Ufafanuzi wa monotoni. Ni nini hata, mara kwa mara, kazi za monotonic

Grafu ya kipengele cha kukokotoa kinachopungua

Kupunguza na kuongeza utendaji kwa pamoja huunda darasa monotonous kazi. Kazi za monotone zina idadi ya mali maalum.

Kazi f(x), monotonic kwa muda [ a,b], mdogo kwenye sehemu hii;

· jumla ya kazi zinazoongezeka (zinazopungua) ni utendaji unaoongezeka (unaopungua);

· ikiwa kazi f huongezeka (hupungua) na n- nambari isiyo ya kawaida, pia huongezeka (hupungua);

· Kama f"(x)>0 kwa kila mtu xO(a,b), kisha kazi y=f(x) inaongezeka kwa muda (a,b);

· Kama f"(x)<0 kwa kila mtu xO(a,b), kisha kazi y=f(x) inapungua kwa muda (a,b);

· Kama f(x) - kazi inayoendelea na ya monotonic kwenye seti X, kisha mlinganyo f(x)=C, Wapi NA- hii mara kwa mara inaweza kuwa nayo X si zaidi ya suluhisho moja;

· ikiwa kwenye kikoa cha ufafanuzi wa mlingano f(x)=g(x) kazi f(x) kuongezeka, na kazi g(x) hupungua, basi equation haiwezi kuwa na suluhisho zaidi ya moja.

Nadharia. (hali ya kutosha kwa monotonicity ya kazi). Ikiwa itaendelea kwenye sehemu [ a, b] kazi y = f(X) katika kila hatua ya muda ( a, b) ina derivative chanya (hasi), basi kitendakazi hiki huongezeka (hupungua) kwenye sehemu [ a, b].

Ushahidi. Wacha >0 kwa kila mtu xO(a,b). Fikiria maadili mawili ya kiholela x 2 > x 1, mali ya [ a, b]. Kulingana na formula ya Lagrange x 1<с < х 2 . (Na) > 0 Na x 2 – x 1 > 0, kwa hiyo > 0, wherece > , yaani, kazi f(x) huongezeka kwa muda [ a, b]. Sehemu ya pili ya nadharia inathibitishwa kwa njia sawa.

Nadharia 3. (ishara ya lazima ya kuwepo kwa upeo wa kazi). Ikiwa kitendakazi kinaweza kutofautishwa katika hatua c saa=f(X) ina uliokithiri katika hatua hii, basi .

Ushahidi. Hebu, kwa mfano, kazi saa= f(X) ina upeo wa juu c. Hii ina maana kwamba kuna kitongoji kilichochomwa cha uhakika c kwamba kwa pointi zote x mtaa huu umeridhika f(x) < f (c), yaani f(c) ndio thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa katika mtaa huu. Kisha kwa nadharia ya Fermat.

Kesi ya kiwango cha chini katika hatua c inathibitishwa kwa njia sawa.

Maoni. Chaguo za kukokotoa zinaweza kuwa na kipeo cha mwisho katika hatua ambayo deivative yake haipo. Kwa mfano, chaguo la kukokotoa lina kiwango cha chini katika nukta x = 0, ingawa haipo. Pointi ambazo derivative ya chaguo za kukokotoa ni sifuri au haipo huitwa pointi muhimu za chaguo la kukokotoa. Walakini, chaguo la kukokotoa halina ukomo katika sehemu zote muhimu. Kwa mfano, kazi y = x 3 haina extrema, ingawa derivative yake =0.

Nadharia 4. (ishara ya kutosha ya kuwepo kwa extremum). Ikiwa kazi inayoendelea y = f(x) ina derivative katika sehemu zote za muda fulani ulio na hatua muhimu C (isipokuwa, labda, kwa hatua hii yenyewe), na ikiwa derivative, wakati hoja inapita kutoka kushoto kwenda kulia kupitia hatua muhimu C, hubadilisha ishara kutoka kwa pamoja hadi minus, basi kazi katika hatua C ina kiwango cha juu, na wakati ishara inabadilika kutoka minus hadi plus, ina kiwango cha chini .

Ushahidi. Acha c iwe jambo muhimu na acha, kwa mfano, wakati hoja inapopita kwenye nukta c inabadilisha ishara kutoka jumlisha hadi minus. Hii ina maana kwamba kwa muda fulani (c–e; c) kazi huongezeka, na kwa muda (c; c+e)- inapungua (saa e>0). Kwa hiyo, katika hatua c kazi ina kiwango cha juu. Kesi ya kiwango cha chini inathibitishwa kwa njia sawa.

Maoni. Ikiwa derivative haibadilishi ishara wakati hoja inapita kwenye hatua muhimu, basi kazi katika hatua hii haina upeo.

Kwa kuwa ufafanuzi wa kikomo na mwendelezo wa kazi ya vigeu kadhaa hulingana kivitendo na ufafanuzi unaolingana wa kazi ya kigezo kimoja, basi kwa kazi za vigeu kadhaa sifa zote za mipaka na kazi zinazoendelea huhifadhiwa.

©2015-2019 tovuti
Haki zote ni za waandishi wao. Tovuti hii haidai uandishi, lakini inatoa matumizi ya bure.
Tarehe ya kuundwa kwa ukurasa: 2016-02-12

Nadharia juu ya kikomo cha chaguo za kukokotoa za monotone. Uthibitisho wa nadharia hutolewa kwa kutumia njia mbili. Ufafanuzi wa kazi zinazoongezeka kwa ukali, zisizopungua, zinazopungua na zisizozidi pia hutolewa. Ufafanuzi wa kazi ya monotonic.

Ufafanuzi

Ufafanuzi wa kazi zinazoongezeka na zinazopungua
Acha kipengele f (x) inafafanuliwa kwenye seti fulani ya nambari halisi X.
Kazi inaitwa kuongezeka kwa nguvu (inapungua kabisa), ikiwa kwa yote x′, x′′ ∈ X hivi kwamba x< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Kazi inaitwa isiyopungua (isiyoongezeka), ikiwa kwa yote x′, x′′ ∈ X hivi kwamba x< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Inafuata kwamba kazi inayoongezeka madhubuti pia haipunguzi. Chaguo la kukokotoa linalopungua sana pia haliongezeki.

Ufafanuzi wa kazi ya monotonic
Kazi inaitwa monotonous, ikiwa haipunguzi au haizidi.

Ili kusoma monotonicity ya kazi kwenye seti fulani ya X, unahitaji kupata tofauti za maadili yake katika sehemu mbili za kiholela za seti hii. Ikiwa , basi kazi inaongezeka madhubuti; ikiwa, basi kazi haina kupungua; ikiwa, basi hupungua madhubuti; ikiwa , basi haiongezeki.

Ikiwa kwenye seti fulani kazi ni nzuri: , kisha kuamua monotonicity, unaweza kusoma mgawo wa kugawanya maadili yake katika pointi mbili za kiholela za seti hii. Ikiwa , basi kazi inaongezeka madhubuti; ikiwa, basi kazi haina kupungua; ikiwa, basi hupungua madhubuti; ikiwa , basi haiongezeki.

Nadharia
Acha kipengele f (x) haina kupungua kwa muda (a, b), Wapi.
Ikiwa imefungwa hapo juu na nambari M:, basi kuna kikomo cha kushoto cha mwisho kwenye hatua b:. (x) Ikiwa f
sio mdogo kutoka juu, basi. (x) imefungwa chini na nambari m : , kisha kuna kikomo cha kikomo cha kulia kwenye uhakika a : . (x) Ikiwa f

haijafungwa chini, basi.
Ikiwa alama a na b ziko katika ukomo, basi katika misemo ishara za kikomo zinamaanisha kuwa .

Nadharia hii inaweza kuundwa kwa ushikamano zaidi. (x) haina kupungua kwa muda (a, b) Acha kipengele f
;
.

, Wapi. Halafu kuna mipaka ya upande mmoja katika alama a na b:

Nadharia sawa ya chaguo za kukokotoa zisizoongezeka.
;
.

Wacha chaguo la kukokotoa lisiongezeke kwa muda ambapo .
Kisha kuna mipaka ya upande mmoja:
Matokeo

Acha kazi iwe monotonic kwenye muda.

Halafu wakati wowote kutoka kwa muda huu, kuna mipaka ya upande mmoja ya kazi:

Na.

Uthibitisho wa nadharia

Chaguo la kukokotoa halipungui

.
;
.

b - nambari ya mwisho
Kazi ni mdogo kutoka juu
1.1.1. Acha kazi ifungwe kutoka juu na nambari M: kwa .
;
;
.
Kwa kuwa kazi haipunguzi, basi wakati.
Kazi ni mdogo kutoka juu

Kazi ni mdogo kutoka juu
Kisha

saa.

Wacha tubadilishe ukosefu wa usawa wa mwisho:
Kwa sababu, basi.
Kisha
"Ufafanuzi wa mipaka ya upande mmoja wa chaguo za kukokotoa kwenye sehemu ya mwisho").

.

Kazi ni mdogo kutoka juu

Chaguo la kukokotoa sio mdogo kutoka juu
Kazi ni mdogo kutoka juu
1. Hebu kazi isipungue kwa muda.

1.1. Acha nambari b iwe na kikomo:.

Uthibitisho wa nadharia

Wacha tubadilishe ukosefu wa usawa wa mwisho:
1.1.2. Acha kipengele cha kukokotoa kisifungwe hapo juu.
"Ufafanuzi wa mipaka ya upande mmoja wa chaguo za kukokotoa kwenye sehemu ya mwisho").

Hebu tuthibitishe kwamba katika kesi hii kuna kikomo.
.
Hebu tuashiria.
;
Kisha kwa mtu yeyote kuna, hivyo
.

Hii ina maana kwamba kikomo upande wa kushoto katika nukta b ni (ona "Ufafanuzi wa mipaka isiyo na kikomo ya upande mmoja wa chaguo la kukokotoa kwenye sehemu ya mwisho").
Kazi ni mdogo kutoka juu

b mapema pamoja na infinity
Kazi ni mdogo kutoka juu
1.2.1. Acha kazi ifungwe kutoka juu na nambari M: kwa .

saa.

Wacha tubadilishe ukosefu wa usawa wa mwisho:
Kwa kuwa chaguo la kukokotoa limefungwa hapo juu, kuna upeo wa mwisho
Kulingana na ufafanuzi wa hali ya juu kabisa, masharti yafuatayo yanatimizwa:
"Ufafanuzi wa mipaka ya upande mmoja wa chaguo za kukokotoa kwenye sehemu ya mwisho").

kwa chanya yoyote kuna hoja ambayo kwayo
.

Kwa kuwa kazi haipunguzi, basi wakati.

Kisha saa.
Kazi ni mdogo kutoka juu
Au

Kwa hivyo, tuligundua kuwa kwa mtu yeyote kuna nambari, kwa hivyo

"Ufafanuzi wa mipaka ya upande mmoja kwa infinity").

Zingatia infimum ya mwisho ya seti ya maadili ya chaguo-msingi:
.
Hapa B inaweza kuwa nambari ya mwisho au nukta isiyo na mwisho.
;
Kulingana na ufafanuzi wa kikomo cha chini kabisa, masharti yafuatayo yanatimizwa:
.
kwa mtaa wowote wa point B kuna hoja ambayo

Kulingana na masharti ya nadharia,.
Kazi ni mdogo kutoka juu
Ndiyo maana.
Kazi ni mdogo kutoka juu
Kwa kuwa kazi haina kuongezeka, basi wakati.

Tangu wakati huo
Kazi ni mdogo kutoka juu
Au

Ifuatayo, tunaona kuwa ukosefu wa usawa huamua kitongoji cha kushoto kilichochomwa cha uhakika b.

Kwa hivyo, tuligundua kuwa kwa kitongoji chochote cha uhakika, kuna kitongoji cha kushoto cha uhakika b ambacho

Hii inamaanisha kuwa kikomo upande wa kushoto kwa uhakika b ni:

(tazama ufafanuzi wa jumla wa kikomo cha chaguo za kukokotoa kulingana na Cauchy). -1 Kikomo kwa uhakika a

Sasa tutaonyesha kwamba kuna kikomo katika hatua a na kupata thamani yake.
.
Hebu fikiria kazi.
.

Kwa mujibu wa masharti ya theorem, kazi ni monotonic kwa .
.

Wacha tubadilishe kutofautisha kwa x na - x (au tufanye kibadala na kisha tubadilishe kutofautisha t na x ). Kisha kazi ni monotonic kwa .
(1) .
Kuzidisha ukosefu wa usawa kwa
.
na kubadilisha mpangilio wao tunafikia hitimisho kwamba kazi ni monotonic kwa .
Kazi ni mdogo kutoka juu

Kwa njia sawa ni rahisi kuonyesha kwamba ikiwa haipunguzi, basi haizidi. Kisha, kulingana na kile kilichothibitishwa hapo juu, kuna kikomo
Kazi ni mdogo kutoka juu
Ikiwa haina kuongezeka, haipunguzi. Katika kesi hii, kuna kikomo
Kazi ni mdogo kutoka juu
Sasa inabakia kuonyesha kuwa ikiwa kuna kikomo cha chaguo la kukokotoa kwa , basi kuna kikomo cha kazi katika , na mipaka hii ni sawa:
Kazi ni mdogo kutoka juu

Wacha tuanzishe nukuu:
Wacha tueleze f kwa suala la g:
Wacha tueleze f kwa suala la g:
Wacha tueleze f kwa suala la g:
Kazi ni mdogo kutoka juu

Wacha tuchukue nambari chanya ya kiholela.
Kazi ni mdogo kutoka juu
Wacha kuwe na kitongoji cha epsilon cha uhakika A.
.

Mtaa wa epsilon umefafanuliwa kwa thamani zisizo na kikomo na zisizo na kikomo za A (angalia "Njia ya eneo"). Kwa kuwa kuna kikomo (1), basi, kwa mujibu wa ufafanuzi wa kikomo, kwa yoyote kuna vile vile

Hebu iwe nambari yenye kikomo. Wacha tuonyeshe kitongoji cha kushoto cha uhakika -a kwa kutumia usawa:

Wacha tubadilishe x na -x na tuzingatie kuwa:
Tofauti mbili za mwisho zinafafanua kitongoji cha kulia cha nukta a.

Kisha
Matatizo ya algebraic na vigezo, darasa la 9-11
Mazingira ya programu "1C: Mjenzi wa Hisabati 6.1"

Tutajifunza nini:
1. Kupungua na kuongeza utendaji.
2. Uhusiano kati ya derivative na monotonicity ya kazi.
3. Nadharia mbili muhimu juu ya monotonicity.
4. Mifano.

Jamani, hapo awali tuliangalia kazi nyingi tofauti na kuzipanga. Sasa hebu tuanzishe sheria mpya zinazofanya kazi kwa kazi zote ambazo tumezingatia na tutaendelea kuzingatia.

Kupungua na kuongeza utendaji

Chaguo za kukokotoa ni mawasiliano y= f(x), ambamo kila thamani ya x inahusishwa na thamani moja ya y.

Wacha tuangalie grafu ya kazi fulani:

Grafu yetu inaonyesha: kubwa x, ndogo y. Kwa hivyo hebu tufafanue utendaji unaopungua. Chaguo za kukokotoa huitwa kupungua ikiwa thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.

Ikiwa x2 > x1, basi f(x2) Sasa hebu tuangalie grafu ya chaguo hili la kukokotoa:
Grafu hii inaonyesha kuwa kubwa x, kubwa y. Kwa hivyo hebu tufafanue kazi inayoongezeka. Chaguo za kukokotoa huitwa kuongezeka ikiwa thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.
Ikiwa x2 > x1, basi f(x2 > f(x1) au: kubwa x, kubwa zaidi ni y.

Ikiwa kazi inaongezeka au inapungua kwa muda fulani, basi inasemekana kuwa ni monotonic kwa muda huu.

Uhusiano kati ya derivative na monotonicity ya kazi

Ukiangalia tangent zetu au kuibua kuchora tangent nyingine yoyote, utaona kwamba pembe kati ya tangent na mwelekeo mzuri wa mhimili wa x itakuwa ya papo hapo. Hii inamaanisha kuwa tangent ina chanya mteremko. Mgawo wa pembe ya tangent ni sawa na thamani ya derivative katika abscissa ya hatua ya tangency. Kwa hivyo, thamani ya derivative ni chanya katika sehemu zote kwenye grafu yetu. Kwa chaguo za kukokotoa zinazoongezeka, ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia: f"(x) ≥ 0, kwa nukta yoyote x.

Jamani, sasa hebu tuangalie grafu ya chaguo za kukokotoa zinazopungua na tuunde tanjiti kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa.

Hebu tuangalie tangents na kuibua kuchora tangent nyingine yoyote. Tutagundua kuwa pembe kati ya tanjiti na mwelekeo chanya wa mhimili wa x ni butu, ambayo inamaanisha kuwa tangenti ina mteremko hasi. Kwa hivyo, thamani ya derivative ni hasi katika pointi zote kwenye grafu yetu. Kwa chaguo za kukokotoa zinazopungua, usawa ufuatao unashikilia: f"(x) ≤ 0, kwa nukta yoyote x.

Kwa hivyo, monotonicity ya kazi inategemea ishara ya derivative:

Ikiwa chaguo za kukokotoa huongezeka kwa muda na ina derivative kwenye muda huu, basi derivative hii haitakuwa hasi.

Ikiwa chaguo za kukokotoa hupungua kwa muda na ina derivative kwenye muda huu, basi derivative hii haitakuwa chanya.

Muhimu, ili vipindi ambavyo tunazingatia kazi ni wazi!

Nadharia mbili muhimu juu ya monotonicity

Nadharia ya 1. Ikiwa ukosefu wa usawa f'(x) ≥ 0 unashikilia katika sehemu zote za muda wazi X (na usawa wa kiingilio hadi sifuri haushiki au kushikilia, lakini kwa seti maalum ya pointi), basi kazi y= f(x) huongezeka kwenye muda wa X.

Nadharia ya 2. Ikiwa ukosefu wa usawa f'(x) ≤ 0 unashikilia katika sehemu zote za muda wazi X (na usawa wa kiingilio hadi sifuri haushiki au kushikilia, lakini kwa seti maalum ya pointi), basi kazi y= f(x) hupungua kwa muda wa X.

Nadharia 3. Ikiwa katika sehemu zote za muda wazi X usawa
f’(x)= 0, kisha chaguo za kukokotoa y= f(x) ni thabiti kwenye kipindi hiki.

Mifano ya kusoma chaguo za kukokotoa kwa monotonicity

1) Thibitisha kuwa chaguo la kukokotoa y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 inaongezeka kwenye mstari mzima wa nambari.

Suluhisho: Hebu tutafute derivative ya kazi yetu: y" = 7 6 + 15x 4 + 2. Kwa kuwa shahada katika x ni sawa, kazi ya nguvu inachukua tu maadili mazuri. Kisha y" > 0 kwa x yoyote, ambayo ina maana kwa Theorem 1, utendaji wetu huongezeka kwenye mstari mzima wa nambari.

2) Thibitisha kuwa chaguo la kukokotoa linapungua: y= dhambi(2x) - 3x.

Hebu tutafute derivative ya kazi yetu: y"= 2cos(2x) - 3.
Wacha tusuluhishe ukosefu wa usawa:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Kwa sababu -1 ≤ cos(x) ≤ 1, ambayo ina maana kwamba ukosefu wetu wa usawa umeridhika kwa x yoyote, kisha kwa Theorem 2 chaguo la kukokotoa y= sin(2x) - 3x hupungua.

3) Chunguza monotonicity ya chaguo za kukokotoa: y= x 2 + 3x - 1.

Suluhisho: Hebu tutafute derivative ya kazi yetu: y"= 2x + 3.
Wacha tusuluhishe ukosefu wa usawa:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Kisha kazi yetu inaongezeka kwa x ≥ -3/2, na inapungua kwa x ≤ -3/2.
Jibu: Kwa x ≥ -3/2, kazi huongezeka, kwa x ≤ -3/2, kazi hupungua.

4) Chunguza monotonicity ya kazi: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Suluhisho: Wacha tupate derivative ya kazi yetu: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Wacha tusuluhishe ukosefu wa usawa: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Ukosefu wetu wa usawa ni mkubwa kuliko au sawa na sufuri:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Wacha tusuluhishe ukosefu wa usawa:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Lakini hii haiwezekani, kwa sababu mzizi wa mraba inafafanuliwa tu kwa vielezi vyema, ambayo ina maana chaguo zetu za kukokotoa hazina vipindi vya kupungua.
Jibu: kwa x ≥ 1/3 kazi huongezeka.

Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea

Seti ya nambari X hesabu ulinganifu kuhusiana na sifuri, ikiwa kwa yoyote xЄ X maana - X pia ni ya seti X.

Kazi y = f(XX, hesabu hata X xЄ X, f(X) = f(-X).

U kazi hata grafu ina ulinganifu kuhusu mhimili wa Oy.

Kazi y = f(X), ambayo imefafanuliwa kwenye seti X, hesabu isiyo ya kawaida, ikiwa hali zifuatazo zinakabiliwa: a) kuweka X ulinganifu kuhusu sifuri; b) kwa mtu yeyote xЄ X, f(X) = -f(-X).

Kwa utendaji usio wa kawaida, grafu ina ulinganifu kuhusu asili.

Kazi saa = f(x), xЄ X, kuitwa mara kwa mara juu X, ikiwa kuna nambari T (T ≠ 0) (kipindi kazi) kwamba masharti yafuatayo yanatimizwa:

• X - T Na X + T kutoka kwa wengi X kwa mtu yeyote XЄ X;
• kwa mtu yeyote XЄ X, f(X + T) = f(X - T) = f(X).

Katika kesi T ni kipindi cha chaguo la kukokotoa, kisha nambari yoyote ya fomu mT, Wapi mЄ Z, m≠ 0, hiki pia ni kipindi cha chaguo la kukokotoa. Kipindi kidogo cha chanya cha kazi fulani (ikiwa ipo) inaitwa kipindi chake kikuu.

Katika kesi T ni kipindi kikuu cha kazi, kisha kuunda grafu yake, unaweza kupanga sehemu ya grafu kwenye vipindi vyovyote vya kikoa cha uamuzi wa urefu. T, na kisha ufanye uhamisho sambamba wa sehemu hii ya grafu kwenye mhimili wa O X kwa ± T, ±2 T, ....

Kazi y = f(X), imefungwa chini kwenye seti X A hiyo kwa mtu yeyote XЄ X, A ≤ f(X) Grafu ya chaguo za kukokotoa ambayo imefungwa hapa chini kwenye seti X, iko kabisa juu ya mstari wa moja kwa moja saa = A(hii ni mstari wa mlalo).

Kazi saa = f(x), imepakana kutoka juu kwenye seti X(lazima ifafanuliwe kwenye seti hii), ikiwa kuna nambari KATIKA hiyo kwa mtu yeyote XЄ X, f(X) ≤ KATIKA. Grafu ya kazi ambayo imefungwa kutoka juu juu ya kuweka X iko kabisa chini ya mstari saa = KATIKA(hii ni mstari wa mlalo).

Kazi inazingatiwa mdogo kwenye seti X(lazima ifafanuliwe kwenye seti hii) ikiwa imefungwa kwenye seti hii kutoka juu na chini, i.e. kuna nambari kama hizo. A Na KATIKA hiyo kwa mtu yeyote XЄ X ukosefu wa usawa umeridhika A ≤ f(x) ≤ B. Grafu ya chaguo za kukokotoa ambazo zimefungwa kwenye seti X, iko kabisa kati ya mistari ya moja kwa moja saa = A Na saa = KATIKA(hizi ni mistari mlalo).

Kazi saa = f (X), inachukuliwa kuwa imefungwa kwenye seti X(lazima ifafanuliwe kwenye seti hii), ikiwa kuna nambari NA> 0, ambayo kwa yoyote xЄ X, │f(X)│≤ NA.

Kazi saa = f(X), XЄ X, kuitwa kuongezeka (kutopungua) kwenye kitengo kidogo M NA X wakati kwa kila mtu X 1 na X 2 ya M vile vile X 1 < X 2, haki f(X 1) < f(X 2) (f(X 1) ≤ f(X 2)). Au kazi y inaitwa kuongezeka kwenye seti KWA, ikiwa thamani kubwa ya hoja kutoka kwa seti hii inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.

Kazi saa = f(X), XЄX, inaitwa kupungua (kutoongezeka) kwenye kitengo kidogo M NA X wakati kwa kila mtu X 1 na X 2 ya M vile vile X 1 < X 2, haki f(X 1) > f(X 2) (f(X 1) ≥ f(X 2)). Au kazi saa inaitwa kupungua kwa seti KWA, ikiwa thamani kubwa ya hoja kutoka kwa seti hii inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.

Kazi saa = f(x), XЄ X, kuitwa monotonous kwenye kitengo kidogo M NA X, ikiwa inapungua (haiongezeki) au inaongezeka (isiyopungua) kwa M.

Ikiwa kazi saa = f(X), XЄ X, inapungua au inaongezeka kwenye kitengo kidogo M NA X, basi kazi kama hiyo inaitwa madhubuti monotonous kwenye seti M.

Nambari M kuitwa thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa y kwenye seti KWA, ikiwa nambari hii ni thamani ya chaguo za kukokotoa katika thamani fulani ya x 0 hoja kutoka kwa setiKWA, na kwa maadili mengine ya hoja kutoka kwa seti K thamani ya chaguo la kukokotoa y si kubwa kuliko nambari.M.

Nambari m kuitwa thamani ya chini kazi y kwenye seti KWA, ikiwa nambari hii ni thamani ya chaguo za kukokotoa kwa thamani fulani X Hoja 0 kutoka kwa seti KWA, na kwa maadili mengine ya hoja x kutoka kwa seti KWA thamani ya chaguo za kukokotoa y si chini ya nambari m.

Sifa za kimsingi za kitendakazi , ambayo ni bora kuanza kusoma na utafiti wake, hii ndio eneo la ufafanuzi na umuhimu wake. Unapaswa kukumbuka jinsi grafu za kazi za kimsingi zinaonyeshwa. Ni hapo tu ndipo unaweza kuendelea na kuunda grafu ngumu zaidi. Mada "Kazi" ina matumizi mengi katika uchumi na nyanja zingine za maarifa. Kazi zinasomwa katika kozi nzima ya hisabati na zinaendelea kusomwa taasisi za elimu ya juu . Huko, kazi zinasomwa kwa kutumia derivatives ya kwanza na ya pili.