Aina na sifa za pembetatu. Tabia za pembetatu

Leo tunaenda kwenye nchi ya Jiometri, ambapo tutafahamiana na aina tofauti za pembetatu.

Fikiria maumbo ya kijiometri na kupata "ziada" moja kati yao (Mchoro 1).

Mchele. 1. Mchoro kwa mfano

Tunaona kwamba takwimu No. 1, 2, 3, 5 ni quadrilaterals. Kila mmoja wao ana jina lake mwenyewe (Mchoro 2).

Mchele. 2. Quadrilaterals

Hii ina maana kwamba takwimu "ziada" ni pembetatu (Mchoro 3).

Mchele. 3. Mchoro kwa mfano

Pembetatu ni takwimu ambayo ina pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari huo na sehemu tatu zinazounganisha pointi hizi kwa jozi.

Pointi zinaitwa wima ya pembetatu, makundi - yake vyama. Pande za pembetatu huunda Kuna pembe tatu kwenye wima ya pembetatu.

Sifa kuu za pembetatu ni pande tatu na pembe tatu. Kulingana na ukubwa wa pembe, pembetatu ni papo hapo, mstatili na butu.

Pembetatu inaitwa papo hapo-angled ikiwa pembe zake zote tatu ni za papo hapo, yaani, chini ya 90 ° (Mchoro 4).

Mchele. 4. Pembetatu ya papo hapo

Pembetatu inaitwa mstatili ikiwa moja ya pembe zake ni 90 ° (Mchoro 5).

Mchele. 5. Pembetatu ya kulia

Pembetatu inaitwa obtuse ikiwa moja ya pembe zake ni butu, yaani, zaidi ya 90 ° (Mchoro 6).

Mchele. 6. Obtuse pembetatu

Kulingana na idadi ya pande sawa, pembetatu ni equilateral, isosceles, scalene.

Pembetatu ya isosceles ni moja ambayo pande mbili ni sawa (Mchoro 7).

Mchele. 7. Pembetatu ya isosceles

Pande hizi zinaitwa upande, mtu wa tatu - msingi. Katika pembetatu ya isosceles, pembe za msingi ni sawa.

Kuna pembetatu za isosceles papo hapo na butu(Kielelezo 8) .

Mchele. 8. Pembetatu za isosceles za papo hapo na butu

Pembetatu ya equilateral ni moja ambayo pande zote tatu ni sawa (Mchoro 9).

Mchele. 9. Pembetatu ya usawa

Katika pembetatu ya usawa pembe zote ni sawa. Pembetatu za usawa Daima papo hapo-angled.

Mzani ni pembetatu ambayo pande zote tatu zina urefu tofauti (Mchoro 10).

Mchele. 10. Pembetatu ya Scale

Kamilisha kazi. Sambaza pembetatu hizi katika vikundi vitatu (Mchoro 11).

Mchele. 11. Mchoro wa kazi

Kwanza, hebu tusambaze kulingana na ukubwa wa pembe.

Pembetatu za papo hapo: Nambari 1, Nambari 3.

Pembetatu za kulia: Nambari 2, Nambari 6.

Pembetatu za obtuse: Nambari 4, Nambari 5.

Tutasambaza pembetatu sawa katika vikundi kulingana na idadi ya pande sawa.

Pembetatu za Scalene: Nambari 4, Nambari 6.

Pembetatu za Isosceles: Nambari 2, Nambari 3, Nambari 5.

Pembetatu ya usawa: Nambari 1.

Angalia picha.

Fikiria juu ya kipande gani cha waya kila pembetatu ilifanywa kutoka (Mchoro 12).

Mchele. 12. Mchoro wa kazi

Unaweza kufikiria hivi.

Kipande cha kwanza cha waya kinagawanywa katika sehemu tatu sawa, hivyo unaweza kufanya pembetatu ya equilateral kutoka kwayo. Anaonyeshwa wa tatu kwenye picha.

Kipande cha pili cha waya kinagawanywa katika sehemu tatu tofauti, hivyo inaweza kutumika kufanya pembetatu ya scalene. Inaonyeshwa kwanza kwenye picha.

Kipande cha tatu cha waya kinagawanywa katika sehemu tatu, ambapo sehemu mbili zina urefu sawa, ambayo ina maana kwamba pembetatu ya isosceles inaweza kufanywa kutoka humo. Katika picha anaonyeshwa wa pili.

Leo darasani tulijifunza kuhusu aina mbalimbali za pembetatu.

Marejeleo

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova na wengine Hisabati: Kitabu cha maandishi. Daraja la 3: katika sehemu 2, sehemu ya 1. - M.: "Mwangaza", 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova na wengine Hisabati: Kitabu cha maandishi. Daraja la 3: katika sehemu 2, sehemu ya 2. - M.: "Mwangaza", 2012.
3. M.I. Moro. Masomo ya hisabati: Mapendekezo ya mbinu kwa mwalimu. Daraja la 3. - M.: Elimu, 2012.
4. Hati ya udhibiti. Ufuatiliaji na tathmini ya matokeo ya kujifunza. - M.: "Mwangaza", 2011.
5. "Shule ya Urusi": Programu za shule ya msingi. - M.: "Mwangaza", 2011.
6. S.I. Volkova. Hisabati: Kazi ya mtihani. Daraja la 3. - M.: Elimu, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Vipimo. - M.: "Mtihani", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Kazi ya nyumbani

1. Kamilisha vishazi.

a) Pembetatu ni takwimu inayojumuisha ... ambayo hailala kwenye mstari mmoja, na ... ambayo huunganisha pointi hizi kwa jozi.

b) Pointi zinaitwa … , makundi - yake … . Pande za pembetatu huunda kwenye wima za pembetatu ….

c) Kulingana na ukubwa wa pembe, pembetatu ni ... , ... , ... .

d) Kulingana na idadi ya pande sawa, pembetatu ni ... , ... , ... .

2. Chora

A) pembetatu ya kulia;

b) pembetatu ya papo hapo;

c) pembetatu ya butu;

d) pembetatu ya usawa;

e) pembetatu ya scalene;

e) pembetatu ya isosceles.

3. Unda kazi juu ya mada ya somo kwa marafiki zako.

Wakati wa kusoma hisabati, wanafunzi huanza kufahamiana na aina tofauti za maumbo ya kijiometri. Leo tutazungumzia aina mbalimbali pembetatu.

Ufafanuzi

Takwimu za kijiometri ambazo zinajumuisha pointi tatu ambazo haziko kwenye mstari huo huitwa pembetatu.

Sehemu zinazounganisha pointi huitwa pande, na pointi huitwa wima. Wima huonyeshwa kwa kubwa kwa herufi za Kilatini, kwa mfano: A, B, C.

Pande hizo zimeteuliwa kwa majina ya alama mbili ambazo zinajumuisha - AB, BC, AC. Kuingiliana, pande huunda pembe. Upande wa chini unachukuliwa kuwa msingi wa takwimu.

Mchele. 1. Pembetatu ABC.

Aina za pembetatu

Pembetatu huwekwa kwa pembe na pande. Kila aina ya pembetatu ina mali yake mwenyewe.

Kuna aina tatu za pembetatu kwenye pembe:

• papo hapo-angled;
• mstatili;
• mwenye pembe tupu.

Pembe zote papo hapo-angled pembetatu ni papo hapo, ambayo ni, kipimo cha digrii ya kila moja sio zaidi ya 90 0.

Mstatili pembetatu ina pembe ya kulia. Pembe zingine mbili zitakuwa za papo hapo kila wakati, kwani vinginevyo jumla ya pembe za pembetatu itazidi digrii 180, na hii haiwezekani. Upande ambao ni kinyume pembe ya kulia, inaitwa hypotenuse, na miguu mingine miwili. Hypotenuse daima ni kubwa kuliko mguu.

Obtuse pembetatu ina pembe ya butu. Hiyo ni, pembe kubwa kuliko digrii 90. Pembe zingine mbili katika pembetatu kama hiyo zitakuwa papo hapo.

Mchele. 2. Aina za pembetatu kwenye pembe.

Pembetatu ya Pythagorean ni mstatili ambao pande zake ni 3, 4, 5.

Aidha, upande mkubwa ni hypotenuse.

Pembetatu kama hizo mara nyingi hutumiwa kutengeneza kazi rahisi katika jiometri. Kwa hiyo, kumbuka: ikiwa pande mbili za pembetatu ni sawa na 3, basi ya tatu itakuwa dhahiri kuwa 5. Hii itarahisisha mahesabu.

Aina za pembetatu kwenye pande:

• usawa;
• isosceles;
• hodari.

Equilateral Pembetatu ni pembetatu ambayo pande zote ni sawa. Pembe zote za pembetatu hiyo ni sawa na 60 0, yaani, daima ni papo hapo.

Isosceles pembetatu - pembetatu yenye pande mbili tu sawa. Pande hizi huitwa lateral, na ya tatu inaitwa msingi. Kwa kuongeza, pembe kwenye msingi wa pembetatu ya isosceles ni sawa na daima ni ya papo hapo.

Inabadilika au pembetatu ya kiholela ni pembetatu ambayo urefu wote na pembe zote si sawa kwa kila mmoja.

Ikiwa hakuna ufafanuzi juu ya takwimu katika tatizo, basi inakubaliwa kwa ujumla kuwa tunazungumzia kuhusu pembetatu ya kiholela.

Mchele. 3. Aina za pembetatu kwenye pande.

Jumla ya pembe zote za pembetatu, bila kujali aina yake, ni 1800.

Kinyume na pembe kubwa ni upande mkubwa. Na pia urefu wa upande wowote daima ni chini ya jumla ya pande zake nyingine mbili. Sifa hizi zinathibitishwa na nadharia ya usawa wa pembetatu.

Kuna dhana ya pembetatu ya dhahabu. Hii ni pembetatu ya isosceles ambayo pande mbili ni sawia na msingi na sawa na idadi fulani. Katika takwimu hiyo, pembe ni sawia na uwiano wa 2: 2: 1.

Kazi:

Je, kuna pembetatu ambayo pande zake ni 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Suluhisho:

Ili kutatua kazi hii unahitaji kutumia ukosefu wa usawa a

Tumejifunza nini?

Kutoka ya nyenzo hii Kutoka kwa kozi ya hisabati ya daraja la 5, tulijifunza kwamba pembetatu huwekwa kulingana na pande zao na ukubwa wa pembe zao. Pembetatu zina mali fulani ambazo zinaweza kutumika kutatua matatizo.

Majina ya kawaida

Pembetatu yenye wima A, B Na C imeteuliwa kama (tazama takwimu). Pembetatu ina pande tatu:

Urefu wa pande za pembetatu unaonyeshwa na herufi ndogo za Kilatini (a, b, c):

Pembetatu ina pembe zifuatazo:

Thamani za pembe kwenye wima zinazolingana zinaonyeshwa jadi na herufi za Kiyunani (α, β, γ).

Ishara za usawa wa pembetatu

Pembetatu kwenye ndege ya Euclidean inaweza kuamuliwa kwa njia ya kipekee (hadi kuwiana) na sehemu tatu zifuatazo za vipengele vya msingi:

1. a, b, γ (usawa kwa pande mbili na pembe iliyo kati yao);
2. a, β, γ (usawa upande na pembe mbili za karibu);
3. a, b, c (usawa kwa pande tatu).

Ishara za usawa wa pembetatu za kulia:

1. kando ya mguu na hypotenuse;
2. kwa miguu miwili;
3. kando ya mguu na pembe ya papo hapo;
4. kando ya hypotenuse na pembe ya papo hapo.

Baadhi ya pointi katika pembetatu ni "paired". Kwa mfano, kuna pointi mbili ambazo pande zote zinaonekana kwa pembe ya 60 ° au angle ya 120 °. Wanaitwa Dots za Torricelli. Pia kuna pointi mbili ambazo makadirio yake kwenye pande yanalala kwenye wima ya pembetatu ya kawaida. Hii - Pointi za Apollonius. Pointi na vile huitwa Pointi za Brocard.

Moja kwa moja

Katika pembetatu yoyote, katikati ya mvuto, kituo cha orthocenter na katikati ya mduara hulala kwenye mstari sawa, unaoitwa. Mstari wa Euler.

Mstari wa moja kwa moja unaopita katikati ya duara na hatua ya Lemoine inaitwa Mhimili wa Brocard. Pointi za Apollonius ziko juu yake. Pointi za Torricelli na za Lemoine pia ziko kwenye mstari mmoja. Misingi ya bisectors ya nje ya pembe ya pembetatu iko kwenye mstari sawa sawa, unaoitwa mhimili wa bisectors za nje. Sehemu za makutano ya mistari iliyo na pande za orthotriangle na mistari iliyo na pande za pembetatu pia iko kwenye mstari huo huo. Mstari huu unaitwa mhimili wa orthocentric, ni perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja wa Euler.

Ikiwa tunachukua hatua kwenye mduara wa pembetatu, basi makadirio yake kwenye pande za pembetatu yatalala kwenye mstari sawa, unaoitwa. Simson ni sawa hatua hii. Mistari ya Simson ya pointi kinyume diametrically ni perpendicular.

Pembetatu

• Pembetatu iliyo na wima kwenye besi iliyochorwa kupitia sehemu fulani inaitwa pembetatu ya cevian hatua hii.
• Pembetatu iliyo na wima katika makadirio ya sehemu fulani kwenye pande inaitwa sod au pembetatu ya kanyagio hatua hii.
• Pembetatu iliyo na vipeo kwenye sehemu za pili za makutano ya mistari iliyochorwa kupitia vipengee na sehemu fulani iliyo na duara iliyozungushwa inaitwa. pembetatu ya mzunguko. Pembetatu ya mduara ni sawa na pembetatu ya sod.

Miduara

• Mduara ulioandikwa- mduara unaogusa pande zote tatu za pembetatu. Yeye ndiye pekee. Katikati ya mduara ulioandikwa inaitwa kitovu.
• Mduara- mduara unaopitia wima zote tatu za pembetatu. Mduara uliozungukwa pia ni wa kipekee.
• Mzunguko- mduara unaogusa upande mmoja wa pembetatu na kuendelea kwa pande zingine mbili. Kuna miduara mitatu kama hiyo katika pembetatu. Kituo chao kikubwa ni katikati ya mduara ulioandikwa wa pembetatu ya kati, inayoitwa Hoja ya Spiker.

Vituo vya kati vya pande tatu za pembetatu, misingi ya miinuko mitatu na sehemu za kati za sehemu tatu zinazounganisha kipeo chake na kituo cha orthocenter ziko kwenye duara moja inayoitwa. mzunguko wa pointi tisa au Mzunguko wa Euler. Katikati ya mduara wa alama tisa iko kwenye mstari wa Euler. Mduara wa pointi tisa hugusa duara iliyoandikwa na mizunguko mitatu. Hatua ya tangency kati ya mduara ulioandikwa na mzunguko wa pointi tisa inaitwa Pointi ya Feuerbach. Ikiwa kutoka kwa kila vertex tunaweka nje ya pembetatu kwenye mistari iliyonyooka iliyo na pande, orthoses sawa kwa urefu kwa pande tofauti, basi alama sita zinazotokana ziko kwenye duara moja - Mzunguko wa Conway. Miduara mitatu inaweza kuandikwa katika pembetatu yoyote kwa namna ambayo kila mmoja wao hugusa pande mbili za pembetatu na miduara mingine miwili. Miduara kama hiyo inaitwa Miduara ya Malfatti. Vituo vya miduara iliyozungukwa ya pembetatu sita ambayo pembetatu imegawanywa na wapatanishi hulala kwenye duara moja, inayoitwa. mzunguko wa Lamun.

Pembetatu ina miduara mitatu inayogusa pande mbili za pembetatu na duara. Miduara kama hiyo inaitwa iliyoandikwa nusu au Miduara ya Verrier. Sehemu zinazounganisha ncha za miduara ya Verrier na mduara hukatiza katika sehemu moja inayoitwa. Pointi ya Verrier. Inatumika kama kitovu cha usawa, ambayo hubadilisha mduara kuwa duara iliyoandikwa. Pointi za mawasiliano ya miduara ya Verrier na pande ziko kwenye mstari wa moja kwa moja unaopita katikati ya duru iliyoandikwa.

Sehemu zinazounganisha nukta za mduara ulioandikwa na vipeo hukatiza katika sehemu moja inayoitwa. Hatua ya Gergonne, na sehemu zinazounganisha wima na ncha za utepetevu wa miduara ziko ndani. Pointi ya Nagel.

Ellipses, parabolas na hyperbolas

Conic iliyoandikwa (ellipse) na mtazamaji wake

Idadi isiyo na kikomo ya conics (ellipses, parabolas au hyperbolas) inaweza kuandikwa kwenye pembetatu. Ikiwa tutaandika koni ya kiholela kwenye pembetatu na kuunganisha ncha za tangent na wima tofauti, basi mistari iliyonyooka inayotokana itaingiliana kwa hatua moja inayoitwa. matarajio vitanda. Kwa hatua yoyote ya ndege ambayo haina uongo upande au ugani wake, kuna conic iliyoandikwa na mtazamaji katika hatua hii.

duaradufu ya Steiner iliyoelezewa na cevians kupita kwenye foci yake

Mviringo unaweza kuandikwa katika pembetatu, kugusa pande katikati. Duru kama hiyo inaitwa imeandikwa Steiner duaradufu(mtazamo wake utakuwa katikati ya pembetatu). Duaradufu iliyozungushwa, ambayo hugusa mistari inayopita kwenye vipeo sambamba na kando, inaitwa. ilivyoelezwa na duaradufu ya Steiner. Ikiwa tunabadilisha pembetatu kuwa pembetatu ya kawaida kwa kutumia mabadiliko ya mshikamano ("skew"), basi duaradufu yake ya Steiner iliyoandikwa na iliyozunguka itabadilika kuwa mduara ulioandikwa na unaozunguka. Mistari ya Chevian iliyochorwa kupitia foci ya duaradufu iliyoelezewa ya Steiner (Pointi za Scutin) ni sawa (nadharia ya Scutin). Kati ya ellipses zote zilizoelezwa, ellipse iliyoelezwa ya Steiner ina eneo ndogo zaidi, na ya ellipses zote zilizoandikwa, ellipse iliyoandikwa ya Steiner ina eneo kubwa zaidi.

Brocard duaradufu na mtazamaji wake - Lemoine uhakika

Mduara wa duaradufu wenye foci kwenye sehemu za Brocard huitwa Barua duaradufu ya Brocard. Mtazamo wake ni hatua ya Lemoine.

Sifa za parabola iliyoandikwa

Kiepert parabola

Matarajio ya parabolas iliyoandikwa iko kwenye duaradufu iliyoelezewa ya Steiner. Mtazamo wa parabola iliyoandikwa iko kwenye mduara, na njia ya moja kwa moja inapita kupitia orthocenter. Kielelezo kilichoandikwa katika pembetatu na kuwa na mstari wa moja kwa moja wa Euler kama kinavyoitwa directrix yake. Kiepert parabola. Mtazamo wake ni sehemu ya nne ya makutano ya duara iliyozungushwa na duaradufu ya Steiner, inayoitwa. Hatua ya Steiner.

Hyperbole ya Kiepert

Ikiwa hyperbola iliyoelezwa inapita kwenye hatua ya makutano ya urefu, basi ni equilateral (yaani, asymptotes yake ni perpendicular). Sehemu ya makutano ya asymptotes ya hyperbola ya usawa iko kwenye mduara wa pointi tisa.

Mabadiliko

Ikiwa mistari inayopita kwenye wima na sehemu fulani haijalala kando na upanuzi wao unaonyeshwa kwa jamaa na sehemu mbili zinazolingana, basi picha zao pia zitaingiliana kwa wakati mmoja, unaoitwa. kuunganishwa kwa pekee ile ya awali (ikiwa hatua iko kwenye mduara uliozunguka, basi mistari inayotokana itakuwa sambamba). Jozi nyingi za pointi za ajabu zimeunganishwa kwa pekee: circumcenter na orthocenter, centroid na hatua ya Lemoine, pointi za Brocard. Vidokezo vya Apollonius vinaunganishwa kwa pekee kwa pointi za Torricelli, na katikati ya mduara ulioandikwa ni kujiunganisha yenyewe. Chini ya utendi wa muunganisho wa isogonal, mistari iliyonyooka hubadilika kuwa koni zilizozingirwa, na koni zilizozingirwa kuwa mistari iliyonyooka. Kwa hivyo, hyperbola ya Kiepert na mhimili wa Brocard, hyperbola ya Jenzabek na mstari wa moja kwa moja wa Euler, hyperbola ya Feuerbach na mstari wa vituo vya miduara iliyoandikwa na iliyopigwa ni kuunganishwa kwa pekee. Miduara ya pembetatu za nukta za munganisho wa pekee huambatana. Foci ya duaradufu iliyoandikwa ni mshikamano wa pekee.

Ikiwa, badala ya cevian ya ulinganifu, tunachukua cevian ambayo msingi wake ni mbali kutoka katikati ya upande kama msingi wa ile ya asili, basi cevian kama hizo pia zitaingiliana kwa wakati mmoja. Mabadiliko yanayotokana yanaitwa muunganisho wa isotomiki. Pia hubadilisha mistari iliyonyooka kuwa koni zilizoelezewa. Pointi za Gergonne na Nagel zimeunganishwa kiisotomically. Chini ya mabadiliko ya mshikamano, nukta muunganisho wa isotomia hubadilishwa kuwa nukta za kuunganisha kiisotomiki. Kwa muunganisho wa isotomiki, duaradufu iliyoelezewa ya Steiner itaingia kwenye mstari ulio mbali sana.

Ikiwa katika sehemu zilizokatwa na pande za pembetatu kutoka kwa mduara uliozungukwa, tunaandika miduara inayogusa pande kwenye misingi ya cevians iliyochorwa kupitia hatua fulani, na kisha unganisha vidokezo vya miduara hii na mduara uliozungukwa na wima kinyume, basi mistari iliyonyooka kama hiyo itaingiliana kwa hatua moja. Mabadiliko ya ndege ambayo yanafanana na hatua ya asili na inayosababisha inaitwa mabadiliko ya isocircular. Utungaji wa conjugates ya isogonal na isotomic ni muundo wa mabadiliko ya isocircular na yenyewe. Utungaji huu ni mabadiliko ya makadirio, ambayo huacha pande za pembetatu mahali, na kubadilisha mhimili wa bisectors za nje kwenye mstari wa moja kwa moja kwa infinity.

Ikiwa tunapanua pande za pembetatu ya Chevian ya hatua fulani na kuchukua pointi zao za makutano na pande zinazolingana, basi pointi zinazotokana za makutano zitalala kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja, unaoitwa. polar ya pembe tatu pa kuanzia. Mhimili wa orthocentric ni polar ya trilinear ya orthocenter; polar ya trilinear ya katikati ya duara iliyoandikwa ni mhimili wa bisectors nje. Polari za ncha tatu zilizo kwenye mkato wa koniki uliozingirwa katika sehemu moja (kwa mduara uliozingirwa hii ndio ncha ya Lemoine, kwa duaradufu ya Steiner iliyozingirwa ni katikati). Muundo wa muunganisho wa isogonal (au isotomiki) na polar ya mstari-tatu ni mageuzi ya pande mbili (ikiwa hatua moja kwa moja (isotomically) inaunganishwa kwa uhakika iko kwenye polar ya utatu wa uhakika, kisha polar ya utatu wa uhakika wa uhakika (isotomically) kuungana kwa uhakika iko kwenye ncha ya ncha tatu ya uhakika).

Michemraba

Uwiano katika pembetatu

Kumbuka: katika sehemu hii,, ni urefu wa tatu pande za pembetatu, na , , ni pembe zilizolala kwa mtiririko huo kinyume na pande hizi tatu (pembe zinazopingana).

Ukosefu wa usawa wa pembetatu

Katika pembetatu isiyopungua, jumla ya urefu wa pande zake mbili ni kubwa zaidi kuliko urefu wa upande wa tatu, katika pembetatu iliyopungua ni sawa. Kwa maneno mengine, urefu wa pande za pembetatu unahusishwa na usawa ufuatao:

Ukosefu wa usawa wa pembetatu ni mojawapo ya axioms ya metriki.

Nadharia ya Jumla ya Pembe ya Pembetatu

Nadharia ya sines

ambapo R ni kipenyo cha duara kilichozungushwa kuzunguka pembetatu. Inafuata kutoka kwa nadharia kwamba ikiwa a< b < c, то α < β < γ.

Nadharia ya Cosine

Nadharia ya tangent

Uwiano mwingine

Uwiano wa metri katika pembetatu hutolewa kwa:

Kutatua pembetatu

Kuhesabu pande na pembe zisizojulikana za pembetatu kulingana na zinazojulikana kumeitwa kihistoria "kutatua pembetatu." Nadharia za jumla za trigonometric hapo juu zinatumika.

Eneo la pembetatu

Kwa eneo hilo ukosefu wa usawa ufuatao ni halali:

Kuhesabu eneo la pembetatu katika nafasi kwa kutumia vekta

Hebu wima za pembetatu ziwe kwenye pointi , , .

Wacha tuanzishe vekta ya eneo. Urefu wa vekta hii ni sawa na eneo la pembetatu, na inaelekezwa kawaida kwa ndege ya pembetatu:

Wacha tuweke , wapi , , ni makadirio ya pembetatu kwenye ndege za kuratibu. Wakati huo huo

na vivyo hivyo

Eneo la pembetatu ni.

Njia mbadala ni kuhesabu urefu wa pande (kwa kutumia nadharia ya Pythagorean) na kisha kutumia fomula ya Heron.

Nadharia za pembetatu

Nadharia ya Desargues: ikiwa pembetatu mbili ni mtazamo (mistari inayopita kwenye wima inayofanana ya pembetatu huingiliana kwa hatua moja), basi pande zao zinazofanana zinaingiliana kwenye mstari huo.

Nadharia ya Sonda: ikiwa pembetatu mbili ni mtazamo na orthologous (perpendiculars inayotolewa kutoka kwa wima ya pembetatu moja hadi pande kinyume na wima sambamba ya pembetatu, na kinyume chake), basi vituo vyote viwili vya ortholojia (pointi za makutano ya perpendiculars hizi) na katikati. ya mtazamo upo kwenye mstari ulionyooka sawa, unaoelekea kwenye mhimili wa mtazamo (mstari ulionyooka kutoka kwa nadharia ya Desargues).

Watoto zaidi umri wa shule ya mapema kujua jinsi pembetatu inaonekana. Lakini watoto tayari wanaanza kuelewa jinsi walivyo shuleni. Aina moja ni pembetatu ya butu. Njia rahisi ya kuelewa ni nini ni kuona picha yake. Na kwa nadharia hii ndio wanaiita "poligoni rahisi" yenye pande tatu na wima, ambayo moja ni

Kuelewa dhana

Katika jiometri, kuna aina hizi za takwimu zilizo na pande tatu: pembetatu ya papo hapo, ya kulia na ya obtuse. Kwa kuongezea, sifa za poligoni hizi rahisi ni sawa kwa wote. Kwa hivyo, kwa aina zote zilizoorodheshwa usawa huu utazingatiwa. Jumla ya urefu wa pande zote mbili lazima iwe kubwa kuliko urefu wa upande wa tatu.

Lakini ili kuhakikisha kuwa tunazungumza juu ya takwimu kamili, na sio juu ya seti ya wima ya mtu binafsi, ni muhimu kuangalia kwamba hali kuu imefikiwa: jumla ya pembe za pembetatu ya obtuse ni sawa na digrii 180. . Vile vile ni kweli kwa aina nyingine za takwimu zilizo na pande tatu. Kweli, katika pembetatu ya obtuse, moja ya pembe itakuwa kubwa zaidi kuliko 90 °, na mbili iliyobaki hakika itakuwa papo hapo. Katika kesi hii, ni pembe kubwa zaidi ambayo itakuwa kinyume na upande mrefu zaidi. Kweli, haya sio mali yote ya pembetatu ya obtuse. Lakini hata kujua vipengele hivi tu, watoto wa shule wanaweza kutatua matatizo mengi katika jiometri.

Kwa kila poligoni iliyo na vipeo vitatu, ni kweli pia kwamba kwa kuendelea na upande wowote, tunapata pembe ambayo saizi yake itakuwa. sawa na jumla wima mbili za ndani zisizo karibu. Mzunguko wa pembetatu ya obtuse huhesabiwa kwa njia sawa na kwa maumbo mengine. Ni sawa na jumla ya urefu wa pande zake zote. Kuamua hili, wanahisabati wameunda fomula mbalimbali, kulingana na data iliyopo hapo awali.

Mtindo sahihi

Moja ya masharti muhimu zaidi ya kutatua matatizo ya jiometri ni kuchora sahihi. Waalimu wa hisabati mara nyingi wanasema kwamba itasaidia sio tu kuibua kile unachopewa na kile kinachohitajika kwako, lakini kupata 80% karibu na jibu sahihi. Ndio maana ni muhimu kujua jinsi ya kuunda pembetatu iliyopunguka. Ikiwa unahitaji tu takwimu ya dhahania, basi unaweza kuchora poligoni yoyote na pande tatu ili moja ya pembe ni kubwa kuliko digrii 90.

Ikiwa maadili fulani ya urefu wa pande au digrii za pembe hupewa, basi ni muhimu kuteka pembetatu ya obtuse kwa mujibu wao. Katika kesi hii, ni muhimu kujaribu kuonyesha pembe kwa usahihi iwezekanavyo, kuhesabu kwa kutumia protractor, na kuonyesha pande kwa uwiano wa masharti yaliyotolewa katika kazi.

Mistari kuu

Mara nyingi, haitoshi kwa watoto wa shule kujua tu takwimu fulani zinapaswa kuonekana kama nini. Hawawezi kujiwekea kikomo kwa habari tu kuhusu ni pembetatu gani iliyofifia na ipi ni sahihi. Kozi ya hisabati inahitaji kwamba ujuzi wao wa vipengele vya msingi vya takwimu unapaswa kuwa kamili zaidi.

Kwa hivyo, kila mtoto wa shule anapaswa kuelewa ufafanuzi wa bisector, wastani, perpendicular bisector na urefu. Kwa kuongeza, lazima ajue mali zao za msingi.

Kwa hivyo, wagawanyaji hugawanya pembe kwa nusu, na upande wa pili katika sehemu ambazo zinalingana na pande zilizo karibu.

Wastani hugawanya pembetatu yoyote katika mbili sawa katika eneo. Katika hatua ambayo wanaingiliana, kila mmoja wao amegawanywa katika sehemu 2 kwa uwiano wa 2: 1, wakati wa kutazamwa kutoka kwa vertex ambayo ilijitokeza. Katika kesi hii, wastani mkubwa daima hutolewa kwa upande wake mdogo.

Hakuna tahadhari ndogo inayolipwa kwa urefu. Hii ni perpendicular kwa upande kinyume na kona. Urefu wa pembetatu ya obtuse ina sifa zake. Ikiwa hutolewa kutoka kwa vertex kali, basi haina mwisho kwa upande wa polygon hii rahisi zaidi, lakini kwa kuendelea kwake.

Sehemu ya pembetatu ya pembetatu ni sehemu ya mstari inayoenea kutoka katikati ya uso wa pembetatu. Kwa kuongeza, iko kwenye pembe ya kulia kwake.

Kufanya kazi na miduara

Mwanzoni mwa kujifunza jiometri, inatosha kwa watoto kuelewa jinsi ya kuteka pembetatu ya obtuse, kujifunza kutofautisha kutoka kwa aina nyingine na kukumbuka mali zake za msingi. Lakini kwa wanafunzi wa shule ya upili ujuzi huu hautoshi tena. Kwa mfano, kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja mara nyingi kuna maswali kuhusu miduara iliyozuiliwa na iliyoandikwa. Wa kwanza wao hugusa wima zote tatu za pembetatu, na ya pili ina sehemu moja ya kawaida na pande zote.

Kuunda pembetatu iliyoandikwa au iliyozungushwa ni ngumu zaidi, kwa sababu kufanya hivyo kwanza unahitaji kujua ni wapi katikati ya duara na radius yake inapaswa kuwa. Kwa njia, chombo muhimu Katika kesi hii, sio tu penseli iliyo na mtawala itakuwa, lakini pia dira.

Ugumu sawa hutokea wakati wa kujenga polygons zilizoandikwa na pande tatu. Wanahisabati wamebuni fomula mbalimbali zinazowawezesha kubainisha eneo lao kwa usahihi iwezekanavyo.

Pembetatu zilizoandikwa

Kama ilivyoelezwa hapo awali, ikiwa mduara unapita kwenye wima zote tatu, basi inaitwa duara. Mali yake kuu ni kwamba ni ya kipekee. Ili kujua jinsi mduara uliozunguka wa pembetatu iliyopunguka inapaswa kupatikana, unahitaji kukumbuka kuwa kituo chake kiko kwenye makutano ya sehemu tatu za pembetatu ambazo huenda kwa pande za takwimu. Ikiwa katika poligoni yenye pembe ya papo hapo yenye vipeo vitatu hatua hii itakuwa iko ndani yake, basi katika poligoni yenye pembe iliyo wazi itakuwa nje yake.

Kujua, kwa mfano, kwamba moja ya pande za pembetatu ya obtuse ni sawa na radius yake, unaweza kupata angle ambayo iko kinyume na uso unaojulikana. Sine yake itakuwa sawa na matokeo ya kugawanya urefu wa upande unaojulikana na 2R (ambapo R ni radius ya mduara). Hiyo ni, dhambi ya pembe itakuwa sawa na ½. Hii ina maana kwamba angle itakuwa sawa na 150 °.

Ikiwa unahitaji kupata circumradius ya pembetatu ya obtuse, basi utahitaji habari kuhusu urefu wa pande zake (c, v, b) na eneo lake S. Baada ya yote, radius imehesabiwa kama hii: (c x v x b) : 4 x S. Kwa njia, haijalishi, ni aina gani ya takwimu una: pembetatu ya scalene obtuse, isosceles, kulia- au papo hapo-angled. Kwa hali yoyote, shukrani kwa fomula hapo juu, unaweza kujua eneo la poligoni iliyopewa na pande tatu.

Pembetatu zilizozunguka

Pia mara nyingi unapaswa kufanya kazi na miduara iliyoandikwa. Kulingana na fomula moja, radius ya takwimu kama hiyo, iliyozidishwa na ½ ya mzunguko, itakuwa sawa na eneo la pembetatu. Kweli, ili kuihesabu unahitaji kujua pande za pembetatu iliyopunguka. Baada ya yote, ili kuamua ½ ya mzunguko, unahitaji kuongeza urefu wao na ugawanye na 2.

Ili kuelewa ni wapi katikati ya duara iliyoandikwa katika pembetatu ya obtuse inapaswa kuwa, ni muhimu kuteka bisectors tatu. Hii ndio mistari inayogawanya pembe. Ni kwenye makutano yao ambapo katikati ya duara itakuwa iko. Katika kesi hii, itakuwa sawa kutoka kwa kila upande.

Radi ya mduara kama huo iliyoandikwa katika pembetatu ya obtuse ni sawa na mgawo (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Katika kesi hii, p ni nusu ya mzunguko wa pembetatu, c, v, b ni pande zake.

Triangle - ufafanuzi na dhana ya jumla

Pembetatu ni poligoni rahisi inayojumuisha pande tatu na kuwa na idadi sawa ya pembe. Ndege zake zimepunguzwa kwa pointi 3 na sehemu 3 zinazounganisha pointi hizi kwa jozi.

Wima zote za pembetatu yoyote, bila kujali aina yake, zimeteuliwa na herufi kubwa za Kilatini, na pande zake zinaonyeshwa na majina yanayolingana ya wima tofauti, sio tu kwa herufi kubwa, lakini kwa ndogo. Kwa hivyo, kwa mfano, pembetatu yenye vipeo vilivyoandikwa A, B na C ina pande a, b, c.

Ikiwa tunazingatia pembetatu katika nafasi ya Euclidean, basi ni takwimu ya kijiometri ambayo iliundwa kwa kutumia sehemu tatu zinazounganisha pointi tatu ambazo hazilala kwenye mstari sawa sawa.

Angalia kwa makini picha iliyoonyeshwa hapo juu. Juu yake, pointi A, B na C ni wima za pembetatu hii, na sehemu zake huitwa pande za pembetatu. Kila kipeo cha poligoni hii huunda pembe ndani yake.

Aina za pembetatu

Kwa mujibu wa ukubwa wa pembe za pembetatu, zinagawanywa katika aina kama vile: Mstatili;
Papo hapo angular;
Obtuse.

Pembetatu za mstatili ni pamoja na zile ambazo zina pembe moja ya kulia na zingine mbili zina pembe za papo hapo.

Pembetatu za papo hapo ni zile ambazo pembe zake zote ni za papo hapo.

Na ikiwa pembetatu ina pembe moja ya buti na zingine mbili za papo hapo, basi pembetatu kama hiyo imeainishwa kama buti.

Kila mmoja wenu anaelewa vizuri kwamba sio pembetatu zote zina pande sawa. Na kulingana na urefu wa pande zake, pembetatu zinaweza kugawanywa katika:

Isosceles;
Equilateral;
Inayobadilika.

Kazi: Chora aina tofauti pembetatu. Wafafanue. Unaona tofauti gani kati yao?

Mali ya msingi ya pembetatu

Ingawa poligoni hizi rahisi zinaweza kutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa ukubwa wa pembe au pande zao, kila pembetatu ina sifa za msingi ambazo ni tabia ya takwimu hii.

Katika pembetatu yoyote:

Jumla ya pembe zake zote ni 180º.
Ikiwa ni ya usawa, basi kila pembe yake ni 60º.
Pembetatu ya usawa ina pembe sawa na sawa.
Jinsi gani upande mdogo poligoni, pembe ndogo iko kinyume chake na, kinyume chake, pembe kubwa iko kinyume na upande mkubwa.
Ikiwa pande ni sawa, basi ni kinyume chake pembe sawa, na kinyume chake.
Ikiwa tunachukua pembetatu na kupanua upande wake, tunamaliza na pembe ya nje. Ni sawa na jumla ya pembe za ndani.
Katika pembetatu yoyote, upande wake, haijalishi ni ipi unayochagua, bado itakuwa chini ya jumla ya pande 2 zingine, lakini zaidi ya tofauti zao:

1.a< b + c, a >b–c;
2. b< a + c, b >a–c;
3.c< a + b, c >a–b.

Zoezi

Jedwali linaonyesha pembe mbili zinazojulikana za pembetatu. Kujua jumla ya pembe zote, tafuta angle ya tatu ya pembetatu ni sawa na uiingize kwenye jedwali:

1. Pembe ya tatu ina digrii ngapi?
2. Je, ni ya aina gani ya pembetatu?

Vipimo vya usawa wa pembetatu

nasaini

II ishara

III ishara

Urefu, sehemu mbili na wastani wa pembetatu

Urefu wa pembetatu - perpendicular inayotolewa kutoka vertex ya takwimu hadi upande wake kinyume inaitwa urefu wa pembetatu. Miinuko yote ya pembetatu huingiliana kwa hatua moja. Sehemu ya makutano ya urefu wote 3 wa pembetatu ni orthocenter yake.

Sehemu inayotolewa kutoka kwa vertex iliyotolewa na kuiunganisha katikati ya upande wa kinyume ni wastani. Wastani, pamoja na urefu wa pembetatu, wana sehemu moja ya kawaida ya makutano, kinachojulikana katikati ya mvuto wa pembetatu au centroid.

Bisector ya pembetatu ni sehemu inayounganisha vertex ya pembe na hatua kwa upande mwingine, na pia kugawanya angle hii kwa nusu. Sehemu zote mbili za pembetatu huingiliana kwa hatua moja, ambayo inaitwa katikati ya duara iliyoandikwa kwenye pembetatu.

Sehemu inayounganisha sehemu za kati za pande 2 za pembetatu inaitwa mstari wa kati.

Asili ya kihistoria

Kielelezo kama pembetatu kilijulikana huko nyuma katika nyakati za Kale. Takwimu hii na mali zake zilitajwa kwenye papyri ya Misri miaka elfu nne iliyopita. Baadaye kidogo, kutokana na nadharia ya Pythagorean na formula ya Heron, utafiti wa sifa za pembetatu ulihamia zaidi. kiwango cha juu, lakini bado, hii ilitokea zaidi ya miaka elfu mbili iliyopita.

Katika XV - Karne za 16 Walianza kufanya utafiti mwingi juu ya mali ya pembetatu, na matokeo yake sayansi kama planimetry iliibuka, ambayo iliitwa "Jiometri ya Pembetatu Mpya".

Mwanasayansi wa Kirusi N.I. Lobachevsky alitoa mchango mkubwa kwa ujuzi wa mali ya pembetatu. Kazi zake baadaye zilipata matumizi katika hisabati, fizikia na cybernetics.

Shukrani kwa ufahamu wa mali ya pembetatu, sayansi kama trigonometry iliibuka. Ilibadilika kuwa muhimu kwa mtu katika mahitaji yake ya vitendo, kwani matumizi yake ni muhimu tu wakati wa kuchora ramani, maeneo ya kupima, na hata wakati wa kubuni mifumo mbali mbali.

Ni pembetatu gani maarufu unayoijua? Hii bila shaka ni Pembetatu ya Bermuda! Ilipokea jina hili katika miaka ya 50 kwa sababu ya eneo la kijiografia la pointi (wima za pembetatu), ndani ambayo, kwa mujibu wa nadharia iliyopo, upungufu unaohusishwa na hilo ulitokea. Vipeo vya Pembetatu ya Bermuda ni Bermuda, Florida na Puerto Rico.

Kazi: Ni nadharia gani kuhusu Pembetatu ya Bermuda umesikia?

Je! unajua kuwa katika nadharia ya Lobachevsky, wakati wa kuongeza pembe za pembetatu, jumla yao huwa na matokeo chini ya 180º. Katika jiometri ya Riemann, jumla ya pembe zote za pembetatu ni kubwa kuliko 180º, na katika kazi za Euclid ni sawa na digrii 180.

Kazi ya nyumbani

Tatua chemshabongo kwenye mada fulani

Maswali kwa neno mtambuka:

1. Je, jina la perpendicular linalotolewa kutoka kwenye vertex ya pembetatu hadi mstari wa moja kwa moja iko upande wa kinyume?
2. Jinsi gani, kwa neno moja, unaweza kuita jumla ya urefu wa pande za pembetatu?
3. Taja pembetatu ambayo pande zake mbili ni sawa?
4. Taja pembetatu ambayo ina pembe sawa na 90 °?
5. Jina la upande mkubwa zaidi wa pembetatu ni nini?
6. Jina la upande wa pembetatu ya isosceles ni nini?
7. Kuna daima tatu kati yao katika pembetatu yoyote.
8. Jina la pembetatu ambalo moja ya pembe huzidi 90 ° ni nini?
9. Jina la sehemu inayounganisha juu ya takwimu yetu na katikati ya upande wa kinyume?
10. Katika poligoni rahisi ABC, herufi kubwa A ni...?
11. Je! ni jina gani la sehemu inayogawanya pembe ya pembetatu kwa nusu?

Maswali juu ya mada ya pembetatu:

1. Fafanua.
2. Je, ina urefu wa ngapi?
3. Pembetatu ina visekta vingapi?
4. Jumla ya pembe zake ni nini?
5. Ni aina gani za poligoni hii rahisi unazojua?
6. Taja pointi za pembetatu zinazoitwa za ajabu.
7. Unaweza kutumia kifaa gani kupima pembe?
8. Ikiwa mikono ya saa inaonyesha 21:00. Je! mikono ya saa hufanya pembe gani?
9. Mtu hugeuka kwa pembe gani ikiwa amepewa amri "kushoto", "mduara"?
10. Je! Unajua ufafanuzi gani mwingine unaohusishwa na takwimu ambayo ina pembe tatu na pande tatu?