Jinsi ya kupata pembe ya mstari wa pembe ya dihedral. Jenga pembe ya mstari wa pembe ya dihedral ВДСК

Kipimo cha digrii ya angle ya dihedral

Matatizo ya sampuli

Kipimo cha digrii ya angle ya dihedral

Matatizo ya sampuli

9.1 Pembe ya dihedral

9.2 Kuamua angle kati ya ndege

9.3 Mifano ya kutatua matatizo

SURA YA KWANZA NYUMA NA NDEGE

V. ANGELI ZA DIHEDRAL, PEMBE YA KULIA YENYE NDEGE,
ANGLE YA MIONGOZO MBILI YA KUVUKA KULIA, ANGELI ZA POLYHEDALI

Pembe za Dihedral

38. Ufafanuzi. Sehemu ya ndege iliyo upande mmoja wa mstari wowote wa moja kwa moja ulio kwenye ndege hii inaitwa nusu-ndege. Kielelezo kilichoundwa na nusu-ndege mbili (P na Q, Kielelezo 26) kinachotoka kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja (AB) inaitwa. angle ya dihedral. Direct AB inaitwa makali, na nusu-ndege P na Q - vyama au kingo angle ya dihedral.

Pembe kama hiyo kawaida huteuliwa na herufi mbili zilizowekwa kwenye ukingo wake (angle ya dihedral AB). Lakini ikiwa kwenye makali moja kuna pembe kadhaa za dihedral, basi kila moja yao imeteuliwa na barua nne, ambazo mbili za kati ziko kwenye makali, na mbili za nje ziko kwenye nyuso (kwa mfano, angle ya dihedral SCDR) (Mtini. 27).

Ikiwa kutoka kwa sehemu ya kiholela D edges AB (Mchoro 28) hutolewa kwa kila uso perpendicular kwa makali, basi angle ya CDE inayoundwa nao inaitwa. pembe ya mstari angle ya dihedral.

Ukubwa wa angle ya mstari hautegemei nafasi ya vertex yake kwenye makali. Kwa hivyo, pembe za mstari CDE na C 1 D 1 E 1 ni sawa kwa sababu pande zao zinafanana kwa mtiririko huo na katika mwelekeo sawa.

Ndege ya pembe ya mstari ni perpendicular kwa makali, kwa kuwa ina mistari miwili perpendicular yake. Kwa hiyo, ili kupata angle ya mstari, inatosha kuingiliana na uso wa angle ya dihedral iliyopewa na ndege perpendicular kwa makali, na kuzingatia angle inayosababisha katika ndege hii.

39. Usawa na usawa wa pembe za dihedral. Pembe mbili za dihedral zinachukuliwa kuwa sawa ikiwa zinaweza kuunganishwa wakati wa kuingizwa; vinginevyo, pembe yoyote ya dihedral inachukuliwa kuwa ndogo zaidi itakuwa sehemu ya pembe nyingine.

Kama pembe katika planimetry, pembe za dihedral zinaweza kuwa karibu, wima nk.

Ikiwa pembe mbili za karibu za dihedral ni sawa kwa kila mmoja, basi kila mmoja wao anaitwa pembe ya kulia ya dihedral.

Nadharia. 1) Pembe za dihedral sawa zinahusiana na pembe za mstari sawa.

2) Pembe kubwa ya dihedral inalingana na kubwa pembe ya mstari.

Hebu PABQ, na P 1 A 1 B 1 Q 1 (Kielelezo 29) ziwe pembe mbili za dihedral. Tunaingiza pembe A 1 B 1 kwenye pembe AB ili makali A 1 B 1 yalingane na makali AB na uso P 1 na uso P.

Basi ikiwa dihedral hizi pembe ni sawa, kisha uso Q 1 sanjari na uso Q; ikiwa pembe A 1 B 1 ni chini ya pembe ya AB, basi uso wa Q 1 utachukua nafasi fulani ndani ya pembe ya dihedral, kwa mfano Q 2.

Baada ya kugundua hili, hebu tuchukue hatua fulani B kwenye makali ya kawaida na kuchora ndege R kupitia hiyo, perpendicular kwa makali. Kutoka kwenye makutano ya ndege hii na nyuso za pembe za dihedral, pembe za mstari hupatikana. Ni wazi kwamba ikiwa pembe za dihedral zinapatana, basi zitakuwa na CBD ya pembe ya mstari sawa; ikiwa pembe za dihedral haziendani, ikiwa, kwa mfano, uso wa Q 1 unachukua nafasi ya Q 2, basi pembe kubwa ya dihedral itakuwa na pembe kubwa ya mstari (ambayo ni: / CBD > / C 2 BD).

40. Nadharia za mazungumzo. 1) Pembe za mstari sawa zinalingana na pembe za dihedral sawa.

2) Pembe kubwa ya mstari inalingana na pembe kubwa ya dihedral .

Nadharia hizi zinaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kupingana.

41. Matokeo. 1) Pembe ya kulia ya dihedral inalingana na pembe ya mstari wa kulia, na kinyume chake.

Hebu (Kielelezo 30) angle ya dihedral PABQ iwe mstari wa moja kwa moja. Hii ina maana kwamba ni sawa kona ya karibu QABP 1. Lakini katika kesi hii, pembe za mstari CDE na CDE 1 pia ni sawa; na kwa vile ziko karibu, kila moja lazima iwe sawa. Kinyume chake, ikiwa pembe za mstari wa karibu CDE na CDE 1 ni sawa, basi pembe za karibu za dihedral ni sawa, yaani, kila mmoja wao lazima awe sawa.

2) Pembe zote za kulia za dihedral ni sawa, kwa sababu pembe zao za mstari ni sawa .

Vile vile, ni rahisi kuthibitisha kwamba:

3) Pembe za dihedral za wima ni sawa.

4) Dihedral pembe zilizo na kingo zinazofanana na zinazofanana (au kinyume) ni sawa.

5) Ikiwa tutachukua kama kitengo cha pembe za dihedral angle ya dihedral ambayo inalingana na kitengo cha pembe za mstari, basi tunaweza kusema kwamba angle ya dihedral inapimwa kwa angle yake ya mstari.

Dhana ya angle ya dihedral

Ili kuanzisha dhana ya pembe ya dihedral, hebu kwanza tukumbuke mojawapo ya axioms ya stereometry.

Ndege yoyote inaweza kugawanywa katika nusu-ndege mbili za mstari $a$ zilizo kwenye ndege hii. Katika kesi hii, pointi zilizo katika nusu-ndege sawa ziko upande mmoja wa mstari $a$, na pointi ziko katika nusu-ndege tofauti ziko upande mmoja. pande tofauti kutoka kwa mstari wa moja kwa moja $ a $ (Mchoro 1).

Kielelezo cha 1.

Kanuni ya kujenga angle ya dihedral inategemea axiom hii.

Ufafanuzi 1

Kielelezo kinaitwa angle ya dihedral, ikiwa inajumuisha mstari na ndege mbili za nusu za mstari huu ambazo si za ndege moja.

Katika kesi hiyo, ndege za nusu za angle ya dihedral zinaitwa kingo, na mstari wa moja kwa moja unaotenganisha ndege za nusu ni makali ya dihedral(Mchoro 1).

Kielelezo 2. Pembe ya dihedral

Ufafanuzi 2

Wacha tuchague alama ya kiholela $A$ ukingoni. Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka iliyo katika nusu-ndege tofauti, inayoelekea ukingo na inayokatiza kwa uhakika $A$ inaitwa. linear dihedral angle(Mchoro 3).

Kielelezo cha 3.

Kwa wazi, kila pembe ya dihedral ina idadi isiyo na kikomo ya pembe za mstari.

Nadharia 1

Pembe zote za mstari wa pembe moja ya dihedral ni sawa kwa kila mmoja.

Ushahidi.

Hebu tuzingatie pembe mbili za mstari $AOB$ na $A_1(OB)_1$ (Mchoro 4).

Kielelezo cha 4.

Kwa kuwa miale $OA$ na $(OA)_1$ iko katika nusu-plane sawa $\alpha $ na ni perpendicular kwa mstari sawa sawa, basi wao ni codirectional. Kwa kuwa miale $OB$ na $(OB)_1$ iko katika nusu-plane sawa $\beta $ na ni perpendicular kwa mstari sawa sawa, basi wao ni codirectional. Kwa hiyo

\[\pembe AOB=\pembe A_1(OB)_1\]

Kwa sababu ya usuluhishi wa uchaguzi wa pembe za mstari. Pembe zote za mstari wa pembe moja ya dihedral ni sawa kwa kila mmoja.

Nadharia imethibitishwa.

Ufafanuzi 3

Kipimo cha digrii cha pembe ya dihedral ni kipimo cha digrii ya pembe ya mstari wa pembe ya dihedral.

Mfano 1

Hebu tupewe ndege mbili zisizo za kipenyo $\alpha $ na $\beta $ zinazokatiza kwenye mstari ulionyooka $m$. Pointi $A$ ni ya ndege $\beta$. $AB$ ni sawa na mstari $m$. $AC$ ni ya kawaida kwa ndege $\alpha $ (pointi $C$ ni ya $\alpha $). Thibitisha kuwa pembe $ABC$ ni pembe ya mstari wa pembe ya dihedral.

Ushahidi.

Hebu tuchore picha kulingana na hali ya tatizo (Mchoro 5).

Kielelezo cha 5.

Ili kuithibitisha, kumbuka nadharia ifuatayo

Nadharia ya 2: Mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye msingi wa iliyoelekezwa ni sawa kwake, kulingana na makadirio yake.

Kwa kuwa $AC$ ni ya kawaida kwa ndege $\alpha $, basi uhakika $C$ ni makadirio ya uhakika $A$ kwenye ndege $\alpha $. Kwa hiyo, $BC$ ni makadirio ya oblique $AB$. Kulingana na Nadharia 2, $BC$ ni sawa na ukingo wa pembe ya dihedral.

Kisha, pembe $ABC$ inakidhi mahitaji yote ya kufafanua pembe ya dihedral ya mstari.

Mfano 2

Pembe ya dihedral ni $30^\circ$. Kwenye moja ya nyuso kuna uhakika $ A $, ambayo iko umbali wa $ 4 $ kutoka kwa uso mwingine Pata umbali kutoka kwa uhakika $ A $ hadi makali ya angle ya dihedral.

Suluhisho.

Hebu tuangalie Kielelezo cha 5.

Kwa hali, tuna $AC=4\cm$.

Kwa ufafanuzi wa kipimo cha digrii cha pembe ya dihedral, tunayo kwamba pembe $ABC$ ni sawa na $30^\circ$.

Pembetatu $ABC$ ni pembetatu ya kulia. Kwa ufafanuzi wa sine ya pembe ya papo hapo

\[\frac(AC)(AB)=dhambi(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\]\

Dhana ya angle ya dihedral

Ili kuanzisha dhana ya pembe ya dihedral, hebu kwanza tukumbuke mojawapo ya axioms ya stereometry.

Ndege yoyote inaweza kugawanywa katika nusu-ndege mbili za mstari $a$ zilizo kwenye ndege hii. Katika kesi hii, pointi ziko katika nusu-ndege sawa ziko upande mmoja wa mstari wa moja kwa moja $ a $, na pointi zinazolala katika ndege tofauti za nusu ziko kwenye pande tofauti za mstari wa moja kwa moja $ a $ (Mchoro 1).

Kielelezo cha 1.

Kanuni ya kujenga angle ya dihedral inategemea axiom hii.

Ufafanuzi 1

Kielelezo kinaitwa angle ya dihedral, ikiwa inajumuisha mstari na ndege mbili za nusu za mstari huu ambazo si za ndege moja.

Katika kesi hiyo, ndege za nusu za angle ya dihedral zinaitwa kingo, na mstari wa moja kwa moja unaotenganisha ndege za nusu ni makali ya dihedral(Mchoro 1).

Kielelezo 2. Pembe ya dihedral

Ufafanuzi 2

Kielelezo cha 3.

Kwa wazi, kila pembe ya dihedral ina idadi isiyo na kikomo ya pembe za mstari.

Nadharia 1

Pembe zote za mstari wa pembe moja ya dihedral ni sawa kwa kila mmoja.

Ushahidi.

Hebu tuzingatie pembe mbili za mstari $AOB$ na $A_1(OB)_1$ (Mchoro 4).

Kielelezo cha 4.

\[\pembe AOB=\pembe A_1(OB)_1\]

Kwa sababu ya usuluhishi wa uchaguzi wa pembe za mstari. Pembe zote za mstari wa pembe moja ya dihedral ni sawa kwa kila mmoja.

Nadharia imethibitishwa.

Ufafanuzi 3

Kipimo cha digrii cha pembe ya dihedral ni kipimo cha digrii ya pembe ya mstari wa pembe ya dihedral.

Mfano 1

Ushahidi.

Hebu tuchore picha kulingana na hali ya tatizo (Mchoro 5).

Kielelezo cha 5.

Ili kuithibitisha, kumbuka nadharia ifuatayo

Nadharia ya 2: Mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye msingi wa iliyoelekezwa ni sawa kwake, kulingana na makadirio yake.

Kisha, pembe $ABC$ inakidhi mahitaji yote ya kufafanua pembe ya dihedral ya mstari.

Mfano 2

Pembe ya dihedral ni $30^\circ$. Kwenye moja ya nyuso kuna uhakika $ A $, ambayo iko umbali wa $ 4 $ kutoka kwa uso mwingine Pata umbali kutoka kwa uhakika $ A $ hadi makali ya angle ya dihedral.

Suluhisho.

Hebu tuangalie Kielelezo cha 5.

Kwa hali, tuna $AC=4\cm$.

Kwa ufafanuzi wa kipimo cha digrii cha pembe ya dihedral, tunayo kwamba pembe $ABC$ ni sawa na $30^\circ$.

Pembetatu $ABC$ ni pembetatu ya kulia. Kwa ufafanuzi wa sine ya pembe ya papo hapo

\[\frac(AC)(AB)=dhambi(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\]\

Somo hili limekusudiwa kujisomea mada "Angle ya Dihedral". Katika somo hili, wanafunzi watafahamu mojawapo ya maumbo muhimu zaidi ya kijiometri, pembe ya dihedral. Pia katika somo tutajifunza jinsi ya kuamua angle ya mstari wa takwimu ya kijiometri katika swali na nini angle ya dihedral iko kwenye msingi wa takwimu.

Hebu turudie nini angle kwenye ndege ni na jinsi inavyopimwa.

Mchele. 1. Ndege

Hebu fikiria ndege α (Mchoro 1). Kutoka kwa uhakika KUHUSU miale miwili inatoka - OB Na OA.

Ufafanuzi. Kielelezo kinachoundwa na miale miwili inayotoka kwenye sehemu moja inaitwa pembe.

Pembe hupimwa kwa digrii na radiani.

Hebu tukumbuke radian ni nini.

Mchele. 2. Radiani

Ikiwa tuna pembe ya kati ambayo urefu wa arc ni sawa na radius, basi pembe hiyo ya kati inaitwa angle ya 1 radian. ,∠ AOB= 1 rad (Mchoro 2).

Uhusiano kati ya radians na digrii.

furaha.

Tunapata, nimefurahi. (). Kisha,

Ufafanuzi. Pembe ya dihedral takwimu inayoundwa na mstari wa moja kwa moja inaitwa A na ndege mbili za nusu na mpaka wa kawaida A, si mali ya ndege moja.

Mchele. 3. Ndege za nusu

Hebu fikiria ndege mbili za nusu α na β (Mchoro 3). Mpaka wao wa kawaida ni A. Takwimu hii inaitwa angle ya dihedral.

Istilahi

Nusu-ndege α na β ni nyuso za pembe ya dihedral.

Moja kwa moja A ni makali ya pembe ya dihedral.

Kwa makali ya kawaida A angle ya dihedral, chagua hatua ya kiholela KUHUSU(Mchoro 4). Katika nusu ya ndege α kutoka kwa uhakika KUHUSU kurejesha perpendicular OA kwa mstari ulionyooka A. Kutoka kwa hatua sawa KUHUSU katika nusu ya pili ya ndege β tunajenga perpendicular OB kwa ukingo A. Nina pembe AOB, ambayo inaitwa angle ya mstari wa angle ya dihedral.

Mchele. 4. Upimaji wa angle ya dihedral

Hebu tuthibitishe usawa wa pembe zote za mstari kwa pembe fulani ya dihedral.

Hebu tuwe na angle ya dihedral (Mchoro 5). Hebu tuchague hoja KUHUSU na kipindi O 1 kwenye mstari wa moja kwa moja A. Wacha tuunda pembe ya mstari inayolingana na uhakika KUHUSU, yaani tunachora perpendiculars mbili OA Na OB katika ndege α na β mtawalia hadi ukingo A. Tunapata pembe AOB- angle ya mstari wa angle ya dihedral.

Mchele. 5. Kielelezo cha uthibitisho

Kutoka kwa uhakika O 1 hebu tuchore perpendiculars mbili OA 1 Na OB 1 kwa ukingo A katika ndege α na β kwa mtiririko huo na tunapata pembe ya pili ya mstari A 1 O 1 B 1.

Miale O 1 A 1 Na OA codirectional, kwa kuwa ziko kwenye nusu-ndege moja na ziko sambamba kwa kila mmoja kama viambishi viwili vya mstari mmoja. A.

Vivyo hivyo, miale Kuhusu 1 kati ya 1 Na OB zinaongozwa kwa pamoja, maana yake ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kama pembe zilizo na pande za uelekezaji, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Ndege ya pembe ya mstari ni perpendicular kwa makali ya angle ya dihedral.

Thibitisha: A ⊥ AOB.

Mchele. 6. Kielelezo cha uthibitisho

Ushahidi:

OA ⊥ A kwa ujenzi, OB ⊥ A kwa ujenzi (Mchoro 6).

Tunaona kwamba mstari A perpendicular kwa mistari miwili ya kukatiza OA Na OB nje ya ndege AOB, ambayo ina maana ni sawa A perpendicular kwa ndege OAV, ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

Pembe ya dihedral inapimwa kwa pembe yake ya mstari. Hii ina maana kwamba kwa vile digrii nyingi za radiani ziko katika pembe ya mstari, idadi sawa ya digrii za radiani zimo katika pembe yake ya dihedral. Kwa mujibu wa hili, wanatofautisha aina zifuatazo pembe za dihedral.

Papo hapo (Kielelezo 6)

Pembe ya dihedral ni papo hapo ikiwa angle yake ya mstari ni ya papo hapo, i.e. .

Sawa (Kielelezo 7)

Pembe ya dihedral ni sawa wakati pembe yake ya mstari ni 90° - Obtuse (Mchoro 8)

Pembe ya dihedral ni butu wakati pembe yake ya mstari ni butu, i.e. .

Mchele. 7. Pembe ya kulia

Mchele. 8. Obtuse angle

Mifano ya kujenga pembe za mstari katika takwimu halisi

ABCD- tetrahedron.

1. Tengeneza pembe ya mstari wa pembe ya dihedral kwa makali AB.

Mchele. 9. Mchoro wa tatizo

Ujenzi:

Tunazungumza juu ya pembe ya dihedral iliyoundwa na makali AB na kingo ABD Na ABC(Mchoro 9).

Wacha tufanye moja kwa moja DN perpendicular kwa ndege ABC, N- msingi wa perpendicular. Hebu kuchora kutega DM perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja AB,M- msingi uliowekwa. Kwa nadharia ya perpendiculars tatu tunahitimisha kuwa makadirio ya oblique NM pia perpendicular kwa mstari AB.

Hiyo ni, kutoka kwa uhakika M perpendiculars mbili kwa makali ni kurejeshwa AB kwa pande mbili ABD Na ABC. Tuna pembe ya mstari DMN.

Kumbuka hilo AB, makali ya angle ya dihedral, perpendicular kwa ndege ya angle ya mstari, yaani, ndege DMN. Tatizo linatatuliwa.

Maoni. Pembe ya dihedral inaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo: DABC, Wapi

AB- makali, na pointi D Na NA lala ndani nyuso tofauti kona.

2. Tengeneza pembe ya mstari wa pembe ya dihedral kwa makali AC.

Hebu tuchore perpendicular DN kwa ndege ABC na kutega DN perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja AC. Kwa kutumia theorem tatu perpendicular, tunapata hiyo NN- makadirio ya oblique DN kwa ndege ABC, pia perpendicular kwa mstari AC.DNH- angle ya mstari wa pembe ya dihedral yenye makali AC.

Katika tetrahedron DABC pembe zote ni sawa. Nukta M- katikati ya mbavu AC. Thibitisha kwamba pembe DMV- angle ya dihedral ya mstari WEWED, yaani pembe ya dihedral yenye makali AC. Moja ya nyuso zake ni ACD, pili - DIA(Mchoro 10).

Mchele. 10. Mchoro wa tatizo

Suluhisho:

Pembetatu ADC- usawa, DM- wastani, na kwa hiyo urefu. Ina maana, DM ⊥ AC. Vivyo hivyo, pembetatu AKATIKAC- usawa, KATIKAM- wastani, na kwa hiyo urefu. Ina maana, VM ⊥ AC.

Kwa hivyo, kutoka kwa uhakika M mbavu AC dihedral angle kurejeshwa perpendiculars mbili DM Na VM kwa makali haya kwenye nyuso za pembe ya dihedral.

Kwa hivyo, ∠ DMKATIKA ni pembe ya mstari wa pembe ya dihedral, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Kwa hivyo tumefafanua pembe ya dihedral, pembe ya mstari wa pembe ya dihedral.

Katika somo linalofuata tutaangalia perpendicularity ya mistari na ndege, kisha tutajifunza nini angle ya dihedral iko kwenye msingi wa takwimu.

Orodha ya marejeleo juu ya mada "Pembe ya Dihedral", "Pembe ya Dihedral kwenye msingi wa takwimu za kijiometri"

Jiometri. Madarasa ya 10-11: kitabu cha elimu ya jumla taasisi za elimu/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: mgonjwa.
Jiometri. Daraja la 10: kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu ya jumla na masomo ya kina na maalum ya hisabati / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Toleo la 6, stereotype. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: mgonjwa.

Yaklass.ru ().
E-sayansi.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Tutoronline.ru ().

Kazi ya nyumbani juu ya mada "Dihedral angle", kuamua angle ya dihedral kwa msingi wa takwimu

Jiometri. Darasa la 10-11: kitabu cha maandishi kwa wanafunzi wa taasisi za elimu ya jumla (viwango vya msingi na maalum) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Toleo la 5, lililorekebishwa na kupanuliwa - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: mgonjwa.

Majukumu 2, 3 uk.

Pembe ya dihedral ya mstari ni nini? Jinsi ya kuijenga?

ABCD- tetrahedron. Tengeneza pembe ya mstari wa pembe ya dihedral kwa ukingo:

A) KATIKAD b) DNA.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - mchemraba Tengeneza Pembe ya Mstari ya Pembe ya Dihedral ABC 1 na ubavu AB. Amua kipimo chake cha digrii.

Pembe kati ya ndege mbili tofauti inaweza kuamua kwa yoyote msimamo wa jamaa ndege.

Kesi ndogo ikiwa ndege ziko sambamba. Kisha angle kati yao inachukuliwa kuwa sawa na sifuri.

Kesi isiyo ya kawaida ikiwa ndege zinaingiliana. Kesi hii ni mada ya majadiliano zaidi. Kwanza tunahitaji dhana ya pembe ya dihedral.

Pembe ya dihedral ni ndege mbili za nusu na mstari wa kawaida wa moja kwa moja (unaoitwa kando ya angle ya dihedral). Katika Mtini. 50 inaonyesha angle ya dihedral iliyoundwa na nusu-ndege na; makali ya angle hii ya dihedral ni mstari wa moja kwa moja a, wa kawaida kwa ndege hizi za nusu.

Mchele. 50. Pembe ya dihedral

Pembe ya dihedral inaweza kupimwa kwa digrii au radians kwa neno, ingiza thamani ya angular ya angle ya dihedral. Hii inafanywa kama ifuatavyo.

Kwenye kando ya angle ya dihedral inayoundwa na nusu-ndege na, tunachukua hatua ya kiholela M. Hebu tuchore miale MA na MB, kwa mtiririko huo amelala katika ndege hizi za nusu na perpendicular kwa makali (Mchoro 51).

Mchele. 51. Linear dihedral angle

Pembe inayosababisha AMB ni pembe ya mstari wa pembe ya dihedral. Pembe " = \AMB ndiyo thamani ya angular ya pembe yetu ya dihedral.

Ufafanuzi. Ukubwa wa angular wa angle ya dihedral ni ukubwa wa angle ya mstari wa angle ya dihedral iliyotolewa.

Pembe zote za mstari wa pembe ya dihedral ni sawa kwa kila mmoja (baada ya yote, zinapatikana kutoka kwa kila mmoja kwa mabadiliko ya sambamba). Ndiyo maana ufafanuzi huu sahihi: thamani " haitegemei chaguo maalum la uhakika M kwenye makali ya pembe ya dihedral.

Wakati ndege mbili zinaingiliana, pembe nne za dihedral hupatikana. Ikiwa wote wana ukubwa sawa (90 kila mmoja), basi ndege huitwa perpendicular; Pembe kati ya ndege basi ni 90.

Ikiwa sio pembe zote za dihedral ni sawa (yaani, kuna mbili za papo hapo na mbili za obtuse), basi pembe kati ya ndege ni thamani ya angle ya dihedral ya papo hapo (Mchoro 52).

Mchele. 52. Pembe kati ya ndege

SAA 1 asubuhi

Hebu tuangalie matatizo matatu. Ya kwanza ni rahisi, ya pili na ya tatu ni takriban katika kiwango cha C2 kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati.

Tatizo 1. Pata angle kati ya nyuso mbili za tetrahedron ya kawaida.

Suluhisho. Hebu ABCD iwe tetrahedron ya kawaida. Hebu tuchore medians AM na DM ya nyuso zinazofanana, pamoja na urefu wa tetrahedron DH (Mchoro 53).

Mchele. 53. Kufanya kazi 1

Kwa kuwa wapatanishi, AM na DM pia ni miinuko ya pembetatu sawia ABC na DBC. Kwa hiyo, pembe " = \AMD ni pembe ya mstari wa pembe ya dihedral inayoundwa na nyuso za ABC na DBC. Tunaipata kutoka kwa pembetatu DHM:

Jibu: arccos 1 3 .

Kazi 2. Katika sahihi piramidi ya quadrangular Ukingo wa upande wa SABCD (vertex S) sawa na upande wa msingi. Pointi K ni katikati ya makali SA. Tafuta pembe kati ya ndege

Suluhisho. Mstari wa BC ni sambamba na AD na hivyo sambamba na ADS ya ndege. Kwa hiyo, ndege ya KBC inakatiza ADS ya ndege kwenye mstari wa moja kwa moja wa KL sambamba na BC (Mchoro 54).

Mchele. 54. Kufanya kazi 2

Katika kesi hii, KL pia itakuwa sambamba na mstari wa AD; kwa hivyo KL mstari wa kati pembetatu ADS, na uhakika L ni katikati ya DS.

Wacha tupate urefu wa piramidi SO. Acha N iwe katikati ya DO. Kisha LN ni mstari wa kati wa pembetatu DOS, na kwa hiyo LN k SO. Hii ina maana LN ni perpendicular kwa ndege ABC.

Kutoka hatua ya N tunapunguza NM ya perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja BC. Mstari wa moja kwa moja wa NM utakuwa makadirio ya LM iliyoelekezwa kwenye ndege ya ABC. Kutoka kwa nadharia ya perpendiculars tatu basi inafuata kwamba LM pia ni perpendicular kwa BC.

Kwa hivyo, pembe " = \LMN ni pembe ya mstari wa pembe ya dihedral inayoundwa na nusu-ndege KBC na ABC. Tutatafuta angle hii kutoka pembetatu ya kulia LMN.

Acha makali ya piramidi yawe sawa na a. Kwanza tunapata urefu wa piramidi:

SO=p

Suluhisho. Acha L iwe sehemu ya makutano ya mistari A1 K na AB. Kisha ndege A1 KC inakatiza ndege ABC pamoja na mstari wa moja kwa moja CL (Mchoro.55).

A C

Mchele. 55. Tatizo 3

Pembetatu A1 B1 K na KBL ni sawa kwa mguu na pembe ya papo hapo. Kwa hiyo, miguu mingine ni sawa: A1 B1 = BL.

Fikiria pembetatu ACL. Ndani yake BA = BC = BL. Angle CBL ni 120; kwa hiyo, \BCL = 30 . Pia, \BCA = 60 . Kwa hiyo \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Kwa hivyo, LC? AC. Lakini laini ya AC hutumika kama makadirio ya mstari A1 C kwenye ndege ya ABC. Kwa nadharia ya perpendiculars tatu basi tunahitimisha kuwa LC ? A1 C.

Kwa hivyo, angle A1 CA ni pembe ya mstari wa pembe ya dihedral inayoundwa na nusu-ndege A1 KC na ABC. Hii ndiyo pembe inayotakiwa. Kutoka kwa pembetatu ya kulia ya isosceles A1 AC tunaona kuwa ni sawa na 45.