Yaliyomo katika makala

NUKUU- derivative ya kipengele y = f(x), iliyotolewa kwa muda fulani ( a, b) kwa uhakika x ya muda huu inaitwa kikomo ambacho uwiano wa ongezeko la kazi huelekea f katika hatua hii kwa nyongeza inayolingana ya hoja wakati nyongeza ya hoja inaelekea sifuri.

Derivative kawaida huonyeshwa kama ifuatavyo:

Majina mengine pia hutumiwa sana:

Kasi ya papo hapo.

Hebu uhakika M husogea kwa mstari ulionyooka. Umbali s hatua ya kusonga, iliyohesabiwa kutoka nafasi fulani ya awali M 0 , inategemea na wakati t, i.e. s kuna kazi ya wakati t: s= f(t). Wacha kwa wakati fulani t hatua ya kusonga M alikuwa kwa mbali s kutoka nafasi ya kuanzia M 0, na wakati fulani ujao t+D t alijikuta katika nafasi M 1 - kwa mbali s+D s kutoka nafasi ya awali ( tazama picha.).

Kwa hivyo, kwa muda D t umbali s imebadilishwa na kiasi cha D s. Katika kesi hii wanasema kwamba wakati wa muda D t ukubwa s kupokea nyongeza D s.

Kasi ya wastani haiwezi katika hali zote kuashiria kwa usahihi kasi ya harakati ya uhakika M kwa wakati fulani t. Ikiwa, kwa mfano, mwili mwanzoni mwa muda wa D t ilihamia haraka sana, na mwishoni polepole sana, basi kasi ya wastani haitaweza kuonyesha sifa zilizoonyeshwa za harakati ya uhakika na kutoa wazo la kasi ya kweli ya harakati zake kwa sasa. t. Ili kueleza kwa usahihi zaidi kasi ya kweli kwa kutumia kasi ya wastani, unahitaji kuchukua muda mfupi D t. Wengi huonyesha kikamilifu kasi ya harakati ya uhakika kwa sasa t kikomo ambacho kasi ya wastani huwa D t® 0. Kikomo hiki kinaitwa kasi ya kusogea ndani kwa sasa:

Kwa hivyo, kasi ya harakati kwa wakati fulani inaitwa kikomo cha uwiano wa ongezeko la njia D s kwa ongezeko la wakati D t, wakati ongezeko la wakati linaelekea sifuri. Kwa sababu

Maana ya kijiometri ya derivative. Tanji kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa.

Ujenzi wa mistari ya tangent ni mojawapo ya matatizo ambayo yalisababisha kuzaliwa kwa calculus tofauti. Kazi ya kwanza iliyochapishwa inayohusiana na hesabu tofauti, iliyoandikwa na Leibniz, ilipewa jina Mbinu mpya maxima na minima, pamoja na tangents, ambayo sio sehemu ndogo au isiyo na maana, na aina maalum ya calculus kwa hili, hutumika kama kikwazo..

Acha curve iwe grafu ya chaguo la kukokotoa y =f(x) katika mfumo wa kuratibu wa mstatili ( cm. mchele.).

Kwa thamani fulani x kazi ni muhimu y =f(x) Maadili haya x Na y hatua kwenye curve inalingana M 0(x, y) Ikiwa hoja x kutoa ongezeko D x, basi thamani mpya ya hoja x+D x inalingana na thamani mpya ya chaguo la kukokotoa y+ D y = f(x + D x) Hatua inayolingana ya curve itakuwa hatua M 1(x+D x,y+D y) Ukichora sekunde M 0M 1 na kuonyeshwa na j angle inayoundwa na transversal yenye mwelekeo mzuri wa mhimili Ng'ombe, ni wazi mara moja kutoka kwa takwimu kwamba.

Ikiwa sasa D x huelekea sifuri, basi uhakika M 1 inasogea kando ya mkunjo, inakaribia uhakika M 0, na pembe j mabadiliko na D x. Saa Dx® 0 pembe j huwa na kikomo fulani a na mstari wa moja kwa moja kupita kwenye uhakika M 0 na sehemu yenye mwelekeo chanya wa mhimili wa x, angle a, itakuwa tanjenti inayotakiwa. Yake mteremko:

Kwa hivyo, f´( x) = tga

hizo. thamani derivative f´( x) kwa thamani iliyopewa hoja x sawa na tanjiti ya pembe inayoundwa na tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) katika hatua inayolingana M 0(x,y) yenye mwelekeo chanya wa mhimili Ng'ombe.

Tofauti ya kazi.

Ufafanuzi. Ikiwa kazi y = f(x) ina derivative katika uhakika x = x 0, basi kazi inaweza kutofautishwa katika hatua hii.

Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa kuwa na derivative. Nadharia.

Ikiwa kazi y = f(x) inaweza kutofautishwa wakati fulani x = x 0, basi ni endelevu katika hatua hii.

Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa haliwezi kuwa na derivative katika sehemu za kutoendelea. Hitimisho kinyume si sahihi, i.e. kutokana na ukweli kwamba wakati fulani x = x 0 kazi y = f(x) ni endelevu haimaanishi kuwa inaweza kutofautishwa katika hatua hii. Kwa mfano, kazi y = |x| endelevu kwa kila mtu x(–Ґ x x = 0 haina derivative. Katika hatua hii hakuna tanjenti kwa grafu. Kuna tanjenti ya kulia na ya kushoto, lakini haziwiani.

Baadhi ya nadharia kuhusu vipengele vinavyoweza kutofautishwa. Nadharia juu ya mizizi ya derivative (nadharia ya Rolle). Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwenye sehemu [a,b], inaweza kutofautishwa katika sehemu zote za ndani za sehemu hii na miisho x = a Na x = b kwenda kwa sifuri ( f(a) = f(b) = 0), kisha ndani ya sehemu [ a,b] kuna angalau pointi moja x= Na, a c b, ambayo derivative fў( x) huenda kwa sifuri, i.e. fў( c) = 0.

Finite increment theorem (Nadharia ya Lagrange). Ikiwa kazi f(x) inaendelea kwa muda [ a, b] na inaweza kutofautishwa katika sehemu zote za ndani za sehemu hii, kisha ndani ya sehemu [ a, b] kuna angalau pointi moja Na, a c b hiyo

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Nadharia juu ya uwiano wa nyongeza za kazi mbili (nadharia ya Cauchy). Kama f(x) Na g(x) - kazi mbili zinazoendelea kwenye sehemu [a, b] na inaweza kutofautishwa katika sehemu zote za ndani za sehemu hii, na gў( x) haipotei popote ndani ya sehemu hii, kisha ndani ya sehemu [ a, b] kuna hatua kama hiyo x = Na, a c b hiyo

Derivatives ya maagizo mbalimbali.

Hebu kazi y =f(x) inaweza kutofautishwa kwa muda fulani [ a, b]. Maadili yanayotokana f ў( x), kwa ujumla, hutegemea x, i.e. derivative f ў( x) pia ni kazi ya x. Wakati wa kutofautisha kazi hii, tunapata kinachojulikana derivative ya pili ya kazi f(x), ambayo inaashiria f ўў ( x).

Derivative n- utaratibu wa utendaji f(x) inaitwa (mpangilio wa kwanza) derivative ya derivative n- 1- th na inaonyeshwa na ishara y(n) = (y(n- 1))•.

Tofauti za maagizo mbalimbali.

Tofauti ya kazi y = f(x), Wapi x- tofauti huru, ndiyo dy = f ў( x)dx, baadhi ya kazi kutoka x, lakini kutoka x sababu ya kwanza tu inaweza kutegemea f ў( x sababu ya pili ( dx) ni nyongeza ya kigezo huru x na haitegemei thamani ya utaftaji huu. Kwa sababu dy kuna kazi kutoka x, basi tunaweza kuamua tofauti ya kazi hii. Tofauti ya utofautishaji wa chaguo za kukokotoa huitwa tofauti ya pili au tofauti ya mpangilio wa pili ya chaguo hili la kukokotoa na inaashiria. d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Tofauti n- ya mpangilio wa kwanza inaitwa tofauti ya kwanza ya tofauti n- 1- agizo la th:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Sehemu ya derivative.

Ikiwa kazi inategemea sio moja, lakini kwa hoja kadhaa x i(i inatofautiana kutoka 1 hadi n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), basi katika hesabu tofauti dhana ya derivative ya sehemu inaletwa, ambayo inaashiria kiwango cha mabadiliko ya kazi ya vigeu kadhaa wakati hoja moja tu inabadilika, kwa mfano, x i. Agizo la 1 sehemu ya derivative kwa heshima na x i inafafanuliwa kama derivative ya kawaida, na inachukuliwa kuwa hoja zote isipokuwa x i, weka maadili thabiti. Kwa derivatives sehemu, nukuu ni kuletwa

Agizo la 1 derivatives ya sehemu iliyofafanuliwa kwa njia hii (kama kazi za hoja sawa) inaweza, kwa upande wake, kuwa na derivatives ya sehemu, haya ni derivatives ya sehemu ya mpangilio wa pili, nk. Derivatives kama hizo zilizochukuliwa kutoka kwa hoja tofauti huitwa mchanganyiko. Mchanganyiko unaoendelea wa mchanganyiko wa utaratibu huo hautegemei utaratibu wa kutofautisha na ni sawa kwa kila mmoja.

Anna Chugainova

Katika ndege ya kuratibu xOy zingatia grafu ya chaguo la kukokotoa y=f(x). Hebu kurekebisha uhakika M(x 0 ; f (x 0)). Wacha tuongeze abscissa x 0 ongezeko Δх. Tutapata abscissa mpya x 0 +Δx. Hii ni abscissa ya uhakika N, na mratibu atakuwa sawa f (x 0 +Δx) Mabadiliko katika abscissa yalijumuisha mabadiliko katika kuratibu. Mabadiliko haya yanaitwa nyongeza ya chaguo za kukokotoa na inaashiria Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Kupitia nukta M Na N wacha tuchore sekunde MN, ambayo huunda pembe φ yenye mwelekeo chanya wa mhimili Oh. Wacha tuamue tangent ya pembe φ kutoka kwa pembetatu ya kulia MPN.

Hebu Δх inaelekea sifuri. Kisha secant MN itaelekea kuchukua nafasi ya tangent MT, na pembe φ itakuwa pembe α . Kwa hivyo, tangent ya pembe α ni thamani ya kuzuia ya tanjiti ya pembe φ :

Kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi ongezeko la hoja, wakati mwisho inaelekea sifuri, huitwa derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani:

Maana ya kijiometri ya derivative iko katika ukweli kwamba derivative ya nambari ya kazi katika hatua fulani ni sawa na tanjenti ya pembe inayoundwa na tanjenti inayochorwa kupitia hatua hii hadi kwenye curve iliyotolewa na mwelekeo chanya wa mhimili. Oh:

Mifano.

1. Tafuta nyongeza ya hoja na nyongeza ya chaguo za kukokotoa y= x 2, ikiwa thamani ya awali ya hoja ilikuwa sawa na 4 , na mpya - 4,01 .

Suluhisho.

Thamani mpya ya hoja x=x 0 +Δx. Wacha tubadilishe data: 4.01=4+Δх, kwa hivyo ongezeko la hoja Δх=4.01-4=0.01. Kuongezeka kwa kazi, kwa ufafanuzi, ni sawa na tofauti kati ya maadili mapya na ya awali ya kazi, i.e. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Kwa kuwa tuna kazi y=x2, Hiyo Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Jibu: ongezeko la hoja Δх=0.01; ongezeko la kazi Δу=0,0801.

Ongezeko la kazi linaweza kupatikana kwa njia tofauti: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Pata pembe ya mwelekeo wa tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa y=f(x) kwa uhakika x 0,Kama f "(x 0) = 1.

Suluhisho.

Thamani ya derivative katika hatua ya kutofautisha x 0 na ni thamani ya tanjiti ya pembe ya tanjiti (maana ya kijiometri ya derivative). Tunayo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, kwa sababu tg45°=1.

Jibu: tangent kwa grafu ya chaguo hili la kukokotoa huunda pembe yenye mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox sawa na 45°.

3. Pata fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa y=xn.

Utofautishaji ni kitendo cha kutafuta derivative ya kitendakazi.

Wakati wa kutafuta derivatives, tumia fomula ambazo zilitolewa kulingana na ufafanuzi wa derivative, kwa njia sawa na tulivyopata fomula ya shahada ya derivative: (x n)" = nx n-1.

Hizi ndizo fomula.

Jedwali la derivatives Itakuwa rahisi kukariri kwa kutamka uundaji wa maneno:

1. Derivative ya wingi wa mara kwa mara ni sifuri.

2. X prime ni sawa na moja.

3. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative.

4. Derivative ya shahada ni sawa na bidhaa ya kipeo cha shahada hii kwa digrii yenye msingi sawa, lakini kipeo ni kimoja kidogo.

5. Derivative ya mzizi ni sawa na moja iliyogawanywa na mizizi miwili sawa.

6. Nyingine ya moja iliyogawanywa na x ni sawa na minus moja iliyogawanywa na x mraba.

7. Derivative ya sine ni sawa na kosine.

8. Nyingine ya kosine ni sawa na minus sine.

9. Derivative ya tangent ni sawa na moja iliyogawanywa na mraba wa cosine.

10. Nyingine ya kotanjenti ni sawa na toa moja iliyogawanywa na mraba wa sine.

Tunafundisha kanuni za kutofautisha.

1. Nyingine ya jumla ya aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya viini vya maneno.

2. Derivative ya bidhaa ni sawa na bidhaa ya derivative ya sababu ya kwanza na ya pili pamoja na bidhaa ya sababu ya kwanza na derivative ya pili.

3. Nyingine ya "y" iliyogawanywa na "ve" ni sawa na sehemu ambayo nambari ni "y mkuu ikizidishwa na "ve" toa "y ikizidishwa na ve mkuu", na denominata ni "ve mraba".

4. Kesi maalum ya formula 3.

Kutatua matatizo ya kimwili au mifano katika hisabati haiwezekani kabisa bila ujuzi wa derivative na mbinu za kuhesabu. Derivative ni mojawapo ya dhana muhimu zaidi katika uchambuzi wa hisabati. Tuliamua kutoa makala ya leo kwa mada hii ya msingi. Je, derivative ni nini, maana yake ya kimwili na kijiometri ni nini, jinsi ya kuhesabu derivative ya kazi? Maswali haya yote yanaweza kuunganishwa kuwa moja: jinsi ya kuelewa derivative?

Maana ya kijiometri na kimwili ya derivative

Hebu kuwe na kazi f(x) , iliyobainishwa katika muda fulani (a, b) . Alama x na x0 ni za kipindi hiki. Wakati x inabadilika, kazi yenyewe inabadilika. Kubadilisha hoja - tofauti katika maadili yake x-x0 . Tofauti hii imeandikwa kama delta x na inaitwa kuongeza hoja. Mabadiliko au nyongeza ya chaguo za kukokotoa ni tofauti kati ya thamani za chaguo za kukokotoa katika nukta mbili. Ufafanuzi wa derivative:

Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa katika sehemu fulani ya nyongeza ya hoja wakati mwisho inaelekea sifuri.

Vinginevyo inaweza kuandikwa kama hii:

Ni nini maana ya kupata kikomo kama hicho? Na hii ndio ni:

derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na tanjenti ya pembe kati ya mhimili wa OX na tanje kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani.

Maana ya kimwili ya derivative: derivative ya njia kwa heshima na wakati ni sawa na kasi ya mwendo wa rectilinear.

Hakika, tangu siku za shule kila mtu anajua kwamba kasi ni njia fulani x=f(t) na wakati t . Kasi ya wastani katika kipindi fulani cha muda:

Ili kujua kasi ya harakati kwa wakati kwa wakati t0 unahitaji kuhesabu kikomo:

Kanuni ya kwanza: kuweka mara kwa mara

Mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara derivative. Aidha, hii lazima ifanyike. Wakati wa kutatua mifano katika hisabati, ichukue kama sheria - Ikiwa unaweza kurahisisha usemi, hakikisha umerahisisha .

Mfano. Wacha tuhesabu derivative:

Kanuni ya pili: inayotokana na jumla ya kazi

Derivative ya jumla ya kazi mbili ni sawa na jumla ya derivatives ya kazi hizi. Vile vile ni kweli kwa derivative ya tofauti ya kazi.

Hatutatoa uthibitisho wa nadharia hii, lakini fikiria mfano wa vitendo.

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:

Kanuni ya tatu: derivative ya bidhaa ya kazi

Derivative ya bidhaa ya kazi mbili zinazoweza kutofautishwa huhesabiwa na formula:

Mfano: tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa:

Suluhisho:

Ni muhimu kuzungumza juu ya kuhesabu derivatives ya kazi ngumu hapa. Nyingine ya chaguo za kukokotoa changamani ni sawa na bidhaa ya kinyambulisho cha chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na hoja ya kati na kinyago cha hoja ya kati kwa heshima na kigezo huru.

Katika mfano hapo juu tunakutana na usemi:

Katika kesi hii, hoja ya kati ni 8x hadi nguvu ya tano. Ili kuhesabu derivative ya usemi kama huo, kwanza tunahesabu derivative kazi ya nje kwa hoja ya kati, na kisha zidisha kwa derivative ya hoja ya kati yenyewe kwa heshima na tofauti huru.

Kanuni ya nne: derivative ya mgawo wa kazi mbili

Mfumo wa kuamua derivative ya mgawo wa kazi mbili:

Tulijaribu kuzungumza juu ya derivatives kwa dummies kutoka mwanzo. Mada hii sio rahisi kama inavyoonekana, kwa hivyo tahadhari: mara nyingi kuna mitego katika mifano, kwa hivyo kuwa mwangalifu wakati wa kuhesabu derivatives.

Ukiwa na maswali yoyote kuhusu mada hii na nyinginezo, unaweza kuwasiliana na huduma ya wanafunzi. Kwa muda mfupi, tutakusaidia kutatua mtihani mgumu zaidi na kuelewa kazi, hata kama hujawahi kufanya mahesabu ya derivative hapo awali.

Kiini cha chaguo la kukokotoa ni mojawapo ya mada ngumu katika mtaala wa shule. Sio kila mhitimu atajibu swali la nini derivative ni.

Makala hii inaelezea kwa njia rahisi na wazi kile derivative ni na kwa nini inahitajika.. Hatutajitahidi sasa kwa ukali wa hesabu katika uwasilishaji. Jambo kuu ni kuelewa maana.

Wacha tukumbuke ufafanuzi:

Derivative ni kasi ya mabadiliko ya chaguo la kukokotoa.

Takwimu inaonyesha grafu za kazi tatu. Je, unadhani ni ipi inakua kwa kasi?

Jibu ni dhahiri - la tatu. Ina kiwango cha juu zaidi cha mabadiliko, yaani, derivative kubwa zaidi.

Hapa kuna mfano mwingine.

Kostya, Grisha na Matvey walipata kazi wakati huo huo. Wacha tuone jinsi mapato yao yalibadilika katika mwaka:

Grafu inaonyesha kila kitu mara moja, sivyo? Mapato ya Kostya yaliongezeka zaidi ya mara mbili katika miezi sita. Na mapato ya Grisha pia yaliongezeka, lakini kidogo tu. Na mapato ya Matvey yalipungua hadi sifuri. Hali ya kuanzia ni sawa, lakini kiwango cha mabadiliko ya kazi, yaani derivative, - tofauti. Kama kwa Matvey, derivative ya mapato yake kwa ujumla ni hasi.

Intuitively, tunakadiria kwa urahisi kasi ya mabadiliko ya chaguo la kukokotoa. Lakini tunafanyaje hili?

Tunachoangalia sana ni jinsi grafu ya kitendakazi inavyopanda juu (au chini). Kwa maneno mengine, je, y hubadilika kwa haraka jinsi x inavyobadilika? Ni wazi, kazi sawa katika pointi tofauti inaweza kuwa maana tofauti derivative - yaani, inaweza kubadilika kwa kasi au polepole.

Nyingine ya chaguo za kukokotoa inaashiria .

Tutakuonyesha jinsi ya kuipata kwa kutumia grafu.

Grafu ya baadhi ya chaguo za kukokotoa imechorwa. Wacha tuchukue hoja na abscissa juu yake. Wacha tuchore tangent kwa grafu ya kazi katika hatua hii. Tunataka kukadiria jinsi grafu ya kukokotoa inavyopanda juu. Thamani inayofaa kwa hii ni tangent ya pembe ya tangent.

Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika hatua moja ni sawa na tanjenti ya pembe ya tanjiti inayochorwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua hii.

Tafadhali kumbuka kuwa kama pembe ya mwelekeo wa tangent tunachukua angle kati ya tangent na mwelekeo mzuri wa mhimili.

Wakati mwingine wanafunzi huuliza tanjiti kwa grafu ya kipengele cha kukokotoa ni nini. Huu ni mstari ulionyooka eneo hili hatua pekee ya kawaida na grafu, na kama inavyoonekana katika takwimu yetu. Inaonekana kama tangent kwa mduara.

Hebu tupate. Tunakumbuka kwamba tangent ya pembe ya papo hapo ndani pembetatu ya kulia sawa na uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu. Kutoka kwa pembetatu:

Tulipata derivative kwa kutumia grafu bila hata kujua fomula ya chaguo la kukokotoa. Shida kama hizo mara nyingi hupatikana katika Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati chini ya nambari.

Kuna uhusiano mwingine muhimu. Kumbuka kwamba mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation

Kiasi katika equation hii inaitwa mteremko wa mstari wa moja kwa moja. Ni sawa na tangent ya angle ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja kwa mhimili.

Tunapata hilo

Tukumbuke formula hii. Inaonyesha maana ya kijiometri ya derivative.

Derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua ni sawa na mteremko wa tanjenti inayotolewa kwa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua hiyo.

Kwa maneno mengine, derivative ni sawa na tangent ya tangent angle.

Tayari tumesema kwamba kazi sawa inaweza kuwa na derivatives tofauti katika pointi tofauti. Hebu tuone jinsi derivative inahusiana na tabia ya kazi.

Hebu tuchore grafu ya utendaji fulani. Hebu kazi hii iongezeke katika baadhi ya maeneo, na kupungua kwa wengine, na kwa kwa kasi tofauti. Na wacha kazi hii iwe na alama za juu na za chini.

Wakati fulani kazi huongezeka. Tangent kwa grafu inayotolewa kwa uhakika huunda pembe ya papo hapo; yenye mwelekeo chanya wa mhimili. Hii ina maana kwamba derivative katika hatua ni chanya.

Wakati kazi yetu inapungua. Tangent katika hatua hii huunda pembe ya obtuse; yenye mwelekeo chanya wa mhimili. Kwa kuwa tangent ya angle ya obtuse ni hasi, derivative katika hatua ni hasi.

Hiki ndicho kinachotokea:

Ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaongezeka, derivative yake ni chanya.

Ikiwa itapungua, derivative yake ni hasi.

Nini kitatokea kwa pointi za juu na za chini? Tunaona kwamba katika pointi (kiwango cha juu) na (kiwango cha chini) tangent ni ya usawa. Kwa hiyo, tangent ya tangent katika pointi hizi ni sifuri, na derivative pia ni sifuri.

Uhakika - kiwango cha juu. Katika hatua hii, ongezeko la kazi linabadilishwa na kupungua. Kwa hiyo, ishara ya mabadiliko ya derivative katika hatua kutoka "plus" hadi "minus".

Kwa uhakika - kiwango cha chini - derivative pia ni sifuri, lakini ishara yake inabadilika kutoka "minus" hadi "plus".

Hitimisho: kwa kutumia derivative, tunaweza kujifunza kila kitu ambacho kinatuvutia kuhusu tabia ya kazi.

Ikiwa derivative ni chanya, basi kazi huongezeka.

Ikiwa derivative ni hasi, basi kazi hupungua.

Katika hatua ya juu, derivative ni sifuri na hubadilisha ishara kutoka "plus" hadi "minus".

Katika hatua ya chini, derivative pia ni sifuri na hubadilisha ishara kutoka "minus" hadi "plus".

Wacha tuandike hitimisho hili kwa namna ya jedwali:

	huongezeka	kiwango cha juu	hupungua	kiwango cha chini	huongezeka
+	0	-	0	+

Hebu tufanye ufafanuzi mbili ndogo. Utahitaji mmoja wao wakati wa kutatua tatizo. Mwingine - katika mwaka wa kwanza, na utafiti mkubwa zaidi wa kazi na derivatives.

Inawezekana kwamba derivative ya kazi wakati fulani ni sawa na sifuri, lakini kazi haina upeo au kiwango cha chini katika hatua hii. Hii ndio inayoitwa :

Kwa uhakika, tangent kwa grafu ni ya usawa na derivative ni sifuri. Hata hivyo, kabla ya hatua ya kazi iliongezeka - na baada ya hatua inaendelea kuongezeka. Ishara ya derivative haibadilika - inabaki kuwa chanya kama ilivyokuwa.

Pia hutokea kwamba katika hatua ya kiwango cha juu au cha chini derivative haipo. Kwenye grafu, hii inafanana na mapumziko mkali, wakati haiwezekani kuteka tangent katika hatua fulani.

Jinsi ya kupata derivative ikiwa kazi haipewi na grafu, lakini kwa formula? Katika kesi hii inatumika

Nyingi ya kitendakazi cha kigezo kimoja.

Utangulizi.

Kweli maendeleo ya mbinu iliyokusudiwa kwa wanafunzi wa Kitivo cha Uhandisi wa Viwanda na Kiraia. Zilikusanywa kuhusiana na programu ya kozi ya hisabati katika sehemu ya "Kokotoo tofauti la kazi za kigezo kimoja."

Maendeleo yanawakilisha mwongozo mmoja wa mbinu, ikiwa ni pamoja na: maelezo mafupi ya kinadharia; shida na mazoezi "ya kawaida" yenye suluhisho la kina na maelezo ya suluhisho hizi; chaguzi za mtihani.

Kuna mazoezi ya ziada mwishoni mwa kila aya. Muundo huu wa maendeleo unawafanya kufaa kwa ustadi wa kujitegemea wa sehemu na usaidizi mdogo kutoka kwa mwalimu.

§1. Ufafanuzi wa derivative.

Maana ya mitambo na kijiometri

derivative.

Dhana ya derivative ni mojawapo ya wengi dhana muhimu uchambuzi wa hisabati ilitokea katika karne ya 17. Uundaji wa dhana ya derivative kihistoria inahusishwa na matatizo mawili: tatizo la kasi ya mwendo wa kubadilishana na tatizo la tangent kwa curve.

Matatizo haya, licha ya yaliyomo tofauti, husababisha operesheni sawa ya hisabati ambayo lazima ifanyike kwenye kazi Operesheni hii imepokea jina maalum katika hisabati. Inaitwa operesheni ya utofautishaji wa kazi. Matokeo ya operesheni ya kutofautisha inaitwa derivative.

Kwa hivyo, derivative ya chaguo la kukokotoa y=f(x) katika nukta x0 ni kikomo (ikiwa kipo) cha uwiano wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa hadi nyongeza ya hoja.
saa
.

Derivative kawaida huonyeshwa kama ifuatavyo:
.

Kwa hivyo, kwa ufafanuzi

Alama pia hutumiwa kuashiria derivatives
.

Maana ya mitambo ya derivative.

Ikiwa s=s(t) ni sheria ya mwendo wa mstatili wa sehemu ya nyenzo, basi
ni kasi ya hatua hii kwa wakati t.

Maana ya kijiometri ya derivative.

Ikiwa chaguo la kukokotoa y=f(x) lina derivative katika uhakika , kisha mgawo wa angular wa tangent kwa grafu ya kazi kwenye hatua
sawa
.

Mfano.

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa
kwa uhakika =2:

1) Hebu tutoe hoja = 2 nyongeza
. Kumbuka hilo.

2) Pata ongezeko la chaguo la kukokotoa kwenye hatua =2:

3) Wacha tuunde uwiano wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa na uongezaji wa hoja:

Wacha tupate kikomo cha uwiano
:

Hivyo,
.

§ 2. Derivatives ya baadhi

kazi rahisi zaidi.

Mwanafunzi anahitaji kujifunza jinsi ya kukokotoa viasili vya vitendakazi mahususi: y=x,y= na kwa ujumla= .

Hebu tutafute derivative ya chaguo za kukokotoa y=x.

hizo. (x)′=1.

Wacha tupate derivative ya chaguo la kukokotoa

Derivative

Hebu
Kisha

Ni rahisi kutambua mchoro katika misemo ya viambajengo vya utendaji kazi wa nguvu
na n=1,2,3.

Kwa hivyo,

. (1)

Njia hii ni halali kwa n yoyote halisi.

Hasa, kwa kutumia formula (1), tunayo:

;

Mfano.

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa

Kazi hii ni kesi maalum ya kazi ya fomu

saa
.

Kwa kutumia fomula (1), tunayo

Viini vya chaguo za kukokotoa y=sin x na y=cos x.

Acha y=sinx.

Gawanya kwa ∆x, tunapata

Kupita hadi kikomo kwa ∆x→0, tunayo

Acha y=cosx.

Kupita hadi kikomo kwa ∆x→0, tunapata

;
. (2)

§3. Kanuni za msingi za kutofautisha.

Wacha tuangalie sheria za kutofautisha.

Nadharia1 . Ikiwa kazi u=u(x) na v=v(x) zinaweza kutofautishwa kwa pointx fulani, basi katika hatua hii jumla yao pia inaweza kutofautishwa, na derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives ya masharti. : (u+v)"=u"+v".(3)

Uthibitisho: zingatia chaguo za kukokotoa y=f(x)=u(x)+v(x).

Nyongeza ∆x ya hoja x inalingana na nyongeza ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ya chaguo za kukokotoa u na v. Kisha kazi y itaongezeka

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Kwa hivyo,

Kwa hivyo, (u+v)"=u"+v".

Nadharia2. Ikiwa vitendaji u=u(x) na v=v(x) vinaweza kutofautishwa kwa pointx fulani, basi bidhaa zao zinaweza kutofautishwa katika hatua hiyo hiyo, derivative ya bidhaa inapatikana kwa fomula ifuatayo: ( uv)"=u"v+uv". (4)

Uthibitisho: Acha y=uv, ambapo u na v ni baadhi ya kazi zinazoweza kutofautishwa za x. Wacha tutoe x nyongeza ya ∆x; kisha utapokea nyongeza ya ∆u, v utapata nyongeza ya ∆v, na y utapata nyongeza ya ∆y.

Tuna y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), au

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Kwa hivyo, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Kutoka hapa

Kupita hadi kikomo kwa ∆x→0 na kwa kuzingatia kwamba wewe na v hazitegemei ∆x, tutakuwa na

Nadharia 3. Derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu, denominator ambayo ni sawa na mraba wa kigawanyiko, na nambari ni tofauti kati ya bidhaa ya derivative ya gawio na mgawanyiko na bidhaa ya mgawanyiko. gawio kwa derivative ya kigawanyiko, i.e.

Kama
Hiyo
(5)