad durch ersetzt.

Für gerades n und positives m ist der Ausdruck für jedes nichtnegative a (gerade Wurzel von) sinnvoll negative Zahl macht keinen Sinn), für negatives m muss die Zahl a immer noch von Null verschieden sein (sonst kommt es zur Division durch Null). Und für ungerades n und positives m kann die Zahl a beliebig sein (die Wurzel eines ungeraden Grades ist für jede reelle Zahl definiert), und für negatives m muss die Zahl a von Null verschieden sein (damit es keine Division durch gibt). null).

Die obige Überlegung führt uns zu dieser Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten.

Definition.

Sei m/n ein irreduzibler Bruch, m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl. Für jeden reduzierbaren Bruch wird der Grad durch ersetzt. Die Potenz einer Zahl mit einem irreduziblen gebrochenen Exponenten m/n ist für



Lassen Sie uns erklären, warum ein Grad mit einem reduzierbaren gebrochenen Exponenten zunächst durch einen Grad mit einem irreduziblen Exponenten ersetzt wird. Wenn wir den Grad einfach als definieren und keinen Vorbehalt hinsichtlich der Irreduzibilität des Bruchs m/n machen würden, dann stünden wir vor ähnlichen Situationen: Da 6/10 = 3/5, muss die Gleichheit gelten , Aber , A .