Которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной . Монотонная функция - это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Определения
Пусть дана функция Тогда
. . . .(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Другая терминология
Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими , а убывающие функции невозраста́ющими . Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.
Свойства монотонных функций
Условия монотонности функции
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль . Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место
Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
Примеры
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Слюна
- Горьковская железная дорога
Смотреть что такое "Монотонная функция" в других словарях:
Монотонная функция - — функция f(x), которая может быть либо возрастающей на некотором промежутке (то есть, чем больше любое значение аргумента на этом промежутке, тем больше значение функции), либо убывающей (в противоположном случае).… …
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает) … Большой Энциклопедический словарь
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - (monotonie function) Функция, в которой по мере роста значения аргумента значение функции всегда изменяется в том же направлении. Следовательно, если у=f(x), то либо dy/dx > 0 для всех значений х, и в этом случае у является возрастающей… … Экономический словарь
Монотонная функция - (от греч. monótonos однотонный) функция, приращения которой Δf(x) = f(x’) f(x) при Δx = x’ x > 0 не меняют знака, т. е. либо всегда неотрицательны, либо всегда неположительны. Выражаясь не совсем точно, М. ф. это функции, меняющиеся в… … Большая советская энциклопедия
монотонная функция - функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает). * * * МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ, функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или… … Энциклопедический словарь
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция одного переменного, определенная на нек ром подмножестве действительных чисел, приращение к рой при не меняет знака, т. е. либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если строго больше (меньше) нуля, когда то М. ф. наз.… … Математическая энциклопедия
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ - функция, к рая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает) … Естествознание. Энциклопедический словарь
Монотонная последовательность - это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.… … Википедия
функция - Команда или группа людей, а также инструментарий или другие ресурсы, которые они используют для выполнения одного или нескольких процессов или деятельности. Например, служба поддержки пользователей. Этот термин также имеет другое значение:… … Справочник технического переводчика
Функция - 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение… … Экономико-математический словарь
Функция y=f(x)
называется возрастающей
на интервале (a;b)
, если для любых x 1
и x 2
x 1
График возрастающей функции
· Функция y = f(x)
называется убывающей
на интервале (a;b), если для любых x 1
и x 2
из этого интервала таких, что x 1
График убывающей функции
· Убывающие и возрастающие функции вместе образуют класс монотонных функций. Монотонные функции обладают рядом специальных свойств.
Функция f(х), монотонная на отрезке [а,b ], ограничена на этом отрезке;
· сумма возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией;
· если функция f возрастает (убывает) и n – нечетное число, то также возрастает (убывает);
· если f"(x)>0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является возрастающей на интервале (a,b);
· если f"(x)<0 для всех xÎ(a,b), то функция y=f(x) является убывающей на интервале (a,b);
· если f(x) – непрерывная и монотонная функция на множестве Х , то уравнение f(x)=C , где С – данная константа, может иметь на Х не более одного решения;
· если на области определения уравнения f(x)=g(x) функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то уравнение не может иметь более одного решения.
Теорема. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b ] функция у = f (х ) в каждой точке интервала (а, b ) имеет положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b ].
Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b ). Рассмотрим два произвольных значения x 2 > x 1 , принадлежащих [а, b ]. По формуле Лагранжа х 1 <с < х 2 . (с ) > 0 и х 2 – х 1 > 0, поэтому >0, откуда > , то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b ]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f (х ) имеет в этой точке экстремум, то .
Доказательство. Пусть, например, функция у = f (х ) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f (x ) < f (c ), то есть f (c ) – наибольшее значение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .
Аналогично доказывается случай минимума в точке c.
Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x 3 не имеет экстремумов, хотя ее производная =0.
Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f (x ) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.
Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале(c–e; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+e) – убывает (при e >0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.
Замечание. Если производная не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.
Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12
Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.
Определения
Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция f(x)
определена на некотором множестве действительных чисел X
.
Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
, если для всех x′, x′′ ∈
X
таких что x′ < x′′
выполняется неравенство:
f(x′)
< f(x′′)
( f(x′)
> f(x′′)
)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей)
, если для всех x′, x′′ ∈
X
таких что x′ < x′′
выполняется неравенство:
f(x′)
≤ f(x′′)
( f(x′)
≥ f(x′′)
)
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Определение монотонной функции
Функция называется монотонной
, если она неубывающая или невозрастающая.
Для исследования монотонности функции на некотором множестве X , нужно найти разность ее значений в двух произвольных точках , принадлежащих этому множеству. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.
Если на некотором множестве функция положительна: , то для определения монотонности, можно исследовать частное от деления ее значений в двух произвольных точках этого множества. Если , то функция строго возрастает; если , то функция не убывает; если , то строго убывает; если , то не возрастает.
Теорема
Пусть функция f(x)
не убывает на интервале (a, b)
,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный левый предел в точке b
:
.
Если f(x)
не ограничена сверху, то .
Если f(x)
ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный правый предел в точке a
:
.
Если f(x)
не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция f(x)
не убывает на интервале (a, b)
,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Следствие
Пусть функция является монотонной на интервале .
Тогда в любой точке из этого интервала, существуют односторонние конечные пределы функции :
и .
Доказательство теоремы
Функция не убывает
b - конечное число
Функция ограничена сверху
1.1.1. Пусть функция ограничена сверху числом M
:
при .
.
;
.
Поскольку функция не убывает, то при .
Тогда
при .
Преобразуем последнее неравенство:
;
;
.
Поскольку ,
то .
Тогда
при .
при .
«Определения односторонних пределов функции в конечной точке»).
Функция не ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.1. Пусть число b
конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .
.
при .
Обозначим .
Тогда для любого существует ,
так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).
b рано плюс бесконечности
Функция ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M
:
при .
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при .
Тогда при .
Или
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует число ,
так что
при .
«Определения односторонних пределов на бесконечности»).
Функция не ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b
равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M
существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .
Итак, для любого существует число ,
так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).
Функция не возрастает
Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем . Докажем, что в этом случае существует предел .
Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B
может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой .
Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B
существует такой аргумент ,
для которого
.
По условию теоремы, .
Поэтому .
Поскольку функция не возрастает, то при .
Поскольку ,
то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b
.
Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки ,
существует такая проколотая левая окрестность точки b
,
что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен :
(см. универсальное определение предела функции по Коши).
Предел в точке a
Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.
Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на - x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x ). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на -1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .
Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.
Теперь осталось показать, что если существует предел функции при ,
то существует предел функции при ,
и эти пределы равны:
.
Введем обозначение:
(1)
.
Выразим f
через g
:
.
Возьмем произвольное положительное число .
Пусть есть эпсилон окрестность точки A
.
Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A
(см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое ,
что
при .
Пусть a
- конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки -a
,
используя неравенства:
при .
Заменим x
на -x
и учтем, что :
при .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a
.
Тогда
при .
Пусть a
- бесконечное число, .
Повторяем рассуждения.
при ;
при ;
при ;
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует такое ,
что
при .
Это означает, что
.
Теорема доказана.
Урок и презентация по алгебре в 10 классе на тему: "Исследование функции на монотонность. Алгоритм исследования"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Убывающие и возрастающие функции.
2. Связь производной и монотонности функции.
3. Две важные теоремы о монотонности.
4. Примеры.
Ребята, ранее мы с вами рассмотрели множество различных функций и строили их графики. Теперь давайте введем новые правила, которое работают для всех функций, которые мы рассматривали и еще будем рассматривать.
Убывающие и возрастающие функции
Давайте рассмотрим понятие возрастающей и убывающей функции. Ребята, а что такое функция?Функцией называется соответствие y= f(x), в котором каждому значению x ставится в соответствие единственное значение y.
Посмотрим на график некоторой функции:
На нашем графике видно: чем больше x, тем меньше y. Итак, давайте дадим определение убывающей функции. Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Если x2 > x1, то f(x2)
Теперь давайте рассмотрим график такой функции:
На этом графике видно: чем больше x, тем больше y. Итак, давайте дадим определение возрастающей функции. Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значения функции.
Если x2 > x1, то f(x2 > f(x1) или: чем больше x, тем больше y.
Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то говорят, что она монотонна на данном промежутке .
Связь производной и монотонности функции
Ребята, а теперь давайте подумаем, как можно применять понятие производной при исследовании графиков функций. Нарисуем график возрастающей дифференцируемой функции и проведем пару касательных к нашему графику.Если посмотреть на наши касательные или зрительно провести любую другую касательную, то можно заметить, что угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс будет острым. Значит, касательная имеет положительный угловой коэффициент. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом, значение производной положительно во всех точках нашего графика. Для возрастающей функции выполняет следующее неравенство: f"(x) ≥ 0, для любой точки x.
Ребята, теперь давайте посмотрим на график некоторой убывающей функции и построим касательные к графику функции.
Посмотрим на касательные и зрительно проведем любую другую касательную. Мы заметим, что угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс - тупой, а значит касательная имеет отрицательный угловой коэффициент. Таким образом, значение производной отрицательно во всех точках нашего графика. Для убывающей функции выполняет следующее неравенство: f"(x) ≤ 0, для любой точки x.
Итак, монотонность функции зависит от знака производной:
Если функция возрастает на промежутке и имеет производную на этом промежутке, то эта производная будет не отрицательна.
Если функция убывает на промежутке и имеет производную на этом промежутке, то эта производная будет не положительна.
Важно , чтобы промежутки, на которых мы рассматриваем функцию были открытыми!
Две важные теоремы о монотонности
Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x) ≥ 0 (причем равенство производной нулю либо не выполняется, либо выполняется, но лишь в конечном множестве точек), то функция y= f(x) возрастает на промежутке Х.
Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(x) ≤ 0 (причем равенство производной нулю либо не выполняется, либо выполняется, но лишь в конечном множестве точек), то функция y= f(x) убывает на промежутке Х.
Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется равенство
f’(x)= 0, то функция y= f(x) постоянна на этом промежутке.
Примеры исследования функции на монотонность
1) Доказать, что функция y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 возрастает на всей числовой прямой.
Решение: Найдем производную нашей функции: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Т.к. степень при x четная, то степенная функция принимает только положительные значения. Тогда y" > 0 для любого x, а значит по теореме 1, наша функция возрастает на всей числовой прямой.
2) Доказать, что функция убывает: y= sin(2x) - 3x.
Найдем производную нашей функции: y"= 2cos(2x) - 3.
Решим неравенство:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Т.к. -1 ≤ cos(x) ≤ 1, значит наше неравенство выполняется для любых x, тогда по теореме 2 функция y= sin(2x) - 3x убывает.
3) Исследовать на монотонность функцию: y= x 2 + 3x - 1.
Решение: Найдем производную нашей функции: y"= 2x + 3.
Решим неравенство:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Тогда наша функция возрастает при x ≥ -3/2, а убывает при x ≤ -3/2.
Ответ: При x ≥ -3/2 - функция возрастает, при x ≤ -3/2 - функция убывает.
4) Исследовать на монотонность функцию: y= $\sqrt{3x - 1}$.
Решение: Найдем производную нашей функции: y"= $\frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$.
Решим неравенство: $\frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$ ≥ 0.
Наше неравенство больше либо равно нуля:
$\sqrt{3x - 1}$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Решим неравенство:
$\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$ ≤ 0,
$\sqrt{3x-1}$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Но это невозможно, т.к. квадратный корень определен только для положительных выражений, значит промежутков убывания у нашей функции нет.
Ответ: при x ≥ 1/3 функция возрастает.
Задачи для самостоятельного решения
а) Доказать, что функция y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 возрастает на всей числовой прямой.б) Доказать, что функция убывает: y= cos(5x) - 7x.
в) Исследовать на монотонность функцию: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
г) Исследовать на монотонность функцию: y = $\frac{3x-1}{3x+1}$.
Числовое множество X считается симметричным относительно нуля, если для любого x ЄX значение -х также принадлежит множеству X .
Функция y = f (х X , считается четной X x ЄX , f (х ) = f (-х ).
У четной функции график симметричен относительно оси Оу.
Функция y = f (х ), которая задана на множестве X , считается нечетной , если выполняются следующие условия: а) множество X симметрично относительно нуля; б) для любого x ЄX , f (х ) = -f (-х ).
У нечетной функции график симметричен относительно начала координат.
Функция у = f (x ), x ЄX , называется периодической на X , если найдется число Т (Т ≠ 0) (период функции), что выполняются следующие условия:
- х - Т и х + Т из множества X для любого х ЄX ;
- для любого х ЄX , f (х + T ) = f (х - T ) = f (х).
В случае, когда Т - это период функции, то любое число вида mТ , где m ЄZ , m ≠ 0, это также период этой функции. Наименьший из положительных периодов данной функции (если он существует) называется ее главным периодом.
В случае, когда Т - основной период функции, то для построения ее графика можно построить часть графика на любом из промежутков области определения длины Т , а затем сделать параллельный перенос этого участка графика вдоль оси Ох на ±Т , ±2T , ....
Функция y = f (х ), ограниченна снизу на множестве Х А , что для любого х ЄX , А ≤ f (х ). График функции, который ограничен снизу на множестве X , полностью располагается выше прямой у = А (это горизонтальная прямая).
Функция у = f (x ), ограниченна сверху на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если есть число В , что для любого х ЄX , f (х ) ≤ В . График функции, который ограничен сверху на множестве X, полностью располагается ниже прямой у = В (это горизонтальная линия).
Функция, считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если она ограничена на этом множестве сверху и снизу, т. е. существуют такие числа А и В , что для любого х ЄX выполняются неравенства A ≤ f (x ) ≤ B . График функции, которая ограничена на множестве X , полностью располагается в промежутке между прямыми у = А и у = В (это горизонтальные прямые).
Функция у = f (х ), считается ограниченной на множестве Х (она при этом должна быть определенной на этом множестве), если найдется число С > 0, что для любого x ЄX , │f (х )│≤ С .
Функция у = f (х ), х ЄX , называется возрастающей (неубывающей) на подмножестве М СX , когда для каждых х 1 и х 2 из М таких, что х 1 < х 2 , справедливо f (х 1) < f (х 2) (f (х 1) ≤ f (х 2)). Или функция у называется возрастающей на множестве К , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.
Функция у = f (х ), х ЄX, называется убывающей (невозрастающей) на подмножестве М СX , когда для каждых х 1 и х 2 из М таких, что х 1 < х 2 , справедливо f (х 1) > f (х 2) (f (х 1) ≥ f (х 2)). Или функция у называется убывающей на множестве К , если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.
Функция у = f (x ), х ЄX , называется монотонной на подмножестве М СX , если она является убывающей (невозрастающей) или возрастающей (неубывающей) на М .
Если функция у = f (х ), х ЄX , является убывающей или возрастающей на подмножестве М СX , то такая функция называется строго монотонной на множестве М .
Число М называют наибольшим значением функции у на множестве К , если это число является значением функции при определенном значении х 0 аргумента из множества К , а при других значениях аргумента из множества К значения функции у не больше числа М .
Число m называют наименьшим значением функции у на множестве К , если это число является значением функции при определенном значении х 0 аргумента из множества К , а при других значениях аргумента х из множества К значения функции у не меньше числа m .
Основные свойства функции , с которых лучше начинать ее изучение и исследование это область ее определения и значения. Следует запомнить, как изображаются графики элементарных функций. Только потом можно переходить к построению более сложных графиков. Тема "Функции" имеет широкие приложения в экономике и других областях знания. Функции изучают на протяжении всего курса математики и продолжают изучать в высших учебных заведениях . Там функции исследуются при помощи первой и второй производных.