استخدام المعادلات منتشر على نطاق واسع في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية وبناء الهياكل وحتى الألعاب الرياضية. استخدم الإنسان المعادلات في العصور القديمة، ومنذ ذلك الحين زاد استخدامها. يتيح لك المميز حل أي معادلة تربيعية باستخدام صيغة عامة لها الصيغة التالية:

تعتمد الصيغة التمييزية على درجة كثير الحدود. الصيغة أعلاه مناسبة لحل المعادلات التربيعية النوع التالي:

يحتوي المميز على الخصائص التالية التي تحتاج إلى معرفتها:

* "D" يساوي 0 عندما يكون لكثير الحدود جذور متعددة (جذور متساوية)؛

* "D" هي كثيرة الحدود متماثلة فيما يتعلق بجذور كثيرة الحدود، وبالتالي فهي كثيرة الحدود في معاملاتها؛ علاوة على ذلك، فإن معاملات كثيرة الحدود هذه هي أعداد صحيحة بغض النظر عن الامتداد الذي تؤخذ فيه الجذور.

لنفترض أن لدينا معادلة تربيعية بالشكل التالي:

1 معادلة

وفقا للصيغة لدينا:

بما أن \، فإن المعادلة لها جذران. دعونا نحددهم:

أين يمكنني حل معادلة باستخدام حل التمييز عبر الإنترنت؟

يمكنكم حل المعادلة على موقعنا https://site. سيسمح لك الحل المجاني عبر الإنترنت بحل المعادلات عبر الإنترنت بأي تعقيد في غضون ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو ببساطة إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا الإلكتروني، وإذا كان لديك أي أسئلة، يمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي الخاصة بنا http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا، نحن سعداء دائمًا بمساعدتك.

مع برنامج الرياضيات هذا يمكنك حل المعادلة التربيعية.

لا يقدم البرنامج الإجابة على المشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية الحل بطريقتين:
- باستخدام التمييز
- استخدام نظرية فييتا (إن أمكن).

علاوة على ذلك، يتم عرض الإجابة على أنها دقيقة وليست تقريبية.
على سبيل المثال، بالنسبة للمعادلة \(81x^2-16x-1=0\) يتم عرض الإجابة بالشكل التالي:

قد يكون هذا البرنامج مفيدًا لطلاب المدارس الثانوية في المدارس الثانوية استعدادًا لل الاختباراتوالامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، ليتمكن الآباء من التحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك ترغب فقط في إنجاز واجباتك المنزلية في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو التدريب الخاص بك. الأخوة الأصغر سناأو الأخوات، في حين يرتفع مستوى التعليم في مجال المشاكل التي يتم حلها.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال كثيرات الحدود التربيعية، فنوصيك بالتعرف عليها.

قواعد لإدخال كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

أي حرف لاتيني يمكن أن يكون بمثابة متغير.
على سبيل المثال: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\)، إلخ.

يمكن إدخال الأرقام كأرقام كاملة أو كسرية.
علاوة على ذلك، أرقام كسريةيمكن إدخالها ليس فقط ككسر عشري، ولكن أيضًا ككسر عادي.

قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية، يمكن فصل الجزء الكسري عن الجزء بأكمله إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال، يمكنك إدخال الكسور العشريةمثل هذا: 2.5x - 3.5x^2

قواعد إدخال الكسور العادية.
يمكن للعدد الصحيح فقط أن يكون بمثابة البسط والمقام والجزء الصحيح من الكسر.

لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.

عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بواسطة علامة القسمة: /
يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
الإدخال: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
النتيجة: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

عند إدخال التعبير يمكنك استخدام الأقواس. في هذه الحالة، عند الحل معادلة من الدرجة الثانيةتم تبسيط التعبير المقدم أولاً.
على سبيل المثال: 1/2(ص-1)(ص+1)-(5ص-10&1/2)

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

المعادلة التربيعية وجذورها. المعادلات التربيعية غير الكاملة

كل من المعادلات
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
يشبه
\(ax^2+bx+c=0, \)
حيث x متغير، وa وb وc أرقام.
في المعادلة الأولى أ = -1، ب = 6 و ج = 1.4، في الثانية أ = 8، ب = -7 و ج = 0، في الثالثة أ = 1، ب = 0 و ج = 4/9. تسمى مثل هذه المعادلات المعادلات التربيعية.

تعريف.
معادلة من الدرجة الثانيةتسمى معادلة من الشكل ax 2 +bx+c=0، حيث x متغير، وa وb وc هي بعض الأرقام، و\(a \neq 0 \).

الأرقام a وb وc هي معاملات المعادلة التربيعية. الرقم a يسمى المعامل الأول، والرقم b هو المعامل الثاني، والرقم c هو الحد الحر.

في كل من المعادلات ذات الصيغة ax 2 +bx+c=0، حيث \(a \neq 0\)، أعظم درجةالمتغير x مربع. ومن هنا الاسم: المعادلة التربيعية.

لاحظ أن المعادلة التربيعية تسمى أيضًا معادلة من الدرجة الثانية، نظرًا لأن طرفها الأيسر متعدد الحدود من الدرجة الثانية.

تسمى المعادلة التربيعية التي معامل x 2 يساوي 1 نظرا للمعادلة التربيعية. على سبيل المثال، المعادلات التربيعية المعطاة هي المعادلات
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

إذا كان في المعادلة التربيعية ax 2 +bx+c=0 واحد على الأقل من المعاملات b أو c يساوي الصفر، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة تربيعية غير مكتملة. وبالتالي، فإن المعادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 هي معادلات تربيعية غير كاملة. في الأول ب = 0، في الثاني ج = 0، في الثالث ب = 0 و ج = 0.

هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:
1) الفأس 2 +c=0، حيث \(c \neq 0 \);
2) الفأس 2 +bx=0، حيث \(b \neq 0 \);
3) الفأس 2 =0.

دعونا نفكر في حل المعادلات لكل من هذه الأنواع.

لحل معادلة تربيعية غير كاملة من الصيغة ax 2 +c=0 لـ \(c \neq 0 \)، انقل حدها الحر إلى الجانب الأيمن واقسم طرفي المعادلة على a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

منذ \(c \neq 0 \)، ثم \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

إذا كان \(-\frac(c)(a)>0\)، فإن المعادلة لها جذرين.

إذا \(-\frac(c)(a) لحل معادلة تربيعية غير كاملة من الصيغة ax 2 +bx=0 مع \(b \neq 0 \) قم بتوسيعها الجهه اليسرىبالعوامل والحصول على المعادلة
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (صفيف)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

هذا يعني أن المعادلة التربيعية غير المكتملة بالصيغة ax 2 +bx=0 لـ \(b \neq 0 \) لها دائمًا جذرين.

المعادلة التربيعية غير المكتملة ذات الصيغة ax 2 =0 تعادل المعادلة x 2 =0 وبالتالي لها جذر واحد 0.

صيغة لجذور المعادلة التربيعية

دعونا الآن نفكر في كيفية حل المعادلات التربيعية التي تكون فيها معاملات المجهول والحد الحر غير صفر.

دعونا نحل المعادلة التربيعية في منظر عامونتيجة لذلك نحصل على صيغة الجذور. ويمكن بعد ذلك استخدام هذه الصيغة لحل أي معادلة تربيعية.

حل المعادلة التربيعية ax 2 +bx+c=0

بقسمة الطرفين على a، نحصل على المعادلة التربيعية المخفضة المكافئة
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

دعونا نحول هذه المعادلة عن طريق تحديد مربع ذات الحدين:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

يسمى التعبير الجذري مميز المعادلة التربيعيةالفأس 2 +bx+c=0 ("المميز" باللاتينية - المميز). يتم تحديده بالحرف D، أي.
\(د = ب^2-4ac\)

الآن، باستخدام التمييز، نعيد كتابة صيغة جذور المعادلة التربيعية:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)، حيث \(D= b^2-4ac \)

من الواضح أن:
1) إذا كانت D > 0، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين.
2) إذا كانت D=0، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) إذا D وهكذا، اعتمادًا على قيمة المميز، يمكن أن تحتوي المعادلة التربيعية على جذرين (لـ D > 0)، أو جذر واحد (لـ D = 0) أو ليس لها جذور (لـ D عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذا الصيغة، فمن المستحسن القيام بالطريقة التالية:
1) احسب المميز وقارنه بالصفر؛
2) إذا كان المميز موجبًا أو يساوي صفرًا، فاستخدم صيغة الجذور؛ وإذا كان المميز سالبًا، فاكتب أنه لا توجد جذور.

نظرية فييتا

المعادلة التربيعية المعطاة ax 2 -7x+10=0 لها جذور 2 و5. مجموع الجذور هو 7، وحاصل الضرب 10. نرى أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني المأخوذ من علامة المعاكسوحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. أي معادلة تربيعية مختزلة لها جذور لها هذه الخاصية.

مجموع جذور المعادلة التربيعية أعلاه يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر.

أولئك. تنص نظرية فييتا على أن الجذور x 1 و x 2 للمعادلة التربيعية المختزلة x 2 +px+q=0 لها الخاصية:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

آمل أنه بعد دراسة هذه المقالة سوف تتعلم كيفية العثور على جذور معادلة تربيعية كاملة.

باستخدام التمييز، يتم حل المعادلات التربيعية الكاملة فقط؛ ولحل المعادلات التربيعية غير الكاملة، يتم استخدام طرق أخرى، ستجدها في مقال “حل المعادلات التربيعية غير الكاملة”.

ما المعادلات التربيعية تسمى كاملة؟ هذا معادلات من الشكل الفأس 2 + ب س + ج = 0حيث المعاملات a وb وc لا تساوي الصفر. إذن، لحل معادلة تربيعية كاملة، علينا حساب المميز D.

د = ب 2 – 4أ.

اعتمادًا على قيمة المميز، سنكتب الإجابة.

إذا كان المميز رقمًا سالبًا (D< 0),то корней нет.

إذا كان المميز صفرًا، فإن x = (-b)/2a. عندما يكون المميز رقمًا موجبًا (D > 0)،

ثم x 1 = (-b - √D)/2a، وx 2 = (-b + √D)/2a.

على سبيل المثال. حل المعادلة × 2– 4س + 4= 0.

د = 4 2 - 4 4 = 0

س = (- (-4))/2 = 2

الجواب: 2.

حل المعادلة 2 × 2 + س + 3 = 0.

د = 1 2 - 4 2 3 = - 23

الجواب: لا جذور.

حل المعادلة 2 × 2 + 5س – 7 = 0.

د = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

× 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

× 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

الجواب: – 3.5؛ 1.

لذلك دعونا نتخيل حل المعادلات التربيعية الكاملة باستخدام الرسم البياني في الشكل 1.

باستخدام هذه الصيغ يمكنك حل أي معادلة تربيعية كاملة. عليك فقط أن تكون حذرا ل تمت كتابة المعادلة على أنها متعددة الحدود طريقة العرض القياسية

أ × 2 + بكس + ج،وإلا قد ترتكب خطأ. على سبيل المثال، عند كتابة المعادلة x + 3 + 2x 2 = 0، يمكنك أن تقرر بالخطأ أن

أ = 1، ب = 3، ج = 2. إذن

د = 3 2 – 4 1 2 = 1 ثم للمعادلة جذرين. وهذا ليس صحيحا. (انظر حل المثال 2 أعلاه).

لذلك، إذا لم تتم كتابة المعادلة على هيئة كثيرة حدود من الصورة القياسية، فيجب أولاً كتابة المعادلة التربيعية الكاملة على هيئة كثيرة حدود من الصورة القياسية (أحادية الحد مع أعلى مؤشردرجات، وهذا هو أ × 2 ، ثم مع أقل – bxومن ثم عضو حر مع.

عند حل المعادلة التربيعية المختزلة والمعادلة التربيعية ذات المعامل الزوجي في الحد الثاني، يمكنك استخدام صيغ أخرى. دعونا نتعرف على هذه الصيغ. إذا كان الحد الثاني في معادلة تربيعية كاملة له معامل زوجي (b = 2k)، فيمكنك حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 2.

تسمى المعادلة التربيعية الكاملة مخفضة إذا كان المعامل عند × 2 يساوي واحدًا والمعادلة تأخذ الشكل س 2 + بيكسل + ف = 0. يمكن إعطاء مثل هذه المعادلة للحل، أو يمكن الحصول عليها بقسمة جميع معاملات المعادلة على المعامل أ، واقفاً عند × 2 .

يوضح الشكل 3 رسمًا تخطيطيًا لحل المربع المصغر
المعادلات. دعونا نلقي نظرة على مثال لتطبيق الصيغ التي تمت مناقشتها في هذه المقالة.

مثال. حل المعادلة

3× 2 + 6س – 6 = 0.

دعونا نحل هذه المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1.

د = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√د = √108 = √(36 3) = 6√3

× 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

× 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3

يمكنك ملاحظة أن معامل x في هذه المعادلة هو رقم زوجي، أي b = 6 أو b = 2k، حيث k = 3. ثم دعونا نحاول حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم التخطيطي للشكل D 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(د 1) = √27 = √(3 9) = 3√3

× 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

س 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3. مع ملاحظة أن جميع المعاملات في هذه المعادلة التربيعية قابلة للقسمة على 3 وبإجراء عملية القسمة نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة x 2 + 2x – 2 = 0 حل هذه المعادلة باستخدام صيغ المعادلة التربيعية المختزلة
المعادلات الشكل 3.

د 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(د ٢) = √١٢ = √(٣ ٤) = 2√3

س 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

× 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3.

كما ترون، عند حل هذه المعادلة باستخدام صيغ مختلفة، حصلنا على نفس الإجابة. لذلك، بعد أن أتقنت تمامًا الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1، ستتمكن دائمًا من حل أي معادلة تربيعية كاملة.

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

التمييز هو مصطلح متعدد القيم. سنتحدث في هذه المقالة عن مميز كثيرة الحدود، والذي يسمح لك بتحديد ما إذا كانت كثيرة الحدود معينة لها حلول صحيحة. تظهر صيغة كثير الحدود التربيعية في دورة المدرسةالجبر والتحليل. كيفية العثور على التمييز؟ ما هو المطلوب لحل المعادلة؟

تسمى كثيرة الحدود التربيعية أو معادلة الدرجة الثانية i * w ^ 2 + j * w + k يساوي 0، حيث "i" و"j" هما المعاملان الأول والثاني، على التوالي، و"k" ثابت، ويسمى أحيانًا "المصطلح الرافض" و"w" هو متغير. ستكون جذورها جميع قيم المتغير الذي يتحول عنده إلى هوية. يمكن إعادة كتابة هذه المساواة كحاصل ضرب i، (w - w1) و (w - w2) يساوي 0. في هذه الحالة، من الواضح أنه إذا لم يصبح المعامل "i" صفرًا، فإن الدالة على سيصبح الجانب الأيسر صفرًا فقط إذا كانت x تأخذ القيمة w1 أو w2. هذه القيم هي نتيجة ضبط كثير الحدود على الصفر.

للعثور على قيمة المتغير الذي تختفي عنده كثيرة الحدود التربيعية، يتم استخدام بناء مساعد مبني على معاملاته ويسمى المميز. يتم حساب هذا التصميم وفقًا للمعادلة D تساوي j * j - 4 * i * k. لماذا يتم استخدامه؟

1. يخبرنا ما إذا كانت هناك نتائج صحيحة.
2. إنها تساعد في حسابهم.

كيف تظهر هذه القيمة وجود جذور حقيقية:

• إذا كان موجبًا، فيمكن العثور على جذرين في منطقة الأعداد الحقيقية.
• إذا كان المميز صفرًا، فإن الحلين متساويان. يمكننا القول أن هناك حل واحد فقط، وهو من مجال الأعداد الحقيقية.
• إذا كان التمييز أقل من الصفر، فإن كثيرة الحدود ليس لها جذور حقيقية.

خيارات الحساب لتأمين المواد

بالنسبة للمجموع (7 * ث^2؛ 3 * ث؛ 1) يساوي 0نحسب D باستخدام الصيغة 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28، نحصل على -19. تشير القيمة المميزة تحت الصفر إلى عدم وجود نتائج على الخط الفعلي.

إذا اعتبرنا 2 * w^2 - 3 * w + 1 يعادل 0، ثم يتم حساب D كـ (-3) مربع مطروحًا منه حاصل ضرب الأرقام (4؛ 2؛ 1) ويساوي 9 - 8، أي 1. تشير القيمة الموجبة إلى نتيجتين على الخط الحقيقي.

إذا أخذنا المجموع (w ^ 2; 2 * w; 1) وساويناه بـ 0، يتم حساب D على أنه اثنان تربيع مطروحًا منه حاصل ضرب الأرقام (4؛ 1؛ 1). سيتم تبسيط هذا التعبير إلى 4 - 4 ويصل إلى الصفر. وتبين أن النتائج هي نفسها. إذا نظرت عن كثب إلى هذه الصيغة، فسيصبح من الواضح أن هذا هو " مربع ممتاز" وهذا يعني أنه يمكن إعادة كتابة المساواة على الصورة (w + 1) ^ 2 = 0. وأصبح من الواضح أن النتيجة في هذه المسألة هي "-1". في الحالة التي يكون فيها D يساوي 0، يمكن دائمًا طي الجانب الأيسر من المساواة باستخدام صيغة "مربع المجموع".

استخدام المميز في حساب الجذور

لا يوضح هذا البناء المساعد عدد الحلول الحقيقية فحسب، بل يساعد أيضًا في العثور عليها. صيغة عامةحساب معادلة الدرجة الثانية هو:

w = (-j +/- d) / (2 * i)، حيث d هو المميز للأس 1/2.

لنفترض أن المميز أقل من الصفر، إذن d وهمي والنتائج خيالية.

D يساوي صفرًا، ثم d يساوي D أس 1/2 يساوي صفرًا أيضًا. الحل: -ي/(2*ط). مرة أخرى بالنظر إلى 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0، نجد نتائج تعادل -2 / (2 * 1) = -1.

لنفترض أن D > 0، فإن d عدد حقيقي، والإجابة هنا تنقسم إلى قسمين: w1 = (-j + d) / (2 * i) وw2 = (-j - d) / (2 * i) ) . كلتا النتيجتين ستكون صالحة. دعونا نلقي نظرة على 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. المميز وd هنا هما واحد. يتبين أن w1 يساوي (3 + 1) مقسومًا على (2*2) أو 1، وw2 يساوي (3 - 1) مقسومًا على 2*2 أو 1/2.

يتم حساب نتيجة مساواة التعبير التربيعي بالصفر وفقًا للخوارزمية:

1. تحديد عدد الحلول الصحيحة.
2. الحساب د = د^(1/2).
3. إيجاد النتيجة حسب الصيغة (-j +/- d) / (2 * i).
4. استبدال النتيجة التي تم الحصول عليها في المساواة الأصلية للتحقق.

بعض الحالات الخاصة

اعتمادا على المعاملات، قد يكون الحل مبسطا إلى حد ما. من الواضح أنه إذا كان معامل المتغير أس الثاني صفرًا، فسيتم الحصول على مساواة خطية. عندما يكون معامل المتغير للأس الأول صفرًا، يكون هناك خياران ممكنان:

1. يتم توسيع كثير الحدود إلى فرق من المربعات عندما يكون الحد الحر سالبًا؛
2. بالنسبة للثابت الإيجابي، لا يمكن إيجاد حلول حقيقية.

إذا كان الحد الحر صفرًا، فستكون الجذور (0; -j)

لكن هناك حالات خاصة أخرى تسهل إيجاد الحل.

تخفيض معادلة الدرجة الثانية

المعطى يسمىمثل هذه المعادلة الثلاثية التربيعية، حيث يكون معامل الحد الرئيسي واحدًا. في هذه الحالة، تنطبق نظرية فييتا، التي تنص على أن مجموع الجذور يساوي معامل المتغير للأس الأول، مضروبًا في -1، والناتج يتوافق مع الثابت "k".

لذلك، w1 + w2 يساوي -j وw1 * w2 يساوي k إذا كان المعامل الأول واحدًا. للتحقق من صحة هذا التمثيل، يمكنك التعبير عن w2 = -j - w1 من الصيغة الأولى واستبدالها في المساواة الثانية w1 * (-j - w1) = k. والنتيجة هي المساواة الأصلية w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

ومن المهم أن نلاحظ، يمكن تحقيق i * w ^ 2 + j * w + k = 0 عن طريق القسمة على "i". ستكون النتيجة: w^2 + j1 * w + k1 = 0، حيث j1 يساوي j/i وk1 يساوي k/i.

دعونا نلقي نظرة على حل 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 مع النتائج w1 = 1 وw2 = 1/2. نحن بحاجة إلى تقسيمها إلى النصف، ونتيجة لذلك w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. دعونا نتحقق من صحة شروط النظرية للنتائج التي تم العثور عليها: 1 + 1/2 = 3/ 2 و 1*1/2 = 1 /2.

وحتى العامل الثاني

إذا كان عامل المتغير للقوة الأولى (j) يقبل القسمة على 2، سيكون من الممكن تبسيط الصيغة والبحث عن حل من خلال ربع المميز D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. اتضح w = (-j +/- d/2) / i، حيث d/2 = D/4 أس 1/2.

إذا كان i = 1، والمعامل j زوجي، فإن الحل سيكون حاصل ضرب -1 ونصف معامل المتغير w، زائد/ناقص جذر مربع هذا النصف ناقص الثابت "k". الصيغة: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

ترتيب تمييزي أعلى

إن مميز ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية الذي تمت مناقشته أعلاه هو الحالة الخاصة الأكثر استخدامًا. في الحالة العامة، مميز كثير الحدود هو مضروبة في مربعات الاختلافات في جذور كثيرة الحدود هذه. ولذلك، فإن المميز الذي يساوي الصفر يشير إلى وجود حلين متعددين على الأقل.

خذ بعين الاعتبار i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

لنفترض أن المميز يتجاوز الصفر. وهذا يعني أن هناك ثلاثة جذور في منطقة الأعداد الحقيقية. عند الصفر هناك حلول متعددة. إذا د< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

فيديو

سيخبرك الفيديو الخاص بنا بالتفصيل عن حساب المميز.

لم تحصل على إجابة لسؤالك؟ اقتراح موضوع للمؤلفين.

يبدأ التمييز، مثل المعادلات التربيعية، في الدراسة في دورة الجبر في الصف الثامن. يمكنك حل معادلة تربيعية من خلال التمييز واستخدام نظرية فييتا. إن طريقة دراسة المعادلات التربيعية، وكذلك الصيغ التمييزية، يتم تدريسها لأطفال المدارس دون جدوى، مثل أشياء كثيرة في التعليم الحقيقي. ولذلك يمرون سنوات الدراسة، التعليم في الصفوف 9-11 يحل محل " تعليم عالى"والجميع ينظر مرة أخرى - "كيف تحل معادلة من الدرجة الثانية؟"، "كيف تجد جذور المعادلة؟"، "كيف تجد المميز؟" و...

صيغة التمييز

المميز D للمعادلة التربيعية a*x^2+bx+c=0 يساوي D=b^2–4*a*c.
تعتمد جذور (حلول) المعادلة التربيعية على علامة المميز (D):
D>0 – للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان؛
D=0 - للمعادلة جذر واحد (جذران متطابقان):
د<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
معادلة حساب المُميِّز بسيطة للغاية، لذلك توفر العديد من مواقع الويب آلة حاسبة للمميز عبر الإنترنت. لم نكتشف هذا النوع من النصوص البرمجية بعد، لذا إذا كان أي شخص يعرف كيفية تنفيذ ذلك، فيرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني محمي عنوان البريد الإلكتروني هذا من المتطفلين و برامج التطفل. يجب عليك تفعيل جافا سكريبت لمشاهدته. .

الصيغة العامة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية:

نجد جذور المعادلة باستخدام الصيغة
إذا تم إقران معامل المتغير المربع، فمن المستحسن حساب ليس المميز، ولكن الجزء الرابع منه
في مثل هذه الحالات، يتم العثور على جذور المعادلة باستخدام الصيغة

الطريقة الثانية للعثور على الجذور هي نظرية فييتا.

تمت صياغة النظرية ليس فقط للمعادلات التربيعية، ولكن أيضًا لمتعددات الحدود. يمكنك قراءة هذا على ويكيبيديا أو الموارد الإلكترونية الأخرى. ومع ذلك، للتبسيط، دعونا نفكر في الجزء المتعلق بالمعادلات التربيعية أعلاه، أي المعادلات من الصيغة (a=1)
جوهر صيغ فييتا هو أن مجموع جذور المعادلة يساوي معامل المتغير المأخوذ بالإشارة المعاكسة. حاصل ضرب جذور المعادلة يساوي الحد الحر. يمكن كتابة نظرية فييتا في الصيغ.
إن اشتقاق صيغة فييتا بسيط للغاية. لنكتب المعادلة التربيعية من خلال عوامل بسيطة
كما ترون، كل شيء عبقري بسيط في نفس الوقت. من المفيد استخدام صيغة فييتا عندما يكون الفرق في معامل الجذور أو الفرق في معاملي الجذور هو 1، 2. على سبيل المثال، المعادلات التالية، وفقًا لنظرية فيتا، لها جذور




حتى المعادلة 4، يجب أن يبدو التحليل هكذا. حاصل ضرب جذور المعادلة هو 6، وبالتالي يمكن أن تكون الجذور القيمتين (1، 6) و (2، 3) أو أزواج ذات إشارات متضادة. مجموع الجذور هو 7 (معامل المتغير ذو الإشارة المعاكسة). من هنا نستنتج أن حلول المعادلة التربيعية هي x=2؛ س = 3.
من الأسهل تحديد جذور المعادلة من بين مقسومات الحد الحر، وضبط علامتها من أجل تحقيق صيغ فييتا. في البداية، قد يبدو هذا الأمر صعبًا، ولكن مع التدريب على عدد من المعادلات التربيعية، ستكون هذه التقنية أكثر فعالية من حساب المميز وإيجاد جذور المعادلة التربيعية بالطريقة الكلاسيكية.
وكما ترى فإن النظرية المدرسية في دراسة المتمايز وطرق إيجاد حلول للمعادلة خالية من المعنى العملي - "لماذا يحتاج تلاميذ المدارس إلى معادلة تربيعية؟"، "ما هو المعنى المادي للمتميز؟"

دعونا نحاول معرفة ذلك ماذا يصف التمييز؟

في دورة الجبر يدرسون الوظائف، وخطط لدراسة الوظائف وإنشاء رسم بياني للوظائف. من بين جميع الدوال، يحتل القطع المكافئ مكانًا مهمًا، حيث يمكن كتابة معادلته على الصورة
لذا فإن المعنى الفيزيائي للمعادلة التربيعية هو أصفار القطع المكافئ، أي نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي السيني Ox
أطلب منك أن تتذكر خصائص القطع المكافئ الموضحة أدناه. سيأتي الوقت لإجراء الاختبارات أو الاختبارات أو اختبارات القبول وستكون ممتنًا للمواد المرجعية. تتوافق إشارة المتغير المربع مع ما إذا كانت فروع القطع المكافئ على الرسم البياني سترتفع (a>0)،

أو قطع مكافئ بفروع للأسفل (أ<0) .

تقع قمة القطع المكافئ في منتصف المسافة بين الجذور

المعنى المادي للتمييز:

إذا كان المميز أكبر من الصفر (D> 0)، فإن القطع المكافئ له نقطتا تقاطع مع محور الثور.
إذا كان المميز صفرًا (D=0)، فإن القطع المكافئ عند الرأس يلامس المحور السيني.
والحالة الأخيرة، عندما يكون المميز أقل من الصفر (د<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

المعادلات التربيعية غير الكاملة