Jinsi ya kuoza rahisi. Nambari kuu na zilizojumuishwa

Nakala hii inatoa majibu kwa swali la kuweka nambari kwenye karatasi. Hebu tuzingatie wazo la jumla kuhusu mtengano na mifano. Hebu tuchambue fomu ya kisheria ya upanuzi na algorithm yake. Yote yatazingatiwa njia mbadala kwa kutumia ishara za mgawanyiko na majedwali ya kuzidisha.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inamaanisha nini kujumuisha nambari katika sababu kuu?

Wacha tuangalie dhana ya sababu kuu. Inajulikana kuwa kila sababu kuu ni nambari kuu. Katika bidhaa ya fomu 2 · 7 · 7 · 23 tunayo mambo 4 kuu katika fomu 2, 7, 7, 23.

Factorization inahusisha uwakilishi wake kwa namna ya bidhaa za primes. Ikiwa tunahitaji kuoza nambari 30, basi tunapata 2, 3, 5. Kiingilio kitachukua fomu 30 = 2 · 3 · 5. Inawezekana kwamba vizidishi vinaweza kurudiwa. Nambari kama 144 ina 144 = 2 2 2 2 3 3.

Sio nambari zote zinazoelekea kuoza. Nambari ambazo ni kubwa kuliko 1 na ni nambari kamili zinaweza kuhesabiwa. Nambari kuu, zinapowekwa alama, zinaweza kugawanywa tu na 1 na zenyewe, kwa hivyo haiwezekani kuwakilisha nambari hizi kama bidhaa.

Wakati z inarejelea nambari kamili, inawakilishwa kama bidhaa ya a na b, ambapo z imegawanywa na a na b. Nambari za mchanganyiko huwekwa katika vipengele vikuu kwa kutumia nadharia ya msingi ya hesabu. Ikiwa nambari ni kubwa kuliko 1, basi factorization yake p 1, p 2, ..., p n inachukua umbo a = p 1 , p 2 , … , p n . Mtengano unadhaniwa kuwa katika lahaja moja.

Uainishaji wa kanuni za nambari katika vipengele vikuu

Wakati wa upanuzi, mambo yanaweza kurudiwa. Zimeandikwa kwa kompakt kwa kutumia digrii. Ikiwa, wakati wa kuoza nambari a, tuna sababu p 1, ambayo hutokea s mara 1 na kadhalika p n - s n mara. Hivyo upanuzi utachukua fomu a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Ingizo hili linaitwa uainishaji wa kanuni za nambari katika vipengele vikuu.

Wakati wa kupanua nambari 609840, tunapata kwamba 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, fomu yake ya kisheria itakuwa 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Kwa kutumia upanuzi wa kanuni, unaweza kupata vigawanyiko vyote vya nambari na nambari yao.

Ili kuunda kwa usahihi, unahitaji kuwa na ufahamu wa nambari kuu na za mchanganyiko. Jambo ni kupata idadi ya mlolongo wa vigawanyiko vya fomu p 1, p 2, ..., p n. nambari a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, hii inafanya uwezekano wa kupata a = p 1 a 1, ambapo a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , ambapo a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , wapi a n = a n - 1: p n. Baada ya kupokea n = 1, kisha usawa a = p 1 · p 2 · … · p n tunapata mtengano unaohitajika wa nambari A kuwa sababu kuu. Kumbuka hilo p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Ili kupata sababu zisizo za kawaida, unahitaji kutumia jedwali la nambari kuu. Hii inafanywa kwa kutumia mfano wa kutafuta kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari z. Wakati wa kuchukua nambari kuu 2, 3, 5, 11 na kadhalika, na kugawa nambari z nao. Kwa kuwa z sio nambari kuu, inapaswa kuzingatiwa kuwa kigawanyaji kikuu kidogo hakitakuwa kikubwa kuliko z. Inaweza kuonekana kuwa hakuna vigawanyiko vya z, basi ni wazi kuwa z ni nambari kuu.

Mfano 1

Wacha tuangalie mfano wa nambari 87. Inapogawanywa na 2, tunayo 87: 2 = 43 na salio la 1. Inafuata kwamba 2 haiwezi kuwa mgawanyiko lazima ufanyike kabisa. Inapogawanywa na 3, tunapata hiyo 87: 3 = 29. Kwa hivyo hitimisho ni kwamba 3 ndio kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari 87.

Wakati wa kuzingatia mambo makuu, lazima utumie jedwali la nambari kuu, ambapo a. Wakati wa kuweka alama 95, unapaswa kutumia takriban 10 za msingi, na unapoweka 846653, karibu 1000.

Wacha tuchunguze algorithm ya mtengano kuwa sababu kuu:

• kutafuta kipengele kidogo zaidi cha kigawanyaji p 1 cha nambari a kwa fomula a 1 = a: p 1, wakati 1 = 1, basi a ni nambari kuu na imejumuishwa katika factorization, wakati si sawa na 1, basi a = p 1 · a 1 na kufuata kwa uhakika hapa chini;
• kutafuta kigawanyiko kikuu p 2 cha nambari a 1 kwa kuorodhesha nambari kuu kwa kufuatana kwa kutumia 2 = a 1: p 2 , wakati 2 = 1 , basi upanuzi utachukua fomu a = p 1 p 2 , wakati 2 = 1, basi a = p 1 p 2 a 2 , na tunaendelea kwa hatua inayofuata;
• kutafuta kupitia nambari kuu na kupata mgawanyiko mkuu uk 3 nambari a 2 kulingana na formula 3 = a 2: p 3 wakati 3 = 1 , basi tunapata kwamba a = p 1 p 2 p 3 , wakati si sawa na 1, basi a = p 1 p 2 p 3 a 3 na kuendelea na hatua inayofuata;
• mgawanyiko mkuu unapatikana p n nambari n-1 kwa kuorodhesha nambari kuu na pn - 1, na pia a n = a n - 1: p n, ambapo n = 1, hatua ni ya mwisho, matokeo yake tunapata kwamba a = p 1 · p 2 · … · p n .

Matokeo ya algorithm imeandikwa kwa namna ya jedwali na mambo yaliyoharibika na upau wa wima mfululizo katika safu. Fikiria takwimu hapa chini.

Algorithm inayosababisha inaweza kutumika kwa kutenganisha nambari kuwa sababu kuu.

Wakati wa kuzingatia mambo makuu, algorithm ya msingi inapaswa kufuatiwa.

Mfano 2

Fanya nambari 78 kuwa sababu kuu.

Suluhisho

Ili kupata kigawanyaji kikuu kidogo zaidi, unahitaji kupitia nambari zote kuu katika 78. Hiyo ni 78: 2 = 39. Mgawanyiko bila salio inamaanisha hiki ndicho kigawanyo cha kwanza rahisi, ambacho tunaashiria kama uk 1. Tunapata kwamba 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Tulifikia usawa wa fomu a = p 1 · a 1 , ambapo 78 = 2 39. Kisha 1 = 39, yaani, tunapaswa kuendelea na hatua inayofuata.

Wacha tuzingatie kutafuta mgawanyiko mkuu p2 nambari 1 = 39. Unapaswa kupitia nambari kuu, ambayo ni, 39: 2 = 19 (iliyobaki 1). Kwa kuwa mgawanyiko na salio, 2 sio kigawanyiko. Wakati wa kuchagua nambari 3, tunapata hiyo 39: 3 = 13. Hii ina maana kwamba p 2 = 3 ni kigawanyo kikuu kidogo zaidi cha 39 kwa 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Tunapata usawa wa fomu a = p 1 p 2 a 2 katika fomu 78 = 2 3 13. Tuna kwamba 2 = 13 si sawa na 1, basi tunapaswa kuendelea.

Kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari 2 = 13 kinapatikana kwa kutafuta kupitia nambari, kuanzia 3. Tunapata hiyo 13: 3 = 4 (iliyobaki 1). Kutokana na hili tunaweza kuona kwamba 13 haiwezi kugawanywa na 5, 7, 11, kwa sababu 13: 5 = 2 (pumziko. 3), 13: 7 = 1 (pumziko. 6) na 13: 11 = 1 (pumziko. 2) . Inaweza kuonekana kuwa 13 ni nambari kuu. Kulingana na fomula inaonekana kama hii: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Tuligundua kuwa 3 = 1, ambayo ina maana ya kukamilika kwa algorithm. Sasa mambo yameandikwa kama 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Jibu: 78 = 2 3 13.

Mfano 3

Fanya nambari 83,006 kuwa sababu kuu.

Suluhisho

Hatua ya kwanza inahusisha factoring p 1 = 2 Na a 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, ambapo 83,006 = 2 · 41,503.

Hatua ya pili inadhania kuwa 2, 3 na 5 sio vigawanyiko wakuu kwa nambari 1 = 41,503, lakini 7 ni kigawanyiko kikuu, kwa sababu 41,503: 7 = 5,929. Tunapata kwamba p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929. Ni wazi, 83,006 = 2 7 5 929.

Kupata kigawanyo kikuu kidogo zaidi cha p 4 hadi nambari a 3 = 847 ni 7. Inaweza kuonekana kuwa 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, hivyo 83 006 = 2 7 7 7 121.

Ili kupata mgawanyiko mkuu wa nambari 4 = 121, tunatumia nambari 11, ambayo ni, p 5 = 11. Kisha tunapata usemi wa fomu a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11, na 83,006 = 2 7 7 7 11 11.

Kwa nambari 5 = 11 nambari ukurasa wa 6 = 11 ndiye mgawanyiko mkuu mdogo zaidi. Kwa hivyo 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Kisha 6 = 1. Hii inaonyesha kukamilika kwa algorithm. Vipengele vitaandikwa kama 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Nukuu ya kisheria ya jibu itachukua fomu 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Jibu: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Mfano 4

Fanya nambari 897,924,289.

Suluhisho

Ili kupata kipengele kikuu cha kwanza, tafuta kupitia nambari kuu, kuanzia 2. Mwisho wa utaftaji hutokea kwa nambari 937. Kisha p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 na 897 924 289 = 937 958 297.

Hatua ya pili ya algorithm ni kurudia juu ya nambari kuu ndogo. Hiyo ni, tunaanza na nambari 937. Nambari 967 inaweza kuchukuliwa kuwa kuu kwa sababu ni mgawanyiko mkuu wa nambari 1 = 958,297. Kutoka hapa tunapata kwamba p 2 = 967, kisha 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 na 897 924 289 = 937 967 991.

Hatua ya tatu inasema kwamba 991 ni nambari kuu, kwani haina sababu kuu moja ambayo haizidi 991. Thamani inayokadiriwa ya usemi mkali ni 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Hii inaonyesha kwamba p 3 = 991 na 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Tunapata kwamba mtengano wa nambari 897 924 289 katika mambo makuu unapatikana kama 897 924 289 = 937 967 991.

Jibu: 897 924 289 = 937 967 991.

Kutumia vipimo vya mgawanyiko kwa sababu kuu

Ili kujumuisha nambari katika mambo kuu, unahitaji kufuata algorithm. Wakati kuna nambari ndogo, inaruhusiwa kutumia jedwali la kuzidisha na ishara za mgawanyiko. Hebu tuangalie hili kwa mifano.

Mfano 5

Ikiwa ni muhimu kuweka 10, basi jedwali linaonyesha: 2 · 5 = 10. Nambari zinazotokana 2 na 5 ni nambari kuu, kwa hivyo ni sababu kuu za nambari 10.

Mfano 6

Ikiwa ni muhimu kutenganisha nambari 48, basi meza inaonyesha: 48 = 6 8. Lakini 6 na 8 sio sababu kuu, kwani zinaweza pia kupanuliwa kama 6 = 2 3 na 8 = 2 4. Kisha mtengano kamili kwa hivyo inageuka kuwa 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Nukuu ya kisheria itachukua fomu 48 = 2 4 · 3.

Mfano 7

Wakati wa kuoza nambari 3400, unaweza kutumia ishara za mgawanyiko. Katika kesi hii, ishara za mgawanyiko na 10 na 100 zinafaa. Kuanzia hapa tunapata hiyo 3,400 = 34 · 100, ambapo 100 inaweza kugawanywa na 10, yaani, imeandikwa kama 100 = 10 · 10, ambayo ina maana kwamba 3,400 = 34 · 10 · 10. Kulingana na jaribio la mgawanyiko, tunapata kwamba 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Sababu zote ni kuu. Upanuzi wa kanuni huchukua fomu 3 400 = 2 3 5 2 17.

Tunapopata vipengele muhimu, tunahitaji kutumia majaribio ya mgawanyiko na majedwali ya kuzidisha. Ikiwa unafikiria nambari 75 kama bidhaa ya sababu, basi unahitaji kuzingatia sheria ya mgawanyiko na 5. Tunapata hiyo 75 = 5 15, na 15 = 3 5. Hiyo ni, upanuzi unaohitajika ni mfano wa fomu ya bidhaa 75 = 5 · 3 · 5.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Factoring ina maana gani? Jinsi ya kufanya hili? Unaweza kujifunza nini kwa kuweka nambari kuwa sababu kuu? Majibu ya maswali haya yanaonyeshwa kwa mifano maalum.

Ufafanuzi:

Nambari ambayo ina vigawanyiko viwili tofauti inaitwa mkuu.

Nambari ambayo ina zaidi ya vigawanyiko viwili inaitwa composite.

Panua nambari ya asili kuainisha maana yake ni kuiwakilisha kama bidhaa ya nambari asilia.

Kuweka nambari asilia katika vipengele vikuu kunamaanisha kuiwakilisha kama bidhaa ya nambari kuu.

Vidokezo:

• Katika mtengano wa nambari kuu, moja ya sababu ni sawa na moja, na nyingine ni sawa na nambari yenyewe.
• Haina maana kuzungumza juu ya umoja wa msingi.
• Nambari iliyojumuishwa inaweza kujumuishwa katika sababu, ambayo kila moja ni tofauti na 1.

Unapoweka idadi kubwa katika mambo makuu, tumia nukuu ya safuwima:

	Nambari kuu ndogo ambayo inaweza kugawanywa na 216 ni 2. Gawanya 216 kwa 2. Tunapata 108.
	Nambari inayotokana 108 imegawanywa na 2. Wacha tufanye mgawanyiko. Matokeo yake ni 54.
	Kulingana na jaribio la mgawanyiko na 2, nambari 54 inaweza kugawanywa na 2. Baada ya kugawanya, tunapata 27.
	Nambari 27 inaisha na nambari isiyo ya kawaida 7. Ni Haigawanyiki kwa 2. Nambari kuu inayofuata ni 3. Gawanya 27 kwa 3. Tunapata 9. Angalau mkuu Nambari ambayo 9 inaweza kugawanywa ni 3. Tatu yenyewe ni nambari kuu; Wacha tugawanye 3 peke yetu. Mwishowe tulipata 1.

• Nambari inaweza kugawanywa tu kwa nambari kuu ambazo ni sehemu ya mtengano wake.
• Nambari inaweza kugawanywa na wale tu nambari za mchanganyiko, mtengano ambao ndani ya mambo makuu unapatikana kabisa ndani yake.

Hebu tuangalie mifano:

Tafuta sehemu ya kugawanya nambari a kwa nambari b, ikiwa nambari hizi zimetenganishwa kuwa sababu kuu kama ifuatavyo: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Marejeleo

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Hisabati 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Hisabati darasa la 6. - Gymnasium. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Nyuma ya kurasa za kitabu cha hisabati. - M.: Elimu, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Kazi za kozi ya hisabati kwa darasa la 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Hisabati 5-6. Mwongozo kwa wanafunzi wa darasa la 6 katika shule ya mawasiliano ya MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Hisabati: Kitabu cha maandishi-interlocutor kwa darasa la 5-6 shule ya upili. - M.: Elimu, Maktaba ya Walimu wa Hisabati, 1989.

1. Mtandao wa portal Matematika-na.ru ().
2. Mtandao wa portal Math-portal.ru ().

Kazi ya nyumbani

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Hisabati 6. - M.: Mnemosyne, 2012. No. 127, No. 129, No. 141.
2. Kazi zingine: Nambari 133, Nambari 144.

Nambari yoyote ya mchanganyiko inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya vigawanyiko vyake kuu:

28 = 2 2 7

Pande za kulia za usawa unaosababishwa huitwa msingi factorization nambari 15 na 28.

Kuweka nambari iliyojumuishwa katika vipengele vikuu inamaanisha kuwakilisha nambari hii kama bidhaa ya vipengele vyake kuu.

Mtengano wa nambari fulani katika mambo kuu hufanywa kama ifuatavyo:

1. Kwanza unahitaji kuchagua nambari kuu ndogo zaidi kutoka kwa jedwali la nambari kuu ambazo hugawanya nambari iliyojumuishwa bila salio, na ugawanye.
2. Ifuatayo, unahitaji tena kuchagua nambari kuu ndogo zaidi ambayo mgawo uliopatikana tayari utagawanywa bila salio.
3. Hatua ya pili inarudiwa hadi mtu apatikane katika mgawo.

Kwa mfano, hebu tubadilishe nambari 940 kuwa sababu kuu. Tafuta nambari kuu ndogo zaidi inayogawanya 940. Nambari hii ni 2:

Sasa tunachagua nambari kuu ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa na 470. Nambari hii ni 2 tena:

Nambari kuu ndogo ambayo inaweza kugawanywa na 235 ni 5:

Nambari ya 47 ni kuu, ambayo inamaanisha kuwa nambari kuu ndogo zaidi inayoweza kugawanywa na 47 ni nambari yenyewe:

Kwa hivyo, tunapata nambari 940, iliyojumuishwa katika sababu kuu:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Ikiwa mtengano wa nambari kuwa sababu kuu ulisababisha sababu kadhaa zinazofanana, basi kwa ufupi, zinaweza kuandikwa kwa njia ya nguvu:

940 = 2 2 5 47

Ni rahisi zaidi kuandika mtengano katika mambo makuu kama ifuatavyo: kwanza tunaandika nambari hii ya mchanganyiko na kuchora mstari wa wima kulia kwake:

Kwa upande wa kulia wa mstari tunaandika kigawanyiko kikuu kidogo zaidi ambacho nambari iliyopeanwa ya mchanganyiko imegawanywa:

Tunafanya mgawanyiko na kuandika mgawo unaosababishwa chini ya gawio:

Tunatenda na mgawo kwa njia sawa na nambari iliyopewa ya mchanganyiko, i.e., tunachagua nambari kuu ndogo ambayo inaweza kugawanywa bila salio na kufanya mgawanyiko. Na tunarudia hii hadi tupate kitengo katika mgawo:

Tafadhali kumbuka kuwa wakati mwingine inaweza kuwa ngumu sana kuainisha nambari kuwa sababu kuu, kwani wakati wa uainishaji tunaweza kukutana na idadi kubwa ambayo ni ngumu kuamua mara moja ikiwa ni ya msingi au ya mchanganyiko. Na ikiwa ni mchanganyiko, basi si rahisi kupata mgawanyiko wake mdogo zaidi.

Wacha tujaribu, kwa mfano, kuweka nambari 5106 kuwa sababu kuu:

Baada ya kufikia quotient 851, ni ngumu kuamua mara moja mgawanyiko wake mdogo. Tunageuka kwenye meza ya nambari kuu. Ikiwa kuna nambari ndani yake ambayo inatuweka katika shida, basi inaweza kugawanywa peke yake na moja. Nambari 851 haiko kwenye jedwali la nambari kuu, ambayo inamaanisha kuwa ni mchanganyiko. Kilichobaki ni kuigawanya katika nambari kuu kwa kuhesabu mfululizo: 3, 7, 11, 13, ..., na kadhalika hadi tupate kigawanyiko kikuu kinachofaa. Kwa nguvu ya kikatili tunapata kuwa 851 inaweza kugawanywa na nambari 23.

(isipokuwa 0 na 1) zina angalau vigawanyiko viwili: 1 na yenyewe. Nambari ambazo hazina vigawanyiko vingine huitwa rahisi nambari. Nambari ambazo zina vigawanyiko vingine huitwa mchanganyiko(au changamano) nambari. Kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu. Zifuatazo ni nambari kuu zisizozidi 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Kuzidisha- moja ya shughuli nne za msingi za hesabu, operesheni ya hisabati ya binary ambayo hoja moja huongezwa mara nyingi zaidi kuliko nyingine. Katika hesabu, kuzidisha ni njia fupi ya kuongeza idadi maalum ya istilahi zinazofanana.

Kwa mfano, nukuu 5*3 inamaanisha "ongeza tano tano," yaani, 5+5+5. Matokeo ya kuzidisha inaitwa kazi, na nambari za kuzidisha ni vizidishio au sababu. Sababu ya kwanza wakati mwingine huitwa " multiplicand».

Kila nambari ya mchanganyiko inaweza kujumuishwa katika sababu kuu. Kwa njia yoyote, upanuzi huo unapatikana, ikiwa hutazingatia utaratibu ambao mambo yameandikwa.

Kuweka nambari (Factorization).

Factorization (factorization)- hesabu ya vigawanyiko - algoriti ya kuainisha au kupima ubora wa nambari kwa kuorodhesha kabisa vigawanyiko vyote vinavyowezekana.

Wale., kwa lugha rahisi, factorization ni jina linalotolewa kwa mchakato wa kuhesabu nambari, unaoonyeshwa kwa lugha ya kisayansi.

Mlolongo wa vitendo wakati wa kuzingatia mambo kuu:

1. Angalia ikiwa nambari inayopendekezwa ni ya kwanza.

2. Ikiwa sio, basi, kwa kuongozwa na ishara za mgawanyiko, tunachagua mgawanyiko kutoka kwa nambari kuu, kuanzia na ndogo zaidi (2, 3, 5 ...).

3. Tunarudia hatua hii mpaka mgawo ugeuke kuwa nambari kuu.

Katika makala hii utapata yote taarifa muhimu kujibu swali jinsi ya kuainisha nambari kuwa sababu kuu. Kwanza, wazo la jumla la mtengano wa nambari kuwa sababu kuu hupewa, na mifano ya mtengano hupewa. Ifuatayo inaonyesha aina ya kisheria ya kutenganisha nambari kuwa sababu kuu. Baada ya hayo, algorithm inatolewa kwa ajili ya kuoza nambari za kiholela katika mambo makuu na mifano ya nambari zinazoharibika kwa kutumia algorithm hii inatolewa. Mbinu mbadala pia huzingatiwa ambazo hukuruhusu kuangazia nambari kamili ndogo katika vipengele muhimu kwa kutumia majaribio ya mgawanyiko na majedwali ya kuzidisha.

Urambazaji wa ukurasa.

Inamaanisha nini kujumuisha nambari katika sababu kuu?

Kwanza, hebu tuangalie ni nini sababu kuu.

Ni wazi kwamba kwa kuwa neno "sababu" lipo katika kifungu hiki, basi kuna bidhaa ya nambari fulani, na neno la kuhitimu "rahisi" linamaanisha kwamba kila sababu ni nambari kuu. Kwa mfano, katika bidhaa ya fomu 2 · 7 · 7 · 23 kuna mambo manne kuu: 2, 7, 7 na 23.

Inamaanisha nini kujumuisha nambari katika sababu kuu?

Hii ina maana kwamba nambari hii lazima iwakilishwe kama bidhaa ya vipengele muhimu, na thamani ya bidhaa hii lazima iwe sawa na nambari asili. Kwa mfano, fikiria bidhaa ya nambari kuu tatu 2, 3 na 5, ni sawa na 30, kwa hivyo mtengano wa nambari 30 kuwa sababu kuu ni 2 · 3 · 5. Kwa kawaida mtengano wa nambari katika vipengele vikuu huandikwa kama usawa; kwa mfano wetu itakuwa hivi: 30=2 · 3 · 5. Tunasisitiza kando kwamba mambo makuu katika upanuzi yanaweza kurudiwa. Hii inaonyeshwa wazi na mfano ufuatao: 144=2 · 2 · 2 · 3 · 3. Lakini uwakilishi wa fomu 45=3 · 15 sio mtengano katika mambo makuu, kwani nambari 15 ni nambari ya mchanganyiko.

Inatokea swali linalofuata: "Ni nambari gani zinaweza kujumuishwa kuwa sababu kuu?"

Katika kutafuta jibu lake, tunatoa hoja zifuatazo. Nambari kuu, kwa ufafanuzi, ni kati ya hizo kubwa zaidi ya moja. Kwa kuzingatia ukweli huu na , inaweza kubishaniwa kuwa bidhaa ya sababu kadhaa kuu ni nambari chanya kubwa kuliko moja. Kwa hivyo, uainishaji katika vipengele kuu hutokea tu kwa nambari kamili ambazo ni kubwa kuliko 1.

Lakini je, nambari zote kubwa zaidi ya moja zinaweza kujumuishwa katika mambo makuu?

Ni wazi kwamba haiwezekani kujumuisha nambari rahisi katika mambo kuu. Hii ni kwa sababu nambari kuu zina vipengele viwili tu chanya - moja na yenyewe, kwa hivyo haziwezi kuwakilishwa kama bidhaa ya nambari kuu mbili au zaidi. Ikiwa nambari kamili z inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya nambari kuu a na b, basi dhana ya mgawanyiko itaturuhusu kuhitimisha kuwa z inaweza kugawanywa na a na b, jambo ambalo haliwezekani kwa sababu ya usahili wa nambari z. Walakini, wanaamini kuwa nambari yoyote kuu yenyewe ni mtengano.

Vipi kuhusu nambari za mchanganyiko? Je, nambari za mchanganyiko hutenganishwa kuwa sababu kuu, na je, nambari zote za utunzi ziko chini ya mtengano huo? Nadharia ya kimsingi ya hesabu inatoa jibu la uthibitisho kwa idadi ya maswali haya. Nadharia ya msingi ya hesabu inasema kwamba nambari yoyote a ambayo ni kubwa kuliko 1 inaweza kugawanywa kuwa bidhaa ya sababu kuu p 1, p 2, ..., p n, na mtengano una umbo a = p 1 · p 2 · … · p n, na upanuzi huu ni wa kipekee, ikiwa hutazingatia mpangilio wa mambo

Uainishaji wa kanuni za nambari katika vipengele vikuu

Katika upanuzi wa nambari, sababu kuu zinaweza kurudiwa. Vipengele kuu vinavyorudiwa vinaweza kuandikwa kwa ushikamano zaidi kwa kutumia . Hebu katika mtengano wa nambari kipengele kikuu p 1 hutokea s mara 1, kipengele kikuu p 2 - s mara 2, na kadhalika, p n - s n mara. Kisha sababu kuu ya nambari a inaweza kuandikwa kama a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Njia hii ya kurekodi ndiyo inayoitwa uainishaji wa kanuni za nambari katika vipengele vikuu.

Wacha tutoe mfano wa mtengano wa kisheria wa nambari kuwa sababu kuu. Hebu tujue mtengano 609 840=2 2 2 3 3 5 7 11 11, nukuu yake ya kisheria ina umbo 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Uainishaji wa kanuni za nambari katika mambo makuu hukuruhusu kupata vigawanyiko vyote vya nambari na idadi ya vigawanyiko vya nambari.

Algorithm ya kuainisha nambari kuwa sababu kuu

Ili kufanikiwa kukabiliana na kazi ya kutenganisha nambari kuwa sababu kuu, unahitaji kuwa na ufahamu mzuri wa habari katika nambari kuu na nambari za maandishi.

Kiini cha mchakato wa kuoza nambari kamili ya nambari A inayozidi moja ni wazi kutoka kwa uthibitisho wa nadharia ya kimsingi ya hesabu. Hoja ni kupata mfuatano wagawanyiko wakuu wadogo p 1, p 2, ..., p n ya nambari a, a 1, a 2, ..., n-1, ambayo inaruhusu sisi kupata safu ya usawa. a=p 1 ·a 1, ambapo a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , ambapo a 2 =a 1:p 2 , ..., a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , ambapo n =a n-1:p n . Tunapopata n =1, basi usawa a=p 1 ·p 2 ·…·p n itatupa mtengano unaotaka wa nambari a kuwa sababu kuu. Ikumbukwe pia hapa kwamba p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Inabakia kujua jinsi ya kupata sababu ndogo zaidi katika kila hatua, na tutakuwa na algorithm ya kutenganisha nambari kuwa sababu kuu. Jedwali la nambari kuu zitatusaidia kupata sababu kuu. Wacha tuonyeshe jinsi ya kuitumia kupata kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari z.

Tunachukua nambari kuu kutoka kwa jedwali la nambari kuu (2, 3, 5, 7, 11, na kadhalika) na kugawanya nambari iliyopewa z nao. Nambari kuu ya kwanza ambayo z imegawanywa sawasawa itakuwa kigawanyaji chake kikuu kidogo zaidi. Ikiwa nambari z ni kuu, basi kigawanyaji chake kikuu kidogo kitakuwa nambari z yenyewe. Ikumbukwe hapa kwamba ikiwa z sio nambari kuu, basi mgawanyiko wake mdogo zaidi hauzidi nambari , ambapo ni kutoka z. Kwa hivyo, ikiwa kati ya nambari kuu zisizozidi, hakukuwa na kigawanyiko kimoja cha nambari z, basi tunaweza kuhitimisha kuwa z ni nambari kuu (zaidi juu ya hii imeandikwa katika sehemu ya nadharia chini ya kichwa Nambari hii ni ya msingi au ya mchanganyiko. )

Kama mfano, tutaonyesha jinsi ya kupata mgawanyiko mdogo kabisa wa nambari 87. Wacha tuchukue nambari 2. Gawanya 87 kwa 2, tunapata 87: 2=43 (iliyobaki 1) (ikiwa ni lazima, angalia makala). Hiyo ni, wakati wa kugawanya 87 kwa 2, iliyobaki ni 1, kwa hivyo 2 sio kigawanyaji cha nambari 87. Tunachukua nambari kuu inayofuata kutoka kwa jedwali la nambari kuu, hii ndio nambari 3. Gawanya 87 kwa 3, tunapata 87:3=29. Kwa hivyo, 87 inaweza kugawanywa na 3, kwa hivyo, nambari 3 ndio mgawanyiko mkuu wa nambari 87.

Kumbuka kuwa katika hali ya jumla, ili kuainisha nambari katika vipengele vikuu, tunahitaji jedwali la nambari kuu hadi nambari isiyopungua . Tutalazimika kurejelea jedwali hili kwa kila hatua, kwa hivyo tunahitaji kuwa nayo karibu. Kwa mfano, ili kuweka nambari 95 kuwa sababu kuu, tutahitaji tu jedwali la nambari kuu hadi 10 (kwani 10 ni kubwa kuliko ). Na kuoza nambari 846,653, tayari utahitaji jedwali la nambari kuu hadi 1,000 (kwani 1,000 ni kubwa kuliko ).

Sasa tunayo maelezo ya kutosha ya kuandika algorithm ya kuainisha nambari kuwa sababu kuu. Algorithm ya kutenganisha nambari a ni kama ifuatavyo.

• Kupanga nambari kwa mpangilio kutoka kwa jedwali la nambari kuu, tunapata kigawanyaji kikuu kidogo zaidi p 1 cha nambari a, kisha tunahesabu 1 =a:p 1. Ikiwa 1 = 1, basi nambari a ni kuu, na yenyewe ni mtengano wake kuwa sababu kuu. Ikiwa 1 si sawa na 1, basi tuna a=p 1 ·a 1 na kuendelea hadi hatua inayofuata.
• Tunapata kigawanyiko kikuu kidogo p 2 cha nambari a 1 , ili kufanya hivyo tunapanga nambari kwa mpangilio kutoka kwa jedwali la nambari kuu, kuanzia p 1 , na kisha kuhesabu 2 =a 1:p 2 . Iwapo 2 =1, basi mtengano unaohitajika wa nambari a kuwa vipengele kuu una fomu a=p 1 ·p 2. Ikiwa 2 si sawa na 1, basi tuna a=p 1 ·p 2 ·a 2 na kuendelea hadi hatua inayofuata.
• Kupitia nambari kutoka kwa jedwali la nambari kuu, kuanzia p 2, tunapata kigawanyiko kikuu kidogo p 3 cha nambari a 2, baada ya hapo tunahesabu 3 =a 2:p 3. Iwapo 3 =1, basi mtengano unaohitajika wa nambari a kuwa vipengele kuu una umbo a=p 1 ·p 2 ·p 3. Ikiwa 3 si sawa na 1, basi tuna a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 na kuendelea hadi hatua inayofuata.
• Tunapata kigawanyo kikuu kidogo zaidi p n cha nambari n-1 kwa kupanga nambari kuu, kuanzia p n-1, na n =a n-1:p n, na n ni sawa na 1. Hatua hii ni hatua ya mwisho ya algorithm hapa tunapata mtengano unaohitajika wa nambari a kuwa sababu kuu: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Kwa uwazi, matokeo yote yaliyopatikana katika kila hatua ya algorithm ya kuoza nambari katika mambo kuu yanawasilishwa kwa namna ya jedwali lifuatalo, ambalo nambari a, 1, 2, ..., n zimeandikwa kwa mfuatano. katika safu upande wa kushoto wa mstari wa wima, na kwa haki ya mstari - wagawanyiko wakuu wadogo wanaofanana p 1, p 2, ..., p n.

Kinachobaki ni kuzingatia mifano michache ya utumiaji wa algorithm inayosababisha ya kuoza nambari kuwa sababu kuu.

Mifano ya msingi factorization

Sasa tutaangalia kwa undani mifano ya kuainisha nambari kuwa sababu kuu. Wakati wa kuoza, tutatumia algorithm kutoka kwa aya iliyotangulia. Hebu tuanze na kesi rahisi, na tutawachanganya hatua kwa hatua ili kukutana na nuances zote zinazowezekana zinazotokea wakati wa kuoza nambari kwa sababu rahisi.

Mfano.

Eleza nambari 78 katika mambo yake makuu.

Suluhisho.

Tunaanza utafutaji wa kigawanyaji kikuu cha kwanza kidogo zaidi p 1 cha nambari a=78. Ili kufanya hivyo, tunaanza kupanga kwa mpangilio kupitia nambari kuu kutoka kwa jedwali la nambari kuu. Tunachukua nambari 2 na kugawanya 78 nayo, tunapata 78:2=39. Nambari 78 imegawanywa na 2 bila salio, kwa hivyo p 1 = 2 ndiye mgawanyiko mkuu wa kwanza wa nambari 78. Katika kesi hii, 1 =a:p 1 =78:2=39. Kwa hivyo tunafikia usawa a=p 1 ·a 1 kuwa na fomu 78=2·39. Kwa wazi, 1 = 39 ni tofauti na 1, kwa hiyo tunaendelea hadi hatua ya pili ya algorithm.

Sasa tunatafuta kigawanyiko kikuu kidogo zaidi p 2 cha nambari a 1 =39. Tunaanza kuorodhesha nambari kutoka kwa jedwali la nambari kuu, kuanzia na p 1 = 2. Gawanya 39 kwa 2, tunapata 39:2=19 (iliyobaki 1). Kwa kuwa 39 haijagawanywa sawasawa na 2, basi 2 sio mgawanyiko wake. Kisha tunachukua nambari inayofuata kutoka kwa jedwali la nambari kuu (nambari 3) na ugawanye 39 nayo, tunapata 39: 3 = 13. Kwa hiyo, p 2 =3 ni kigawanyo kikuu kidogo zaidi cha nambari 39, wakati 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Tuna usawa a=p 1 ·p 2 ·a 2 katika mfumo 78=2·3·13. Kwa kuwa 2 = 13 ni tofauti na 1, tunaendelea kwenye hatua inayofuata ya algorithm.

Hapa tunahitaji kupata kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari 2 =13. Katika kutafuta kigawanyiko kikuu kidogo zaidi p 3 cha nambari 13, tutachambua kwa mpangilio nambari kutoka kwa jedwali la nambari kuu, tukianza na p 2 =3. Nambari 13 haiwezi kugawanywa na 3, kwani 13:3=4 (pumziko. 1), pia 13 haigawanyiki na 5, 7 na 11, kwani 13:5=2 (pumziko. 3), 13:7=1. (pumziko. 6) na 13:11=1 (pumziko. 2). Nambari kuu inayofuata ni 13, na 13 inaweza kugawanywa nayo bila salio, kwa hivyo, kigawanyiko kikuu kidogo p 3 ya 13 ni nambari 13 yenyewe, na 3 = a 2:p 3 =13:13=1. Kwa kuwa 3 =1, hatua hii ya algorithm ni ya mwisho, na mtengano unaohitajika wa nambari 78 katika mambo kuu ina fomu 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3).

Jibu:

78=2·3·13.

Mfano.

Eleza nambari 83,006 kama bidhaa ya sababu kuu.

Suluhisho.

Katika hatua ya kwanza ya algorithm ya kuoza nambari kuwa sababu kuu, tunapata p 1 = 2 na 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, ambayo 83,006 = 2 · 41,503.

Katika hatua ya pili, tunagundua kuwa 2, 3 na 5 sio vigawanyiko wakuu wa nambari 1 = 41,503, lakini nambari 7 ni, kwani 41,503:7 = 5,929. Tuna p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Hivyo, 83,006=2 7 5 929.

Kigawanyiko kikuu kidogo zaidi cha nambari 2 = 5 929 ni nambari 7, kwani 5 929: 7 = 847. Hivyo, p 3 =7, a 3 = a 2:p 3 =5 929:7 = 847, ambayo 83 006 = 2 · 7 · 7 · 847.

Kisha tunapata kwamba kigawanyaji kikuu kidogo zaidi p 4 cha nambari a 3 =847 ni sawa na 7. Kisha 4 =a 3:p 4 =847:7=121, hivyo 83 006=2 · 7 · 7 · 7 · 121.

Sasa tunapata kigawanyiko kikuu kidogo zaidi cha nambari 4 = 121, ni nambari p 5 = 11 (kwani 121 inaweza kugawanywa na 11 na haiwezi kugawanywa na 7). Kisha 5 =a 4:p 5 =121:11=11, na 83 006=2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Hatimaye, kigawanyaji kikuu kidogo zaidi cha nambari 5 =11 ni nambari p 6 =11. Kisha 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Kwa kuwa 6 = 1, hatua hii ya algorithm ya kutenganisha nambari katika mambo kuu ni ya mwisho, na mtengano unaohitajika una fomu 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Matokeo yaliyopatikana yanaweza kuandikwa kama mtengano wa kisheria wa nambari kuwa sababu kuu 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Jibu:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 ni nambari kuu. Hakika, haina kigawanyo kikuu kimoja kisichozidi ( kinaweza kukadiriwa kama , kwani ni dhahiri kwamba 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Jibu:

897 924 289 = 937 967 991 .

Kutumia vipimo vya mgawanyiko kwa sababu kuu

Katika hali rahisi, unaweza kutenganisha nambari kuwa sababu kuu bila kutumia algoriti ya mtengano kutoka kwa aya ya kwanza ya kifungu hiki. Ikiwa nambari sio kubwa, basi kuzitenganisha kwa sababu kuu mara nyingi inatosha kujua ishara za mgawanyiko. Hebu toa mifano kwa ufafanuzi.

Kwa mfano, tunahitaji kuhesabu nambari 10 kuwa sababu kuu. Kutoka kwa jedwali la kuzidisha tunajua kuwa 2 · 5 = 10, na nambari 2 na 5 ni dhahiri, kwa hivyo uainishaji mkuu wa nambari 10 inaonekana kama 10=2 · 5.

Mfano mwingine. Kwa kutumia jedwali la kuzidisha, tutaweka nambari 48 kuwa sababu kuu. Tunajua kuwa sita ni nane - arobaini na nane, ambayo ni, 48 = 6 · 8. Walakini, sio 6 au 8 ndio nambari kuu. Lakini tunajua kwamba mara mbili tatu ni sita, na mara mbili nne ni nane, yaani, 6 = 2 · 3 na 8 = 2 · 4. Kisha 48=6·8=2·3·2·4. Inabakia kukumbuka kwamba mara mbili mbili ni nne, basi tunapata mtengano unaohitajika katika mambo makuu 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2. Hebu tuandike upanuzi huu katika mfumo wa kisheria: 48=2 4 ·3.

Lakini unapoweka nambari 3,400 kuwa sababu kuu, unaweza kutumia vigezo vya mgawanyiko. Ishara za mgawanyiko na 10, 100 zinaturuhusu kusema kwamba 3,400 inaweza kugawanywa na 100, na 3,400 = 34 · 100, na 100 inaweza kugawanywa na 10, na 100 = 10 · 10, kwa hiyo, 3,400 = 34 · 10 · 10. Na kwa msingi wa jaribio la mgawanyiko na 2, tunaweza kusema kwamba kila moja ya sababu 34, 10 na 10 inaweza kugawanywa na 2, tunapata. 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Sababu zote katika upanuzi unaosababishwa ni rahisi, kwa hiyo upanuzi huu ndio unaohitajika. Kilichobaki ni kupanga upya vipengele ili viende kwa mpangilio wa kupanda: 3 400 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 17. Wacha pia tuandike mtengano wa kisheria wa nambari hii kuwa sababu kuu: 3 400 = 2 3 · 5 2 ·17.

Wakati wa kutenganisha nambari uliyopewa kuwa sababu kuu, unaweza kutumia kwa zamu ishara zote za mgawanyiko na jedwali la kuzidisha. Wacha tufikirie nambari 75 kama bidhaa ya sababu kuu. Jaribio la mgawanyiko kwa 5 huturuhusu kusema kuwa 75 inaweza kugawanywa na 5, na tunapata hiyo 75 = 5 · 15. Na kutoka kwa meza ya kuzidisha tunajua kwamba 15 = 3 · 5, kwa hiyo, 75 = 5 · 3 · 5. Huu ndio mtengano unaohitajika wa nambari 75 kuwa sababu kuu.

Marejeleo.

• Vilenkin N.Ya. na wengine. Daraja la 6: kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya jumla.
• Vinogradov I.M. Misingi ya nadharia ya nambari.
• Mikhelovich Sh.H. Nadharia ya nambari.
• Kulikov L.Ya. na mengineyo Mkusanyiko wa matatizo katika nadharia ya aljebra na nambari: Kitabu cha kiada kwa wanafunzi wa fizikia na hisabati. utaalam wa taasisi za ufundishaji.