kuongezeka kwa muda \(X\) ikiwa kwa \(x_1, x_2\katika X\) yoyote kama \(x_1) Kazi inaitwa yasiyo ya kupungua \(\blacktriangleright\) Chaguo za kukokotoa \(f(x)\) huitwa kupungua kwa muda \(X\) ikiwa kwa \(x_1, x_2\katika X\) yoyote kama \(x_1) Kazi inaitwa yasiyo ya kuongezeka kwa muda \(X\) ikiwa kwa \(x_1, x_2\katika X\) yoyote kama \(x_1) \(\blacktriangleright\) Kuongeza na kupunguza vitendaji vinaitwa madhubuti monotonous, na yasiyo ya kuongeza na yasiyo ya kupungua ni rahisi monotonous. \(\righttriangleright\) Tabia kuu: I. Ikiwa chaguo za kukokotoa \(f(x)\) ni monotone madhubuti kwenye \(X\) , basi kutoka kwa usawa \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) inafuata \(f( x_1)= f(x_2)\) , na kinyume chake. Mfano: chaguo la kukokotoa \(f(x)=\sqrt x\) linaongezeka sana kwa wote \(x\in \), kwa hivyo equation \(x^2=9\) ina suluhisho moja zaidi kwenye muda huu, au tuseme moja: \(x=-3\) . chaguo za kukokotoa \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) inaongezeka madhubuti kwa wote \(x\in (-1;+\infty)\) , kwa hivyo mlinganyo \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) haina suluhu zaidi ya moja kwa muda huu, au tuseme hakuna, kwa sababu nambari ya upande wa kushoto haiwezi kamwe kuwa sawa na sifuri. III. Ikiwa chaguo za kukokotoa \(f(x)\) hazipunguzi (haziongezeki) na zinaendelea kwenye sehemu \(\), na mwisho wa sehemu hiyo inachukua maadili\(f(a)= A, f(b)=B\), kisha kwa \(C\in \) (\(C\in \) ) equation \(f(x)=C\) daima huwa na angalau suluhu moja. Mfano: kazi \(f(x)=x^3\) inaongezeka sana (yaani, monotone madhubuti) na inaendelea kwa wote \(x\in\mathbb(R)\) , kwa hivyo kwa \(C\) yoyote. katika ( -\infty;+\infty)\) mlinganyo \(x^3=C\) una suluhu moja haswa: \(x=\sqrt(C)\) . Kazi ya 1 #3153 Kiwango cha Kazi: Rahisi zaidi kuliko Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa ina mizizi miwili haswa. Wacha tuandike tena equation kama: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Zingatia chaguo za kukokotoa \(f(t)=t^3+t\) . Kisha equation itaandikwa upya katika fomu: \ Hebu tujifunze kazi \(f(t)\) . \ Kwa hivyo, chaguo za kukokotoa \(f(t)\) huongezeka kwa wote \(t\) . Hii ina maana kwamba kila thamani ya chaguo za kukokotoa \(f(t)\) inalingana na thamani moja haswa ya hoja \(t\) . Kwa hivyo, ili equation iwe na mizizi, ni muhimu: \
Ili equation inayotokana iwe na mizizi miwili, kibaguzi chake lazima kiwe chanya: \
Jibu: \(\kushoto(-\infty;\dfrac1(12)\kulia)\) Kazi ya 2 #2653 Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa Pata maadili yote ya parameta \(a\) ambayo mlinganyo wake \
ina mizizi miwili. (Kazi kutoka kwa waliojisajili.) Hebu tufanye mbadala: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Kisha equation itachukua fomu: \
Zingatia chaguo za kukokotoa \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Kisha equation yetu itachukua fomu: \ Hebu tutafute derivative \
Kumbuka kwamba kwa wote \(w\ne 0\) derivative ni \(f"(w)>0\) , kwani \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Kumbuka pia kwamba kazi \(f(w)\) yenyewe imefafanuliwa kwa wote \(w\) . Kwa kuwa \(f(w)\) pia ni endelevu, tunaweza kuhitimisha kuwa \(f (w)\) huongezeka kwenye . nzima \(\mathbb(R)\) . \
Ili equation hii iwe na mizizi miwili, lazima iwe mraba na kibaguzi chake lazima kiwe chanya: \[\anza(kesi) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\mwisho(kesi) \quad\Leftrightarrow\quad \anza(kesi)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
Jibu: \((-\infty;1)\kombe(1;2)\) Kazi ya 3 #3921 Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa Pata maadili yote chanya ya parameta \(a\) ambayo equation ina angalau \(2\) suluhu. Wacha tuhamishe maneno yote yaliyo na \(shoka\) upande wa kushoto, na yale yaliyo na \(x^2\) kulia, na tuzingatie chaguo la kukokotoa. Kisha equation ya asili itachukua fomu: Wacha tupate derivative: Kwa sababu \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), kisha \(f"(t)\geqslant 0\) kwa yoyote \(t\in \mathbb(R)\) . Aidha, \(f"(t)=0\) ikiwa \((t-2)^2=0\) na \(1+\cos(2t)=0\) kwa wakati mmoja, jambo ambalo si kweli. kwa yoyote \ (t\) . Kwa hivyo, \(f"(t)> 0\) kwa yoyote \(t\in \mathbb(R)\) . Kwa hivyo, kazi \(f(t)\) inaongezeka madhubuti kwa wote \(t\in \mathbb(R)\) . Hii ina maana kwamba equation \(f(ax)=f(x^2)\) ni sawa na equation \(ax=x^2\) . Equation \(x^2-ax=0\) ya \(a=0\) ina mzizi mmoja \(x=0\), na kwa \(a\ne 0\) ina mbili. mizizi mbalimbali\(x_1=0\) na \(x_2=a\) . Jibu: \((0;+\infty)\) . Kazi ya 4 #1232 Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa Pata maadili yote ya parameta \(a\) , kwa kila moja ambayo equation \
ina suluhisho la kipekee. Wacha tuzidishe pande za kulia na kushoto za mlinganyo kwa \(2^(\sqrt(x+1))\) (tangu \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) na tuandike upya mlinganyo huo. katika fomu: \
Fikiria kazi \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) kwa \(t\geqslant 0\) (tangu \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ). Derivative \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\kulia)\). Kwa sababu \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) kwa wote \(t\geqslant 0\) , kisha \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. Kwa hivyo, kama \(t\geqslant 0\) chaguo za kukokotoa \(y\) hupungua kimonotonically. Mlinganyo unaweza kuzingatiwa katika fomu \(y(t)=y(z)\) , ambapo \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Kutoka kwa monotonicity ya chaguo la kukokotoa inafuata kwamba usawa unawezekana ikiwa tu \(t=z\) . Hii ina maana kwamba equation ni sawa na equation: \(ax=\sqrt(x+1)\), ambayo nayo ni sawa na mfumo: \[\anza(kesi) a^2x^2-x-1=0\\ shoka \geqslant 0 \mwisho(kesi)\] Wakati \(a=0\) mfumo una suluhisho moja \(x=-1\) linalokidhi hali \(ax\geqslant 0\) . Zingatia kesi \(a\ne 0\) . Ubaguzi wa mlingano wa kwanza wa mfumo \(D=1+4a^2>0\) kwa wote \(a\) . Kwa hivyo, equation kila wakati ina mizizi miwili \(x_1\) na \(x_2\), na ni ya ishara tofauti (kwani kulingana na nadharia ya Vieta. \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). Hii ina maana kwamba kwa \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) hali imeridhika na mzizi chanya. Kwa hiyo, mfumo daima una ufumbuzi wa kipekee. Kwa hivyo, \(a\in \mathbb(R)\) . Jibu: \(a\katika \mathbb(R)\) . Kazi ya 5 #1234 Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa Pata maadili yote ya parameta \(a\) , kwa kila moja ambayo equation \
ina angalau mzizi mmoja kutoka kwa sehemu \([-1;0]\) . Fikiria kazi \(f(x)=2x^3-3x(shoka+x-a^2-1)-3a-a^3\) kwa zingine zilizowekwa \(a\) . Wacha tupate derivative yake: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). Kumbuka kuwa \(f"(x)\geqslant 0\) kwa thamani zote za \(x\) na \(a\) , na ni sawa na \(0\) tu kwa \(x=a=1) \) Lakini kwa \(a=1\) : Hii ina maana kwamba kwa wote \(a\ne 1\) chaguo la kukokotoa \(f(x)\) linaongezeka sana, kwa hivyo, mlinganyo \(f(x)=0\) hauwezi kuwa na zaidi ya mzizi mmoja. Kwa kuzingatia mali ya kazi ya ujazo, grafu ya \(f(x)\) ya fasta \(a\) itaonekana kama hii: Hii inamaanisha kuwa ili equation iwe na mzizi wa sehemu \([-1;0]\), ni muhimu: \[\anza(kesi) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \mwisho(kesi) \Mshale wa kulia \anza(kesi) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \mwisho(kesi) \Mshale wa kulia \anza(kesi) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \mwisho(kesi) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\] Kwa hivyo, \(a\in [-2;0]\) . Jibu: \(a\katika [-2;0]\) . Kazi ya 6 #2949 Kiwango cha kazi: Sawa na Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa Pata maadili yote ya parameta \(a\) , kwa kila moja ambayo equation \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] ina mizizi. (Kazi kutoka kwa waliojisajili) Milinganyo ya ODZ: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Kwa hiyo, ili equation iwe na mizizi, ni muhimu kwamba angalau moja ya equations \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\ndogo(\text(au)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^) 2)=0\] alikuwa na maamuzi juu ya ODZ. 1) Fikiria mlingano wa kwanza \[\ dhambi^2x-5\dhambi x-2a(\dhambi x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(amekusanywa)\anza(iliyopangwa) &\sin x=2a+2 \\ &\dhambi x=3\\ \mwisho(iliyopangwa) \mwisho(iliyokusanywa)\kulia. \quad\leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Mlinganyo huu lazima uwe na mizizi ndani \(\) . Fikiria mduara: Hivyo, tunaona kwamba kwa \(2a+2\katika [\sin 0;\sin 1]\) yoyote mlingano utakuwa na suluhu moja, na kwa wengine wote hautakuwa na suluhu. Kwa hiyo, lini \(a\katika \kushoto[-1;-1+\dhambi 1\kulia]\) equation ina suluhu. 2) Fikiria mlingano wa pili \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] Zingatia chaguo za kukokotoa \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Wacha tupate derivative yake: \
Kwenye ODZ, derivative ina sufuri moja: \(x=\frac34\) , ambayo pia ni sehemu ya juu zaidi ya chaguo la kukokotoa \(f(x)\) . Kwa hiyo, ili equation iwe na ufumbuzi, ni muhimu kwamba grafu \(f(x)\) inapita na mstari wa moja kwa moja \(y=-a\) (takwimu inaonyesha mojawapo ya chaguo zinazofaa). Hiyo ni, ni lazima \
. Kwa hizi \(x\) : Chaguo za kukokotoa \(y_1=\sqrt(x-1)\) zinaongezeka sana. Grafu ya chaguo za kukokotoa \(y_2=5x^2-9x\) ni parabola, ambayo kipeo chake kiko kwenye hatua \(x=\dfrac(9)(10)\) . Kwa hivyo, kwa wote \(x\geqslant 1\), kazi \(y_2\) pia inaongezeka kwa ukali (tawi la kulia la parabola). Kwa sababu jumla ya kazi zinazoongezeka kwa ukali inaongezeka sana, basi \(f_a(x)\) inaongezeka kwa ukali (mara kwa mara \(3a+8\) haiathiri monotonicity ya kazi). Chaguo za kukokotoa \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) kwa zote \(x\geqslant 1\) inawakilisha sehemu ya tawi la kulia la hyperbola na inapungua kabisa. Kutatua mlinganyo \(f_a(x)=g_a(x)\) kunamaanisha kupata sehemu za makutano ya chaguo za kukokotoa \(f\) na \(g\) . Kutoka kwa monotonicity yao kinyume inafuata kwamba equation inaweza kuwa na mizizi moja. Wakati \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \\\ 0 \\ kikombe Jibu: \(a\katika (-\infty;-1]\kombe)
Hii ina maana kwamba usawa \(f(t)=f(u)\) unawezekana ikiwa na tu ikiwa \(t=u\) . Wacha turudi kwenye anuwai za asili na tusuluhishe equation inayosababishwa:
\
\
\
Tunahitaji kupata maadili ya \(a\) ambayo equation itakuwa na angalau mizizi miwili, pia kwa kuzingatia ukweli kwamba \(a>0\) .
Kwa hivyo, jibu ni: \(a\in (0;+\infty)\) .
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Mshale wa kulia f(x)=2(x-1)^3 \Mshale wa Kulia\) equation \(2(x-1)^3=0\) ina mzizi mmoja \(x=1\) ambao haukidhi hali. Kwa hivyo, \(a\) haiwezi kuwa sawa na \(1\) .
Kumbuka kuwa \(f(0)=f(1)=0\) . Kwa hivyo, kimkakati grafu \(f(x)\) inaonekana kama hii: 
Jinsi ya kuamua monotonicity ya kazi kutoka kwa grafu. Ni nini hata, mara kwa mara, kazi za monotonic
Ulipenda makala? Shiriki na marafiki zako!
Shiriki kwenye Facebook
Soma pia
