Jinsi ya kutoa logarithm na msingi sawa. Logarithms: mifano na suluhisho

Maagizo

Andika usemi wa logarithmic uliyopewa. Ikiwa usemi unatumia logariti ya 10, basi nukuu yake imefupishwa na inaonekana kama hii: lg b ni logarithm ya desimali. Ikiwa logariti ina nambari e kama msingi wake, basi andika usemi: ln b - logarithm asilia. Inaeleweka kuwa matokeo ya yoyote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari b.

Wakati wa kupata jumla ya kazi mbili, unahitaji tu kutofautisha moja kwa moja na kuongeza matokeo: (u+v)" = u"+v";

Wakati wa kupata derivative ya bidhaa ya kazi mbili, inahitajika kuzidisha derivative ya kazi ya kwanza na ya pili na kuongeza derivative ya kazi ya pili iliyozidishwa na kazi ya kwanza: (u*v)" = u"*v. +v"*u;

Ili kupata derivative ya mgawo wa kazi mbili, ni muhimu kutoa kutoka kwa bidhaa ya derivative ya gawio lililozidishwa na kazi ya kugawanya bidhaa ya derivative ya kigawanyiko kilichozidishwa na kazi ya gawio, na kugawanya. yote haya kwa kitendakazi cha kigawanyaji kilichowekwa mraba. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ikiwa kazi ngumu inapewa, basi ni muhimu kuzidisha derivative ya kazi ya ndani na derivative ya ile ya nje. Acha y=u(v(x)), kisha y"(x)=y"(u)*v"(x).

Kutumia matokeo yaliyopatikana hapo juu, unaweza kutofautisha karibu kazi yoyote. Kwa hivyo, tuangalie mifano michache:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Pia kuna matatizo yanayohusisha kuhesabu derivative kwa uhakika. Acha kazi y=e^(x^2+6x+5) itolewe, unahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa kwenye hatua x=1.
1) Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Kokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani y"(1)=8*e^0=8

Video kwenye mada

Ushauri muhimu

Jifunze jedwali la derivatives za msingi. Hii itaokoa muda kwa kiasi kikubwa.

Vyanzo:

• derivative ya mara kwa mara

Kwa hiyo, kuna tofauti gani? ir mlinganyo wa busara kutoka kwa mantiki? Ikiwa tofauti isiyojulikana iko chini ya ishara mzizi wa mraba, basi equation inachukuliwa kuwa isiyo na maana.

Maagizo

Njia kuu ya kutatua equations vile ni njia ya kujenga pande zote mbili milinganyo ndani ya mraba. Hata hivyo. hii ni ya asili, jambo la kwanza unahitaji kufanya ni kuondokana na ishara. Njia hii sio ngumu kitaalam, lakini wakati mwingine inaweza kusababisha shida. Kwa mfano, mlinganyo ni v(2x-5)=v(4x-7). Kwa kugawanya pande zote mbili unapata 2x-5=4x-7. Kutatua equation kama hiyo sio ngumu; x=1. Lakini nambari 1 haitatolewa milinganyo. Kwa nini? Weka moja kwenye mlingano badala ya thamani ya x Na pande za kulia na kushoto zitakuwa na misemo ambayo haina maana, yaani. Thamani hii si halali kwa mzizi wa mraba. Kwa hiyo, 1 ni mzizi wa nje, na kwa hiyo equation hii haina mizizi.

Kwa hivyo, equation isiyo na maana hutatuliwa kwa kutumia njia ya kugawanya pande zake zote mbili. Na baada ya kutatua equation, ni muhimu kukata mizizi ya nje. Ili kufanya hivyo, badilisha mizizi iliyopatikana kwenye equation ya awali.

Fikiria mwingine.
2х+vх-3=0
Bila shaka, equation hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia equation sawa na uliopita. Sogeza Viwanja milinganyo, ambayo haina mzizi wa mraba, ndani upande wa kulia na kisha tumia njia ya squaring. kutatua equation mantiki na mizizi. Lakini pia mwingine, kifahari zaidi. Ingiza kigezo kipya; vx=y. Ipasavyo, utapokea mlinganyo wa fomu 2y2+y-3=0. Hiyo ni, kawaida mlinganyo wa quadratic. Tafuta mizizi yake; y1=1 na y2=-3/2. Ifuatayo, suluhisha mbili milinganyo vх=1; vх=-3/2. Mlinganyo wa pili hauna mizizi; kutoka kwa wa kwanza tunapata kwamba x=1. Usisahau kuangalia mizizi.

Kutatua vitambulisho ni rahisi sana. Ili kufanya hivyo unahitaji kufanya mabadiliko ya utambulisho mpaka lengo litimie. Kwa hiyo, kwa msaada wa shughuli rahisi za hesabu, tatizo lililowekwa litatatuliwa.

Utahitaji

• - karatasi;
• - kalamu.

Maagizo

Rahisi zaidi kati ya mabadiliko hayo ni kuzidisha kwa ufupi wa aljebra (kama vile mraba wa jumla (tofauti), tofauti ya miraba, jumla (tofauti), mchemraba wa jumla (tofauti)). Kwa kuongeza, kuna mengi na fomula za trigonometric, ambayo kimsingi ni vitambulisho sawa.

Hakika, mraba wa jumla ya istilahi mbili ni sawa na mraba wa neno la kwanza na kujumlisha mara mbili ya bidhaa ya kwanza hadi ya pili na kuongeza mraba wa pili, yaani (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Rahisisha zote mbili

Kanuni za jumla za suluhisho

Njia ya Kubadilisha Tofauti

Kutatua viungo vya aina ya pili

Uingizwaji wa mipaka ya ujumuishaji

Logarithm ya nambari N kulingana na A inayoitwa kielelezo X , ambayo unahitaji kujenga A kupata namba N

Isipokuwa hivyo
,
,

Kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm inafuata hiyo
, i.e.
- usawa huu ni kitambulisho cha msingi cha logarithmic.

Logariti hadi msingi 10 huitwa logariti za desimali. Badala ya
andika
.

Logarithm kwa msingi e huitwa asili na huteuliwa
.

Mali ya msingi ya logarithms.

Logariti ya moja ni sawa na sifuri kwa msingi wowote.

Logarithm ya bidhaa sawa na jumla logarithms ya sababu.

3) Logariti ya mgawo ni sawa na tofauti ya logariti

Sababu
inayoitwa moduli ya mpito kutoka logariti hadi msingi a kwa logarithm kwenye msingi b .

Kutumia mali 2-5, mara nyingi inawezekana kupunguza logarithm ya usemi tata kwa matokeo ya shughuli rahisi za hesabu kwenye logarithms.

Kwa mfano,

Mabadiliko kama haya ya logarithm huitwa logarithms. Mabadiliko kinyume na logarithmu huitwa potentiation.

Sura ya 2. Vipengele vya hisabati ya juu.

1. Mipaka

Kikomo cha chaguo la kukokotoa
ni nambari A ikiwa, kama xx 0 kwa kila iliyoamuliwa mapema
, kuna idadi kama hiyo
hiyo mara tu
, Hiyo
.

Chaguo za kukokotoa ambazo zina kikomo hutofautiana nayo kwa kiasi kisicho na kikomo:
, wapi- b.m.v., i.e.
.

Mfano. Fikiria kazi
.

Wakati wa kujitahidi
, kazi y inaelekea sifuri:

1.1. Nadharia za msingi kuhusu mipaka.

Kikomo cha thamani ya mara kwa mara ni sawa na thamani hii ya mara kwa mara

.

Kikomo cha jumla (tofauti) ya idadi maalum ya kazi ni sawa na jumla (tofauti) ya mipaka ya kazi hizi.

Kikomo cha bidhaa cha idadi ya mwisho ya kazi ni sawa na bidhaa ya mipaka ya kazi hizi.

Kikomo cha mgawo wa kazi mbili ni sawa na mgawo wa mipaka ya kazi hizi ikiwa kikomo cha denominator sio sifuri.

Mipaka ya Ajabu

,
, wapi

1.2. Kikomo cha Mifano ya Kukokotoa

Walakini, sio mipaka yote inayohesabiwa kwa urahisi. Mara nyingi zaidi, kuhesabu kikomo kunashuka hadi kufichua kutokuwa na uhakika wa aina: au .

.

2. Nyingi ya kitendakazi

Hebu tuwe na kazi
, inayoendelea kwenye sehemu
.

Hoja alipata ongezeko fulani
. Kisha kazi itapokea nyongeza
.

Thamani ya hoja inalingana na thamani ya chaguo la kukokotoa
.

Thamani ya hoja
inalingana na thamani ya chaguo la kukokotoa.

Kwa hivyo,.

Wacha tupate kikomo cha uwiano huu
. Ikiwa kikomo hiki kipo, basi inaitwa derivative ya kazi iliyotolewa.

Ufafanuzi wa 3 Nyingine ya chaguo za kukokotoa zilizotolewa
kwa hoja inaitwa kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi ongezeko la hoja, wakati nyongeza ya hoja kiholela huwa sufuri.

Nyingi ya chaguo za kukokotoa
inaweza kuteuliwa kama ifuatavyo:

; ; ; .

Ufafanuzi 4Uendeshaji wa kutafuta derivative ya kitendakazi huitwa utofautishaji.

2.1. Maana ya mitambo ya derivative.

Wacha tuzingatie mwendo wa mstatili wa sehemu fulani ngumu ya mwili au nyenzo.

Wacha kwa wakati fulani hatua ya kusonga
alikuwa kwa mbali kutoka nafasi ya kuanzia
.

Baada ya muda fulani
akasogea mbali
. Mtazamo =- kasi ya wastani nyenzo uhakika
. Hebu tupate kikomo cha uwiano huu, kwa kuzingatia hilo
.

Kwa hivyo, kuamua kasi ya papo hapo ya harakati ya nyenzo hupunguzwa hadi kupata derivative ya njia kwa heshima na wakati.

2.2. Thamani ya kijiometri ya derivative

Hebu tuwe na kazi iliyofafanuliwa kwa michoro
.

Mchele. 1. Maana ya kijiometri ya derivative

Kama
, kisha onyesha
, itasonga kando ya curve, inakaribia hatua
.

Kwa hivyo
, i.e. thamani ya derivative kwa thamani fulani ya hoja kiidadi sawa na tanjiti ya pembe inayoundwa na tanjiti katika sehemu fulani yenye mwelekeo chanya wa mhimili.
.

2.3. Jedwali la kanuni za kimsingi za utofautishaji.

Kazi ya nguvu

Utendakazi wa kielelezo

Utendaji wa logarithmic

Kazi ya Trigonometric

Kitendaji kinyume cha trigonometriki

2.4. Kanuni za kutofautisha.

Inayotokana na

Inatokana na jumla (tofauti) ya chaguo za kukokotoa

Derivative ya bidhaa ya kazi mbili

Inayotokana na mgawo wa vitendaji viwili

2.5. Inatokana na utendaji kazi changamano.

Acha kazi itolewe
hivi kwamba inaweza kuwakilishwa katika fomu

Na
, ambapo kutofautiana ni hoja ya kati, basi

Nyingine ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo za kukokotoa kwa heshima na hoja ya kati na kinyago cha hoja ya kati kwa heshima na x.

Mfano 1.

Mfano 2.

3. Kazi tofauti.

Hebu iwepo
, inaweza kutofautishwa kwa muda fulani
na basi saa kipengele hiki cha kukokotoa kina derivative

,

basi tunaweza kuandika

(1),

Wapi - idadi isiyo na kikomo,

tangu lini

Kuzidisha masharti yote ya usawa (1) kwa
tunayo:

Wapi
- b.m.v. hali ya juu.

Ukubwa
inayoitwa tofauti ya kazi
na imeteuliwa

.

3.1. Thamani ya kijiometri ya tofauti.

Acha kazi itolewe
.

Mtini.2. Maana ya kijiometri ya tofauti.

.

Ni wazi, tofauti ya kazi
ni sawa na ongezeko la mratibu wa tanjiti katika hatua fulani.

3.2. Derivatives na tofauti za maagizo mbalimbali.

Kama ipo
, Kisha
inaitwa derivative ya kwanza.

Derivative ya derivative ya kwanza inaitwa derivative ya mpangilio wa pili na imeandikwa
.

Inatokana na mpangilio wa nth wa chaguo za kukokotoa
inaitwa derivative ya mpangilio (n-1) na imeandikwa:

.

Tofauti ya tofauti ya kazi inaitwa tofauti ya pili au ya pili ya utaratibu.

.

.

3.3 Kutatua matatizo ya kibiolojia kwa kutumia upambanuzi.

Jukumu la 1. Uchunguzi umeonyesha kwamba ukuaji wa koloni ya microorganisms hutii sheria
, wapi N - idadi ya vijidudu (kwa maelfu); t - wakati (siku).

b) Je, watu wa koloni wataongezeka au kupungua katika kipindi hiki?

Jibu. Saizi ya koloni itaongezeka.

Kazi ya 2. Maji katika ziwa hujaribiwa mara kwa mara ili kufuatilia maudhui ya bakteria ya pathogenic. Kupitia t siku baada ya kupima, mkusanyiko wa bakteria imedhamiriwa na uwiano

.

Ni lini ziwa litakuwa na mkusanyiko wa chini wa bakteria na itawezekana kuogelea ndani yake?

Suluhisho: Chaguo za kukokotoa hufika kiwango cha juu au chini wakati kitoweo chake ni sifuri.

,

Wacha tubainishe idadi ya juu au chini itakuwa ndani ya siku 6. Ili kufanya hivyo, hebu tuchukue derivative ya pili.

Jibu: Baada ya siku 6 kutakuwa na mkusanyiko wa chini wa bakteria.

1. Angalia ikiwa kuna nambari hasi au moja chini ya ishara ya logariti. Mbinu hii inatumika kwa maneno ya fomu logi b ⁡ (x) logi b ⁡ (a) (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\logi _(b)(x))(\logi _(b)(a)))). Walakini, haifai kwa kesi maalum:

   • Logariti ya nambari hasi haijafafanuliwa katika msingi wowote (kwa mfano, logi ⁡ (− 3) (\mtindo wa kuonyesha \logi(-3)) au logi 4 ⁡ (− 5) (\mtindo wa kuonyesha \logi _(4)(-5))) Katika kesi hii, andika "hakuna suluhisho".
   • Logariti ya sifuri kwa msingi wowote pia haijafafanuliwa. Ukikamatwa ln ⁡ (0) (\mtindo wa kuonyesha \ln(0)), andika "hakuna suluhisho".
   • Logarithm ya moja hadi msingi wowote ( logi ⁡ (1) (\mtindo wa kuonyesha \logi(1))) daima ni sifuri, kwa sababu x 0 = 1 (\mtindo wa kuonyesha x^(0)=1) kwa maadili yote x. Andika 1 badala ya logarithm hii na usitumie njia iliyo hapa chini.
   • Ikiwa logarithm zina sababu tofauti, Kwa mfano l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\mtindo wa kuonyesha (\frac (logi_(3)(x)))(logi_(4)(a)))), na hazijapunguzwa hadi nambari kamili, thamani ya usemi haiwezi kupatikana kwa mikono.

2. Badilisha usemi kuwa logariti moja. Ikiwa usemi sio moja ya hapo juu matukio maalum, inaweza kuwakilishwa kama logariti moja. Tumia formula ifuatayo kwa hili: logi b ⁡ (x) gogo b ⁡ (a) = logi a ⁡ (x) (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\logi _(b)(x))(\logi _(b)(a)))=\ logi_(a)(x)).

   • Mfano 1: Fikiria usemi huo logi ⁡ logi 16 ⁡ 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\logi (16))(\logi (2)))).
     Kwanza, wacha tuwakilishe usemi kama logarithm moja kwa kutumia fomula hapo juu: kumbukumbu ⁡ logi 16 ⁡ 2 = logi 2 ⁡ (16) (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\logi (16))(\logi (2)))=\logi _(2)(16)).
   • Fomula hii ya "kubadilisha msingi" wa logarithm inatokana na sifa za msingi za logarithms.

3. Ikiwezekana, tathmini thamani ya usemi mwenyewe. Kupata weka ⁡ (x) (\mtindo wa kuonyesha \logi _(a)(x)), fikiria usemi " a? = x (\mtindo wa kuonyesha a^(?)=x)", yaani jiulize swali linalofuata: "Tunapaswa kuinua kwa nguvu gani a kupata x?. Kujibu swali hili kunaweza kuhitaji kikokotoo, lakini ikiwa una bahati, unaweza kukipata wewe mwenyewe.

   • Mfano 1 (inaendelea): Andika upya kama 2? = 16 (\mtindo wa kuonyesha 2^(?)=16). Unahitaji kupata nambari gani inapaswa kusimama mahali pa "?" Hii inaweza kufanywa kwa majaribio na makosa:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\mtindo wa kuonyesha 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\mtindo wa kuonyesha 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\mtindo wa kuonyesha 2^(4)=8*2=16)
     Kwa hivyo nambari tunayotafuta ni 4: logi 2 ⁡ (16) (\mtindo wa kuonyesha \logi _(2)(16)) = 4 .

4. Acha jibu lako katika mfumo wa logarithmic ikiwa huwezi kurahisisha. Logarithms nyingi ni ngumu sana kuhesabu kwa mkono. Katika kesi hii, ili kupata jibu sahihi, utahitaji calculator. Walakini, ikiwa unasuluhisha shida darasani, mwalimu ataridhika na jibu katika fomu ya logarithmic. Njia iliyojadiliwa hapa chini hutumiwa kutatua mfano ngumu zaidi:

   • mfano 2: nini ni sawa logi 3 ⁡ (58) logi 3 ⁡ (7) (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\logi _(3)(58))(\logi _(3)(7))))?
   • Wacha tubadilishe usemi huu kuwa logarithm moja: logi 3 ⁡ (58) logi 3 ⁡ (7) = gogo 7 ⁡ (58) (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\logi _(3)(58))(\logi _(3)(7)))=\ kumbukumbu_(7)(58)). Kumbuka kuwa msingi wa 3 wa kawaida kwa logariti zote mbili hupotea; hii ni kweli kwa sababu yoyote ile.
   • Wacha tuandike tena usemi katika fomu 7? = 58 (\mtindo wa kuonyesha 7^(?)=58) na wacha tujaribu kupata dhamana?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\mtindo wa kuonyesha 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\mtindo wa kuonyesha 7^(3)=49*7=343)
     Kwa sababu 58 iko kati ya nambari hizi mbili, haijaonyeshwa kama nambari nzima.
   • Tunaacha jibu katika fomu ya logarithmic: logi 7 ⁡ (58) (\mtindo wa kuonyesha \logi _(7)(58)).

Hebu tuanze na sifa za logarithm ya moja. Muundo wake ni kama ifuatavyo: logarithm ya umoja ni sawa na sifuri, ambayo ni, weka 1=0 kwa yoyote a>0, a≠1. Uthibitisho sio mgumu: kwa kuwa 0 =1 kwa hali yoyote ya kukidhi a>0 na a≠1, basi logi ya usawa 1=0 kuthibitishwa hufuata mara moja kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm.

Wacha tutoe mifano ya matumizi ya mali inayozingatiwa: logi 3 1=0, log1=0 na.

Wacha tuendelee kwenye mali inayofuata: logariti ya nambari sawa na msingi ni sawa na moja, yaani, logi a=1 kwa >0, a≠1. Hakika, kwa kuwa 1 =a kwa yoyote a, basi kwa ufafanuzi wa logarithm logi a=1.

Mifano ya matumizi ya mali hii ya logariti ni logi ya usawa 5 5=1, logi 5.6 5.6 na lne=1.

Kwa mfano, logi 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 na .

Logarithm ya bidhaa ya nambari mbili chanya x na y ni sawa na bidhaa ya logariti za nambari hizi: logi a (x y)=logi x+logi a y, a>0 , a≠1 . Hebu tuthibitishe mali ya logarithm ya bidhaa. Kutokana na sifa za shahada gogo a x+logi a y =a logi a x ·a logi y, na kwa kuwa kwa kitambulisho kikuu cha logarithmic logi a x =x na logi a y =y, basi logi a x ·a logi a y =x·y. Kwa hivyo, logi a x+logi a y =x·y, ambayo, kwa ufafanuzi wa logariti, usawa unathibitishwa ifuatavyo.

Hebu tuonyeshe mifano ya kutumia sifa ya logaritimu ya bidhaa: logi 5 (2 3)=logi 5 2+logi 5 3 na .

Sifa ya logariti ya bidhaa inaweza kujumlishwa kuwa bidhaa ya nambari kikomo n ya nambari chanya x 1 , x 2 , …, x n kama logi a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= weka x 1 +logi a x 2 +…+logi a x n . Usawa huu unaweza kuthibitishwa bila matatizo.

Kwa mfano, logarithm ya asili ya bidhaa inaweza kubadilishwa na jumla ya logarithms tatu za asili za namba 4, e, na.

Logarithm ya mgawo wa nambari mbili chanya x na y ni sawa na tofauti kati ya logariti za nambari hizi. Sifa ya logariti ya mgawo inalingana na fomula ya fomu , ambapo a>0, a≠1, x na y ni baadhi ya nambari chanya. Uhalali wa fomula hii umethibitishwa pamoja na fomula ya logariti ya bidhaa: tangu , kisha kwa ufafanuzi wa logarithm.

Hapa kuna mfano wa kutumia mali hii ya logarithm: .

Hebu tuendelee mali ya logarithm ya nguvu. Logariti ya shahada ni sawa na bidhaa ya kipeo na logariti ya moduli ya msingi wa shahada hii. Wacha tuandike mali hii ya logarithm ya nguvu kama fomula: logi a b p =p·logi a |b|, ambapo a>0, a≠1, b na p ni nambari hivi kwamba digrii b p inaeleweka na b p >0.

Kwanza tunathibitisha mali hii kwa chanya b. Utambulisho wa msingi wa logarithmic huturuhusu kuwakilisha nambari b kama logi a b , kisha b p =(a logi a b) p , na usemi unaotokana, kwa sababu ya sifa ya nguvu, ni sawa na p·log a b . Kwa hivyo tunafikia usawa b p =a p·log a b, ambayo, kwa ufafanuzi wa logariti, tunahitimisha kuwa logi a b p =p·log a b.

Inabakia kuthibitisha mali hii kwa hasi b. Hapa tunaona kwamba usemi wa logi a b p kwa hasi b una mantiki tu kwa vielezi p (kwa kuwa thamani ya shahada b p lazima iwe kubwa kuliko sifuri, vinginevyo logarithm haitakuwa na maana), na katika kesi hii b p =|b| uk. Kisha b p =|b| p =(logi a |b|) p =a p·logi a |b|, kutoka ambapo logi a b p =p·log a |b| .

Kwa mfano, na ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Inafuata kutoka kwa mali iliyotangulia mali ya logarithm kutoka kwa mizizi: logariti ya mzizi wa nth ni sawa na bidhaa ya sehemu 1/n kwa logariti ya usemi mkali, yaani, , ambapo a>0, a≠1, n - nambari ya asili, kubwa kuliko moja, b>0.

Uthibitisho unatokana na usawa (tazama), ambao ni halali kwa b yoyote chanya, na mali ya logarithm ya nguvu: .

Hapa kuna mfano wa kutumia mali hii: .

Sasa hebu tuthibitishe fomula ya kuhamia msingi mpya wa logarithm aina . Ili kufanya hivyo, inatosha kuthibitisha uhalali wa logi ya usawa c b=log a b·log c a. Kitambulisho cha msingi cha logarithmic huturuhusu kuwakilisha nambari b kama logi a b , kisha logi c b=log c a logi a b . Inabakia kutumia mali ya logarithm ya shahada: logi c logi a b =logi a b logi c a. Hii inathibitisha logi ya usawa c b=log a b·log c a, ambayo ina maana kwamba fomula ya kuhamia msingi mpya wa logarithm pia imethibitishwa.

Wacha tuonyeshe mifano michache ya kutumia mali hii ya logarithms: na .

Fomula ya kuhamia msingi mpya hukuruhusu kuendelea kufanya kazi na logariti ambazo zina msingi "rahisi". Kwa mfano, kwa msaada wake unaweza kubadili asili au logariti za desimali ili uweze hesabu thamani ya logariti kutoka kwa jedwali la logariti. Fomula ya kuhamia msingi mpya wa logariti pia inaruhusu, katika hali nyingine, kupata thamani ya logariti fulani wakati thamani za logariti fulani zilizo na besi zingine zinajulikana.

Kesi maalum ya fomula ya mpito hadi msingi mpya wa logarithm kwa c=b ya fomu mara nyingi hutumiwa. . Hii inaonyesha kuwa logi a b na logi b a - . Kwa mfano, .

Fomula pia hutumiwa mara nyingi , ambayo ni rahisi kupata maadili ya logarithm. Ili kuthibitisha maneno yetu, tutaonyesha jinsi yanavyoweza kutumika kukokotoa thamani ya logariti ya fomu . Tumepata . Ili kuthibitisha formula inatosha kutumia fomula ya mpito kwa msingi mpya wa logarithm a: .

Inabakia kuthibitisha mali ya kulinganisha ya logarithms.

Wacha tuthibitishe hilo kwa nambari zozote chanya b 1 na b 2, b 1 log a b 2 , na kwa a>1 - logi ya ukosefu wa usawa b 1

Hatimaye, inabakia kuthibitisha mwisho wa mali zilizoorodheshwa za logarithms. Hebu tujiwekee mipaka kwenye uthibitisho wa sehemu yake ya kwanza, yaani, tutathibitisha kwamba ikiwa 1 >1, a 2 >1 na 1. 1 ni logi ya kweli a 1 b>logi a 2 b . Taarifa zilizobaki za mali hii ya logarithms zinathibitishwa kulingana na kanuni sawa.

Wacha tutumie njia iliyo kinyume. Tuseme kwamba kwa 1 > 1, 2 > 1 na 1 1 ni logi ya kweli a 1 b≤log a 2 b . Kulingana na sifa za logarithmu, usawa huu unaweza kuandikwa upya kama Na kwa mtiririko huo, na kutoka kwao inafuata kwamba logi b a 1 ≤logi b a 2 na logi b a 1 ≥logi b a 2, kwa mtiririko huo. Kisha, kwa mujibu wa mali ya mamlaka yenye misingi sawa, usawa b logi b a 1 ≥b logi b a 2 na b logi b a 1 ≥b logi b a 2 lazima kushikilia, yaani, 1 ≥a 2 . Kwa hivyo tulifikia ukinzani kwa hali ya 1

Marejeleo.