Milinganyo ya mstari. Suluhisho, mifano.
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Milinganyo ya mstari.
Milinganyo ya mstari- sio mada ngumu zaidi katika hisabati ya shule. Lakini kuna hila zingine ambazo zinaweza kumshangaza hata mwanafunzi aliyefunzwa. Wacha tufikirie?)
Kwa kawaida equation ya mstari hufafanuliwa kama equation ya fomu:
shoka + b = 0 Wapi a na b- nambari yoyote.
2x + 7 = 0. Hapa a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 Hapa a=0.1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Hapa a=12, b=1/2
Hakuna ngumu, sawa? Hasa ikiwa hauoni maneno haya: "Ambapo a na b ziko nambari yoyote"... Na ikiwa unaona na bila kujali kufikiri juu yake?) Baada ya yote, ikiwa a=0, b=0(nambari zozote zinawezekana?), kisha tunapata usemi wa kuchekesha:
Lakini si hivyo tu! Ikiwa, sema, a=0, A b=5, Hii inageuka kuwa kitu kisicho cha kawaida kabisa:
Ambayo inaudhi na inadhoofisha ujasiri katika hisabati, ndio ...) Hasa wakati wa mitihani. Lakini kati ya misemo hii ya kushangaza unahitaji pia kupata X! Ambayo haipo kabisa. Na, cha kushangaza, hii X ni rahisi sana kupata. Tutajifunza kufanya hivi. Katika somo hili.
Jinsi ya kutambua equation ya mstari kwa kuonekana kwake? Inategemea nini mwonekano Ujanja ni kwamba milinganyo ya mstari sio tu milinganyo ya fomu shoka + b = 0 , lakini pia milinganyo yoyote ambayo inaweza kupunguzwa kwa fomu hii kwa mabadiliko na kurahisisha. Na ni nani anayejua ikiwa inashuka au la?)
Mlinganyo wa mstari unaweza kutambuliwa wazi katika baadhi ya matukio. Wacha tuseme, ikiwa tunayo equation ambayo kuna haijulikani tu kwa kiwango cha kwanza na nambari. Na katika equation hakuna sehemu zilizogawanywa na haijulikani , hii ni muhimu! Na mgawanyiko kwa nambari, au sehemu ya nambari - hiyo inakaribishwa! Kwa mfano:
Huu ni mlinganyo wa mstari. Kuna sehemu hapa, lakini hakuna x katika mraba, mchemraba, n.k., na hakuna x katika madhehebu, i.e. Hapana mgawanyiko kwa x. Na hapa ni equation
haiwezi kuitwa mstari. Hapa X zote ziko kwenye digrii ya kwanza, lakini zipo mgawanyiko kwa kujieleza na x. Baada ya kurahisisha na mabadiliko, unaweza kupata equation ya mstari, equation ya quadratic, au chochote unachopenda.
Inabadilika kuwa haiwezekani kutambua equation ya mstari katika mfano fulani ngumu hadi karibu uitatue. Hii inasikitisha. Lakini katika mgawo, kama sheria, hawaulizi juu ya fomu ya equation, sivyo? Kazi zinauliza milinganyo kuamua. Hii inanifurahisha.)
Kutatua milinganyo ya mstari. Mifano.
Suluhisho zima la milinganyo ya mstari lina mabadiliko sawa ya milinganyo. Kwa njia, mabadiliko haya (wawili wao!) ndio msingi wa suluhisho milinganyo yote ya hisabati. Kwa maneno mengine, suluhisho yoyote equation huanza na mabadiliko haya. Kwa upande wa equations za mstari, ni (suluhisho) ni msingi wa mabadiliko haya na huisha na jibu kamili. Inaleta maana kufuata kiunga, sivyo?) Zaidi ya hayo, kuna mifano pia ya kutatua milinganyo ya mstari hapo.
Kwanza, acheni tuangalie mfano rahisi zaidi. Bila mitego yoyote. Tuseme tunahitaji kutatua equation hii.
x - 3 = 2 - 4x
Huu ni mlinganyo wa mstari. X zote ziko kwenye nguvu ya kwanza, hakuna mgawanyiko wa X. Lakini, kwa kweli, haijalishi kwetu ni aina gani ya equation. Tunahitaji kulitatua. Mpango hapa ni rahisi. Kusanya kila kitu na X upande wa kushoto wa equation, kila kitu bila X (nambari) upande wa kulia.
Ili kufanya hivyo unahitaji kuhamisha - 4x ndani upande wa kushoto, na mabadiliko ya ishara, bila shaka, na - 3 - kulia. Kwa njia, hii ni mabadiliko ya kwanza ya kufanana ya milinganyo. Umeshangaa? Hii ina maana kwamba haukufuata kiungo, lakini bure ...) Tunapata:
x + 4x = 2 + 3
Hapa kuna zinazofanana, tunazingatia:
Tunahitaji nini kwa furaha kamili? Ndio, ili kuwe na X safi upande wa kushoto! Tano iko njiani. Kuwaondoa watano kwa usaidizi mabadiliko ya pili ya kufanana ya milinganyo. Yaani, tunagawanya pande zote mbili za equation na 5. Tunapata jibu tayari:
Mfano wa kimsingi, bila shaka. Hii ni kwa ajili ya kuongeza joto.) Sio wazi kwa nini nilikumbuka mabadiliko sawa hapa? Sawa. Hebu tuchukue ng'ombe kwa pembe.) Hebu tuamue kitu kilicho imara zaidi.
Kwa mfano, hapa kuna equation:
Tunaanzia wapi? Na X - kushoto, bila X - kulia? Hilo linawezekana. Hatua ndogo kando ya barabara ndefu. Au unaweza mara moja, kwa wote na kwa njia ya nguvu. Ikiwa, kwa kweli, una mabadiliko sawa ya equations kwenye safu yako ya ushambuliaji.
Ninakuuliza swali kuu: Ni nini hupendi zaidi kuhusu mlingano huu?
Watu 95 kati ya 100 watajibu: sehemu ! Jibu ni sahihi. Basi tuachane nazo. Kwa hiyo, tunaanza mara moja na mabadiliko ya kitambulisho cha pili. Unahitaji nini kuzidisha sehemu upande wa kushoto ili denominator ipunguzwe kabisa? Hiyo ni kweli, saa 3. Na juu ya haki? Kwa 4. Lakini hisabati inaturuhusu kuzidisha pande zote mbili idadi sawa. Tunawezaje kutoka? Hebu tuzidishe pande zote mbili kwa 12! Wale. kwa dhehebu la kawaida. Kisha zote tatu na nne zitapunguzwa. Usisahau kwamba unahitaji kuzidisha kila sehemu kabisa. Hivi ndivyo hatua ya kwanza inavyoonekana:
Kupanua mabano:
Makini! Nambari (x+2) Niliiweka kwenye mabano! Hii ni kwa sababu wakati wa kuzidisha sehemu, nambari nzima inazidishwa! Sasa unaweza kupunguza sehemu:
Panua mabano yaliyobaki:
Sio mfano, lakini furaha safi!) Sasa hebu tukumbuke spell kutoka shule ya msingi: na X - kushoto, bila X - kulia! Na utumie mabadiliko haya:
Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:
Na ugawanye sehemu zote mbili na 25, i.e. tumia mabadiliko ya pili tena:
Ni hayo tu. Jibu: X=0,16
Zingatia: kuleta mlingano asilia unaochanganya kwa mtazamo wa kupendeza, tulitumia mbili (mbili tu!) mabadiliko ya utambulisho- tafsiri kushoto-kulia na mabadiliko ya ishara na kuzidisha mgawanyiko wa equation kwa nambari sawa. Hii ni njia ya ulimwengu wote! Tutafanya kazi kwa njia hii na yoyote milinganyo! Mtu yeyote kabisa. Ndio maana ninaendelea kurudia juu ya mabadiliko haya sawa kwa kuchosha.)
Kama unaweza kuona, kanuni ya kutatua equations za mstari ni rahisi. Tunachukua equation na kurahisisha nayo mabadiliko ya utambulisho kabla ya kupokea jibu. Shida kuu hapa ziko kwenye mahesabu, sio katika kanuni ya suluhisho.
Lakini... Kuna mshangao kama huo katika mchakato wa kutatua milinganyo ya msingi zaidi ya mstari ambayo inaweza kukuingiza kwenye usingizi mkali...) Kwa bahati nzuri, kunaweza kuwa na mshangao mbili tu. Wacha tuwaite kesi maalum.
Kesi maalum katika kutatua milinganyo ya mstari.
Mshangao wa kwanza.
Tuseme utapata equation ya msingi sana, kitu kama:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Kuchoshwa kidogo, tunasonga na X kwenda kushoto, bila X - kulia ... Kwa mabadiliko ya ishara, kila kitu ni kamilifu ... Tunapata:
2x-5x+3x=5-2-3
Tunahesabu, na ... oops !!! Tunapata:
Usawa huu wenyewe hauna pingamizi. Zero kweli ni sifuri. Lakini X haipo! Na lazima tuandike katika jibu, x ni sawa na nini? Vinginevyo, suluhisho halihesabu, sawa ...) Deadlock?
Tulia! Katika hali kama hizi za shaka, sheria za jumla zitakuokoa. Jinsi ya kutatua equations? Inamaanisha nini kutatua equation? Hii ina maana, tafuta thamani zote za x ambazo, zikibadilishwa katika mlinganyo wa asili, zitatupa usawa sahihi.
Lakini tuna usawa wa kweli tayari ilifanya kazi! 0=0, ni sahihi zaidi kiasi gani?! Inabakia kujua ni nini x hii inatokea. Ni maadili gani ya X yanaweza kubadilishwa kuwa asili equation kama hizi x bado zitapunguzwa hadi sifuri? Njoo?)
Ndiyo!!! X inaweza kubadilishwa yoyote! Unataka zipi? Angalau 5, angalau 0.05, angalau -220. Bado watapungua. Ikiwa huniamini, unaweza kukiangalia.) Badili thamani zozote za X kwenye asili equation na kuhesabu. Itafanya kazi wakati wote ukweli mtupu: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 na kadhalika.
Hili hapa jibu lako: x - nambari yoyote.
Jibu linaweza kuandikwa kwa alama tofauti za hisabati, kiini haibadilika. Hili ni jibu sahihi na kamili.
Mshangao wa pili.
Wacha tuchukue equation ya msingi ya mstari na tubadilishe nambari moja ndani yake. Hii ndio tutaamua:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Baada ya mabadiliko sawa, tunapata kitu cha kufurahisha:
Kama hii. Tulitatua mlinganyo wa mstari na tukapata usawa wa kushangaza. Kwa maneno ya hisabati, tulipata usawa wa uongo. Na kuzungumza kwa lugha rahisi, hii si kweli. Rave. Lakini hata hivyo, upuuzi huu ni sababu nzuri sana uamuzi sahihi milinganyo.)
Tena tunafikiri kwa kuzingatia kanuni za jumla. Nini x, zikibadilishwa katika mlingano wa asili, zitatupa kweli usawa? Ndiyo, hapana! Hakuna X kama hizo. Haijalishi utaweka nini, kila kitu kitapunguzwa, ujinga tu ndio utabaki.)
Hili hapa jibu lako: hakuna suluhu.
Hili pia ni jibu kamili kabisa. Katika hisabati, majibu kama hayo mara nyingi hupatikana.
Kama hii. Sasa, natumai, kutoweka kwa X katika mchakato wa kutatua equation yoyote (sio tu ya mstari) haitakuchanganya hata kidogo. Hili tayari ni jambo linalojulikana.)
Sasa kwa kuwa tumeshughulikia hitilafu zote katika milinganyo ya mstari, inaleta maana kuzitatua.
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Sehemu hiyo ya mlinganyo ni usemi ulio kwenye mabano. Ili kufungua mabano, angalia ishara mbele ya mabano. Ikiwa kuna ishara ya kuongeza, kufungua mabano katika usemi hautabadilisha chochote: ondoa mabano tu. Ikiwa kuna ishara ya minus, wakati wa kufungua mabano, lazima ubadilishe ishara zote ambazo zilikuwa kwenye mabano kwa zile zilizo kinyume. Kwa mfano, -(2x-3)=-2x+3.
Kuzidisha mabano mawili.
Ikiwa equation ina bidhaa ya mabano mawili, panua mabano kulingana na kanuni ya kawaida. Kila neno katika mabano ya kwanza linazidishwa na kila neno kwenye mabano ya pili. Nambari zinazosababishwa zimefupishwa. Katika kesi hii, bidhaa ya "pluses" mbili au "minuses" mbili hutoa neno "plus" ishara, na ikiwa sababu zina. ishara tofauti, kisha inapokea ishara ya kutoa.
Hebu tuzingatie.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Kwa kufungua mabano, wakati mwingine kuinua usemi kwa . Njia za squaring na cubed lazima zijulikane kwa moyo na kukumbukwa.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Fomula za kuunda misemo kubwa zaidi ya tatu zinaweza kufanywa kwa kutumia pembetatu ya Pascal.
Vyanzo:
- fomula ya upanuzi wa mabano
Operesheni za hisabati zilizoambatanishwa kwenye mabano zinaweza kuwa na viambajengo na misemo viwango tofauti utata. Ili kuzidisha misemo kama hii, itabidi utafute suluhisho ndani mtazamo wa jumla, kufungua mabano na kurahisisha matokeo. Ikiwa mabano yana shughuli bila vigezo, tu na maadili ya nambari, basi si lazima kufungua mabano, kwa kuwa ikiwa una kompyuta, mtumiaji wake anapata rasilimali muhimu sana za kompyuta - ni rahisi kuzitumia kuliko kurahisisha. kujieleza.
Maagizo
Zidisha kwa kufuatana kila moja (au minuend with ) iliyomo kwenye mabano moja na yaliyomo kwenye mabano mengine yote ikiwa unataka kupata matokeo kwa njia ya jumla. Kwa mfano, acha usemi asilia uandikwe kama ifuatavyo: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Kisha kuzidisha kwa mtiririko (yaani, kufungua mabano) kutatoa matokeo yafuatayo: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Rahisisha matokeo kwa kufupisha misemo. Kwa mfano, usemi uliopatikana katika hatua ya awali unaweza kurahisishwa kama ifuatavyo: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Tumia kikokotoo ikiwa unahitaji kuzidisha x sawa na 4.75, yaani (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). Ili kuhesabu thamani hii, nenda kwenye tovuti ya injini ya utafutaji ya Google au Nigma na uweke usemi katika sehemu ya hoja katika umbo lake asili (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google itaonyesha 82.265625 mara moja, bila kubonyeza kitufe, lakini Nigma anahitaji kutuma data kwa seva kwa kubonyeza kitufe.
Mabano hutumiwa kuonyesha mpangilio ambao vitendo hufanywa kwa maneno ya nambari, halisi na tofauti. Ni rahisi kuhama kutoka kwa usemi ulio na mabano hadi kwa kufanana sawa na usemi bila mabano. Mbinu hii inaitwa kufungua mabano.
Kupanua mabano kunamaanisha kuondoa mabano kutoka kwa usemi.
Jambo moja zaidi linastahili tahadhari maalum, ambayo inahusu upekee wa ufumbuzi wa kurekodi wakati wa kufungua mabano. Tunaweza kuandika usemi wa awali na mabano na matokeo yaliyopatikana baada ya kufungua mabano kama usawa. Kwa mfano, baada ya kupanua mabano badala ya usemi
3−(5−7) tunapata usemi 3−5+7. Tunaweza kuandika semi hizi zote mbili kama usawa 3−(5−7)=3−5+7.
Na moja zaidi hatua muhimu. Katika hisabati, kufupisha nukuu, ni kawaida kutoandika ishara ya kuongeza ikiwa inaonekana kwanza kwa usemi au kwenye mabano. Kwa mfano, ikiwa tunaongeza nambari mbili chanya, kwa mfano, saba na tatu, basi hatuandiki +7+3, lakini kwa urahisi 7+3, licha ya ukweli kwamba saba pia ni nambari chanya. Vile vile, ikiwa unaona, kwa mfano, usemi (5 + x) - ujue kwamba kabla ya bracket kuna plus, ambayo haijaandikwa, na kabla ya tano kuna plus +(+5+x).
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kuongeza
Wakati wa kufungua mabano, ikiwa kuna plus mbele ya mabano, basi hii plus imeachwa pamoja na mabano.
Mfano. Fungua mabano katika usemi 2 + (7 + 3) Kabla ya mabano kuna plus, ambayo ina maana hatubadilishi ishara mbele ya namba katika mabano.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Sheria ya kufungua mabano wakati wa kutoa
Ikiwa kuna minus kabla ya mabano, basi minus hii imeachwa pamoja na mabano, lakini masharti yaliyokuwa kwenye mabano yanabadilisha ishara yao kinyume chake. Kutokuwepo kwa ishara kabla ya muhula wa kwanza kwenye mabano kunamaanisha + ishara.
Mfano. Panua mabano katika usemi 2 − (7 + 3)
Kuna minus kabla ya mabano, ambayo inamaanisha unahitaji kubadilisha ishara mbele ya nambari kwenye mabano. Katika mabano hakuna ishara kabla ya nambari 7, hii ina maana kwamba saba ni chanya, inachukuliwa kuwa kuna ishara + mbele yake.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Wakati wa kufungua mabano, tunaondoa kutoka kwa mfano minus iliyokuwa mbele ya mabano, na mabano wenyewe 2 - (+ 7 + 3), na kubadilisha ishara zilizokuwa kwenye mabano kwa kinyume chake.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Kupanua mabano wakati wa kuzidisha
Ikiwa kuna ishara ya kuzidisha mbele ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano inazidishwa na sababu iliyo mbele ya mabano. Katika hali hii, kuzidisha minus kwa minus kunatoa plus, na kuzidisha minus kwa jumlisha, kama vile kuzidisha jumlisha kwa minus, kunatoa minus.
Kwa hivyo, mabano katika bidhaa hupanuliwa kwa mujibu wa mali ya kusambaza ya kuzidisha.
Mfano. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Wakati wa kuzidisha mabano kwa mabano, kila neno katika mabano ya kwanza huzidishwa na kila neno kwenye mabano ya pili.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Kwa kweli, hakuna haja ya kukumbuka sheria zote, inatosha kukumbuka moja tu, hii: c(a-b)=ca−cb. Kwa nini? Kwa sababu ukibadilisha moja badala ya c, unapata kanuni (a-b)=a-b. Na tukibadilisha toa moja, tunapata kanuni −(a-b)=−a+b. Kweli, ikiwa utabadilisha mabano mengine badala ya c, unaweza kupata sheria ya mwisho.
Kufungua mabano wakati wa kugawanya
Ikiwa kuna ishara ya mgawanyiko baada ya mabano, basi kila nambari ndani ya mabano imegawanywa na mgawanyiko baada ya mabano, na kinyume chake.
Mfano. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Jinsi ya kupanua mabano yaliyowekwa
Ikiwa usemi una mabano yaliyowekwa, hupanuliwa kwa mpangilio, kuanzia na za nje au za ndani.
Katika kesi hii, ni muhimu kwamba wakati wa kufungua moja ya mabano, usiguse mabano yaliyobaki, uandike tena kama ilivyo.
Mfano. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Moja ya ujuzi muhimu zaidi wakati kujiunga na darasa la 5 ni uwezo wa kutatua milinganyo rahisi. Kwa kuwa darasa la 5 bado halijafika mbali shule ya msingi, basi hakuna aina nyingi sana za milinganyo ambazo mwanafunzi anaweza kutatua. Tutakujulisha aina zote za msingi za milinganyo ambayo unahitaji kuweza kutatua ukitaka kuingia shule ya fizikia na hisabati.
Aina ya 1: "bulbous"
Haya ni milinganyo ambayo unakaribia kukutana nayo wakati kujiunga na shule yoyote au klabu ya daraja la 5 kama kazi tofauti. Wao ni rahisi kutofautisha kutoka kwa wengine: ndani yao kutofautiana kunapo mara moja tu. Kwa mfano, au.
Zinatatuliwa kwa urahisi sana: unahitaji tu "kufika" kwa haijulikani, hatua kwa hatua "kuondoa" kila kitu kisichohitajika kinachoizunguka - kana kwamba kumenya vitunguu - kwa hivyo jina. Ili kutatua, kumbuka sheria chache kutoka kwa darasa la pili. Hebu tuorodheshe wote:
Nyongeza
- term1 + term2 = jumla
- term1 = jumla - term2
- term2 = jumla - term1
Kutoa
- minuend - subtrahend = tofauti
- minuend = subtrahend + tofauti
- subtrahend = minuend - tofauti
Kuzidisha
- factor1 * factor2 = product
- factor1 = bidhaa: factor2
- factor2 = bidhaa: factor1
Mgawanyiko
- gawio: mgawanyiko = mgawo
- gawio = mgawanyiko * mgawo
- divisor = gawio: mgawo
Hebu tuangalie mfano wa jinsi ya kutumia sheria hizi.
Kumbuka kwamba tunagawanyika 
juu na sisi kupokea. Katika hali hii, tunajua mgawanyiko na mgawo. Ili kupata gawio, unahitaji kuzidisha kigawanyaji kwa mgawo:
Tumekuwa karibu zaidi na sisi wenyewe. Sasa tunaona hilo 
imeongezwa na inageuka. Hii ina maana kwamba ili kupata mojawapo ya masharti, unahitaji kuondoa neno linalojulikana kutoka kwa jumla:
Na "safu" nyingine imeondolewa kutoka haijulikani! Sasa tunaona hali yenye thamani inayojulikana ya bidhaa () na kizidishi kimoja kinachojulikana ().
Sasa hali ni "minuend - subtrahend = tofauti"
Na hatua ya mwisho ni bidhaa inayojulikana () na moja ya sababu () 
Aina ya 2: milinganyo yenye mabano
Equations ya aina hii mara nyingi hupatikana katika matatizo - 90% ya matatizo yote kwa kujiunga na darasa la 5. Tofauti "milinganyo ya vitunguu" kutofautisha hapa kunaweza kuonekana mara kadhaa, kwa hivyo haiwezekani kuitatua kwa kutumia njia kutoka kwa aya iliyotangulia. Milinganyo ya kawaida: au
Ugumu kuu ni kufungua mabano kwa usahihi. Baada ya kufanikiwa kufanya hivi kwa usahihi, unapaswa kupunguza maneno sawa (nambari hadi nambari, vigeugeu hadi vigeugeu), na baada ya hapo tunapata rahisi zaidi. "mlinganyo wa vitunguu" ambayo tunaweza kutatua. Lakini mambo ya kwanza kwanza.
Kupanua mabano. Tutatoa sheria kadhaa ambazo zinapaswa kutumika katika kesi hii. Lakini, kama inavyoonyesha mazoezi, mwanafunzi huanza kufungua mabano kwa usahihi tu baada ya shida 70-80 kukamilika. Kanuni ya msingi ni hii: sababu yoyote nje ya mabano lazima iongezwe kwa kila neno ndani ya mabano. Na ishara ya minus mbele ya mabano hubadilisha ishara ya misemo yote ndani. Kwa hivyo, sheria za msingi za kufichua: 
Kuleta sawa. Hapa kila kitu ni rahisi zaidi: unahitaji, kwa kuhamisha masharti kwa njia ya ishara sawa, ili kuhakikisha kuwa kwa upande mmoja kuna masharti tu na haijulikani, na kwa upande mwingine - nambari tu. Kanuni ya msingi ni hii: kila neno lililohamishwa kupitia mabadiliko ishara yake - ikiwa ilikuwa na, itakuwa na, na kinyume chake. Baada ya uhamisho uliofanikiwa, ni muhimu kuhesabu jumla ya idadi ya haijulikani, idadi ya jumla ya upande mwingine wa usawa kuliko vigezo, na kutatua rahisi. "mlinganyo wa vitunguu".
- Usawa wenye kigezo huitwa mlinganyo.
- Kutatua equation kunamaanisha kupata mizizi yake mingi. Equation inaweza kuwa na mizizi moja, mbili, kadhaa, nyingi au isiwe na kabisa.
- Kila thamani ya kigezo ambapo mlinganyo fulani hubadilika na kuwa usawa wa kweli huitwa mzizi wa mlinganyo.
- Milinganyo ambayo ina mizizi sawa inaitwa milinganyo sawa.
- Neno lolote la equation linaweza kuhamishwa kutoka sehemu moja ya usawa hadi nyingine, huku ikibadilisha ishara ya neno kwenda kinyume.
- Ikiwa pande zote mbili za mlinganyo zitazidishwa au kugawanywa kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri, utapata mlinganyo unaolingana na mlinganyo uliotolewa.
Mifano. Tatua mlinganyo.
1. 1.5x+4 = 0.3x-2.
1.5x-0.3x = -2-4. Tulikusanya sheria na masharti yaliyo na utofauti katika upande wa kushoto wa usawa, na masharti yasiyolipishwa katika upande wa kulia wa usawa. Katika kesi hii, mali ifuatayo ilitumika:
1.2x = -6. Masharti sawa yalitolewa kulingana na sheria:
x = -6 : 1.2. Pande zote mbili za usawa ziligawanywa na mgawo wa kutofautiana, tangu
x = -5. Imegawanywa kulingana na sheria ya kugawanya sehemu ya desimali na desimali:
Ili kugawanya nambari kwa sehemu ya desimali, unahitaji kuhamisha koma kwenye gawio na kigawanyiko kama tarakimu nyingi kwenda kulia kama zilivyo baada ya nukta ya desimali kwenye kigawanyaji, na kisha ugawanye kwa nambari asilia:
6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.
Jibu: 5.
2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).
6x-27 = 4x-16. Tulifungua mabano kwa kutumia sheria ya usambazaji ya kuzidisha inayohusiana na kutoa: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
6x-4x = -16+27. Tulikusanya sheria na masharti yaliyo na utofauti katika upande wa kushoto wa usawa, na masharti yasiyolipishwa katika upande wa kulia wa usawa. Katika kesi hii, mali ifuatayo ilitumika: neno lolote la equation linaweza kuhamishwa kutoka sehemu moja ya usawa hadi nyingine, na hivyo kubadilisha ishara ya neno hadi kinyume.
2x = 11. Masharti sawa yalitolewa kulingana na sheria: ili kuleta maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients yao na kuzidisha matokeo yanayotokana na sehemu yao ya barua ya kawaida (yaani, kuongeza sehemu yao ya barua ya kawaida kwa matokeo yaliyopatikana).
x = 11 : 2. Pande zote mbili za usawa ziligawanywa na mgawo wa kutofautiana, tangu Ikiwa pande zote mbili za equation zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa isiyo ya sifuri, unapata mlinganyo unaolingana na mlinganyo uliotolewa.
Jibu: 5,5.
3. 7x- (3+2x)=x-9.
7x-3-2x = x-9. Tulifungua mabano kulingana na sheria ya kufungua mabano iliyotanguliwa na ishara "-": ikiwa kuna ishara "-" mbele ya mabano, kisha ondoa mabano na ishara "-" na uandike maneno katika mabano na ishara tofauti.
7x-2x-x = -9+3. Tulikusanya sheria na masharti yaliyo na utofauti katika upande wa kushoto wa usawa, na masharti yasiyolipishwa katika upande wa kulia wa usawa. Katika kesi hii, mali ifuatayo ilitumika: neno lolote la equation linaweza kuhamishwa kutoka sehemu moja ya usawa hadi nyingine, na hivyo kubadilisha ishara ya neno hadi kinyume.
4x = -6. Masharti sawa yalitolewa kulingana na sheria: ili kuleta maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients yao na kuzidisha matokeo yanayotokana na sehemu yao ya barua ya kawaida (yaani, kuongeza sehemu yao ya barua ya kawaida kwa matokeo yaliyopatikana).
x = -6 : 4. Pande zote mbili za usawa ziligawanywa na mgawo wa kutofautiana, tangu Ikiwa pande zote mbili za equation zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa isiyo ya sifuri, unapata mlinganyo unaolingana na mlinganyo uliotolewa.
Jibu: -1,5.
3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Tulizidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa 12 - dhehebu la chini kabisa la madhehebu ya sehemu hizi.
3x-15 = 84-8x+44. Tulifungua mabano kwa kutumia sheria ya usambazaji ya kuzidisha inayohusiana na kutoa: Ili kuzidisha tofauti ya nambari mbili kwa nambari ya tatu, unaweza kuzidisha kando minuend na subtrahend kwa nambari ya tatu, na kisha uondoe matokeo ya pili kutoka kwa matokeo ya kwanza, i.e.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.
3x+8x = 84+44+15. Tulikusanya sheria na masharti yaliyo na utofauti katika upande wa kushoto wa usawa, na masharti yasiyolipishwa katika upande wa kulia wa usawa. Katika kesi hii, mali ifuatayo ilitumika: neno lolote la equation linaweza kuhamishwa kutoka sehemu moja ya usawa hadi nyingine, na hivyo kubadilisha ishara ya neno hadi kinyume.
11x = 143. Masharti sawa yalitolewa kulingana na sheria: ili kuleta maneno sawa, unahitaji kuongeza coefficients yao na kuzidisha matokeo yanayotokana na sehemu yao ya barua ya kawaida (yaani, kuongeza sehemu yao ya barua ya kawaida kwa matokeo yaliyopatikana).
x = 143 : 11. Pande zote mbili za usawa ziligawanywa na mgawo wa kutofautiana, tangu Ikiwa pande zote mbili za equation zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari sawa isiyo ya sifuri, unapata mlinganyo unaolingana na mlinganyo uliotolewa.
Jibu: 13.
5. Tatua milinganyo mwenyewe:
A) 3-2.6x = 5x + 1.48;
b) 1,6 · (x+5) = 4 · (4.5-0.6x);
V) 9x- (6x+2.5) = - (x-5.5);
5a) 0,2; 5b) 2,5; 5c) 2; 5d) -1.
Ukurasa wa 1 wa 1 1
