I. Kiasi cha miili ya mzunguko. Jifunze awali Sura ya XII, aya ya 197, 198 kutoka kwa kitabu cha kiada cha G. M. Fikhtengolts * Chambua kwa undani mifano iliyotolewa katika aya ya 198.
508. Kokotoa ujazo wa mwili unaoundwa kwa kuzungusha duaradufu kuzunguka mhimili wa Ox.
Hivyo,
530. Pata eneo la uso linaloundwa na mzunguko karibu na mhimili wa Ox wa arc ya sinusoid y = dhambi x kutoka hatua X = 0 hadi X = It.
531. Kuhesabu eneo la uso wa koni yenye urefu wa h na radius r.
532. Kuhesabu eneo la uso lililoundwa
mzunguko wa astroid x3 -)- y* - a3 kuzunguka mhimili wa Ox.
533. Kuhesabu eneo la uso linaloundwa kwa kuzungusha kitanzi cha curve 18 ug - x (6 - x) z kuzunguka mhimili wa Ox.
534. Pata uso wa torus zinazozalishwa na mzunguko wa mduara X2 - j - (y-3)2 = 4 karibu na mhimili wa Ox.
535. Kuhesabu eneo la uso linaloundwa na mzunguko wa mduara X = gharama, y = asint karibu na mhimili wa Ox.
536. Kuhesabu eneo la uso linaloundwa na mzunguko wa kitanzi cha curve x = 9t2, y = St - 9t3 karibu na mhimili wa Ox.
537. Pata eneo la uso linaloundwa na mzunguko wa arc ya curve x = e*sint, y = el gharama karibu na mhimili wa Ox
kutoka t = 0 hadi t = -.
538. Onyesha kwamba uso unaozalishwa na mzunguko wa arc cycloid x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) karibu na mhimili wa Oy ni sawa na 16 u2 o2.
539. Pata uso uliopatikana kwa kuzunguka cardioid karibu na mhimili wa polar.
540. Pata eneo la uso linaloundwa na mzunguko wa lemniscate 
Karibu na mhimili wa polar.
Kazi za ziada za Sura ya IV
Maeneo ya takwimu za ndege
541. Tafuta eneo lote la eneo lililofungwa na curve 
Na mhimili wa Ng'ombe.
542. Tafuta eneo la eneo lililofungwa na curve
Na mhimili wa Ng'ombe.
543. Tafuta sehemu ya eneo la eneo lililo katika roboduara ya kwanza na iliyofungwa na curve.
l kuratibu shoka.
544. Tafuta eneo la eneo lililomo ndani
vitanzi: 
545. Tafuta eneo la eneo lililofungwa na kitanzi kimoja cha curve:
546. Tafuta eneo la eneo lililomo ndani ya kitanzi: 
547. Tafuta eneo la eneo lililofungwa na curve
Na mhimili wa Ng'ombe.
548. Tafuta eneo la eneo lililofungwa na curve
Na mhimili wa Ng'ombe.
549. Tafuta eneo la eneo linalopakana na mhimili wa Oxr
sawa na curve 
Mada: "Kukokotoa idadi ya miili ya mapinduzi kwa kutumia kiunganishi dhahiri"
Aina ya somo: pamoja.
Lengo la somo: jifunze kuhesabu idadi ya miili ya mapinduzi kwa kutumia viambatanisho.
Kazi:
kuunganisha uwezo wa kutambua trapezoids ya curvilinear kutoka kwa idadi ya takwimu za kijiometri na kuendeleza ujuzi wa kuhesabu maeneo ya trapezoids ya curvilinear;
kufahamiana na wazo la takwimu ya pande tatu;
jifunze kuhesabu idadi ya miili ya mapinduzi;
kukuza maendeleo kufikiri kimantiki, hotuba ya hisabati yenye uwezo, usahihi wakati wa kujenga michoro;
kukuza shauku katika somo, katika kufanya kazi na dhana na picha za hisabati, kukuza utashi, uhuru na uvumilivu katika kufikia matokeo ya mwisho.
Maendeleo ya somo
I. Wakati wa shirika.
Salamu kutoka kwa kikundi. Kuwasilisha malengo ya somo kwa wanafunzi.
Ningependa kuanza somo la leo kwa mfano. "Hapo zamani za kale aliishi mtu mwenye busara ambaye alijua kila kitu. Mtu mmoja alitaka kuthibitisha kwamba sage hajui kila kitu. Akiwa ameshika kipepeo mikononi mwake, aliuliza: “Niambie, mjuzi, ni kipepeo gani aliye mikononi mwangu: amekufa au yuko hai?” Naye afikiri hivi: “Aliye hai akisema, nitamuua; Mjuzi, baada ya kufikiria, alijibu: "Kila kitu kiko mikononi mwako."
Kwa hivyo, wacha tufanye kazi kwa matunda leo, tupate hazina mpya ya maarifa, na tutatumia ujuzi na uwezo uliopatikana katika maisha yajayo na katika shughuli za vitendo "Kila kitu kiko mikononi mwako."
II. Kurudia nyenzo zilizosomwa hapo awali.
Hebu tukumbuke pointi kuu za nyenzo zilizosomwa hapo awali. Ili kufanya hivyo, hebu tumalize kazi "Ondoa neno la ziada."
(Wanafunzi wanasema neno la ziada.)
Sawa "Tofauti". Jaribu kutaja maneno yaliyobaki kwa neno moja la kawaida. (Hesabu muhimu.)
Hebu tukumbuke hatua kuu na dhana zinazohusiana na calculus muhimu.
Zoezi. Rejesha mapungufu. (Mwanafunzi anatoka na kuandika kwa maneno yanayohitajika na alama.)
Fanya kazi kwenye daftari.
Fomula ya Newton-Leibniz ilitolewa na mwanafizikia Mwingereza Isaac Newton (1643-1727) na Mwanafalsafa wa Ujerumani Gottfried Leibniz (1646-1716). Na hii haishangazi, kwa sababu hisabati ni lugha inayozungumzwa na asili yenyewe.
Hebu fikiria jinsi formula hii inatumiwa kutatua matatizo ya vitendo.
Mfano 1: Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari 
Suluhisho: Wacha tujenge grafu za kazi kwenye ndege ya kuratibu . Wacha tuchague eneo la takwimu inayohitaji kupatikana.
III. Kujifunza nyenzo mpya.
Makini na skrini. Ni nini kinachoonyeshwa kwenye picha ya kwanza? (Takwimu inaonyesha sura ya gorofa.)
Ni nini kinachoonyeshwa kwenye picha ya pili? Je, takwimu hii ni tambarare? (Takwimu inaonyesha sura ya pande tatu.)
Katika nafasi, duniani na ndani maisha ya kila siku Tunakutana sio tu na takwimu za gorofa, lakini pia zile za pande tatu, lakini tunawezaje kuhesabu kiasi cha miili kama hiyo? Kwa mfano: kiasi cha sayari, comet, meteorite, nk.
Watu hufikiria juu ya kiasi wakati wa kujenga nyumba na wakati wa kumwaga maji kutoka kwa chombo kimoja hadi kingine. Sheria na mbinu za kukokotoa juzuu zilipaswa kujitokeza;
Mwaka wa 1612 ulikuwa wenye kuzaa matunda sana kwa wakazi wa jiji la Austria la Linz, ambako mwanaastronomia maarufu Johannes Kepler aliishi, hasa kwa ajili ya zabibu. Watu walikuwa wakitayarisha mapipa ya mvinyo na walitaka kujua jinsi ya kuamua kiasi chao.
Kwa hivyo, kazi zilizozingatiwa za Kepler ziliashiria mwanzo wa mkondo mzima wa utafiti ambao ulifikia kilele katika robo ya mwisho ya karne ya 17. kubuni katika kazi za I. Newton na G.V. Leibniz ya calculus tofauti na muhimu. Hisabati ya vigezo ilichukua ukuu kutoka wakati huu nafasi inayoongoza katika mfumo wa maarifa ya hisabati.
Leo tutafanya hivi shughuli za vitendo, kwa hivyo,
Mada ya somo letu: "Kuhesabu idadi ya miili ya mzunguko kwa kutumia kiunganishi dhahiri."
Utajifunza ufafanuzi wa mwili wa mzunguko kwa kukamilisha kazi ifuatayo.
"Labyrinth".
Zoezi. Tafuta njia ya kutoka kwa hali ya kutatanisha na uandike ufafanuzi.
IVUhesabuji wa kiasi.
Kutumia kiunga cha uhakika, unaweza kuhesabu kiasi cha mwili fulani, haswa, mwili wa mapinduzi.
Mwili wa mapinduzi ni mwili unaopatikana kwa kuzungusha trapezoid iliyopinda karibu na msingi wake (Mchoro 1, 2)
Kiasi cha mwili wa mapinduzi huhesabiwa kwa kutumia moja ya fomula:
1.
karibu na mhimili wa OX.
2. 
, ikiwa ni mzunguko wa trapezoid iliyopinda karibu na mhimili wa op-amp.
Wanafunzi huandika fomula za kimsingi kwenye daftari.
Mwalimu anaelezea suluhu za mifano ubaoni.
1. Tafuta kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka mhimili wa kuratibu wa trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na mistari: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Suluhisho.
Jibu: 1163 cm3.
2. Tafuta kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzungusha trapezoid ya kimfano kuzunguka mhimili wa x. y = , x = 4, y = 0.
Suluhisho.
V. Simulator ya hesabu.
2. Seti ya antiderivatives zote za kazi iliyotolewa inaitwa
A) muunganisho usio na kipimo,
B) kazi,
B) kutofautisha.
7. Tafuta kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka mhimili wa abscissa wa trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na mistari:
D/Z. Kuunganisha nyenzo mpya
Kuhesabu kiasi cha mwili kilichoundwa na mzunguko wa petal karibu na mhimili wa x y = x2, y2 = x.
Wacha tujenge grafu za kazi. y = x2, y2 = x. Wacha tubadilishe grafu y2 = x hadi fomu y = .
Tuna V = V1 - V2 Wacha tuhesabu kiasi cha kila chaguo la kukokotoa:
Hitimisho:
Muhimu dhahiri ni msingi fulani wa masomo ya hisabati, ambayo hutoa mchango usioweza kubadilishwa katika kutatua shida za vitendo.
Mandhari "Integral" inaonyesha wazi uhusiano kati ya hisabati na fizikia, biolojia, uchumi na teknolojia.
Maendeleo sayansi ya kisasa haiwezekani bila kutumia kiunga. Katika suala hili, ni muhimu kuanza kuisoma ndani ya mfumo wa elimu ya sekondari maalum!
VI. Kuweka alama.(Pamoja na maoni.)
Lobster Kubwa Khayyam - mwanahisabati, mshairi, mwanafalsafa. Anatuhimiza tuwe watawala wa hatima yetu wenyewe. Wacha tusikilize dondoo kutoka kwa kazi yake:
Unasema, maisha haya ni wakati mmoja.
Ithamini, chora msukumo kutoka kwayo.
Unapoitumia, ndivyo itapita.
Usisahau: yeye ndiye kiumbe chako.
Aina ya somo: pamoja.
Lengo la somo: jifunze kuhesabu idadi ya miili ya mapinduzi kwa kutumia viambatanisho.
Kazi:
- kuunganisha uwezo wa kutambua trapezoids ya curvilinear kutoka kwa idadi ya takwimu za kijiometri na kuendeleza ujuzi wa kuhesabu maeneo ya trapezoids ya curvilinear;
- kufahamiana na wazo la takwimu ya pande tatu;
- jifunze kuhesabu idadi ya miili ya mapinduzi;
- kukuza maendeleo ya mawazo ya kimantiki, hotuba ya hisabati yenye uwezo, usahihi wakati wa kujenga michoro;
- kukuza shauku katika somo, katika kufanya kazi na dhana na picha za hisabati, kukuza utashi, uhuru na uvumilivu katika kufikia matokeo ya mwisho.
Maendeleo ya somo
I. Wakati wa shirika.
Salamu kutoka kwa kikundi. Kuwasilisha malengo ya somo kwa wanafunzi.
Tafakari. Wimbo wa utulivu.
- Ningependa kuanza somo la leo kwa mfano. "Hapo zamani za kale aliishi mtu mwenye busara ambaye alijua kila kitu. Mtu mmoja alitaka kuthibitisha kwamba sage hajui kila kitu. Akiwa ameshika kipepeo mikononi mwake, aliuliza: “Niambie, mjuzi, ni kipepeo gani aliye mikononi mwangu: amekufa au yuko hai?” Naye mwenyewe afikiri: “Hata kama aliye hai akisema, Nitamwua, aliyekufa atasema, Nitamfungua. Mjuzi, baada ya kufikiria, alijibu: "Kila kitu kiko mikononi mwako." (Uwasilishaji.Slaidi)
- Kwa hiyo, hebu tufanye kazi kwa matunda leo, tupate hifadhi mpya ya ujuzi, na tutatumia ujuzi na uwezo uliopatikana katika maisha ya baadaye na katika shughuli za vitendo. "Kila kitu kiko mikononi mwako."
II. Kurudia nyenzo zilizosomwa hapo awali.
- Wacha tukumbuke vidokezo kuu vya nyenzo zilizosomwa hapo awali. Ili kufanya hivyo, hebu tumalize kazi "Ondoa neno lisilo la lazima."(Slaidi.)
(Mwanafunzi huenda kwa I.D. anatumia kifutio kuondoa neno la ziada.)
- Haki "Tofauti". Jaribu kutaja maneno yaliyobaki kwa neno moja la kawaida. (Hesabu muhimu.)
- Wacha tukumbuke hatua kuu na dhana zinazohusiana na calculus muhimu.
"Kundi la hisabati".
Zoezi. Rejesha mapungufu. (Mwanafunzi anatoka na kuandika kwa kalamu maneno yanayohitajika.)
- Tutasikia muhtasari wa utumiaji wa viambatanisho baadaye.
Fanya kazi kwenye daftari.
- Formula ya Newton-Leibniz ilitolewa na mwanafizikia wa Kiingereza Isaac Newton (1643-1727) na mwanafalsafa wa Ujerumani Gottfried Leibniz (1646-1716). Na hii haishangazi, kwa sababu hisabati ni lugha inayozungumzwa na asili yenyewe.
- Hebu tuchunguze jinsi fomula hii inatumiwa kutatua matatizo ya vitendo.
Mfano 1: Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari
Suluhisho: Wacha tujenge grafu za kazi kwenye ndege ya kuratibu . Wacha tuchague eneo la takwimu inayohitaji kupatikana.
III. Kujifunza nyenzo mpya.
- Makini na skrini. Ni nini kinachoonyeshwa kwenye picha ya kwanza? (Slaidi) (Takwimu inaonyesha sura ya gorofa.)
- Ni nini kinachoonyeshwa kwenye picha ya pili? Je, takwimu hii ni tambarare? (Slaidi) (Takwimu inaonyesha sura ya pande tatu.)
- Katika nafasi, duniani na katika maisha ya kila siku, hatukutana na takwimu za gorofa tu, lakini pia zile za tatu-dimensional, lakini tunawezaje kuhesabu kiasi cha miili hiyo? Kwa mfano, kiasi cha sayari, comet, meteorite, nk.
- Watu hufikiria juu ya ujazo wakati wa kujenga nyumba na wakati wa kumwaga maji kutoka kwa chombo kimoja hadi kingine. Sheria na mbinu za kukokotoa juzuu zilipaswa kujitokeza;
Ujumbe kutoka kwa mwanafunzi. (Tyurina Vera.)
Mwaka wa 1612 ulikuwa wenye kuzaa matunda sana kwa wakazi wa jiji la Austria la Linz, ambako mwanaastronomia maarufu Johannes Kepler aliishi, hasa kwa ajili ya zabibu. Watu walikuwa wakitayarisha mapipa ya mvinyo na walitaka kujua jinsi ya kuamua kiasi chao. (Slaidi ya 2)
- Kwa hivyo, kazi zilizozingatiwa za Kepler ziliweka msingi wa mkondo mzima wa utafiti ambao ulifikia kilele katika robo ya mwisho ya karne ya 17. kubuni katika kazi za I. Newton na G.V. Leibniz ya calculus tofauti na muhimu. Tangu wakati huo, hisabati ya vigezo ilichukua nafasi ya kuongoza katika mfumo wa ujuzi wa hisabati.
- Leo mimi na wewe tutashiriki katika shughuli kama hizi za vitendo, kwa hivyo,
Mada ya somo letu: "Kuhesabu idadi ya miili ya mzunguko kwa kutumia kiunganishi dhahiri." (Slaidi)
- Utajifunza ufafanuzi wa mwili wa mzunguko kwa kukamilisha kazi ifuatayo.
"Labyrinth".
Labyrinth ( neno la Kigiriki) maana yake ni kwenda shimoni. Labyrinth ni mtandao tata wa njia, vifungu, na vyumba vinavyounganishwa.
Lakini ufafanuzi ulikuwa "umevunjwa," na kuacha dalili kwa namna ya mishale.
Zoezi. Tafuta njia ya kutoka kwa hali ya kutatanisha na uandike ufafanuzi.
Slaidi. "Maelekezo ya ramani" Kuhesabu kiasi.
Kutumia kiunga cha uhakika, unaweza kuhesabu kiasi cha mwili fulani, haswa, mwili wa mapinduzi.
Mwili wa mapinduzi ni mwili unaopatikana kwa kuzungusha trapezoid iliyopinda karibu na msingi wake (Mchoro 1, 2)
Kiasi cha mwili wa mzunguko huhesabiwa kwa kutumia moja ya fomula:
1.
karibu na mhimili wa OX.
2. 
, ikiwa ni mzunguko wa trapezoid iliyopinda karibu na mhimili wa op-amp.
Kila mwanafunzi anapokea kadi ya mafundisho. Mwalimu anasisitiza mambo makuu.
– Mwalimu aeleze suluhu za mifano ubaoni.
Wacha tuchunguze nukuu kutoka kwa hadithi maarufu ya A. S. Pushkin "Hadithi ya Tsar Saltan, mtoto wake, shujaa mtukufu na hodari Prince Guidon Saltanovich, na Princess Swan mzuri" (Slaidi ya 4):
…..
Na yule mjumbe mlevi akaleta
Siku hiyo hiyo agizo ni kama ifuatavyo.
"Mfalme anaamuru vijana wake,
Bila kupoteza muda,
Na malkia na watoto
Tupeni kwa siri ndani ya shimo la maji.”
Hakuna cha kufanya: wavulana,
Hofu juu ya mfalme
Na kwa malkia mchanga,
Umati wa watu ulikuja chumbani kwake.
Walitangaza mapenzi ya mfalme -
Yeye na mwanawe wana sehemu mbaya,
Tunasoma amri hiyo kwa sauti,
Na malkia saa hiyo hiyo
Waliniweka kwenye pipa na mwanangu,
Waliweka lami na kuondoka
Na wakaniingiza kwenye okiyan -
Hivi ndivyo Tsar Saltan alivyoamuru.
Kiasi cha pipa kinapaswa kuwa nini ili malkia na mwanawe waweze kuingia ndani yake?
- Zingatia kazi zifuatazo
1. Tafuta kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka mhimili wa kuratibu wa trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na mistari: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Jibu: 1163 cm 3 .
Tafuta kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzungusha trapezoid ya kimfano kuzunguka mhimili wa abscissa y = , x = 4, y = 0.
IV. Kuunganisha nyenzo mpya
Mfano 2. Kuhesabu kiasi cha mwili kilichoundwa na mzunguko wa petali karibu na mhimili wa x. y = x 2 , y 2 = x.
Wacha tujenge grafu za kazi. y = x 2 , y 2 = x. Ratiba y2 = x kubadilisha kwa fomu y= .
Tumepata V = V 1 – V 2 Hebu tuhesabu kiasi cha kila chaguo la kukokotoa
- Sasa, hebu tuangalie mnara wa kituo cha redio huko Moscow kwenye Shabolovka, kilichojengwa kulingana na muundo wa mhandisi wa ajabu wa Kirusi, msomi wa heshima V. G. Shukhov. Inajumuisha sehemu - hyperboloids ya mzunguko. Zaidi ya hayo, kila mmoja wao hutengenezwa kwa viboko vya chuma vya moja kwa moja vinavyounganisha miduara ya karibu (Mchoro 8, 9).
- Hebu fikiria tatizo.
Pata kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzungusha arcs ya hyperbola 
kuzunguka mhimili wake wa kufikirika, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 8, wapi
mchemraba vitengo
Kazi za kikundi. Wanafunzi huchora kura na kazi, chora michoro kwenye karatasi ya whatman, na mmoja wa wawakilishi wa kikundi hutetea kazi hiyo.
Kundi la 1.
Piga! Piga! Pigo jingine!
Mpira unaruka ndani ya goli - MPIRA!
Na huu ni mpira wa watermelon
Kijani, pande zote, kitamu.
Angalia vizuri - ni mpira gani!
Imetengenezwa kwa chochote ila miduara.
Kata tikiti kwenye miduara
Na waonje.
Pata kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka karibu na mhimili wa OX wa kazi iliyopunguzwa
Hitilafu! Alamisho haijafafanuliwa.
- Tafadhali niambie tunakutana wapi takwimu hii?
Nyumba. kazi kwa kikundi 1. MTUNGI (slaidi) .
"Silinda - ni nini?" - Nilimuuliza baba yangu.
Baba alicheka: Kofia ya juu ni kofia.
Kuwa na wazo sahihi,
Silinda, tuseme, ni bati.
Bomba la Steamboat - silinda,
Bomba kwenye paa yetu pia,
Mabomba yote yanafanana na silinda.
Na nilitoa mfano kama huu -
Kaleidoscope yangu mpendwa,
Hauwezi kumuondolea macho,
Na pia inaonekana kama silinda.
- Zoezi. Kazi ya nyumbani chora kitendakazi na uhesabu kiasi.
Kikundi cha 2. CONE (slaidi).
Mama akasema: Na sasa
Hadithi yangu itakuwa juu ya koni.
Stargazer katika kofia ya juu
Huhesabu nyota mwaka mzima.
CONE - kofia ya nyota.
Ndivyo alivyo. Inaeleweka? Ni hayo tu.
Mama alikuwa amesimama kwenye meza,
Nilimimina mafuta kwenye chupa.
- Funnel iko wapi? Hakuna funeli.
Itafute. Usisimame pembeni.
- Mama, sitaki.
Tuambie zaidi kuhusu koni.
– Funnel iko katika mfumo wa koni ya kumwagilia maji.
Haya, nimtafutie yeye haraka.
Sikuweza kupata funnel
Lakini mama alitengeneza begi,
Nilifunga kadibodi kwenye kidole changu
Na akailinda kwa ustadi na klipu ya karatasi.
Mafuta yanapita, mama anafurahi,
Koni ilitoka sawa tu.
Zoezi. Kuhesabu kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka mhimili wa abscissa
Nyumba. kazi kwa kundi la 2. PYRAMID(slaidi).
Niliona picha. Katika picha hii
Kuna PYRAMID kwenye jangwa la mchanga.
Kila kitu kwenye piramidi ni cha kushangaza,
Kuna aina fulani ya siri na siri ndani yake.
Na Mnara wa Spasskaya kwenye Red Square
Inajulikana sana kwa watoto na watu wazima.
Ukiangalia mnara, inaonekana kawaida,
Kuna nini juu yake? Piramidi!
Zoezi. Kazi ya nyumbani: chora kazi na uhesabu kiasi cha piramidi
- Kiasi miili tofauti tulihesabu kulingana na fomula ya msingi ya idadi ya miili kwa kutumia kiunga.
Huu ni uthibitisho mwingine kwamba kiungo hakika ni msingi fulani wa utafiti wa hisabati.
- Kweli, sasa wacha tupumzike kidogo.
Tafuta jozi.
Inacheza wimbo wa domino wa hisabati.
"Barabara ambayo mimi mwenyewe nilikuwa nikiitafuta haitasahaulika kamwe ..."
Kazi ya utafiti. Matumizi ya muhimu katika uchumi na teknolojia.
Majaribio kwa wanafunzi wenye nguvu na soka ya hisabati.
Simulator ya hesabu.
2. Seti ya antiderivatives zote za kazi iliyotolewa inaitwa
A) muunganisho usio na kipimo,
B) kazi,
B) kutofautisha.
7. Tafuta kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka mhimili wa abscissa wa trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na mistari:
D/Z. Kuhesabu wingi wa miili ya mapinduzi.
Tafakari.
Mapokezi ya kutafakari katika fomu syncwine(mistari mitano).
Mstari wa 1 - jina la mada (nomino moja).
Mstari wa 2 - maelezo ya mada kwa maneno mawili, vivumishi viwili.
Mstari wa 3 - maelezo ya hatua ndani ya mada hii kwa maneno matatu.
Mstari wa 4 ni kifungu cha maneno manne, kuonyesha mtazamo kwa mada (sentensi nzima).
Mstari wa 5 ni kisawe kinachorudia kiini cha mada.
- Kiasi.
- Dhahiri muhimu, kazi inayoweza kuunganishwa.
- Tunajenga, tunazunguka, tunahesabu.
- Mwili uliopatikana kwa kuzungusha trapezoid iliyopinda (kuzunguka msingi wake).
- Mwili wa mzunguko (mwili wa kijiometri wa volumetric).
Hitimisho (slaidi).
- Muhimu dhahiri ni msingi fulani wa masomo ya hisabati, ambayo hutoa mchango usioweza kubadilishwa katika kutatua shida za vitendo.
- Mandhari "Integral" inaonyesha wazi uhusiano kati ya hisabati na fizikia, biolojia, uchumi na teknolojia.
- Ukuaji wa sayansi ya kisasa haufikiriwi bila matumizi ya muhimu. Katika suala hili, ni muhimu kuanza kuisoma ndani ya mfumo wa elimu ya sekondari maalum!
Kuweka alama. (Pamoja na maoni.)
Omar Khayyam mkubwa - mwanahisabati, mshairi, mwanafalsafa. Anatuhimiza tuwe watawala wa hatima yetu wenyewe. Wacha tusikilize dondoo kutoka kwa kazi yake:
Utasema, maisha haya ni wakati mmoja.
Ithamini, chora msukumo kutoka kwayo.
Unapoitumia, ndivyo itapita.
Usisahau: yeye ndiye kiumbe chako.
Kama ilivyo kwa shida ya kupata eneo hilo, unahitaji ujuzi wa kuchora kwa ujasiri - hii ni karibu jambo muhimu zaidi (kwani viambatanisho vyenyewe mara nyingi vitakuwa rahisi). Mwalimu msomi na teknolojia ya haraka kupanga kunaweza kufanywa kwa kutumia vifaa vya kufundishia na Mabadiliko ya kijiometri ya Grafu. Lakini, kwa kweli, tayari nimezungumza juu ya umuhimu wa michoro mara kadhaa darasani.
Kwa ujumla, kuna maombi mengi ya kuvutia katika calculus muhimu, unaweza kuhesabu eneo la takwimu, kiasi cha mapinduzi, urefu wa arc, eneo la mapinduzi na mengi. zaidi. Kwa hivyo itakuwa ya kufurahisha, tafadhali endelea kuwa na matumaini!
Hebu fikiria takwimu fulani ya gorofa kwenye ndege ya kuratibu. Imeanzishwa? ... Nashangaa ni nani aliyewasilisha nini... =))) Tayari tumepata eneo lake. Lakini, kwa kuongeza, takwimu hii inaweza pia kuzungushwa, na kuzungushwa kwa njia mbili:
- kuzunguka mhimili wa abscissa;
- kuzunguka mhimili wa kuratibu.
Nakala hii itachunguza kesi zote mbili. Njia ya pili ya kuzunguka inavutia sana; Kama bonasi nitarudi shida ya kupata eneo la takwimu, na nitakuambia jinsi ya kupata eneo kwa njia ya pili - pamoja na mhimili. Sio ziada sana kwani nyenzo inafaa vizuri kwenye mada.
Hebu tuanze na aina maarufu zaidi ya mzunguko.
sura ya gorofa karibu na mhimili
Mfano 1
Kuhesabu kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzungusha takwimu iliyofungwa na mistari kuzunguka mhimili.
Suluhisho: Kama katika tatizo la kupata eneo hilo, suluhisho huanza na kuchora kwa takwimu ya gorofa. Hiyo ni, kwenye ndege ni muhimu kujenga takwimu iliyofungwa na mistari , na usisahau kwamba equation inabainisha mhimili. Jinsi ya kukamilisha kuchora kwa ufanisi zaidi na kwa haraka inaweza kupatikana kwenye kurasa Grafu na sifa za kazi za Msingi Na Dhahiri muhimu. Jinsi ya kuhesabu eneo la takwimu. Huu ni ukumbusho wa Kichina, na kuendelea kwa wakati huu Siachi tena.
Kuchora hapa ni rahisi sana:
Kielelezo cha gorofa kinachohitajika ni kivuli katika rangi ya bluu; Kwa kweli, mwili una jina la hisabati, lakini mimi ni wavivu sana kufafanua chochote katika kitabu cha kumbukumbu, kwa hiyo tunaendelea.
Jinsi ya kuhesabu kiasi cha mwili wa mapinduzi?
Kiasi cha mwili wa mapinduzi kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:
Katika fomula, nambari lazima iwepo kabla ya muunganisho. Kwa hivyo ilifanyika - kila kitu kinachozunguka katika maisha kinaunganishwa na hii mara kwa mara.
Nadhani ni rahisi nadhani jinsi ya kuweka mipaka ya ushirikiano "a" na "kuwa" kutoka kwa kuchora kukamilika.
Kazi... kazi hii ni nini? Hebu tuangalie mchoro. Takwimu ya ndege imefungwa na grafu ya parabola hapo juu. Hili ndilo jukumu ambalo linaonyeshwa katika fomula.
Katika kazi za vitendo, takwimu ya gorofa wakati mwingine inaweza kuwa chini ya mhimili. Hii haibadilishi chochote - integrand katika formula ni mraba: , hivyo muhimu daima sio hasi, ambayo ni ya kimantiki sana.
Wacha tuhesabu kiasi cha mzunguko wa mzunguko kwa kutumia fomula hii: 
Kama nilivyoona tayari, kiunga karibu kila wakati kinageuka kuwa rahisi, jambo kuu ni kuwa mwangalifu.
Jibu: 
Katika jibu lako, lazima uonyeshe vipimo - vitengo vya ujazo. Hiyo ni, katika mwili wetu wa mzunguko kuna takriban 3.35 "cubes". Kwa nini cubic vitengo? Kwa sababu uundaji wa ulimwengu wote. Kunaweza kuwa na sentimita za ujazo, kunaweza kuwa na mita za ujazo, kunaweza kuwa na kilomita za ujazo, nk, ndivyo watu wangapi wa kijani kibichi mawazo yako yanaweza kuweka kwenye sufuria ya kuruka.
Mfano 2
Tafuta ujazo wa mwili unaoundwa na mzunguko kuzunguka mhimili wa takwimu iliyofungwa na mistari,
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Hebu fikiria matatizo mawili magumu zaidi, ambayo pia mara nyingi hukutana katika mazoezi.
Mfano 3
Kuhesabu kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka mhimili wa abscissa wa takwimu iliyofungwa na mistari, na.
Suluhisho: Hebu tuonyeshe katika kuchora takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari , , , , bila kusahau kwamba equation inafafanua mhimili:
Kielelezo kinachohitajika ni kivuli cha bluu. Wakati inapozunguka mhimili wake, inageuka kuwa donut ya surreal yenye pembe nne.
Hebu tuhesabu kiasi cha mwili wa mapinduzi kama tofauti katika wingi wa miili.
Kwanza, hebu tuangalie takwimu iliyozunguka kwa nyekundu. Inapozunguka karibu na mhimili, koni iliyopunguzwa hupatikana. Wacha tuonyeshe kiasi cha koni hii iliyopunguzwa kwa .
Fikiria takwimu iliyozunguka kijani. Ikiwa unazunguka takwimu hii karibu na mhimili, utapata pia koni iliyopunguzwa, ndogo tu. Hebu tuangazie kiasi chake kwa .
Na, kwa hakika, tofauti katika kiasi ni hasa kiasi cha "donut" yetu.
Tunatumia fomula ya kawaida kupata kiasi cha kikundi cha mapinduzi: 
1) Takwimu iliyozunguka kwa nyekundu imefungwa juu na mstari wa moja kwa moja, kwa hivyo:
2) Takwimu iliyozunguka kwa kijani kibichi imefungwa juu na mstari wa moja kwa moja, kwa hivyo:
3) Kiasi cha mwili unaohitajika wa mapinduzi: 
Jibu: 
Inashangaza kwamba katika kesi hii suluhisho linaweza kuchunguzwa kwa kutumia formula ya shule kwa kuhesabu kiasi cha koni iliyopunguzwa.
Uamuzi wenyewe mara nyingi huandikwa kwa ufupi, kitu kama hiki: 
Sasa hebu tupumzike kidogo na kukuambia kuhusu udanganyifu wa kijiometri.
Watu mara nyingi huwa na udanganyifu unaohusishwa na kiasi, ambacho kiligunduliwa na Perelman (mwingine) kwenye kitabu Jiometri ya burudani. Angalia takwimu ya gorofa katika tatizo lililotatuliwa - inaonekana kuwa ndogo katika eneo hilo, na kiasi cha mwili wa mapinduzi ni zaidi ya vitengo vya ujazo 50, ambavyo vinaonekana kuwa kubwa sana. Kwa njia, mtu wa kawaida hunywa kioevu sawa na chumba na eneo la 18 katika maisha yake yote. mita za mraba, ambayo, kinyume chake, inaonekana kuwa kiasi kidogo sana.
Kwa ujumla, mfumo wa elimu katika USSR ulikuwa bora zaidi. Kitabu hicho hicho cha Perelman, kilichochapishwa nyuma mnamo 1950, kinaendelea vizuri, kama vile mcheshi alisema, kufikiria na kukufundisha kutafuta asili. suluhisho zisizo za kawaida matatizo. Hivi majuzi nilisoma tena baadhi ya sura kwa hamu kubwa, ninaipendekeza, inaweza kupatikana hata kwa wanabinadamu. Hapana, huna haja ya kutabasamu kwamba nilitoa muda wa bure, erudition na upeo mpana katika mawasiliano ni jambo kubwa.
Baada ya kushuka kwa sauti, ni sawa tu kutatua kazi ya ubunifu:
Mfano 4
Piga hesabu ya ujazo wa mwili unaoundwa kwa kuzunguka kwa mhimili wa kielelezo bapa kinachopakana na mistari , wapi .
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Tafadhali kumbuka kuwa matukio yote hutokea katika bendi, kwa maneno mengine, mipaka iliyopangwa tayari ya ushirikiano hutolewa kwa kweli. Chora grafu za kazi za trigonometric kwa usahihi, wacha nikukumbushe nyenzo za somo kuhusu mabadiliko ya kijiometri ya grafu: ikiwa hoja imegawanywa na mbili: , basi grafu zimewekwa mara mbili kwenye mhimili. Inashauriwa kupata angalau pointi 3-4 kulingana na meza za trigonometric ili kukamilisha kuchora kwa usahihi zaidi. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo. Kwa njia, kazi inaweza kutatuliwa kwa busara na sio busara sana.
Uhesabuji wa kiasi cha mwili unaoundwa na mzunguko
sura ya gorofa karibu na mhimili
Aya ya pili itakuwa ya kuvutia zaidi kuliko ya kwanza. Kazi ya kuhesabu kiasi cha mwili wa mapinduzi karibu na mhimili wa kuratibu pia ni mgeni wa mara kwa mara katika vipimo. Njiani itazingatiwa shida ya kupata eneo la takwimu njia ya pili ni ushirikiano kando ya mhimili, hii itawawezesha sio tu kuboresha ujuzi wako, lakini pia kukufundisha kupata njia ya ufumbuzi wa faida zaidi. Pia kuna maana ya maisha ya vitendo katika hili! Mwalimu wangu kuhusu mbinu za kufundisha hisabati alivyokumbuka kwa tabasamu, wahitimu wengi walimshukuru kwa maneno haya: “Somo lako lilitusaidia sana, sasa sisi ni wasimamizi wazuri na tunasimamia wafanyikazi ipasavyo.” Kuchukua fursa hii, pia ninatoa shukrani zangu kubwa kwake, hasa kwa vile ninatumia ujuzi uliopatikana kwa madhumuni yaliyokusudiwa =).
Ninapendekeza kwa kila mtu, hata dummies kamili. Zaidi ya hayo, nyenzo zilizojifunza katika aya ya pili zitatoa usaidizi wa thamani sana katika kuhesabu viambatanisho viwili.
Mfano 5
Kutokana na takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari,,.
1) Tafuta eneo la takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari hii.
2) Pata kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari hii karibu na mhimili.
Tahadhari! Hata kama unataka tu kusoma nukta ya pili, kwanza Lazima soma ya kwanza!
Suluhisho: Kazi ina sehemu mbili. Wacha tuanze na mraba.
1) Wacha tufanye mchoro:
Ni rahisi kuona kwamba kazi inabainisha tawi la juu la parabola, na kazi inabainisha tawi la chini la parabola. Mbele yetu kuna parabola isiyo na maana ambayo "iko upande wake."
Takwimu inayotaka, eneo ambalo linapatikana, limetiwa rangi ya bluu.
Jinsi ya kupata eneo la takwimu? Inaweza kupatikana kwa njia ya "kawaida", ambayo ilijadiliwa darasani Dhahiri muhimu. Jinsi ya kuhesabu eneo la takwimu. Kwa kuongezea, eneo la takwimu linapatikana kama jumla ya maeneo:
- kwenye sehemu 
;
- kwenye sehemu.
Ndiyo maana:
Kwa nini suluhisho la kawaida ni mbaya katika kesi hii? Kwanza, tulipata viungo viwili. Pili, viambatanisho ni mizizi, na mizizi katika viunga sio zawadi, na zaidi ya hayo, unaweza kuchanganyikiwa katika kubadilisha mipaka ya ujumuishaji. Kwa kweli, viunga, kwa kweli, sio muuaji, lakini kwa mazoezi kila kitu kinaweza kuwa cha kusikitisha zaidi, nilichagua tu kazi "bora" kwa shida.
Kuna suluhisho la busara zaidi: linajumuisha kuhamia utendaji kinyume na ushirikiano kwenye mhimili.
Jinsi ya kupata utendakazi kinyume? Kwa kusema, unahitaji kuelezea "x" kupitia "y". Kwanza, hebu tuangalie parabola:
Hii inatosha, lakini wacha tuhakikishe kuwa kazi sawa inaweza kutolewa kutoka kwa tawi la chini:
Ni rahisi na mstari wa moja kwa moja:
Sasa angalia mhimili: tafadhali mara kwa mara pindua kichwa chako kwa digrii 90 za kulia kama unavyoelezea (huu sio mzaha!). Takwimu tunayohitaji iko kwenye sehemu, ambayo inaonyeshwa na mstari wa dotted nyekundu. Katika kesi hii, kwenye sehemu mstari wa moja kwa moja iko juu ya parabola, ambayo ina maana kwamba eneo la takwimu linapaswa kupatikana kwa kutumia formula tayari inayojulikana kwako: 
. Ni nini kimebadilika katika fomula? Barua tu na hakuna zaidi.
! Kumbuka: Mipaka ya ushirikiano kando ya mhimili inapaswa kuwekwa madhubuti kutoka chini kwenda juu!
Kutafuta eneo:
Kwa hivyo, kwenye sehemu: 
Tafadhali kumbuka jinsi nilivyofanya ujumuishaji, hii ndio njia ya busara zaidi, na katika aya inayofuata ya kazi itakuwa wazi kwanini.
Kwa wasomaji ambao wana shaka usahihi wa ujumuishaji, nitapata derivatives: 
Kazi ya awali ya integrand inapatikana, ambayo ina maana ushirikiano ulifanyika kwa usahihi.
Jibu:
2) Hebu tuhesabu kiasi cha mwili kilichoundwa na mzunguko wa takwimu hii karibu na mhimili.
Nitachora upya mchoro katika muundo tofauti kidogo:
Kwa hivyo, takwimu iliyotiwa rangi ya bluu inazunguka mhimili. Matokeo yake ni "kipepeo anayeelea" anayezunguka mhimili wake.
Ili kupata kiasi cha mwili wa mzunguko, tutaunganisha pamoja na mhimili. Kwanza tunahitaji kwenda kwa vitendaji vya kinyume. Hii tayari imefanywa na kuelezewa kwa undani katika aya iliyotangulia.
Sasa tunaelekeza kichwa chetu kulia tena na kusoma takwimu yetu. Kwa wazi, kiasi cha mwili wa mzunguko kinapaswa kupatikana kama tofauti katika kiasi.
Tunazunguka takwimu iliyozunguka kwa nyekundu karibu na mhimili, na kusababisha koni iliyopunguzwa. Hebu tuangazie kiasi hiki kwa .
Tunazunguka takwimu iliyozunguka kwa kijani karibu na mhimili na kuiashiria kwa kiasi cha mwili unaosababishwa wa mzunguko.
Kiasi cha kipepeo yetu ni sawa na tofauti katika kiasi.
Tunatumia fomula kupata kiasi cha mwili wa mapinduzi: 
Ni tofauti gani na fomula katika aya iliyotangulia? Katika barua tu.
Lakini faida ya ushirikiano, ambayo nilizungumzia hivi karibuni, ni rahisi zaidi kupata 
, badala ya kuinua kwanza kiunganishi hadi kwa nguvu ya 4.
Jibu: 
Hata hivyo, si kipepeo mgonjwa.
Kumbuka kwamba ikiwa kielelezo sawa cha gorofa kinazunguka karibu na mhimili, utapata mwili tofauti kabisa wa mzunguko, na kiasi tofauti, kwa kawaida.
Mfano 6
Kutokana na takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari na mhimili.
1) Nenda kwa vitendaji kinyume na upate eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari hii kwa kujumuisha juu ya kutofautisha.
2) Kuhesabu kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari hii karibu na mhimili.
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Wale wanaopendezwa wanaweza pia kupata eneo la takwimu kwa njia ya "kawaida", na hivyo kuangalia hatua 1). Lakini ikiwa, narudia, unazunguka takwimu ya gorofa karibu na mhimili, utapata mwili tofauti kabisa wa mzunguko na kiasi tofauti, kwa njia, jibu sahihi (pia kwa wale wanaopenda kutatua matatizo).
Suluhisho kamili kwa hoja mbili zilizopendekezwa za kazi iko mwishoni mwa somo.
Ndiyo, na usisahau kugeuza kichwa chako kwa haki ili kuelewa miili ya mzunguko na mipaka ya ushirikiano!
Kiasi cha mwili wa mapinduzi kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:
Katika fomula, nambari lazima iwepo kabla ya muunganisho. Kwa hivyo ilifanyika - kila kitu kinachozunguka katika maisha kinaunganishwa na hii mara kwa mara.
Nadhani ni rahisi nadhani jinsi ya kuweka mipaka ya ushirikiano "a" na "kuwa" kutoka kwa kuchora kukamilika.
Kazi... kazi hii ni nini? Hebu tuangalie mchoro. Kielelezo cha gorofa kimefungwa na grafu ya parabola hapo juu. Hili ndilo jukumu ambalo linaonyeshwa katika fomula.
Katika kazi za vitendo, takwimu ya gorofa wakati mwingine inaweza kuwa chini ya mhimili. Hii haibadilishi chochote - kiunganishi katika fomula ni mraba: kwa hivyo muhimu daima sio hasi , ambayo ni ya kimantiki sana.
Wacha tuhesabu kiasi cha mzunguko wa mzunguko kwa kutumia fomula hii: 
Kama nilivyoona tayari, kiunga karibu kila wakati kinageuka kuwa rahisi, jambo kuu ni kuwa mwangalifu.
Jibu: 
Katika jibu lako, lazima uonyeshe vipimo - vitengo vya ujazo. Hiyo ni, katika mwili wetu wa mzunguko kuna takriban 3.35 "cubes". Kwa nini cubic vitengo? Kwa sababu uundaji wa ulimwengu wote. Kunaweza kuwa na sentimita za ujazo, kunaweza kuwa na mita za ujazo, kunaweza kuwa na kilomita za ujazo, nk, ndivyo watu wangapi wa kijani kibichi mawazo yako yanaweza kuweka kwenye sufuria ya kuruka.
Mfano 2
Tafuta kiasi cha mwili unaoundwa na mzunguko kuzunguka mhimili wa takwimu iliyofungwa na mistari,
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Hebu fikiria matatizo mawili magumu zaidi, ambayo pia mara nyingi hukutana katika mazoezi.
Mfano 3
Kuhesabu kiasi cha mwili kilichopatikana kwa kuzunguka mhimili wa abscissa wa takwimu iliyofungwa na mistari, na.
Suluhisho: Wacha tuonyeshe kwenye mchoro takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari ,,,, bila kusahau kwamba equation inafafanua mhimili:
Kielelezo kinachohitajika ni kivuli cha bluu. Wakati inapozunguka mhimili wake, inageuka kuwa donut ya surreal yenye pembe nne.
Hebu tuhesabu kiasi cha mwili wa mapinduzi kama tofauti katika wingi wa miili.
Kwanza, hebu tuangalie takwimu iliyozunguka kwa nyekundu. Inapozunguka karibu na mhimili, koni iliyopunguzwa hupatikana. Wacha tuonyeshe kiasi cha koni hii iliyopunguzwa.
Fikiria takwimu ambayo imezungukwa kwa kijani.
Ikiwa unazunguka takwimu hii karibu na mhimili, utapata pia koni iliyopunguzwa, ndogo tu. Hebu tuangazie kiasi chake kwa.
Na, kwa hakika, tofauti katika kiasi ni hasa kiasi cha "donut" yetu.
Tunatumia fomula ya kawaida kupata kiasi cha mzunguko wa mzunguko:
1) Takwimu iliyozunguka kwa nyekundu imefungwa juu na mstari wa moja kwa moja, kwa hivyo:
2) Takwimu iliyozunguka kwa kijani kibichi imefungwa juu na mstari wa moja kwa moja, kwa hivyo:
Jibu:
3) Kiasi cha mwili unaohitajika wa mapinduzi:
Inashangaza kwamba katika kesi hii suluhisho linaweza kuchunguzwa kwa kutumia formula ya shule kwa kuhesabu kiasi cha koni iliyopunguzwa.
Uamuzi wenyewe mara nyingi huandikwa kwa ufupi, kitu kama hiki:
Sasa hebu tupumzike kidogo na kukuambia kuhusu udanganyifu wa kijiometri. Watu mara nyingi huwa na udanganyifu unaohusishwa na kiasi, ambacho kiligunduliwa na Perelman (mwingine) kwenye kitabu Jiometri ya burudani
. Angalia takwimu ya gorofa katika tatizo lililotatuliwa - inaonekana kuwa ndogo katika eneo hilo, na kiasi cha mwili wa mapinduzi ni zaidi ya vitengo vya ujazo 50, ambavyo vinaonekana kuwa kubwa sana. Kwa njia, mtu wa kawaida hunywa sawa na chumba cha mita za mraba 18 za kioevu katika maisha yake yote, ambayo, kinyume chake, inaonekana kiasi kidogo sana.
Kwa ujumla, mfumo wa elimu katika USSR ulikuwa bora zaidi. Kitabu hicho hicho cha Perelman, kilichochapishwa nyuma mnamo 1950, kinaendelea vizuri, kama mcheshi alisema, kufikiria na kukufundisha kutafuta suluhisho asili, zisizo za kawaida za shida. Hivi majuzi nilisoma tena baadhi ya sura kwa hamu kubwa, ninaipendekeza, inaweza kupatikana hata kwa wanabinadamu. Hapana, huna haja ya kutabasamu kwamba nilitoa muda wa bure, erudition na upeo mpana katika mawasiliano ni jambo kubwa.
Baada ya kushuka kwa sauti, ni sawa tu kutatua kazi ya ubunifu:
Mfano 4
Kuhesabu kiasi cha mwili unaoundwa na mzunguko kuhusu mhimili wa takwimu ya gorofa iliyofungwa na mistari, wapi. mabadiliko ya kijiometri ya grafu : ikiwa hoja imegawanywa na mbili: , basi grafu zimewekwa kando ya mhimili mara mbili. Inashauriwa kupata angalau pointi 3-4 kulingana na meza za trigonometric ili kukamilisha kuchora kwa usahihi zaidi. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo. Kwa njia, kazi inaweza kutatuliwa kwa busara na sio busara sana.
