Wakati wa kutatua Tatizo C2 kwa kutumia mbinu ya kuratibu, wanafunzi wengi wanakabiliwa na tatizo sawa. Hawawezi kuhesabu kuratibu pointi imejumuishwa katika fomula ya bidhaa ya scalar. Matatizo makubwa zaidi hutokea piramidi. Na ikiwa pointi za msingi zinazingatiwa zaidi au chini ya kawaida, basi vilele ni kuzimu halisi.
Leo tutafanya kazi kwenye piramidi ya kawaida ya quadrangular. Pia kuna piramidi ya pembe tatu (aka - tetrahedron) Huu ni muundo ngumu zaidi, kwa hivyo somo tofauti litatolewa kwake.
Kwanza, hebu tukumbuke ufafanuzi:
Piramidi ya kawaida ni moja ambayo:
- Msingi ni poligoni ya kawaida: pembetatu, mraba, nk;
- Mwinuko unaotolewa kwa msingi unapita katikati yake.
Hasa, msingi wa piramidi ya quadrangular ni mraba. Kama Cheops, ndogo tu.
Chini ni mahesabu ya piramidi ambayo kando zote ni sawa na 1. Ikiwa hii sivyo katika tatizo lako, mahesabu hayabadilika - nambari tu zitakuwa tofauti.
Vipeo vya piramidi ya quadrangular
Kwa hivyo, acha piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD itolewe, ambapo S ni vertex na msingi ABCD ni mraba. Mipaka yote ni sawa na 1. Unahitaji kuingiza mfumo wa kuratibu na kupata kuratibu za pointi zote. Tunayo:
Tunatanguliza mfumo wa kuratibu wenye asili katika sehemu A:
- Mhimili wa OX unaelekezwa sambamba na makali ya AB;
- Mhimili wa OY ni sambamba na AD. Kwa kuwa ABCD ni mraba, AB ⊥ AD;
- Hatimaye, tunaelekeza mhimili wa OZ juu, perpendicular kwa ndege ya ABCD.
Sasa tunahesabu kuratibu. Ujenzi wa ziada: SH - urefu unaotolewa kwa msingi. Kwa urahisi, tutaweka msingi wa piramidi katika kuchora tofauti. Kwa kuwa pointi A, B, C na D ziko kwenye ndege ya OXY, uratibu wao ni z = 0. Tuna:
- A = (0; 0; 0) - sanjari na asili;
- B = (1; 0; 0) - hatua kwa 1 kando ya mhimili wa OX kutoka asili;
- C = (1; 1; 0) - hatua kwa 1 kando ya mhimili wa OX na kwa 1 kando ya mhimili wa OY;
- D = (0; 1; 0) - hatua tu kando ya mhimili wa OY.
- H = (0.5; 0.5; 0) - katikati ya mraba, katikati ya sehemu ya AC.
Inabakia kupata kuratibu za uhakika S. Kumbuka kwamba x na y kuratibu za pointi S na H ni sawa, kwa kuwa ziko kwenye mstari sambamba na mhimili wa OZ. Inabakia kupata kuratibu z kwa uhakika S.
Fikiria pembetatu ASH na ABH:
- AS = AB = 1 kwa hali;
- Pembe AHS = AHB = 90°, kwa kuwa SH ni urefu na AH ⊥ HB kama vilalo vya mraba;
- Upande wa AH ni wa kawaida.
Kwa hiyo, pembetatu za kulia ASH na ABH sawa mguu mmoja na hypotenuse moja kila moja. Hii ina maana SH = BH = 0.5 BD. Lakini BD ni mlalo wa mraba wenye upande 1. Kwa hivyo tunayo:
Jumla ya viwianishi vya nukta S:
Kwa kumalizia, tunaandika kuratibu za wima zote za piramidi ya kawaida ya mstatili:
Nini cha kufanya wakati mbavu ni tofauti
Je, ikiwa kingo za upande wa piramidi si sawa na kingo za msingi? Katika kesi hii, fikiria pembetatu AHS:
Pembetatu AHS - mstatili, na hypotenuse AS pia ni ukingo wa upande wa piramidi asili ya SABCD. Mguu AH unahesabiwa kwa urahisi: AH = 0.5 AC. Tutapata mguu uliobaki SH kulingana na nadharia ya Pythagorean. Hii itakuwa z kuratibu kwa uhakika S.
Kazi. Kutokana na piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD, chini ya ambayo iko mraba na upande 1. Ukingo wa upande BS = 3. Pata kuratibu za uhakika S.
Tayari tunajua viwianishi vya x na y vya hatua hii: x = y = 0.5. Hii inafuata kutoka kwa ukweli mbili:
- Makadirio ya uhakika S kwenye ndege ya OXY ni hatua H;
- Wakati huo huo, nukta H ndio kitovu cha ABCD ya mraba, pande zote ambazo ni sawa na 1.
Inabakia kupata uratibu wa nukta S. Fikiria pembetatu AHS. Ni mstatili, na hypotenuse AS = BS = 3, mguu AH kuwa nusu ya diagonal. Kwa mahesabu zaidi tunahitaji urefu wake:
Nadharia ya Pythagorean ya pembetatu AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Tunayo:
Kwa hivyo, kuratibu za uhakika S:
Utangulizi
Tulipoanza kujifunza takwimu za sterometric, tuligusa juu ya mada "Piramidi". Tulipenda mada hii kwa sababu piramidi hutumiwa mara nyingi katika usanifu. Na tangu yetu taaluma ya baadaye mbunifu, akiongozwa na takwimu hii, tunafikiri kwamba anaweza kutusukuma kuelekea miradi mikubwa.
Nguvu ya miundo ya usanifu ni ubora wao muhimu zaidi. Kuunganisha nguvu, kwanza, na nyenzo ambazo zinaundwa, na, pili, pamoja na vipengele vya ufumbuzi wa kubuni, zinageuka kuwa nguvu ya muundo inahusiana moja kwa moja na sura ya kijiometri ambayo ni ya msingi kwa ajili yake.
Kwa maneno mengine, tunazungumzia kuhusu takwimu hiyo ya kijiometri ambayo inaweza kuchukuliwa kuwa kielelezo cha fomu inayolingana ya usanifu. Inatokea kwamba sura ya kijiometri pia huamua nguvu ya muundo wa usanifu.
Tangu nyakati za kale, piramidi za Misri zimezingatiwa kuwa miundo ya usanifu ya kudumu zaidi. Kama unavyojua, wana sura ya piramidi za kawaida za quadrangular.
Ni sura hii ya kijiometri ambayo hutoa utulivu mkubwa zaidi kutokana na eneo kubwa la msingi. Kwa upande mwingine, umbo la piramidi huhakikisha kwamba wingi hupungua kadri urefu wa juu wa ardhi unavyoongezeka. Ni mali hizi mbili zinazofanya piramidi kuwa imara, na kwa hiyo imara chini ya hali ya mvuto.
Lengo la mradi: jifunze kitu kipya kuhusu piramidi, ongeza ujuzi wako na upate matumizi ya vitendo.
Ili kufikia lengo hili, ilihitajika kutatua kazi zifuatazo:
· Jifunze habari za kihistoria kuhusu piramidi
· Fikiria piramidi kama takwimu ya kijiometri
· Tafuta matumizi katika maisha na usanifu
· Tafuta kufanana na tofauti kati ya piramidi zilizomo sehemu mbalimbali Sveta
Sehemu ya kinadharia
Mwanzo wa jiometri ya piramidi iliwekwa katika Misri ya Kale na Babeli, hata hivyo maendeleo ya kazi imepokelewa ndani Ugiriki ya Kale. Wa kwanza kuanzisha kiasi cha piramidi alikuwa Democritus, na Eudoxus wa Cnidus alithibitisha hilo. Mwanahisabati wa kale wa Uigiriki Euclid alipanga ujuzi kuhusu piramidi katika kiasi cha XII cha "Vipengele" vyake, na pia alipata ufafanuzi wa kwanza wa piramidi: takwimu imara iliyofungwa na ndege ambazo hukutana kutoka kwa ndege moja hadi hatua moja.
Makaburi ya mafarao wa Misri. Kubwa kati yao - piramidi za Cheops, Khafre na Mikerin huko El Giza - zilizingatiwa kuwa moja ya Maajabu Saba ya Ulimwengu katika nyakati za zamani. Ujenzi wa piramidi, ambayo Wagiriki na Warumi tayari waliona ukumbusho wa kiburi kisicho na kifani cha wafalme na ukatili ambao uliwaangamiza watu wote wa Misri kwa ujenzi usio na maana, ilikuwa tendo muhimu zaidi la ibada na lilipaswa kueleza, inaonekana, utambulisho wa ajabu wa nchi na mtawala wake. Idadi ya watu nchini walifanya kazi katika ujenzi wa kaburi katika sehemu ya mwaka bila kazi ya kilimo. Maandishi kadhaa yanashuhudia uangalifu na uangalifu ambao wafalme wenyewe (ingawa ni wa wakati wa baadaye) walilipa kwa ujenzi wa kaburi lao na wajenzi wake. Pia inajulikana kuhusu heshima maalum za ibada ambazo zilitolewa kwa piramidi yenyewe.
Dhana za Msingi
Piramidi ni polihedroni ambayo msingi wake ni poligoni, na nyuso zilizobaki ni pembetatu ambazo zina vertex ya kawaida.
Apothem- urefu wa makali ya upande piramidi ya kawaida, inayotolewa kutoka juu yake;
Nyuso za upande- mkutano wa pembetatu kwenye vertex;
Mbavu za upande- pande za kawaida za nyuso za upande;
Juu ya piramidi- hatua ya kuunganisha mbavu za upande na sio uongo katika ndege ya msingi;
Urefu- sehemu ya perpendicular inayotolewa kwa njia ya juu ya piramidi kwa ndege ya msingi wake (mwisho wa sehemu hii ni juu ya piramidi na msingi wa perpendicular);
Sehemu ya diagonal ya piramidi- sehemu ya piramidi inayopita juu na diagonal ya msingi;
Msingi- poligoni ambayo si ya vertex ya piramidi.
Mali ya msingi ya piramidi ya kawaida
Kingo za kando, nyuso za kando na apothemu ni sawa.
Pembe za dihedral kwenye msingi ni sawa.
Pembe za dihedral kwenye kingo za upande ni sawa.
Kila sehemu ya urefu ni sawa kutoka kwa wima zote za msingi.
Kila sehemu ya urefu ni sawa kutoka kwa nyuso zote za upande.
Njia za msingi za piramidi
Eneo la uso wa nyuma na wa jumla wa piramidi.
Eneo la uso wa kando wa piramidi (kamili na iliyopunguzwa) ni jumla ya maeneo ya nyuso zake zote za nyuma, eneo la jumla la uso ni jumla ya maeneo ya nyuso zake zote.
Nadharia: Eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi na apothem ya piramidi.
uk- mzunguko wa msingi;
h- apothem.
Eneo la nyuso za nyuma na kamili za piramidi iliyopunguzwa.
uk 1, uk 2 - mzunguko wa msingi;
h- apothem.
R- jumla ya eneo la piramidi iliyopunguzwa ya kawaida;
S upande- eneo la uso wa nyuma wa piramidi ya kawaida iliyopunguzwa;
S 1 + S 2- eneo la msingi
Kiasi cha piramidi
Fomu ula kiasi hutumiwa kwa piramidi za aina yoyote.
H- urefu wa piramidi.
Pembe za piramidi
Pembe zinazoundwa na uso wa upande na msingi wa piramidi huitwa pembe za dihedral kwenye msingi wa piramidi.
Pembe ya dihedral huundwa na perpendiculars mbili.
Kuamua angle hii, mara nyingi unahitaji kutumia theorem tatu perpendicular.
Pembe zinazoundwa na makali ya upande na makadirio yake kwenye ndege ya msingi huitwa pembe kati ya makali ya upande na ndege ya msingi.
Pembe inayoundwa na kingo mbili za upande inaitwa pembe ya dihedral kwenye ukingo wa piramidi.
Pembe inayoundwa na kingo mbili za uso mmoja wa piramidi inaitwa pembe juu ya piramidi.
Sehemu za piramidi
Uso wa piramidi ni uso wa polyhedron. Kila moja ya nyuso zake ni ndege, kwa hiyo sehemu ya piramidi iliyoelezwa na ndege ya kukata ni mstari uliovunjika unaojumuisha mistari ya moja kwa moja ya mtu binafsi.
Sehemu ya diagonal
Sehemu ya piramidi na ndege inayopitia kingo mbili za upande ambazo hazilala kwenye uso mmoja inaitwa. sehemu ya diagonal piramidi.
Sehemu zinazofanana
Nadharia:
Ikiwa piramidi imeunganishwa na ndege inayofanana na msingi, basi kando ya kando na urefu wa piramidi imegawanywa na ndege hii katika sehemu za uwiano;
Sehemu ya ndege hii ni poligoni sawa na msingi;
Maeneo ya sehemu na msingi yanahusiana kwa kila mmoja kama mraba wa umbali wao kutoka kwa vertex.
Aina za piramidi
Piramidi sahihi- piramidi ambayo msingi wake ni poligoni ya kawaida, na sehemu ya juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya msingi.
Kwa piramidi ya kawaida:
1. mbavu za upande ni sawa
2. nyuso za upande ni sawa
3. apothems ni sawa
4. pembe za dihedral sawa kwa msingi
5. pembe za dihedral kwenye kingo za upande ni sawa
6. kila ncha ya urefu ni sawa kutoka kwa wima zote za msingi
7. kila sehemu ya urefu iko sawa kutoka kingo zote za upande
Piramidi iliyokatwa- sehemu ya piramidi iliyofungwa kati ya msingi wake na ndege ya kukata sambamba na msingi.
Sehemu ya msingi na inayolingana ya piramidi iliyopunguzwa inaitwa misingi ya piramidi iliyopunguzwa.
Perpendicular inayotolewa kutoka hatua yoyote ya msingi mmoja hadi ndege ya mwingine inaitwa urefu wa piramidi iliyopunguzwa.
Kazi
Nambari 1. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular, hatua O ni katikati ya msingi, SO = 8 cm, BD = 30 cm Pata makali ya SA.
Utatuzi wa matatizo
Nambari 1. Katika piramidi ya kawaida, nyuso zote na kingo ni sawa.
Fikiria OSB: OSB ni mstatili wa mstatili, kwa sababu.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
Piramidi katika usanifu
Piramidi ni muundo mkubwa katika mfumo wa piramidi ya kawaida ya kijiometri, ambayo pande zote hukutana kwa hatua moja. Kwa mujibu wa madhumuni yao ya kazi, piramidi katika nyakati za kale zilikuwa mahali pa mazishi au ibada ya ibada. Msingi wa piramidi unaweza kuwa na umbo la triangular, quadrangular, au polygonal na idadi ya kiholela ya wima, lakini toleo la kawaida ni msingi wa quadrangular.
Kuna idadi kubwa ya piramidi zilizojengwa na tamaduni tofauti za Ulimwengu wa Kale, haswa kama mahekalu au makaburi. Piramidi kubwa ni pamoja na piramidi za Misri.
Duniani kote unaweza kuona miundo ya usanifu kwa namna ya piramidi. Majengo ya piramidi yanakumbusha nyakati za kale na inaonekana nzuri sana.
Piramidi za Misri makaburi makubwa zaidi ya usanifu Misri ya Kale, kati ya ambayo moja ya "Maajabu Saba ya Dunia" ni Piramidi ya Cheops. Kutoka mguu hadi juu hufikia 137.3 m, na kabla ya kupoteza juu, urefu wake ulikuwa 146.7 m.
Jengo la kituo cha redio katika mji mkuu wa Slovakia, linalofanana na piramidi iliyopinduliwa, lilijengwa mwaka wa 1983. Mbali na ofisi na majengo ya huduma, ndani ya kiasi kuna ukumbi wa tamasha wa wasaa, ambao una moja ya vyombo vikubwa zaidi nchini Slovakia.
Louvre, ambayo ni "kimya, isiyobadilika na yenye fahari, kama piramidi," imepitia mabadiliko mengi kwa karne nyingi kabla ya kuwa jumba la makumbusho kubwa zaidi ulimwenguni. Ilizaliwa kama ngome, iliyojengwa na Philip Augustus mnamo 1190, ambayo hivi karibuni ikawa makazi ya kifalme. Mnamo 1793 jumba hilo likawa jumba la kumbukumbu. Mikusanyiko huboreshwa kupitia wasia au ununuzi.
Wanafunzi hukutana na dhana ya piramidi muda mrefu kabla ya kusoma jiometri. Kosa liko kwa maajabu maarufu ya Misri ya ulimwengu. Kwa hivyo, wakati wa kuanza kusoma polihedron hii ya ajabu, wanafunzi wengi tayari wanafikiria wazi. Vivutio vyote vilivyotajwa hapo juu vina sura sahihi. Nini kimetokea piramidi ya kawaida, na ina mali gani itajadiliwa zaidi.
Ufafanuzi
Kuna ufafanuzi mwingi wa piramidi. Tangu nyakati za zamani, imekuwa maarufu sana.
Kwa mfano, Euclid aliifafanua kuwa sura ya mwili inayojumuisha ndege ambazo, kuanzia moja, huungana katika hatua fulani.
Nguruwe alitoa uundaji sahihi zaidi. Alisisitiza kuwa hii ndiyo takwimu hiyo ina msingi na ndege ndani kwa namna ya pembetatu, kuungana kwa wakati mmoja.
Kulingana na tafsiri ya kisasa, piramidi inawakilishwa kama polihedroni ya anga inayojumuisha k-gon fulani na takwimu za k bapa. sura ya pembetatu, kuwa na jambo moja la kawaida.
Hebu tuangalie kwa undani zaidi, inajumuisha vipengele gani:
- K-gon inachukuliwa kuwa msingi wa takwimu;
- Maumbo ya pembe 3 yanajitokeza kama kingo za sehemu ya upande;
- sehemu ya juu ambayo vipengele vya upande vinatoka inaitwa kilele;
- sehemu zote zinazounganisha vertex huitwa kingo;
- ikiwa mstari wa moja kwa moja umepungua kutoka kwenye vertex hadi ndege ya takwimu kwa pembe ya digrii 90, basi sehemu yake iliyo katika nafasi ya ndani ni urefu wa piramidi;
- katika kipengele chochote cha upande, perpendicular, inayoitwa apothem, inaweza kuvutwa kwa upande wa polihedron yetu.
Idadi ya kingo huhesabiwa kwa kutumia formula 2*k, ambapo k ni idadi ya pande za k-gon. Ni nyuso ngapi za polihedroni kama vile piramidi zinaweza kubainishwa kwa kutumia usemi k+1.
Muhimu! Piramidi fomu sahihi inayoitwa kielelezo cha sterometriki ambacho ndege yake ya msingi ni k-gon yenye pande sawa.
Mali ya msingi
Piramidi sahihi ina mali nyingi, ambazo ni za kipekee kwake. Hebu tuorodheshe:
- Msingi ni takwimu ya sura sahihi.
- Kingo za piramidi zinazopunguza vipengele vya upande zina maadili sawa ya nambari.
- Vipengele vya upande ni pembetatu za isosceles.
- Msingi wa urefu wa takwimu huanguka katikati ya poligoni, wakati huo huo ni sehemu ya kati ya iliyoandikwa na iliyopigwa.
- Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe sawa.
- Nyuso zote za upande zina pembe sawa ya mwelekeo kuhusiana na msingi.
Shukrani kwa mali zote zilizoorodheshwa, kufanya mahesabu ya vipengele ni rahisi zaidi. Kulingana na mali hapo juu, tunazingatia ishara mbili:
- Katika kesi wakati poligoni inafaa kwenye mduara, nyuso za upande zitakuwa na msingi pembe sawa.
- Wakati wa kuelezea mduara kuzunguka poligoni, kingo zote za piramidi zinazotoka kwenye vertex zitakuwa na urefu sawa na pembe sawa na msingi.
Msingi ni mraba
Piramidi ya kawaida ya quadrangular - polyhedron ambayo msingi wake ni mraba.
Ina nyuso nne za upande, ambazo ni isosceles kwa kuonekana.
Mraba inaonyeshwa kwenye ndege, lakini inategemea mali yote ya pembe nne ya kawaida.
Kwa mfano, ikiwa ni muhimu kuhusisha upande wa mraba na diagonal yake, kisha tumia formula ifuatayo: diagonal ni sawa na bidhaa ya upande wa mraba na mizizi ya mraba ya mbili.
Inategemea pembetatu ya kawaida
Piramidi ya kawaida ya triangular ni polihedron ambayo msingi wake ni 3-gon ya kawaida.
Ikiwa msingi ni pembetatu ya kawaida, na kingo za upande ni sawa na kingo za msingi, basi takwimu kama hiyo. inayoitwa tetrahedron.
Nyuso zote za tetrahedron ni goni-3 za usawa. Katika kesi hii, unahitaji kujua vidokezo kadhaa na usipoteze wakati juu yao wakati wa kuhesabu:
- pembe ya mwelekeo wa mbavu kwa msingi wowote ni digrii 60;
- ukubwa wa nyuso zote za ndani pia ni digrii 60;
- uso wowote unaweza kufanya kama msingi;
- , inayotolewa ndani ya takwimu, haya ni vipengele sawa.
Sehemu za polyhedron
Katika polyhedron yoyote kuna aina kadhaa za sehemu gorofa. Mara nyingi katika kozi ya shule jiometri hufanya kazi na mbili:
- axial;
- sambamba na msingi.
Sehemu ya axial hupatikana kwa kuingiliana na polyhedron na ndege ambayo inapita kupitia vertex, kando ya kando na mhimili. Katika kesi hii, mhimili ni urefu unaotolewa kutoka kwa vertex. Ndege ya kukata ni mdogo na mistari ya makutano na nyuso zote, na kusababisha pembetatu.
Makini! Katika piramidi ya kawaida, sehemu ya axial ni pembetatu ya isosceles.
Ikiwa ndege ya kukata inaendesha sambamba na msingi, basi matokeo ni chaguo la pili. Katika kesi hii, tuna takwimu ya msalaba sawa na msingi.
Kwa mfano, ikiwa kuna mraba kwenye msingi, basi sehemu inayofanana na msingi pia itakuwa mraba, tu ya vipimo vidogo.
Wakati wa kutatua shida chini ya hali hii, hutumia ishara na mali ya kufanana kwa takwimu, kulingana na nadharia ya Thales. Kwanza kabisa, ni muhimu kuamua mgawo wa kufanana.
Ikiwa ndege inatolewa sambamba na msingi na inakata sehemu ya juu polyhedron, basi piramidi ya kawaida ya truncated hupatikana katika sehemu ya chini. Kisha misingi ya polihedron iliyopunguzwa inasemekana kuwa poligoni sawa. Katika kesi hii, nyuso za upande ni isosceles trapezoids. Sehemu ya axial pia ni isosceles.
Ili kuamua urefu wa polyhedron iliyopunguzwa, ni muhimu kuteka urefu katika sehemu ya axial, yaani, katika trapezoid.
Maeneo ya uso
Msingi matatizo ya kijiometri ambayo yanapaswa kutatuliwa katika kozi ya jiometri ya shule ni kutafuta eneo la uso na kiasi cha piramidi.
Kuna aina mbili za maadili ya eneo la uso:
- eneo la vipengele vya upande;
- eneo la uso mzima.
Kutoka kwa jina lenyewe ni wazi kile tunachozungumza. Uso wa upande unajumuisha vipengele vya upande tu. Inafuata kutoka kwa hili kwamba ili kuipata, unahitaji tu kuongeza maeneo ya ndege za baadaye, yaani, maeneo ya isosceles 3-gons. Wacha tujaribu kupata formula ya eneo la vitu vya upande:
- Eneo la isosceles 3-gon ni sawa na Str=1/2(aL), ambapo a ni upande wa msingi, L ni apothem.
- Idadi ya ndege za upande hutegemea aina ya k-gon kwenye msingi. Kwa mfano, piramidi ya kawaida ya quadrangular ina ndege nne za upande. Kwa hiyo, ni muhimu kuongeza maeneo ya takwimu nne Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Usemi huo umerahisishwa kwa njia hii kwa sababu thamani 4a = Rosn, ambapo Rosn ni mzunguko wa msingi. Na usemi 1/2*Rosn ni nusu ya mzunguko wake.
- Kwa hivyo, tunahitimisha kuwa eneo la vitu vya nyuma vya piramidi ya kawaida ni sawa na bidhaa ya mzunguko wa nusu ya msingi na apothem: Sside = Rosn * L.
Eneo la jumla la uso wa piramidi lina jumla ya maeneo ya ndege za upande na msingi: Sp.p = Sside + Sbas.
Kama eneo la msingi, hapa formula hutumiwa kulingana na aina ya poligoni.
Kiasi cha piramidi ya kawaida sawa na bidhaa ya eneo la ndege ya msingi na urefu uliogawanywa na tatu: V=1/3*Sbas*H, ambapo H ni urefu wa polihedron.
Je, ni piramidi ya kawaida katika jiometri
Mali ya piramidi ya kawaida ya quadrangular
Mtu anaposikia neno “piramidi,” mara moja anakumbuka miundo mikuu ya Misri. Hata hivyo, makubwa ya mawe ya kale ni mmoja tu wa wawakilishi wa darasa la piramidi. Katika makala hii tutazingatia kutoka kwa mtazamo wa kijiometri mali ya piramidi ya kawaida ya quadrangular.
Piramidi ni nini kwa ujumla?
Katika jiometri, inaeleweka kama mchoro wa pande tatu, ambao unaweza kupatikana kwa kuunganisha wima zote za poligoni bapa na nukta moja iliyo katika ndege tofauti na poligoni hii. Picha hapa chini inaonyesha maumbo 4 yanayotosheleza ufafanuzi huu.
Tunaona kwamba takwimu ya kwanza ina msingi wa pembe tatu, ya pili ni quadrangular. Mbili za mwisho zinawakilishwa na msingi wa pentagonal na hexagonal. Walakini, uso wa nyuma wa piramidi zote huundwa na pembetatu. Idadi yao ni sawa kabisa na idadi ya pande au vipeo vya poligoni kwenye msingi.
Aina maalum ya piramidi, ambayo inatofautiana na wawakilishi wengine wa darasa katika ulinganifu wake bora, ni piramidi ya kawaida. Ili takwimu iwe sahihi, sharti mbili zifuatazo lazima zizingatiwe:
- msingi lazima uwe na poligoni ya kawaida;
- uso wa upande wa takwimu unapaswa kuwa na pembetatu za isosceles sawa.
Kumbuka kwamba ya pili sharti inaweza kubadilishwa na kitu kingine: perpendicular inayotolewa kwa msingi kutoka juu ya piramidi (hatua ya makutano ya pembetatu ya upande) lazima kuingilia msingi huu kwenye kituo chake cha kijiometri.
Sasa hebu tuendelee kwenye mada ya kifungu na tuchunguze ni sifa gani za piramidi ya kawaida ya quadrangular. Kwanza, hebu tuonyeshe kwenye takwimu jinsi takwimu hii inavyoonekana.
Msingi wake ni mraba. Pande hizo zinawakilisha pembetatu 4 za isosceles zinazofanana (zinaweza pia kuwa sawa kwa uwiano fulani wa urefu wa upande wa mraba na urefu wa takwimu). Urefu uliopunguzwa kutoka juu ya piramidi utaingilia mraba katikati yake (hatua ya makutano ya diagonals).
Piramidi hii ina nyuso 5 (mraba na pembetatu nne), wima 5 (nne kati yao ni ya msingi) na kingo 8. utaratibu wa nne, kupita kwa urefu wa piramidi, huibadilisha yenyewe kwa kuzunguka 90 o.
Piramidi za Misri huko Giza ni za kawaida za quadrangular.
Vigezo vinne vya Msingi vya Linear
Hebu tuanze kuzingatia sifa za hisabati za piramidi ya kawaida ya quadrangular na fomula za urefu, urefu wa upande wa msingi, makali ya upande na apothem. Wacha tuseme mara moja kwamba idadi hii yote inahusiana na kila mmoja, kwa hivyo inatosha kujua ni mbili tu kati yao ili kuhesabu bila usawa mbili zilizobaki.
Tuseme kwamba urefu wa h wa piramidi na urefu wa upande wa msingi wa mraba unajulikana, basi makali ya upande b yatakuwa sawa na:
b = √(a 2 / 2 + h 2)
Sasa tunatoa fomula ya urefu b ya apothem (urefu wa pembetatu iliyoteremshwa kwa upande wa msingi):
a b = √(a 2 / 4 + h 2)
Ni wazi, ukingo wa b daima ni mkubwa kuliko apothem a b .
Semi zote mbili zinaweza kutumiwa kubainisha sifa zote nne za mstari ikiwa vigezo vingine viwili vinajulikana, kwa mfano a b na h.
Eneo na kiasi cha takwimu
Hizi ni mali mbili muhimu zaidi za piramidi ya kawaida ya quadrangular. Msingi wa takwimu una eneo lifuatalo:
Kila mtoto wa shule anajua fomula hii. Eneo la uso wa kando, ambalo linaundwa na pembetatu nne zinazofanana, linaweza kuamua kupitia apothem b ya piramidi kama ifuatavyo:
Ikiwa b haijulikani, basi inaweza kuamuliwa kwa kutumia fomula kutoka kwa aya iliyotangulia kupitia urefu wa h au ukingo b.
Jumla ya eneo la takwimu inayozingatiwa ni jumla ya maeneo S o na S b:
S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)
Eneo lililohesabiwa la nyuso zote za piramidi linaonyeshwa kwenye takwimu hapa chini kwa namna ya maendeleo yake.
Maelezo ya mali ya piramidi ya kawaida ya quadrangular haitakuwa kamili bila kuzingatia formula ya kuamua kiasi chake. Thamani hii ya piramidi inayohusika imehesabiwa kama ifuatavyo:
Hiyo ni, V ni sawa na sehemu ya tatu ya bidhaa ya urefu wa takwimu na eneo la msingi wake.
Mali ya piramidi ya kawaida ya quadrangular iliyopunguzwa
Unaweza kupata takwimu hii kutoka kwa piramidi ya asili. Ili kufanya hivyo, unahitaji kukata sehemu ya juu ya piramidi na ndege. Takwimu iliyobaki chini ya ndege iliyokatwa itaitwa piramidi iliyopunguzwa.
Ni rahisi zaidi kusoma sifa za piramidi iliyopunguzwa ikiwa misingi yake ni sawa na kila mmoja. Katika kesi hii, besi za chini na za juu zitakuwa polygons sawa. Kwa kuwa katika piramidi ya kawaida ya quadrangular msingi ni mraba, sehemu inayoundwa wakati wa kukata pia itawakilisha mraba, lakini kwa ukubwa mdogo.
Uso wa pembeni wa takwimu iliyopunguzwa huundwa sio na pembetatu, lakini na isosceles trapezoids.
Moja ya mali muhimu ya piramidi hii ni kiasi chake, ambacho kinahesabiwa na formula:
V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))
Hapa h ni umbali kati ya besi za takwimu, S o1, S o2 ni maeneo ya besi ya chini na ya juu.
Ufafanuzi
Piramidi ni polihedroni inayoundwa na poligoni \(A_1A_2...A_n\) na \(n\) pembetatu yenye kipeo cha kawaida \(P\) (isiyolala kwenye ndege ya poligoni) na pande zinazoelekeana nayo. pande za poligoni.
Wajibu: \(PA_1A_2...A_n\) .
Mfano: piramidi ya pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Pembetatu \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), nk. wanaitwa nyuso za upande piramidi, sehemu \(PA_1, PA_2\), n.k. - mbavu za pembeni, poligoni \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - msingi, uhakika \(P\) - juu.
Urefu piramidi ni perpendicular iliyoshuka kutoka juu ya piramidi hadi ndege ya msingi.
Piramidi yenye pembetatu kwenye msingi wake inaitwa tetrahedron.
Piramidi inaitwa sahihi, ikiwa msingi wake ni poligoni ya kawaida na moja ya masharti yafuatayo yamefikiwa:
\(a)\) kingo za kando za piramidi ni sawa;
\((b)\) urefu wa piramidi hupitia katikati ya duara iliyozungushwa karibu na msingi;
\((c)\) mbavu za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe sawa.
\((d)\) nyuso za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe sawa.
Tetrahedron ya kawaida ni piramidi ya pembetatu, ambayo nyuso zake zote ni pembetatu sawa.
Nadharia
Masharti \((a), (b), (c), (d)\) ni sawa.
Ushahidi
Wacha tupate urefu wa piramidi \(PH\) . Hebu \(\alpha\) iwe ndege ya msingi wa piramidi.
1) Hebu tuthibitishe kwamba \((a)\) inamaanisha \((b)\) . Hebu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Kwa sababu \(PH\perp \alpha\), kisha \(PH\) ni sawa na mstari wowote ulio kwenye ndege hii, ambayo inamaanisha kuwa pembetatu zina pembe ya kulia. Hii inamaanisha kuwa pembetatu hizi ni sawa kwa mguu wa kawaida \(PH\) na hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Kwa hivyo, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Hii ina maana kwamba pointi \(A_1, A_2, ..., A_n\) ziko katika umbali sawa kutoka kwa uhakika \(H\), kwa hivyo, ziko kwenye mduara sawa na radius \(A_1H\) . Mduara huu, kwa ufafanuzi, umezungushwa kuhusu poligoni \(A_1A_2...A_n\) .
2) Hebu tuthibitishe kwamba \((b)\) inamaanisha \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) mstatili na sawa kwa miguu miwili. Hii ina maana kwamba pembe zao pia ni sawa, kwa hiyo, \(\pembe PA_1H=\pembe PA_2H=...=\pembe PA_nH\).
3) Hebu tuthibitishe kwamba \((c)\) inamaanisha \((a)\) .
Sawa na hatua ya kwanza, pembetatu \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) mstatili wote kando ya mguu na pembe ya papo hapo. Hii ina maana kwamba hypotenuses zao pia ni sawa, yaani, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Hebu tuthibitishe kwamba \((b)\) inamaanisha \((d)\) .
Kwa sababu katika poligoni ya kawaida vituo vya miduara iliyozungushwa na iliyoandikwa hupatana (kwa ujumla, hatua hii inaitwa kitovu cha poligoni ya kawaida), kisha \(H\) ni kitovu cha duara iliyoandikwa. Wacha tuchore perpendiculars kutoka kwa uhakika \(H\) hadi kando ya msingi: \(HK_1, HK_2\), nk. Hizi ni radii za mduara ulioandikwa (kwa ufafanuzi). Kisha, kulingana na TTP (\(PH\) ni perpendicular kwa ndege, \(HK_1, HK_2\), nk. ni makadirio perpendicular kwa pande) kutega \(PK_1, PK_2\), nk. perpendicular kwa pande \(A_1A_2, A_2A_3\), nk. kwa mtiririko huo. Kwa hivyo, kwa ufafanuzi \(\pembe PK_1H, \pembe PK_2H\) sawa na pembe kati ya nyuso za upande na msingi. Kwa sababu pembetatu \(PK_1H, PK_2H, ...\) ni sawa (kama mstatili kwenye pande mbili), kisha pembe \(\pembe PK_1H, \pembe PK_2H, ...\) ni sawa.
5) Hebu tuthibitishe kwamba \((d)\) inamaanisha \((b)\) .
Sawa na nukta ya nne, pembetatu \(PK_1H, PK_2H, ...\) ni sawa (kama mstatili kando ya mguu na pembe ya papo hapo), ambayo inamaanisha kuwa sehemu \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ni sawa. Hii inamaanisha, kwa ufafanuzi, \(H\) ni kitovu cha duara kilichoandikwa kwenye msingi. Lakini kwa sababu Kwa poligoni za kawaida, vituo vya miduara iliyoandikwa na iliyozungushwa sanjari, basi \(H\) ni kitovu cha duara iliyozungushwa. Chtd.
Matokeo
Nyuso za upande wa piramidi ya kawaida ni pembetatu sawa za isosceles.
Ufafanuzi
Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka kwenye vertex yake inaitwa apothem.
Maneno ya nyuso zote za upande wa piramidi ya kawaida ni sawa kwa kila mmoja na pia ni wapatanishi na wagawanyaji.
Vidokezo Muhimu
1. Urefu wa piramidi ya kawaida ya triangular huanguka kwenye hatua ya makutano ya urefu (au bisectors, au medians) ya msingi (msingi ni pembetatu ya kawaida).
2. Urefu wa piramidi ya kawaida ya quadrangular huanguka kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (msingi ni mraba).
3. Urefu wa piramidi ya kawaida ya hexagonal huanguka kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (msingi ni hexagon ya kawaida).
4. Urefu wa piramidi ni perpendicular kwa mstari wowote wa moja kwa moja ulio chini.
Ufafanuzi
Piramidi inaitwa mstatili, ikiwa moja ya kingo zake za upande ni perpendicular kwa ndege ya msingi.
Vidokezo Muhimu
1. Katika piramidi ya mstatili, makali ya perpendicular kwa msingi ni urefu wa piramidi. Hiyo ni, \(SR\) ni urefu.
2. Kwa sababu \(SR\) ni perpendicular kwa mstari wowote kutoka msingi, basi \(\pembetatu SRM, \pembetatu SRP\)- pembetatu za kulia.
3. Pembetatu \(\pembetatu SRN, \pembetatu SRK\)- pia mstatili.
Hiyo ni, pembetatu yoyote inayoundwa na makali haya na diagonal inayojitokeza kutoka kwenye vertex ya makali haya yaliyo kwenye msingi itakuwa mstatili.
\[(\Kubwa(\maandishi(Kiasi na eneo la uso wa piramidi)))\]
Nadharia
Kiasi cha piramidi ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la msingi na urefu wa piramidi: \
Matokeo
Acha \(a\) iwe upande wa msingi, \(h\) iwe urefu wa piramidi.
1. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya triangular ni \(V_(\text(pembetatu ya kulia.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya quadrangular ni \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya hexagonal ni \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Kiasi cha tetrahedron ya kawaida ni \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Nadharia
Eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi na apothem.
\[(\Kubwa(\text(Frustum)))\]
Ufafanuzi
Fikiria piramidi ya kiholela \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Hebu tuchore ndege sambamba na msingi wa piramidi kupitia hatua fulani iliyolala kwenye makali ya upande wa piramidi. Ndege hii itagawanya piramidi katika polihedra mbili, moja ambayo ni piramidi (\(PB_1B_2...B_n\)), na nyingine inaitwa. piramidi iliyopunguzwa(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Piramidi iliyokatwa ina besi mbili - poligoni \(A_1A_2...A_n\) na \(B_1B_2...B_n\) ambazo zinafanana.
Urefu wa piramidi iliyopunguzwa ni perpendicular inayotolewa kutoka kwa hatua fulani ya msingi wa juu hadi ndege ya msingi wa chini.
Vidokezo Muhimu
1. Nyuso zote za upande wa piramidi iliyopunguzwa ni trapezoids.
2. Sehemu inayounganisha vituo vya besi za piramidi ya kawaida iliyopunguzwa (yaani, piramidi iliyopatikana kwa sehemu ya msalaba wa piramidi ya kawaida) ni urefu.
