أخذ العامل المشترك من بين قوسين. وضع العامل المشترك بين قوسين، القاعدة، الأمثلة

سنتعرف في هذا الدرس على قواعد إخراج العامل المشترك من الأقواس ونتعلم كيفية العثور عليه أمثلة مختلفةوالتعبيرات. دعونا نتحدث عن كيف عملية بسيطة، فإن وضع العامل المشترك خارج الأقواس يسمح لك بتبسيط العمليات الحسابية. سنقوم بتوحيد المعرفة والمهارات المكتسبة من خلال النظر في أمثلة التعقيدات المختلفة.

ما هو العامل المشترك ولماذا نبحث عنه ولأي غرض تم إخراجه من الأقواس؟ دعنا نجيب على هذه الأسئلة من خلال النظر إلى مثال بسيط.

دعونا نحل المعادلة. الجهه اليسرىالمعادلة هي كثيرة الحدود تتكون من مصطلحات مماثلة. جزء الحرف مشترك بين هذه المصطلحات، مما يعني أنه سيكون العامل المشترك. لنخرجها من بين قوسين:

في هذه الحالة، ساعدنا إخراج العامل المشترك بين قوسين في تحويل كثيرة الحدود إلى أحادية الحد. وهكذا، تمكنا من تبسيط كثيرة الحدود، وساعدنا تحويلها في حل المعادلة.

في المثال الذي تم تناوله، كان العامل المشترك واضحًا، ولكن هل سيكون من السهل جدًا العثور عليه في كثيرة حدود عشوائية؟

لنجد معنى التعبير : .

في هذا المثال، أدى وضع العامل المشترك بين قوسين إلى تبسيط العملية الحسابية إلى حد كبير.

دعونا نحل مثالا آخر. دعونا نثبت قابلية القسمة على التعبيرات.

التعبير الناتج قابل للقسمة على كما هو مطلوب إثباته. مرة أخرى، أخذ العامل المشترك سمح لنا بحل المشكلة.

دعونا نحل مثالا آخر. لنثبت أن التعبير قابل للقسمة على أي عدد طبيعي: .

التعبير هو نتاج عددين طبيعيين متجاورين. بالتأكيد سيكون أحد الرقمين زوجيًا، مما يعني أن التعبير سيكون قابلاً للقسمة على .

لقد قمنا بتسوية الأمر أمثلة مختلفةلكنهم استخدموا نفس طريقة الحل: لقد أخرجوا العامل المشترك من الأقواس. نرى أن هذه العملية البسيطة تبسط الحسابات إلى حد كبير. كان من السهل العثور على عامل مشترك لهذه الحالات الخاصة، ولكن ما الذي يجب فعله في الحالة العامة، بالنسبة لكثيرة حدود عشوائية؟

تذكر أن كثيرة الحدود هي مجموع أحاديات الحد.

النظر في كثير الحدود . كثير الحدود هذا هو مجموع اثنين من أحاديات الحد. وحيدة الحد هي حاصل ضرب رقم، ومعامل، وجزء من الحرف. وهكذا، في كثيرة الحدود لدينا، يتم تمثيل كل أحادية الحد بمنتج عدد والقوى، منتج العوامل. يمكن أن تكون العوامل هي نفسها بالنسبة لجميع أحاديات الحد. هذه هي العوامل التي يجب تحديدها وإخراجها من القوس. أولًا، نوجد العامل المشترك للمعاملات، وهي أعداد صحيحة.

كان من السهل العثور على العامل المشترك، ولكن دعونا نحدد gcd للمعاملات: .

ولننظر إلى مثال آخر: .

لنجد ما سيسمح لنا بتحديد العامل المشترك لهذا التعبير: .

لقد استنتجنا قاعدة لمعاملات الأعداد الصحيحة. تحتاج إلى العثور على gcd الخاص بهم وإخراجه من القوس. دعونا ندمج هذه القاعدة من خلال حل مثال آخر.

لقد ألقينا نظرة على قاعدة تعيين عامل مشترك لمعاملات الأعداد الصحيحة، فلننتقل إلى جزء الحرف. أولاً نبحث عن تلك الحروف المضمنة في جميع أحاديات الحد، ثم نحددها أعظم درجةحرف متضمن في جميع أحاديات الحد : .

في هذا المثال كان هناك متغير واحد فقط للأحرف المشتركة، ولكن من الممكن أن يكون هناك عدة متغيرات، كما في المثال التالي:

لنجعل المثال أكثر تعقيدًا عن طريق زيادة عدد أحاديات الحد:

وبعد إخراج العامل المشترك، قمنا بتحويل المجموع الجبري إلى حاصل الضرب.

لقد نظرنا إلى قواعد الطرح لمعاملات الأعداد الصحيحة ومتغيرات الحروف بشكل منفصل، ولكن في أغلب الأحيان تحتاج إلى تطبيقهما معًا لحل المثال. لنلقي نظرة على مثال:

في بعض الأحيان قد يكون من الصعب تحديد التعبير الذي تبقى بين قوسين، دعونا نلقي نظرة على خدعة سهلة تسمح لك بحل هذه المشكلة بسرعة.

يمكن أن يكون العامل المشترك أيضًا هو القيمة المطلوبة:

العامل المشترك لا يمكن أن يكون مجرد رقم أو وحيدة الحد، ولكن أيضًا أي تعبير، كما هو الحال في المعادلة التالية.

لتقليل الكسور إلى المقام المشترك الأصغر، تحتاج إلى: 1) العثور على المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور المعطاة، وسيكون المقام المشترك الأصغر. 2) ابحث عن عامل إضافي لكل كسر عن طريق قسمة المقام الجديد على مقام كل كسر. 3) اضرب بسط ومقام كل كسر في العامل الإضافي الخاص به.

أمثلة. اختصر الكسور التالية إلى مقامها المشترك الأصغر.

نجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامات: LCM(5; 4) = 20، حيث أن 20 هو أصغر عدد يقبل القسمة على 5 و4. أوجد للكسر الأول عاملًا إضافيًا 4 (20) : 5=4). بالنسبة للكسر الثاني فإن العامل الإضافي هو 5 (20 : 4=5). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 4، وبسط ومقام الكسر الثاني في 5. لقد قمنا بتبسيط هذه الكسور إلى المقام المشترك الأدنى ( 20 ).

القاسم المشترك الأصغر لهذه الكسور هو الرقم 8، حيث أن 8 يقبل القسمة على 4 وعلى نفسه. لن يكون هناك عامل إضافي للكسر الأول (أو يمكننا القول أنه يساوي واحدًا)، للكسر الثاني العامل الإضافي هو 2 (8 : 4=2). نضرب بسط ومقام الكسر الثاني في 2. لقد قمنا بتقليل هذه الكسور إلى المقام المشترك الأصغر ( 8 ).

هذه الكسور ليست غير قابلة للاختزال.

لنقم بتبسيط الكسر الأول بمقدار 4، وتقليل الكسر الثاني بمقدار 2. ( انظر أمثلة للاختصار الكسور العادية: خريطة الموقع → 5.4.2. أمثلة على تقليل الكسور المشتركة). ابحث عن LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. المضاعف الإضافي للكسر الأول هو 5 (80 : 16=5). العامل الإضافي للكسر الثاني هو 4 (80 : 20=4). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 5، وبسط ومقام الكسر الثاني في 4. لقد قمنا بتبسيط هذه الكسور إلى المقام المشترك الأدنى ( 80 ).

نجد القاسم المشترك الأدنى NCD(5 ; 6 و 15) = كرونة نرويجية (5 ; 6 و 15)=30. العامل الإضافي للكسر الأول هو 6 (30 : 5=6)، العامل الإضافي للكسر الثاني هو 5 (30 : 6=5)، العامل الإضافي للكسر الثالث هو 2 (30 : 15=2). نضرب بسط ومقام الكسر الأول في 6، وبسط ومقام الكسر الثاني في 5، وبسط ومقام الكسر الثالث في 2. لقد قمنا بتقليل هذه الكسور إلى أدنى مقام مشترك ( 30 ).

الصفحة 1 من 1 1

مقام الكسر الحسابي a/b هو الرقم b الذي يوضح حجم كسور الوحدة التي يتكون منها الكسر. يُسمى مقام الكسر الجبري A / B تعبير جبريب. لإجراء العمليات الحسابية مع الكسور، يجب تقليلها إلى أدنى مقام مشترك لها.

سوف تحتاج

• للتعامل مع الكسور الجبرية والعثور على أصغر مقام مشترك، عليك أن تعرف كيفية تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل.

تعليمات

لنفكر في اختزال كسرين حسابيين n/m وs/t إلى المقام المشترك الأصغر، حيث n، m، s، t أعداد صحيحة. ومن الواضح أنه يمكن اختزال هذين الكسرين إلى أي مقام يقبل القسمة على m وt. لكنهم يحاولون الوصول إلى القاسم المشترك الأدنى. وهو يساوي المضاعف المشترك الأصغر للمقامين m وt للكسور المعطاة. المضاعف الأصغر (LMK) لرقم ما هو أصغر رقم قابل للقسمة على جميع الأرقام المعطاة في نفس الوقت. أولئك. في حالتنا، نحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين m وt. يشار إليها باسم LCM (م، ر). بعد ذلك، يتم ضرب الكسور بالكسور المقابلة: (n/m) * (LCM (m, t) / m)، (s/t) * (LCM (m, t) / t).

دعونا نجد المقام المشترك الأصغر لثلاثة كسور: 4/5، 7/8، 11/14. أولاً، دعونا نوسع المقامات 5، 8، 14: 5 = 1 * 5، 8 = 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3، 14 = 2 * 7. بعد ذلك، احسب المضاعف المشترك الأصغر (5، 8، 14) بالضرب جميع الأرقام المضمنة في واحد على الأقل من التوسعات. م م م (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. لاحظ أنه إذا حدث عامل في مفك عدة أرقام (العامل 2 في مفك المقامين 8 و14)، فإننا نأخذ العامل إلى درجة أكبر (2 ^ 3 في حالتنا).

لذلك، يتم تلقي العام. وهي تساوي 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. هنا نحصل على الأرقام التي نحتاج بها إلى ضرب الكسور بالمقامات المقابلة للوصول بها إلى المقام المشترك الأصغر. نحصل على 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280، 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280، 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

يتم تخفيض الكسور الجبرية إلى أدنى قاسم مشترك عن طريق القياس مع الكسور الحسابية. من أجل الوضوح، دعونا نلقي نظرة على المشكلة باستخدام مثال. افترض أن لدينا كسرين (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) و (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). دعونا نحلل كلا المقامين. لاحظ أن مقام الكسر الأول هو مربع ممتاز: 9 * ص^2 + 6 * ص + 1 = (3 * ص + 1)^2. ل

>>الرياضيات: إخراج العامل المشترك من الأقواس

قبل البدء في دراسة هذا القسم، ارجع إلى الفقرة 15. لقد نظرنا بالفعل إلى مثال كان مطلوبًا فيه تقديم متعدد الحدودكمنتج كثير الحدود ووحيد الحد. لقد أثبتنا أن هذه المشكلة ليست صحيحة دائمًا. ومع ذلك، إذا كان من الممكن تكوين مثل هذا المنتج، فعادةً ما يقولون إن كثير الحدود يتم تحليله عن طريق الإزالة العامة للعامل المشترك من الأقواس. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 1.عامل كثير الحدود:

أ) 2س + 6ص، ج) 4أ 3 + 6أ 2؛ ه) 5أ 4 - 10أ 3 + 15أ 8.
ب) أ 3 + أ 2؛ د) 12أ 4 - 18 أ 2 ب 3 ج؛

حل.
أ) 2س + 6ص = 2 (س + 3). تم إخراج القاسم المشترك لمعاملات الحدود كثيرة الحدود من الأقواس.

ب) أ 3 + أ 2 = أ 2 (أ + 1). إذا تم تضمين نفس المتغير في جميع حدود كثيرة الحدود، فيمكن إخراجه من الأقواس إلى درجة تساوي أصغر الأسس المتاحة (أي اختيار أصغر الأسس المتاحة).

ج) هنا نستخدم نفس التقنية المستخدمة عند حل الأمثلة أ) و ب): بالنسبة للمعاملات نجد القاسم المشترك (في هذه الحالة الرقم 2)، للمتغيرات - الأصغر درجةمن تلك المتاحة (في هذه الحالة 2). نحن نحصل:

4أ 3 + 6أ 2 = 2أ 2 2أ + 2أ 2 3 = 2أ 2 (2أ + 3).

د) عادةً ما يحاولون العثور على معاملات الأعداد الصحيحة، ليس فقط القاسم المشترك، بل القاسم المشترك الأكبر. بالنسبة للمعاملين 12 و18، سيكون الرقم 6. نلاحظ أن المتغير a متضمن في كلا حدي كثيرة الحدود، حيث يكون الأس الأصغر هو 1. كما يتم تضمين المتغير b في كلا حدي كثيرة الحدود، مع الأس الأصغر هو 3. وأخيرًا، يتم تضمين المتغير c فقط في الحد الثاني من كثيرة الحدود ولا يتم تضمينه في الحد الأول، مما يعني أنه لا يمكن إخراج هذا المتغير من الأقواس بأي درجة. ونتيجة لذلك لدينا:

12ab 4 - 18a 2 b 3 c = 6ab 3 2b - 6ab 3 Zas = 6ab 3 (2b - Zas).

ه) 5أ 4 -10أ 3 +15أ 8 = 5أ 3 (أ-2 + لـ 2).

في الواقع، في هذا المثال قمنا بتطوير الخوارزمية التالية.

تعليق . في بعض الحالات، يكون من المفيد إخراج المعامل الكسري كعامل عام.

على سبيل المثال:

مثال 2.حلل إلى عوامل:

× 4 ص 3 -2x 3 ذ 2 + 5x 2.

حل. دعونا نستخدم الخوارزمية المصاغة.

1) القاسم المشترك الأكبر للمعاملات -1، -2، و5 هو 1.
2) يتم تضمين المتغير x في جميع حدود كثيرة الحدود ذات الأسس 4، 3، 2، على التوالي؛ ولذلك، يمكن إخراج x 2 من الأقواس.
3) لا يتم تضمين المتغير y في جميع حدود كثيرة الحدود؛ وهذا يعني أنه لا يمكن إخراجها من الأقواس.

خاتمة:×2 يمكن إخراجها من الأقواس. صحيح أنه من المنطقي في هذه الحالة وضع -x 2 بين قوسين.

نحن نحصل:
-x 4 ص 3 -2x 3 ص 2 + 5x 2 = - x 2 (x 2 ص 3 + 2س 2 - 5).

مثال 3. هل من الممكن تقسيم كثيرة الحدود 5a 4 - 10a 3 + 15a 5 على أحادية الحد 5a 3؟ إذا كانت الإجابة بنعم، ثم تنفيذ قسم.

حل. في المثال 1 د) حصلنا على ذلك

5 أ 4 - 10 أ 3 + 15 أ 8 - 5 أ 3 ( أ - 2 + ل 2).

هذا يعني أن كثيرة الحدود المعطاة يمكن قسمتها على 5a 3، وسيكون حاصل القسمة هو a - 2 + For 2.

لقد نظرنا إلى أمثلة مماثلة في الفقرة 18؛ يرجى الاطلاع عليها مرة أخرى، ولكن هذه المرة من وجهة نظر إخراج العامل المشترك من الأقواس.

يرتبط تحليل كثير الحدود عن طريق إخراج العامل المشترك من الأقواس ارتباطًا وثيقًا بالعمليتين اللتين درسناهما في الفقرتين 15 و18 - ضرب كثير الحدود بوحيد الحد وتقسيم كثير الحدود على أحادية الحد.

والآن دعونا نوسع أفكارنا بعض الشيء بشأن إخراج العامل المشترك من الأقواس. الشيء هو أنه في بعض الأحيان تعبير جبرييُعطى بطريقة تجعل العامل المشترك لا يمكن أن يكون أحادي الحد، بل مجموع عدة أحاديات.

مثال 4.حلل إلى عوامل:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

حل. لنقم بإدخال متغير جديد y = x - 2. ثم نحصل على:

2س (س - 2) + 5 (س - 2) 2 = 2 س ص + 5 ص 2.

نلاحظ أنه يمكن إخراج المتغير y من الأقواس:

2س + 5ص 2 - ص (2س + 5ص). لنعد الآن إلى التدوين القديم:

y(2x + 5y) = (x- 2)(2x + 5(x - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

في مثل هذه الحالات، بعد اكتساب بعض الخبرة، لا يمكنك إدخال متغير جديد، ولكن استخدم ما يلي

2x(x - 2) + 5(x - 2) 2 = (x - 2)(2x + 5(x - 2))= (x - 2)(2x + 5x~ 10) = (x - 2)( 7x - 10).

التخطيط المواضيعي للتقويم في الرياضيات، فيديومن الرياضيات على الانترنت، تحميل الرياضيات في المدرسة

A. V. Pogorelov، الهندسة للصفوف 7-11، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية

يمكن تمثيل \(5x+xy\) كـ \(x(5+y)\). هذه تعبيرات متطابقة بالفعل، يمكننا التحقق من ذلك إذا فتحنا الأقواس: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). كما ترون، ونتيجة لذلك حصلنا على التعبير الأصلي. هذا يعني أن \(5x+xy\) يساوي بالفعل \(x(5+y)\). بالمناسبة، هذه طريقة موثوقة للتحقق من صحة العوامل المشتركة - افتح القوس الناتج وقارن النتيجة بالتعبير الأصلي.

القاعدة الأساسية لوضع الأقواس:

على سبيل المثال، في التعبير \(3ab+5bc-abc\) فقط \(b\) يمكن إخراجه من القوس، لأنه الوحيد الموجود في المصطلحات الثلاثة. تظهر عملية إخراج العوامل المشتركة من الأقواس في الرسم البياني أدناه:

قواعد بين قوسين

من المعتاد في الرياضيات حذف جميع العوامل المشتركة مرة واحدة.

مثال:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
يرجى ملاحظة أنه يمكننا هنا التوسيع على النحو التالي: \(3(xy-xz)\) أو مثل هذا: \(x(3y-3z)\). ومع ذلك، فإن هذه ستكون تحللات غير مكتملة. يجب إزالة كل من C وX.


في بعض الأحيان لا يكون الأعضاء المشتركون مرئيين على الفور.


مثال:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
وفي هذه الحالة تم إخفاء المصطلح الشائع (خمسة). ومع ذلك، بعد توسيع \(10\) إلى \(2\) مضروبًا في \(5\)، و\(15\) إلى \(3\) مضروبًا في \(5\) - "سحبنا الخمسة إلى نور الله"، وبعد ذلك تمكنوا بسهولة من إخراجه من القوس.


إذا تمت إزالة وحيدة الحد بالكامل، يبقى منها واحد.

مثال: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
نضع \(x\) بين قوسين، ووحيد الحد الثالث يتكون من x فقط. لماذا يبقى المرء منه؟ لأنه إذا ضرب أي تعبير في واحد، فلن يتغير. أي أنه يمكن تمثيل \(x\) نفسه كـ \(1\cdot x\). ثم لدينا سلسلة التحولات التالية:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\) \()\)

علاوة على ذلك، هذا هو الوحيد الطريق الصحيحالإزالة، لأننا إذا لم نترك واحدا، فإننا عندما نفتح القوسين لا نعود إلى أصل اللفظ. في الواقع، إذا قمنا بالاستخراج بهذه الطريقة \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\)، فعند التوسيع سنحصل على \(x(5y+ay)=5xy+axy\). العضو الثالث مفقود. هذا يعني أن مثل هذا البيان غير صحيح.

يمكنك وضع علامة الطرح خارج القوس، ويتم عكس علامات المصطلحات الموجودة بين القوسين.


مثال:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
في الأساس، نحن هنا نضع "سالب واحد"، والذي يمكن "اختياره" أمام أي أحادية الحد، حتى لو لم يكن هناك سالب أمامها. نستخدم هنا حقيقة أنه يمكن كتابة الشخص كـ \((-1) \cdot (-1)\). وإليك نفس المثال، موضحًا بالتفصيل:

\(س-ص=\)
\(=1·س+(-1)·ص=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(ص-س)\)

يمكن أن يكون القوس أيضًا عاملاً مشتركًا.


مثال:\(3م(ن-5)+2(ن-5)=(ن-5)(3م+2)\)
غالبًا ما نواجه هذا الموقف (إزالة الأقواس من الأقواس) عند التحليل باستخدام طريقة التجميع أو