Kulingana na sheria ya Stefan-Boltzmann, msongamano wa mionzi ya hemispherical muhimu E 0 inategemea tu joto na inatofautiana sawia na nguvu ya nne ya joto kabisa T:
Stefan-Boltzmann mara kwa mara σ 0 ni mara kwa mara ya kimwili iliyojumuishwa katika sheria ambayo huamua wiani wa ujazo wa usawa. mionzi ya joto mwili mweusi kabisa:
Kihistoria, sheria ya Stefan-Boltzmann ilitungwa kabla ya sheria ya mionzi ya Planck, ambayo inafuata kama matokeo. Sheria ya Planck huanzisha utegemezi wa wiani wa flux ya spectral ya mionzi E 0 kwa urefu wa wimbi λ na joto T:
ambapo λ - urefu wa mawimbi, m; Na=2.998 10 8 m / s - kasi ya mwanga katika utupu; T- joto la mwili, K;
h= 6.625 × 10 -34 J×s - Planck ya mara kwa mara.
Kimwili mara kwa mara k, sawa na uwiano wa mara kwa mara wa gesi ya ulimwengu wote R=8314J/(kg×K) hadi nambari ya Avogadro N.A.=6.022× 10 26 1/(kg×mol):
Idadi ya usanidi tofauti wa mfumo kutoka N chembe kwa seti fulani ya nambari n i(idadi ya chembe ndani i-hali ambayo nishati e i inalingana) ni sawia na thamani:
Ukubwa W kuna njia nyingi za usambazaji N chembe kwa viwango vya nishati. Ikiwa uhusiano (6) ni kweli, basi mfumo asilia unazingatiwa kutii takwimu za Boltzmann. Seti ya nambari n i, ambapo nambari W upeo, hutokea mara kwa mara na inalingana na usambazaji unaowezekana zaidi.
Kinetics ya kimwili- nadharia ya hadubini ya michakato katika mifumo isiyo na usawa ya kitakwimu.
Maelezo ya idadi kubwa ya chembe inaweza kufanywa kwa ufanisi mbinu za uwezekano. Kwa gesi ya monatomiki, hali ya seti ya molekuli imedhamiriwa na kuratibu zao na maadili ya makadirio ya kasi kwenye shoka za kuratibu zinazolingana. Kihisabati, hii inafafanuliwa na chaguo za kukokotoa za usambazaji, ambazo zinabainisha uwezekano wa chembe kuwa katika hali fulani:
ni idadi inayotarajiwa ya molekuli katika ujazo d d ambao viwianishi vyake viko katika safu kutoka hadi +d, na ambazo kasi zake ziko katika safu kutoka hadi +d.
Ikiwa nishati inayowezekana ya muda wa mwingiliano wa molekuli inaweza kupuuzwa kwa kulinganisha na nishati yao ya kinetic, basi gesi inaitwa bora. Gesi bora inaitwa gesi ya Boltzmann ikiwa uwiano wa njia ya bure ya molekuli katika gesi hii kwa ukubwa wa tabia ya mtiririko. L bila shaka, i.e.
kwa sababu urefu wa njia ni sawia nd 2(n ni wiani wa nambari 1/m 3, d ni kipenyo cha molekuli, m).
Ukubwa
kuitwa H-Boltzmann kazi kwa kiasi cha kitengo, ambacho kinahusishwa na uwezekano wa kuchunguza mfumo wa molekuli za gesi katika hali fulani. Kila hali inalingana na idadi fulani ya kujaza seli za kasi-kasi ya nafasi sita-dimensional ambamo nafasi ya awamu ya molekuli zinazozingatiwa inaweza kugawanywa. Hebu kuashiria W uwezekano kwamba kutakuwa na molekuli N 1 katika seli ya kwanza ya nafasi inayozingatiwa, N 2 katika pili, nk.
Hadi mara kwa mara ambayo huamua asili ya uwezekano, uhusiano ufuatao ni halali:
iko wapi kazi ya H ya kikoa cha anga A iliyochukuliwa na gesi. Kutoka (9) ni wazi kwamba W Na H iliyounganishwa, i.e. mabadiliko katika uwezekano wa hali husababisha mageuzi sambamba ya kazi ya H.
Kanuni ya Boltzmann inaanzisha uhusiano kati ya entropy S mfumo wa kimwili na uwezekano wa thermodynamic W yake inasema:
(iliyochapishwa kulingana na uchapishaji: Kogan M.N. Dynamics of a rarefied gesi. - M.: Nauka, 1967.)
Mtazamo wa jumla wa CUBE:
ni wapi nguvu ya wingi kutokana na kuwepo kwa nyanja mbalimbali (mvuto, umeme, magnetic) inayofanya kazi kwenye molekuli; J- muunganisho wa mgongano. Ni neno hili la equation ya Boltzmann ambayo inazingatia migongano ya molekuli na kila mmoja na mabadiliko yanayofanana katika kasi ya chembe zinazoingiliana. Kiunga cha mgongano ni kiunganishi cha pande tano na kina muundo ufuatao:
Equation (12) na muhimu (13) ilipatikana kwa migongano ya molekuli ambayo hakuna nguvu za tangential hutokea, i.e. chembe za kugongana zinachukuliwa kuwa laini kabisa.
Wakati wa kuingiliana, nishati ya ndani ya molekuli haibadilika, i.e. molekuli hizi zinadhaniwa kuwa elastic kikamilifu. Makundi mawili ya molekuli yanazingatiwa, kuwa na kasi na kabla ya kugongana na kila mmoja (mgongano), na baada ya mgongano, kwa mtiririko huo, kasi na. Tofauti ya kasi inaitwa kasi ya jamaa, i.e. . Ni wazi kwamba kwa mgongano laini wa elastic. Kazi za usambazaji f 1 ", f", f 1 , f kuelezea molekuli za makundi yanayofanana baada na kabla ya migongano, i.e. ; ; ; .
Mchele. 1. Mgongano wa molekuli mbili.
(13) inajumuisha vigezo viwili vinavyoonyesha eneo la molekuli zinazogongana zinazohusiana na kila mmoja: b na ε; b- umbali unaolenga, i.e. umbali mdogo zaidi ambao molekuli zingekaribia kwa kutokuwepo kwa mwingiliano (Mchoro 2); ε inaitwa parameter ya angular ya mgongano (Mchoro 3). Ujumuishaji umekwisha b kutoka 0 hadi ¥ na kutoka 0 hadi 2p (viungo viwili vya nje katika (12)) hufunika ndege nzima ya mwingiliano wa nguvu perpendicular kwa vekta.
Mchele. 2. Njia ya molekuli.
Mchele. 3. Kuzingatia mwingiliano wa molekuli katika mfumo wa kuratibu wa silinda: z, b, ε
Mlinganyo wa kinetic wa Boltzmann unatokana na mawazo na dhana zifuatazo.
1. Inaaminika kuwa hasa migongano ya molekuli mbili hutokea, i.e. jukumu la migongano ya tatu na wakati huo huo zaidi molekuli hazina maana. Dhana hii inaturuhusu kutumia chaguo za kukokotoa za usambazaji wa chembe moja kwa uchanganuzi, ambao hapo juu unaitwa chaguo za kukokotoa za usambazaji. Kwa kuzingatia mgongano wa molekuli tatu husababisha hitaji la kutumia kitendakazi cha usambazaji wa chembe mbili katika utafiti. Ipasavyo, uchambuzi unakuwa mgumu zaidi.
2. Dhana ya machafuko ya Masi. Inaonyeshwa kwa ukweli kwamba uwezekano wa kugundua chembe 1 kwenye hatua ya awamu na chembe 2 kwenye hatua ya awamu ni huru kwa kila mmoja.
3. Migongano ya molekuli na umbali wowote wa athari ni sawa, i.e. kazi ya usambazaji haibadiliki katika kipenyo cha mwingiliano. Ikumbukwe kwamba kipengele kilichochambuliwa lazima kiwe kidogo ili f ndani ya kipengele hiki haibadiliki, lakini wakati huo huo ili jamaa fluctuation ~ si kubwa. Uwezo wa mwingiliano unaotumika katika kuhesabu kiunganishi cha mgongano ni ulinganifu wa spherically, i.e. .
Usambazaji wa Maxwell-Boltzmann
Hali ya usawa wa gesi inaelezewa na usambazaji kamili wa Maxwellian, ambayo ni suluhisho halisi la mlinganyo wa kinetic wa Boltzmann:
ambapo m ni wingi wa molekuli, kilo.
Usambazaji wa jumla wa eneo la Maxwellian, unaoitwa usambazaji wa Maxwell-Boltzmann:
katika kesi wakati gesi inakwenda kwa ujumla kwa kasi na vigezo n, T inategemea kuratibu
na wakati t.
Katika uwanja wa mvuto wa Dunia, suluhu halisi la mlinganyo wa Boltzmann linaonyesha:
Wapi n 0 = msongamano kwenye uso wa dunia, 1/m3; g- kuongeza kasi ya mvuto, m/s 2; h- urefu, m. Mfumo (16) ni suluhisho halisi la usawa wa kinetic wa Boltzmann ama katika nafasi isiyo na kikomo au mbele ya mipaka ambayo haikiuki usambazaji huu, wakati joto lazima pia kubaki mara kwa mara.
Ukurasa huu uliundwa na Puzina Yu.Yu. kwa msaada wa Msingi wa Kirusi wa Utafiti wa Msingi - mradi No 08-08-00638.
Safu ya Boltzmann, ambayo ni mgawo sawa na k = 1.38 · 10 - 23 J K, ni sehemu ya idadi kubwa ya fomula katika fizikia. Ilipata jina lake kutoka kwa mwanafizikia wa Austria, mmoja wa waanzilishi wa nadharia ya kinetic ya Masi. Wacha tutengeneze ufafanuzi wa mara kwa mara wa Boltzmann:
Ufafanuzi 1
Boltzmann mara kwa mara ni hali thabiti ya kimwili ambayo hutumiwa kuamua uhusiano kati ya nishati na joto.
Haipaswi kuchanganyikiwa na Stefan-Boltzmann mara kwa mara, ambayo inahusishwa na mionzi ya nishati kutoka kwa mwili imara kabisa.
Wapo mbinu mbalimbali hesabu ya mgawo huu. Katika makala hii tutaangalia mbili kati yao.
Kupata mara kwa mara ya Boltzmann kupitia mlingano bora wa gesi
Hii mara kwa mara inaweza kupatikana kwa kutumia equation inayoelezea hali ya gesi bora. Inaweza kuamua kwa majaribio kwamba inapokanzwa gesi yoyote kutoka T 0 = 273 K hadi T 1 = 373 K inaongoza kwa mabadiliko katika shinikizo lake kutoka p 0 = 1.013 10 5 P a hadi p 0 = 1.38 10 5 P a. Hili ni jaribio rahisi ambalo linaweza kufanywa hata kwa hewa. Ili kupima joto, unahitaji kutumia thermometer, na shinikizo - manometer. Ni muhimu kukumbuka kuwa idadi ya molekuli katika mole ya gesi yoyote ni takriban sawa na 6 · 10 23, na kiasi cha shinikizo la 1 atm ni sawa na V = 22.4 lita. Kwa kuzingatia vigezo hivi vyote, tunaweza kuendelea na kuhesabu K mara kwa mara ya Boltzmann:
Ili kufanya hivyo, tunaandika equation mara mbili, tukibadilisha vigezo vya serikali ndani yake.
Kujua matokeo, tunaweza kupata thamani ya paramu k:
Kupata mara kwa mara ya Boltzmann kupitia fomula ya mwendo ya Brownian
Kwa njia ya pili ya hesabu, tutahitaji pia kufanya jaribio. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchukua kioo kidogo na kuiweka kwenye hewa kwa kutumia thread ya elastic. Hebu tufikiri kwamba mfumo wa kioo-hewa iko katika hali ya utulivu (usawa wa tuli). Molekuli za hewa hugonga kioo, ambacho kimsingi hufanya kama chembe ya Brownian. Walakini, kwa kuzingatia hali yake iliyosimamishwa, tunaweza kuona mitetemo ya mzunguko karibu na mhimili fulani unaoambatana na kusimamishwa (nyuzi iliyoelekezwa kwa wima). Sasa hebu tuelekeze boriti ya mwanga kwenye uso wa kioo. Hata kwa harakati ndogo na mzunguko wa kioo, boriti iliyoonyeshwa ndani yake itabadilika sana. Hii inatupa fursa ya kupima mitetemo ya mzunguko wa kitu.
Kuashiria moduli ya msokoto kama L, wakati wa hali ya hewa ya kioo kuhusiana na mhimili wa kuzunguka kama J, na pembe ya mzunguko wa kioo kama φ, tunaweza kuandika mlingano wa oscillation wa fomu ifuatayo:
Minus katika equation inahusishwa na mwelekeo wa wakati wa nguvu za elastic, ambayo huwa na kurudi kioo kwa nafasi ya usawa. Sasa wacha tuzidishe pande zote mbili kwa φ, unganisha matokeo na upate:
Equation ifuatayo ni sheria ya uhifadhi wa nishati, ambayo itaridhika kwa vibrations hizi (yaani, nishati inayowezekana itabadilika kuwa nishati ya kinetic na kinyume chake). Tunaweza kuzingatia mitetemo hii kuwa ya usawa, kwa hivyo:
Wakati wa kupata moja ya fomula hapo awali, tulitumia sheria ya usambazaji sawa wa nishati juu ya digrii za uhuru. Kwa hivyo tunaweza kuiandika kama hii:
Kama tulivyokwisha sema, pembe ya mzunguko inaweza kupimwa. Kwa hiyo, ikiwa hali ya joto ni takriban 290 K, na moduli ya torsion L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 · 10 - 6, basi tunaweza kuhesabu thamani ya mgawo tunayohitaji kama ifuatavyo:
Kwa hiyo, kwa kujua misingi ya mwendo wa Brownian, tunaweza kupata mara kwa mara ya Boltzmann kwa kupima macroparameters.
Boltzmann thamani ya mara kwa mara
Umuhimu wa mgawo unaochunguzwa ni kwamba inaweza kutumika kuhusisha vigezo vya ulimwengu mdogo na vigezo hivyo vinavyoelezea ulimwengu mkuu, kwa mfano, halijoto ya halijoto na nishati ya mwendo wa kutafsiri wa molekuli:
Mgawo huu umejumuishwa katika milinganyo ya wastani wa nishati ya molekuli, hali ya gesi bora, nadharia ya kinetic ya gesi, usambazaji wa Boltzmann-Maxwell na wengine wengi. Mara kwa mara ya Boltzmann inahitajika pia kuamua entropy. Ina jukumu muhimu katika utafiti wa semiconductors, kwa mfano, katika equation inayoelezea utegemezi wa conductivity ya umeme kwenye joto.
Mfano 1
Hali: kuhesabu nishati ya wastani ya molekuli ya gesi inayojumuisha molekuli za N-atomiki kwenye joto la T, ukijua kwamba digrii zote za uhuru zinasisimua katika molekuli - za mzunguko, za kutafsiri, za vibrational. Molekuli zote zinachukuliwa kuwa volumetric.
Suluhisho
Nishati inasambazwa sawasawa juu ya digrii za uhuru kwa kila digrii zake, ambayo inamaanisha kuwa digrii hizi zitakuwa na nishati sawa ya kinetic. Itakuwa sawa na ε i = 1 2 k T . Kisha kuhesabu nishati wastani tunaweza kutumia formula:
ε = i 2 k T , ambapo i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l inawakilisha jumla ya digrii za mzunguko za kutafsiri za uhuru. Herufi k inaashiria kutobadilika kwa Boltzmann.
Wacha tuendelee kuamua idadi ya digrii za uhuru wa molekuli:
m p o s t = 3, m υ r = 3, ambayo ina maana m k o l = 3 N - 6.
i = 6 + 6 N - 12 = 6 N - 6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T.
Jibu: chini ya hali hizi, wastani wa nishati ya molekuli itakuwa sawa na ε = 3 N - 3 k T.
Mfano 2
Hali: ni mchanganyiko wa gesi mbili bora ambazo msongamano wake ni hali ya kawaida sawa na uk. Kuamua nini itakuwa mkusanyiko wa gesi moja katika mchanganyiko, mradi tunajua molekuli ya molar gesi zote mbili μ 1, μ2.
Suluhisho
Kwanza, hebu tuhesabu jumla ya wingi wa mchanganyiko.
m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.
Parameter m 01 inaashiria wingi wa molekuli ya gesi moja, m 02 - molekuli ya molekuli ya mwingine, n 2 - mkusanyiko wa molekuli ya gesi moja, n 2 - mkusanyiko wa pili. Uzito wa mchanganyiko ni ρ.
Sasa kutoka kwa equation hii tunaelezea mkusanyiko wa gesi ya kwanza:
n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.
p = n k T → n = p k T.
Wacha tubadilishe thamani sawa inayotokana:
n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .
Kwa kuwa tunajua molekuli ya gesi, tunaweza kupata molekuli za gesi ya kwanza na ya pili:
m 01 = μ 1 N A, m 02 = μ 2 N A.
Pia tunajua kwamba mchanganyiko wa gesi ni chini ya hali ya kawaida, i.e. shinikizo ni 1 a t m, na joto ni 290 K. Hii ina maana kwamba tunaweza kuzingatia tatizo kutatuliwa.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Boltzmann mara kwa mara (k (\mtindo wa maonyesho k) au k B (\mtindo wa kuonyesha k_(\rm (B)))) - mara kwa mara ya kimwili ambayo hufafanua uhusiano kati ya joto na nishati. Imetajwa baada ya mwanafizikia wa Austria Ludwig Boltzmann, ambaye alitoa mchango mkubwa kwa fizikia ya takwimu, ambayo hii mara kwa mara ina jukumu muhimu. Thamani yake katika Mfumo wa Kimataifa wa Vitengo SI kulingana na mabadiliko katika ufafanuzi wa vitengo vya msingi vya SI (2018) ni sawa kabisa na
k = 1.380 649 × 10 − 23 (\mtindo wa kuonyesha k=1(,)380\,649\mara 10^(-23)) J/.Uhusiano kati ya joto na nishati
Katika gesi homogeneous bora kwa joto kabisa T (\mtindo wa kuonyesha T), nishati kwa kila kiwango cha utafsiri cha uhuru ni sawa, kama ifuatavyo kutoka kwa usambazaji wa Maxwell, k T / 2 (\displaystyle kT/2). Saa joto la chumba(300) nishati hii ni 2 , 07 × 10 − 21 (\mtindo wa kuonyesha 2(,)07\mara 10^(-21)) J, au 0.013 eV. Katika gesi bora ya monatomiki, kila chembe ina digrii tatu za uhuru zinazolingana na shoka tatu za anga, ambayo ina maana kwamba kila atomi ina nishati ya 3 2 k T (\mtindo wa kuonyesha (\frac (3)(2))kT).
Kujua nishati ya joto, tunaweza kukokotoa maana ya mzizi kasi ya mraba ya atomi, ambayo ni sawia mzizi wa mraba wingi wa atomiki. Mzizi wa kasi ya mraba kwenye joto la kawaida hutofautiana kutoka 1370 m/s kwa heliamu hadi 240 m/s kwa xenon. Katika kesi ya gesi ya Masi, hali inakuwa ngumu zaidi, kwa mfano, gesi ya diatomiki ina digrii 5 za uhuru - 3 za kutafsiri na 2 za mzunguko (saa. joto la chini, wakati mitetemo ya atomi kwenye molekuli haisisimui na hakuna digrii za ziada za uhuru zinaongezwa).
Ufafanuzi wa entropy
Entropy mfumo wa thermodynamic hufafanuliwa kama logariti asilia ya idadi ya hali ndogo tofauti Z (\mtindo wa kuonyesha Z), inayolingana na hali iliyopewa ya macroscopic (kwa mfano, hali iliyo na jumla ya nishati).
S = k ln Z .(\mtindo wa kuonyesha S=k\ln Z.) k (\mtindo wa maonyesho k) Sababu ya uwiano Z (\mtindo wa kuonyesha Z) na ni Boltzmann mara kwa mara. Huu ni usemi unaofafanua uhusiano kati ya microscopic ( ) na mataifa makubwa ( S (\mtindo wa kuonyesha S)
), inaelezea wazo kuu la mechanics ya takwimu. au (k k)Nambari katika mabano zinaonyesha hitilafu ya kawaida katika tarakimu za mwisho za thamani ya wingi. Kimsingi, mara kwa mara ya Boltzmann inaweza kupatikana kutoka kwa ufafanuzi wa joto kabisa na vipengele vingine vya kimwili (ili kufanya hivyo, unahitaji kuwa na uwezo wa kuhesabu joto la hatua tatu za maji kutoka kwa kanuni za kwanza). Lakini kuamua mara kwa mara Boltzmann kwa kutumia kanuni za kwanza ni ngumu sana na sio kweli wakati maendeleo ya kisasa maarifa katika eneo hili.
Safu ya mara kwa mara ya Boltzmann ni isiyobadilika ya kimwili ikiwa unapima joto katika vitengo vya nishati, ambayo mara nyingi hufanywa katika fizikia. Kwa kweli, ni uhusiano kati ya kiasi kilichoelezwa vizuri - nishati na shahada, maana ambayo imeendelea kihistoria.
Ufafanuzi wa entropy
Entropi ya mfumo wa thermodynamic hufafanuliwa kama logariti asilia ya idadi ya hali ndogo tofauti Z inayolingana na hali maalum ya macroscopic (kwa mfano, majimbo yenye jumla ya nishati).
(\mtindo wa kuonyesha S=k\ln Z.) k na ni Boltzmann mara kwa mara. Usemi huu, ambao unafafanua uhusiano kati ya sifa za microscopic (Z) na macroscopic (S), unaonyesha wazo kuu (la kati) la mechanics ya takwimu.
Mzaliwa wa 1844 huko Vienna. Boltzmann ni mwanzilishi na mwanzilishi katika sayansi. Kazi na utafiti wake mara nyingi haukueleweka na kukataliwa na jamii. Walakini, na maendeleo zaidi wanafizikia, kazi zake zilitambuliwa na kuchapishwa baadaye.
Masilahi ya kisayansi ya mwanasayansi yalishughulikia maeneo ya kimsingi kama fizikia na hisabati. Tangu 1867, alifanya kazi kama mwalimu katika taasisi kadhaa za elimu ya juu. taasisi za elimu. Katika utafiti wake, aligundua kuwa hii ni kwa sababu ya athari za machafuko za molekuli kwenye kuta za chombo ambamo ziko, wakati joto moja kwa moja inategemea kasi ya harakati ya chembe (molekuli), kwa maneno mengine, juu yao. Kwa hiyo, kasi ya juu ya chembe hizi kusonga, joto la juu. Mara kwa mara ya Boltzmann inaitwa baada ya mwanasayansi maarufu wa Austria. Ni yeye aliyetoa mchango mkubwa katika maendeleo ya fizikia tuli.
Maana ya kimwili ya wingi huu mara kwa mara
Boltzmann mara kwa mara hufafanua uhusiano kati ya joto na nishati. Katika mechanics tuli ina jukumu kubwa muhimu. Kiwango kisichobadilika cha Boltzmann ni sawa na k=1.3806505(24)*10 -23 J/K. Nambari katika mabano zinaonyesha hitilafu inayoruhusiwa ya thamani inayohusiana na tarakimu za mwisho. Ni muhimu kuzingatia kwamba mara kwa mara ya Boltzmann pia inaweza kupatikana kutoka kwa vipengele vingine vya kimwili. Walakini, mahesabu haya ni ngumu sana na ni ngumu kufanya. Wanahitaji maarifa ya kina sio tu katika uwanja wa fizikia, bali pia
