Равенство множеств.
Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А = В .
Если множества не равны, то пишут А ¹ В .
Запись равенства двух множеств А = В эквивалентна записи А Ì В , или В Ì А .
Например, множество решений уравнения x 2 - 5x + 6 = 0содержит те же самые элементы (числа 2 и 3), что и множество простых чисел, меньших пяти. Эти два множества равны. (Простым числом называется натуральное число, которое делится без остатка только на 1 и на само себя; при этом 1 - простым числом не является.)
Пересечение (умножение) множеств.
Множество D , состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В , называется пересечением множеств А и В и обозначается D = А В.
Рассмотрим два множества: X = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4}. Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3} содер-жит все общие для множеств Х и Y элементы. Таким образом, множество {1, 3} является пересечением рас-смотренных множеств Х и Y :
{1, 3} = {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4}.
Для отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ пересечением, т. е. множеством, состоящим из общих элементов, является промежуток ]0; 1] (рис. 1).
Рис. 1. Пересечением отрезка [-1; 1] и интервала ]0; 3[ является промежуток ]0; 1]
Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.
Пересечение множества учеников восьмых классов данной школы и множества членов химического кружка той же школы есть мно-жество учеников восьмых клас-сов, являющихся членами хими-ческого кружка.
Пересечение множеств (и другие операции - см. ниже) хорошо иллюстрируется при наглядном изображении множеств на плоскости. Эйлер предложил для этого использовать круги. Изображение пересечения (выделено серым) множеств А и В при помощи кругов Эйлера представлено на рис. 2.
Рис. 3. Диаграмма Эйлера-Венна пересечения (выделено серым) множеств А и В , являющихся подмножествами некоторого универсума, изображённого в виде прямоугольника
Если множества А и В не имеют общих элементов, то гово-рят, что эти множества не пересекаются или что их пересечение - пустое множество, и пишут А В = Æ.
Например, пересечение множества чётных чисел с множеством нечётных чисел пусто.
Пустым является и пересечение числовых промежутков ]-1; 0] и -1; 0] и }
