Jinsi ya kutatua logarithm na besi sawa. Jinsi ya kutumia fomula za logarithm: na mifano na suluhisho

1.1. Kubainisha kipeo kwa kipeo kamili

1.2. Shahada ya sifuri.

1.3. Shahada mbaya.

1.4. Nguvu ya sehemu, mizizi.

Kwa mfano: X 1/2 = √X.

1.5. Mfumo wa kuongeza nguvu.

1.6.Mfumo wa kutoa mamlaka.

1.7. Mfumo wa nguvu za kuzidisha.

1.8. Mfumo wa kuongeza sehemu hadi nguvu.

2. Nambari e.

E = lim(1+1/N), kama N → ∞.

Kwa usahihi wa tarakimu 17, nambari e ni 2.71828182845904512.

3. Usawa wa Euler.

E (i*pi) + 1 = 0

4. Utendakazi wa kipeo exp(x)

5. Inayotokana na utendaji wa kielelezo

(exp(x))" = exp(x)

6. Logarithm.

6.1. Ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa la logariti

Y = Ingia b(x).

Logarithmu inaonyesha ni kwa nguvu gani nambari inapaswa kuinuliwa - msingi wa logariti (b) ili kupata nambari fulani (X). Chaguo za kukokotoa za logariti hufafanuliwa kwa X kubwa kuliko sifuri.

Kwa mfano: Nambari 10 (100) = 2.

6.2. Logariti ya decimal

Y = Log 10 (x) .

Imebainishwa na Ingia(x): Ingia(x) = Ingia 10 (x).

Mfano wa matumizi logarithm ya desimali- decibel.

6.3. Decibel

6.4. Logarithm ya binary

Y = Logi 2 (x).

Inaonyeshwa na Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. Logarithm ya asili

Y = Ingia e (x) .

Imeonyeshwa na Ln(x): Ln(x) = Logi e (X)
Logarithm ya asili - utendaji wa kinyume kwa chaguo za kukokotoa za exp(X).

6.6. Pointi za tabia

6.7. Fomula ya logarithm ya bidhaa

6.8. Mfumo wa logarithm ya mgawo

6.9. Logarithm ya fomula ya nguvu

6.10. Mfumo wa kubadilisha hadi logariti yenye msingi tofauti

Mfano:

Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Mifumo muhimu katika maisha

Mara nyingi kuna matatizo ya kubadilisha kiasi katika eneo au urefu na tatizo inverse - kubadilisha eneo katika kiasi. Kwa mfano, bodi zinauzwa kwa cubes (mita za ujazo), na tunahitaji kuhesabu ni kiasi gani eneo la ukuta linaweza kufunikwa na bodi zilizomo kwa kiasi fulani, angalia hesabu ya bodi, ni bodi ngapi kwenye mchemraba. Au, ikiwa vipimo vya ukuta vinajulikana, unahitaji kuhesabu idadi ya matofali, angalia hesabu ya matofali.

Inaruhusiwa kutumia nyenzo za tovuti mradi kiungo kinachotumika kwa chanzo kimesakinishwa.

Kwa uwiano

kazi ya kutafuta nambari yoyote kati ya hizo tatu kutoka kwa hizo mbili zilizopewa inaweza kuwekwa. Ikiwa a na kisha N zinatolewa, zinapatikana kwa ufafanuzi. Ikiwa N na kisha a hutolewa kwa kuchukua mzizi wa digrii x (au kuinua kwa nguvu). Sasa fikiria kesi wakati, ukipewa a na N, tunahitaji kupata x.

Acha nambari N iwe chanya: nambari a iwe chanya na isiwe sawa na moja: .

Ufafanuzi. Logariti ya nambari N hadi msingi a ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata nambari N; logarithm inaonyeshwa na

Kwa hivyo, katika usawa (26.1) kipeo kinapatikana kama logariti ya N hadi msingi a. Machapisho

kuwa na maana sawa. Usawa (26.1) wakati mwingine huitwa utambulisho mkuu wa nadharia ya logariti; kwa uhalisia inaeleza ufafanuzi wa dhana ya logariti. Na ufafanuzi huu Msingi wa logarithm a daima ni chanya na tofauti na umoja; nambari ya logarithmic N ni chanya. Nambari hasi na sifuri hazina logariti. Inaweza kuthibitishwa kuwa nambari yoyote iliyo na msingi fulani ina logarithm iliyofafanuliwa vizuri. Kwa hivyo usawa unajumuisha. Kumbuka kwamba hali ni muhimu hapa; vinginevyo, hitimisho halitahesabiwa haki, kwani usawa ni kweli kwa maadili yoyote ya x na y.

Mfano 1. Tafuta

Suluhisho. Ili kupata nambari, lazima uinue msingi 2 kwa nguvu Kwa hivyo.

Unaweza kuandika maelezo wakati wa kutatua mifano kama hii katika fomu ifuatayo:

Mfano 2. Tafuta .

Suluhisho. Tumepata

Katika mifano ya 1 na 2, tulipata logariti tunayotaka kwa urahisi kwa kuwakilisha nambari ya logariti kama nguvu ya msingi yenye kipeo mantiki. Katika hali ya jumla, kwa mfano, kwa nk, hii haiwezi kufanywa, kwani logarithm ina thamani isiyo na maana. Hebu tuzingatie suala moja linalohusiana na kauli hii. Katika aya ya 12, tulitoa dhana ya uwezekano wa kuamua nguvu yoyote halisi ya nambari fulani chanya. Hii ilikuwa muhimu kwa kuanzishwa kwa logarithms, ambayo, kwa ujumla, inaweza kuwa nambari zisizo na maana.

Wacha tuangalie sifa zingine za logarithm.

Mali 1. Ikiwa nambari na msingi ni sawa, basi logarithm ni sawa na moja, na, kinyume chake, ikiwa logarithm ni sawa na moja, basi nambari na msingi ni sawa.

Ushahidi. Hebu Kwa ufafanuzi wa logarithm tunayo na wapi

Kinyume chake, basi basi kwa ufafanuzi

Mali 2. Logariti ya moja hadi msingi wowote ni sawa na sifuri.

Ushahidi. Kwa ufafanuzi wa logarithm (nguvu ya sifuri ya msingi wowote mzuri ni sawa na moja, ona (10.1)). Kutoka hapa

Q.E.D.

Taarifa ya mazungumzo pia ni kweli: ikiwa , basi N = 1. Hakika, tunayo.

Kabla ya kuunda sifa inayofuata ya logariti, tukubaliane kusema kwamba nambari mbili a na b ziko upande uleule wa nambari ya tatu c ikiwa zote ni kubwa kuliko c au chini ya c. Ikiwa moja ya nambari hizi ni kubwa kuliko c, na nyingine ni chini ya c, basi tutasema kwamba wanalala pamoja pande tofauti kutoka kijijini

Mali 3. Ikiwa nambari na msingi ziko upande mmoja wa moja, basi logarithm ni chanya; Ikiwa nambari na msingi ziko pande tofauti za moja, basi logarithm ni hasi.

Uthibitisho wa mali 3 unatokana na ukweli kwamba nguvu ya a ni kubwa kuliko moja ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja na kipeo ni chanya au msingi ni chini ya moja na kielelezo ni hasi. Nguvu ni chini ya moja ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja na kipeo ni hasi au msingi ni chini ya moja na kipeo ni chanya.

Kuna kesi nne za kuzingatia:

Tutajiwekea kikomo kwa kuchambua ya kwanza kati yao; msomaji atazingatia mengine peke yake.

Hebu basi kwa usawa kielelezo hawezi kuwa hasi wala sawa na sifuri, kwa hiyo, ni chanya, yaani, inavyotakiwa kuthibitishwa.

Mfano 3. Jua ni ipi kati ya logariti zilizo hapa chini ni chanya na zipi ni hasi:

Suluhisho, a) kwa kuwa nambari 15 na msingi 12 ziko upande mmoja wa moja;

b) tangu 1000 na 2 ziko upande mmoja wa kitengo; katika kesi hii, sio muhimu kwamba msingi ni mkubwa kuliko nambari ya logarithmic;

c) tangu 3.1 na 0.8 hulala pande tofauti za umoja;

G); Kwa nini?

d); Kwa nini?

Sifa zifuatazo 4-6 mara nyingi huitwa sheria za logarithmation: huruhusu, kwa kujua logarithms za nambari fulani, kupata logarithms ya bidhaa zao, quotient, na nguvu ya kila mmoja wao.

Mali 4 (kanuni ya logarithm ya bidhaa). Logarithm ya bidhaa ya nambari kadhaa chanya kwa msingi huu sawa na jumla logariti za nambari hizi kwa msingi sawa.

Ushahidi. Acha nambari ulizopewa ziwe chanya.

Kwa logariti ya bidhaa zao, tunaandika usawa (26.1) ambayo inafafanua logariti:

Kutoka hapa tutapata

Kwa kulinganisha vielelezo vya usemi wa kwanza na wa mwisho, tunapata usawa unaohitajika:

Kumbuka kwamba hali ni muhimu; logarithm ya bidhaa mbili nambari hasi ina maana, lakini katika kesi hii tunapata

Kwa ujumla, ikiwa bidhaa ya mambo kadhaa ni chanya, basi logarithm yake ni sawa na jumla ya logarithms ya maadili kamili ya mambo haya.

Mali 5 (kanuni ya kuchukua logarithms ya quotients). Logariti ya mgawo wa nambari chanya ni sawa na tofauti kati ya logariti za gawio na kigawanyiko, zilizochukuliwa kwa msingi sawa. Ushahidi. Tunapata mara kwa mara

Q.E.D.

Mali 6 (sheria ya logarithm ya nguvu). Logariti ya nguvu ya nambari yoyote chanya ni sawa na logariti ya nambari hiyo inayozidishwa na kipeo.

Ushahidi. Wacha tuandike tena kitambulisho kikuu (26.1) cha nambari:

Q.E.D.

Matokeo. Logariti ya mzizi wa nambari chanya ni sawa na logariti ya radical iliyogawanywa na kipeo cha mzizi:

Uhalali wa mfululizo huu unaweza kuthibitishwa kwa kuwazia jinsi na kutumia kipengele 6.

Mfano 4. Chukua logariti kuweka msingi wa:

a) (inadhaniwa kuwa maadili yote b, c, d, e ni chanya);

b) (inadhaniwa kuwa).

Suluhisho, a) Ni rahisi kwenda kwa nguvu za sehemu katika usemi huu:

Kulingana na usawa (26.5)-(26.7), sasa tunaweza kuandika:

Tunaona kuwa shughuli rahisi zaidi zinafanywa kwa logarithms ya nambari kuliko nambari zenyewe: wakati wa kuzidisha nambari, logarithms zao huongezwa, wakati wa kugawanya, hutolewa, nk.

Ndiyo maana logariti hutumika katika mazoezi ya kompyuta (tazama aya ya 29).

Kitendo cha kinyume cha logarithm kinaitwa potentiation, yaani: potentiation ni kitendo ambacho nambari yenyewe hupatikana kutoka kwa logarithm fulani ya nambari. Kimsingi, uwezekano sio hatua yoyote maalum: inakuja kwa kuinua msingi kwa nguvu (sawa na logarithm ya nambari). Neno "uwezo" linaweza kuchukuliwa kuwa sawa na neno "ufafanuzi".

Wakati wa uwezekano, mtu lazima atumie sheria kinyume na sheria za logarithmation: badala ya jumla ya logarithms na logarithm ya bidhaa, tofauti ya logarithms na logarithm ya quotient, nk Hasa, ikiwa kuna sababu mbele. ya ishara ya logarithm, basi wakati wa potentiation lazima ihamishwe kwa digrii za kielelezo chini ya ishara ya logarithm.

Mfano 5. Tafuta N ikiwa inajulikana hivyo

Suluhisho. Kuhusiana na kanuni iliyoelezwa tu ya uwezekano, tutahamisha vipengele 2/3 na 1/3 vilivyosimama mbele ya ishara za logarithmu upande wa kulia wa usawa huu kuwa vielelezo chini ya ishara za logarithms hizi; tunapata

Sasa tunabadilisha tofauti ya logarithm na logarithm ya quotient:

ili kupata sehemu ya mwisho katika mlolongo huu wa usawa, tuliachilia sehemu iliyotangulia kutoka kwa kutokuwa na akili katika dhehebu (kifungu cha 25).

Mali 7. Ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja, basi idadi kubwa zaidi ina logarithm kubwa (na nambari ndogo ina ndogo), ikiwa msingi ni chini ya moja, basi nambari kubwa ina logarithm ndogo (na nambari ndogo ina kubwa zaidi).

Mali hii pia imeundwa kama sheria ya kuchukua logarithms ya usawa, pande zote mbili ambazo ni chanya:

Wakati wa kuweka usawa wa logarith kwa msingi mkubwa zaidi ya moja, ishara ya usawa huhifadhiwa, na wakati wa kuweka logarith kwa msingi chini ya moja, ishara ya ukosefu wa usawa inabadilika kuwa kinyume (tazama pia aya ya 80).

Uthibitisho unategemea sifa 5 na 3. Zingatia kesi wakati Ikiwa, basi na, kwa kuchukua logarithm, tunapata.

(a na N/M wanalala upande mmoja wa umoja). Kutoka hapa

Kisa kifuatacho, msomaji atajitambua mwenyewe.

mali kuu.

1. logax + logay = logi(x y);
2. logi − logi = logi (x: y).

misingi inayofanana

Log6 4 + log6 9.

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo.

Mifano ya kutatua logarithms

Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha shahada hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Kwa kweli, sheria hizi zote zina mantiki ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x >

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Mpito kwa msingi mpya

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Tazama pia:

Tabia za kimsingi za logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy.

Mali ya msingi ya logarithms

Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Mifano ya logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

2.

3.

4. Wapi .

Mfano 2. Tafuta x kama

Mfano 3. Hebu thamani ya logarithms itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithm sio sawa nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo zinaitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao, hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithm mbili na kwa misingi hiyo hiyo: logax na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

1. logax + logay = logi(x y);
2. logi − logi = logi (x: y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: hatua muhimu Hapa - misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Wengi wamejengwa juu ya ukweli huu vipimo. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Ni rahisi kutambua hilo kanuni ya mwisho hufuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho ufafanuzi unahitajika. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu.

Fomula za Logarithm. Logarithms mifano ya ufumbuzi.

Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithms, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na besi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".

1. loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logarithm kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
2. logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Tazama pia:

Logariti ya b kuweka msingi a inaashiria usemi. Kukokotoa logariti inamaanisha kupata nguvu x () ambapo usawa unaridhika

Tabia za kimsingi za logarithm

Inahitajika kujua mali hapo juu, kwani karibu shida zote na mifano zinazohusiana na logarithms zinatatuliwa kwa msingi wao. Pumzika mali ya kigeni inaweza kupatikana kwa upotoshaji wa kihesabu wa fomula hizi

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wakati wa kuhesabu fomula ya jumla na tofauti ya logarithm (3.4) unakutana mara nyingi. Zingine ni ngumu kiasi fulani, lakini katika idadi ya kazi zinahitajika sana kwa kurahisisha misemo changamano na kukokotoa thamani zake.

Kesi za kawaida za logarithms

Baadhi ya logariti za kawaida ni zile ambazo msingi ni sawa na kumi, kielelezo au mbili.
Logariti hadi msingi kumi kwa kawaida huitwa logariti ya desimali na inaashiriwa kwa urahisi na lg(x).

Ni wazi kutokana na kurekodi kwamba mambo ya msingi hayajaandikwa kwenye rekodi. Kwa mfano

Logariti asilia ni logariti ambayo msingi wake ni kielelezo (kilichoonyeshwa na ln(x)).

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy. Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Na logarithm nyingine muhimu kwa msingi wa mbili inaonyeshwa na

Nyingine ya logariti ya chaguo za kukokotoa ni sawa na ile iliyogawanywa na kutofautisha

Logarithm muhimu au kizuia derivative imedhamiriwa na uhusiano

Nyenzo uliyopewa inatosha kwako kutatua darasa pana la shida zinazohusiana na logarithms na logarithms. Ili kukusaidia kuelewa nyenzo, nitatoa mifano michache tu ya kawaida kutoka kwa mtaala wa shule na vyuo vikuu.

Mifano ya logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

2.
Kwa mali ya tofauti ya logarithm tunayo

3.
Kwa kutumia mali 3.5 tunapata

4. Wapi .

Kwa mwonekano usemi changamano kutumia idadi ya sheria ni rahisi kuunda

Kupata thamani za logarithm

Mfano 2. Tafuta x kama

Suluhisho. Kwa hesabu tunaomba hadi muhula uliopita 5 na 13 mali

Tunaiweka kwenye rekodi na kuomboleza

Kwa kuwa misingi ni sawa, tunalinganisha misemo

Logarithms. Kiwango cha kuingia.

Acha thamani ya logariti itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Suluhisho: Wacha tuchukue logariti ya kutofautisha ili kuandika logariti kupitia jumla ya masharti yake.

Huu ni mwanzo tu wa kufahamiana kwetu na logarithms na mali zao. Fanya mazoezi ya kuhesabu, boresha ujuzi wako wa vitendo - hivi karibuni utahitaji maarifa unayopata ili kutatua milinganyo ya logarithmic. Baada ya kusoma njia za kimsingi za kutatua hesabu kama hizo, tutapanua maarifa yako kwa mada nyingine muhimu - usawa wa logarithmic ...

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - bila yao, hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

1. logax + logay = logi(x y);
2. logi − logi = logi (x: y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kazi. Pata thamani ya usemi: log6 4 + log6 9.

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha shahada hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe.

Jinsi ya kutatua logarithm

Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithms, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na besi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".

1. loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logarithm kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
2. logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma ombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani barua pepe nk.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikibidi - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, mashauri ya kisheria, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kwamba ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

\(a^(b)=c\) \(\Mshale wa kushoto\) \(\logi_(a)(c)=b\)

Hebu tueleze kwa urahisi zaidi. Kwa mfano, \(\logi_(2)(8)\) sawa na nguvu, ambayo \(2\) lazima ipandishwe ili kupata \(8\). Kutokana na hili ni wazi kuwa \(\log_(2)(8)=3\).

Hoja na msingi wa logarithm

Logarithm yoyote ina "anatomia" ifuatayo:

Hoja ya logariti kwa kawaida huandikwa kwa kiwango chake, na msingi huandikwa kwa hati karibu na ishara ya logariti. Na ingizo hili linasomeka hivi: "logariti ya ishirini na tano hadi tano."

Jinsi ya kuhesabu logarithm?

Ili kuhesabu logarithm, unahitaji kujibu swali: kwa nguvu gani msingi unapaswa kuinuliwa ili kupata hoja?

Kwa mfano, hesabu logariti: a) \(\logi_(4)(16)\) b) \(\logi_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Ni kwa mamlaka gani lazima \(4\) inyanyuliwe ili kupata \(16\)? Ni wazi ya pili. Ndiyo maana:

\(\logi_(4)(16)=2\)

\(\logi_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Ni kwa nguvu gani \(\sqrt(5)\) inapaswa kuinuliwa ili kupata \(1\)? Ni nguvu gani hufanya nambari yoyote ya kwanza? Sifuri, bila shaka!

\(\logi_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Ni kwa nguvu gani \(\sqrt(7)\) inapaswa kuinuliwa ili kupata \(\sqrt(7)\)? Kwanza, nambari yoyote kwa nguvu ya kwanza ni sawa na yenyewe.

\(\logi_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Ni kwa uwezo gani \(3\) lazima inyanyuliwe ili kupata \(\sqrt(3)\)? Kutoka tunajua hiyo ni nguvu ya sehemu, ambayo inamaanisha mizizi ya mraba ni nguvu ya \(\frac(1)(2)\) .

\(\logi_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Mfano : Kokotoa logariti \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Suluhisho :

Jibu : \(\logi_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Kwa nini logarithm ilivumbuliwa?

Ili kuelewa hili, hebu tusuluhishe mlinganyo: \(3^(x)=9\). Linganisha tu \(x\) ili kufanya usawa ufanye kazi. Bila shaka, \(x=2\).

Sasa suluhisha mlingano: \(3^(x)=8\).x ni sawa na nini? Hiyo ndiyo hatua.

Wenye akili zaidi watasema: "X ni chini kidogo ya mbili." Jinsi ya kuandika nambari hii kwa usahihi? Ili kujibu swali hili, logarithm iligunduliwa. Shukrani kwake, jibu hapa linaweza kuandikwa kama \(x=\log_(3)(8)\).

Ninataka kusisitiza kwamba \(\log_(3)(8)\), kama logarithm yoyote ni nambari tu. Ndiyo, inaonekana isiyo ya kawaida, lakini ni fupi. Kwa sababu ikiwa tunataka kuiandika kwa fomu desimali, basi ingeonekana kama hii: \(1.892789260714.....\)

Mfano : Tatua mlingano \(4^(5x-4)=10\)

Suluhisho :

Jibu : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logariti za decimal na asili

Kama ilivyoelezwa katika ufafanuzi wa logariti, msingi wake unaweza kuwa nambari yoyote chanya isipokuwa moja \((a>0, a\neq1)\). Na kati ya besi zote zinazowezekana, kuna mbili ambazo hutokea mara nyingi sana kwamba nukuu fupi maalum iligunduliwa kwa logarithms nao:

Logariti asilia: logariti ambayo msingi wake ni nambari ya Euler \(e\) (sawa na takriban \(2.7182818…\)), na logariti imeandikwa kama \(\ln(a)\).

Yaani \(\ln(a)\) ni sawa na \(\logi_(e)(a)\)

Logarithmu ya Desimali: Logariti ambayo msingi wake ni 10 umeandikwa \(\lg(a)\).

Yaani \(\lg(a)\) ni sawa na \(\logi_(10)(a)\), ambapo \(a\) ni nambari fulani.

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Logarithms ina sifa nyingi. Mmoja wao anaitwa "Kitambulisho cha Msingi cha Logarithmic" na inaonekana kama hii:

Mali hii inafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi. Wacha tuone jinsi fomula hii ilitokea.

Wacha tukumbuke nukuu fupi ya ufafanuzi wa logarithm:

ikiwa \(a^(b)=c\), basi \(\logi_(a)(c)=b\)

Yaani \(b\) ni sawa na \(\logi_(a)(c)\). Kisha tunaweza kuandika \(\log_(a)(c)\) badala ya \(b\) katika fomula \(a^(b)=c\). Ilibadilika \(a^(\log_(a)(c))=c\) - kitambulisho kikuu cha logarithmic.

Unaweza kupata sifa zingine za logarithms. Kwa msaada wao, unaweza kurahisisha na kuhesabu maadili ya misemo na logarithms, ambayo ni ngumu kuhesabu moja kwa moja.

Mfano : Tafuta thamani ya usemi \(36^(\log_(6)(5))\)

Suluhisho :

Jibu : \(25\)

Jinsi ya kuandika nambari kama logarithm?

Kama ilivyoelezwa hapo juu, logarithm yoyote ni nambari tu. Mazungumzo pia ni kweli: nambari yoyote inaweza kuandikwa kama logarithm. Kwa mfano, tunajua kwamba \(\log_(2)(4)\) ni sawa na mbili. Kisha unaweza kuandika \(\log_(2)(4)\) badala ya mbili.

Lakini \(\log_(3)(9)\) pia ni sawa na \(2\), ambayo inamaanisha tunaweza pia kuandika \(2=\log_(3)(9)\) . Vivyo hivyo na \(\logi_(5)(25)\), na \(\log_(9)(81)\), nk. Hiyo ni, inageuka

\(2=\logi_(2)(4)=\logi_(3)(9)=\logi_(4)(16)=\logi_(5)(25)=\logi_(6)(36)=\ kumbukumbu_(7)(49)...\)

Kwa hivyo, ikiwa tunahitaji, tunaweza kuandika mbili kama logariti na msingi wowote mahali popote (hata katika equation, hata katika usemi, hata katika usawa) - tunaandika msingi wa mraba kama hoja.

Ni sawa na mara tatu - inaweza kuandikwa kama \(\logi_(2)(8)\), au kama \(\log_(3)(27)\), au kama \(\logi_(4)( 64) \)... Hapa tunaandika msingi katika mchemraba kama hoja:

\(3=\logi_(2)(8)=\logi_(3)(27)=\logi_(4)(64)=\logi_(5)(125)=\logi_(6)(216)=\ kumbukumbu_(7)(343)...\)

Na nne:

\(4=\logi_(2)(16)=\logi_(3)(81)=\logi_(4)(256)=\logi_(5)(625)=\logi_(6)(1296)=\ kumbukumbu_(7)(2401)...\)

Na minus moja:

\(-1=\) \(\logi_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\logi_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\logi_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\logi_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\logi_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\logi_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Na theluthi moja:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\logi_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Nambari yoyote \(a\) inaweza kuwakilishwa kama logariti yenye msingi \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Mfano : Tafuta maana ya usemi \(\frac(\logi_(2)(14))(1+\logi_(2)(7))\)

Suluhisho :

Jibu : \(1\)