В математических описаниях используется термин «числовой коэффициент », в частности, при работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными удобно использовать понятие числового коэффициента выражения. В этой статье мы дадим определение числового коэффициента выражения и разберем примеры его нахождения.
Навигация по странице.
Определение числового коэффициента, примеры
В учебнике Н. Я. Виленкина математика для 6 классов дается следующее определение числового коэффициента выражения .
Определение.
Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения .
К слову, числовой коэффициент часто называют просто коэффициентом.
Озвученное определение позволяет привести примеры числовых коэффициентов выражений . Для начала рассмотрим произведение числа 3 и буквы a вида 3·a . Число 3 - это числовой коэффициент этого выражения по определению. Другой пример: в произведении x·y·0,2·x·x·z единственным числовым множителем является 0,2 , она и является числовым коэффициентом этого выражения.
А теперь приведем контр пример. Число 3 не является числовым коэффициентом выражения 3·x+y , так как исходное выражение не является произведением. Зато это число 3 является числовым коэффициентом первого из слагаемых в исходном выражении.
А в произведении 5·a·2·b·3·c содержится не одно, а три числа. Для определения числового коэффициента этого выражения, его нужно преобразовать в произведение, содержащее единственный числовой множитель. Как это делается, мы разберемся в следующем пункте этой статьи, в этом заключается процесс .
Стоит отметить, что произведения одинаковых букв могут быть записаны в виде , поэтому определение числового коэффициента подходит и для выражений со степенями. Например, выражение 5·x 3 ·y·z 2 по сути является выражением вида 5·x·x·x·y·z·z , его коэффициентом по определению является число 5 .
Также нужно остановиться на числовых коэффициентах 1 и −1 . Их особенность заключается в том, что они почти никогда не записываются в явном виде. Если выражение представляет собой произведение нескольких букв (без числового множителя) и передним стоит знак плюс, или нет никакого знака, то числовым коэффициентом такого выражения считается число 1 . Если перед произведением нескольких букв стоит знак минус, то коэффициентом такого выражения считается число −1 . Например, числовой коэффициент выражения a·b равен единице (так как a·b можно записать как 1·a·b ), а числовой коэффициент выражения −x равен минус единице (так как −x тождественно равен выражению (−1)·x ).
В дальнейшем определение числового коэффициента расширяется с произведения числа и нескольких букв на произведение одного числа и нескольких буквенных выражений. Так, например, в произведении число −5
можно считать числовым коэффициентом. Аналогично, число 3
есть коэффициент выражения 3·(1+1/x)·x
, а - коэффициент выражения 
.
Нахождение числового коэффициента выражения
Когда выражение представляет собой произведение с одним числовым множителем, этот множитель и является числовым коэффициентом. Когда выражение имеет другой вид, то нахождение его числового коэффициента подразумевает предварительное выполнение некоторых тождественных преобразований , с помощью которых исходное выражение приводится к произведению с одним числовым множителем.
Пример.
Найдите числовой коэффициент выражения −4·x·(−2) .
Решение.
Сгруппируем множители , являющиеся числами, после чего выполним их умножение: −4·x·(−2)=((−4)·(−2))·x=8·x . Теперь отчетливо виден искомый коэффициент, он равен 8 .
Уравнением реакции в химии называется запись химического процесса с помощью химических формул и математических знаков.
Такая запись является схемой химической реакции. Когда возникает знак «=», то это называется «уравнение». Попробуем его решить .
Пример разбора простых реакций
В кальции один атом, так как коэффициент не стоит. Индекс здесь тоже не написан, значит, единица. С правой стороны уравнения Са тоже один. По кальцию нам не надо работать.
Смотрим следующий элемент - кислород. Индекс 2 говорит о том, что здесь 2 иона кислорода. С правой стороны нет индексов, то есть одна частица кислорода, а с левой – 2 частицы. Что мы делаем? Никаких дополнительных индексов или исправлений в химическую формулу вносить нельзя, так как она написана правильно.
Коэффициенты – это то, что написано перед наименьшей частью. Они имеют право меняться. Для удобства саму формулу не переписываем. С правой части один умножаем на 2, чтобы получить и там 2 иона кислорода.
После того как мы поставили коэффициент, получилось 2 атома кальция. С левой стороны только один. Значит, теперь перед кальцием мы должны поставить 2.
Теперь проверяем итог. Если количество атомов элементов равно с обеих сторон, то можем поставить знак «равно».
Другой наглядный пример: два водорода слева, и после стрелочки у нас тоже два водорода.
- Два кислорода до стрелочки, а после стрелочки индексов нет, значит, один.
- Слева больше, а справа меньше.
- Ставим коэффициент 2 перед водой.
Умножили всю формулу на 2, и теперь у нас изменилось количество водорода. Умножаем индекс на коэффициент, и получается 4. А с левой стороны осталось два атома водорода. И чтобы получить 4, мы должны водород умножить на два.
Вот тот случай, когда элемент в одной и в другой формуле с одной стороны, до стрелочки.
Один ион серы слева, и один ион - справа. Две частицы кислорода, плюс еще две частицы кислорода. Значит, что с левой стороны 4 кислорода. Справа же находится 3 кислорода. То есть с одной стороны получается четное число атомов, а с другой – нечетное. Если же мы умножим нечетное в два раза, то получим четное число. Доводим сначала до четного значения. Для этого умножаем на два всю формулу после стрелочки. После умножения получаем шесть ионов кислорода, да еще и 2 атома серы. Слева же имеем одну микрочастицу серы. Теперь уравняем ее. Ставим слева уравнения перед серой 2.
Уравняли .
Сложные реакции
Этот пример более сложный, так как здесь больше элементов вещества.
Это называется реакцией нейтрализации. Что здесь нужно уравнивать в первую очередь:
- С левой стороны один атом натрия.
- С правой стороны индекс говорит о том, что здесь 2 натрия.
Напрашивается вывод, что надо умножить всю формулу на два.
Теперь смотрим, сколько серы. С левой и правой стороны по одной. Обращаем внимание на кислород. С левой стороны мы имеем 6 атомов кислорода. С другой стороны – 5 . Меньше справа, больше слева. Нечетное количество надо довести до четного значения. Для этого формулу воды умножаем на 2, то есть из одного атома кислорода делаем 2.
Теперь с правой стороны уже 6 атомов кислорода. С левой стороны также 6 атомов. Проверяем водород. Два атома водорода и еще 2 атома водорода. То есть будет четыре атома водорода с левой стороны. И с другой стороны также четыре атома водорода. Все элементы уравнены. Ставим знак «равно».
Следующий пример.
Здесь пример интересен тем, что появились скобки. Они говорят о том, что если множитель стоит за скобкой, то каждый элемент, стоящий в скобках, умножается на него. Начать необходимо с азота, так как его меньше, чем кислорода и водорода. Слева азот один, а справа, с учетом скобок, его два.
Справа два атома водорода, а нужно четыре. Мы выходим из положения, просто умножая воду на два, в результате чего получили четыре водорода. Отлично, водород уравняли. Остался кислород. До реакции присутствует 8 атомов, после – тоже 8.
Отлично, все элементы уравнены, можем ставить «равно».
На очереди у нас барий. Он уравнен, его трогать не нужно. До реакции присутствует два хлора, после нее – всего один. Что же нужно сделать? Поставить 2 перед хлором после реакции.
Теперь за счет коэффициента, который только что поставлен, после реакции получилось два натрия, и до реакции тоже два. Отлично, все остальное уравнено.
Также уравнивать реакции можно методом электронного баланса. Этот метод имеет ряд правил, по которым его можно осуществлять. Следующим действием мы должны расставить степени окисления всех элементов в каждом веществе для того, чтобы понять где произошло окисление, а где восстановление.
В сегодняшней статье речь пойдет о том, как переменные могут быть связаны друг с другом. С помощью корреляции мы сможем определить, существует ли связь между первой и второй переменной. Надеюсь, это занятие покажется вам не менее увлекательным, чем предыдущие!
Корреляция измеряет мощность и направление связи между x и y. На рисунке представлены различные типы корреляции в виде графиков рассеяния упорядоченных пар (x, y). По традиции переменная х размещается на горизонтальной оси, а y - на вертикальной.
График А являет собой пример положительной линейной корреляции: при увеличении х также увеличивается у, причем линейно. График В показывает нам пример отрицательной линейной корреляции, на котором при увеличении х у линейно уменьшается. На графике С мы видим отсутствие корреляции между х и у. Эти переменные никоим образом не влияют друг на друга.
Наконец, график D - это пример нелинейных отношений между переменными. По мере увеличения х у сначала уменьшается, потом меняет направление и увеличивается.
Оставшаяся часть статьи посвящена линейным взаимосвязям между зависимой и независимой переменными.
Коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции, r, предоставляет нам как силу, так и направление связи между независимой и зависимой переменными. Значения r находятся в диапазоне между — 1.0 и + 1.0. Когда r имеет положительное значение, связь между х и у является положительной (график A на рисунке), а когда значение r отрицательно, связь также отрицательна (график В). Коэффициент корреляции, близкий к нулевому значению, свидетельствует о том, что между х и у связи не существует график С).
Сила связи между х и у определяется близостью коэффициента корреляции к - 1.0 или +- 1.0. Изучите следующий рисунок.
График A показывает идеальную положительную корреляцию между х и у при r = + 1.0. График В - идеальная отрицательная корреляция между х и у при r = — 1.0. Графики С и D - примеры более слабых связей между зависимой и независимой переменными.
Коэффициент корреляции, r, определяет, как силу, так и направление связи между зависимой и независимой переменными. Значения r находятся в диапазоне от — 1.0 (сильная отрицательная связь) до + 1.0 (сильная положительная связь). При r= 0 между переменными х и у нет никакой связи.
Мы можем вычислить фактический коэффициент корреляции с помощью следующего уравнения:
Ну и ну! Я знаю, что выглядит это уравнение как страшное нагромождение непонятных символов, но прежде чем ударяться в панику, давайте применим к нему пример с экзаменационной оценкой. Допустим, я хочу определить, существует ли связь между количеством часов, посвященных студентом изучению статистики, и финальной экзаменационной оценкой. Таблица, представленная ниже, поможет нам разбить это уравнение на несколько несложных вычислений и сделать их более управляемыми.
Как видите, между числом часов, посвященных изучению предмета, и экзаменационной оценкой существует весьма сильная положительная корреляция. Преподаватели будут весьма рады узнать об этом.
Какова выгода устанавливать связь между подобными переменными? Отличный вопрос. Если обнаруживается, что связь существует, мы можем предугадать экзаменационные результаты на основе определенного количества часов, посвященных изучению предмета. Проще говоря, чем сильнее связь, тем точнее будет наше предсказание.
Использование Excel для вычисления коэффициентов корреляции
Я уверен, что, взглянув на эти ужасные вычисления коэффициентов корреляции, вы испытаете истинную радость, узнав, что программа Excel может выполнить за вас всю эту работу с помощью функции КОРРЕЛ со следующими характеристиками:
КОРРЕЛ (массив 1; массив 2),
массив 1 = диапазон данных для первой переменной,
массив 2 = диапазон данных для второй переменной.
Например, на рисунке показана функция КОРРЕЛ, используемая при вычислении коэффициента корреляции для примера с экзаменационной оценкой.
Всем привет!
Вступив в сообщество ставок на спорт, не нашел никаких статей по теории ставок, хотя сам ставил и знаю, что теоретического материала в беттинге не меньше, чем в покере. Поэтому хочу разместить здесь несколько постов о математических и аналитических основах ставок на спорт. Надеюсь, кому-нибудь пригодится.
Начать хотелось бы с того, чего начинает каждый игрок: с линии букмекера. Первый вопрос, который возник у меня, когда я впервые взял в руки распечатанную линию: Как букмекер определяет всю эту массу коэффициентов?
Букмекерские конторы работают исключительно с целью извлечения прибыли. И, вопреки широко распространенному мнению, прибыль букмекера зависит не от количества проигранных ставок, а от правильно выставленных коэффициентов. Что значит "правильно"? Это значит, что при любом, даже самом неожиданном исходе события, букмекер должен остаться с прибылью.
Рассмотрим, как формируются коэффициенты. Сначала аналитики определяют шансы команд. Делается это многими способами, которые можно поделить на две группы: аналитические и эвристические. Аналитические - это в основном статистика и математика (теория вероятностей), эвристические - это экспертные оценки. Тем или иным образом комбинируя полученные результаты, выводятся вероятности исходов события. Допустим, в результате деятельности аналитиков и экспертов получены следующие вероятности исходов:
Это "чистые шансы", но эти коэффициенты никогда не будут в линии, потому что букмекер в этом случае не получит прибыли. В линии коэффициенты на эти события будут выглядеть примерно так:
То есть из каждой поставленной всеми игроками в сумме сто тысяч рублей, 75 000 было поставлено на победу 1, 15 000 на ничью и 10 000 - на победу 2. Большинство игроков чаще всего ставит на заведомых фаворитов, составляя на основе таких исходов большую часть экпрессов. Что же получит букмекер с каждой вложенной игроками сотни тысяч долларов в случае различных исходов?
Видно, что в случае победы фаворита, которая случается чаще всего, букмекер понесет убытки. Это совершенно недопустимо для бизнеса, и букмекер обязан исключить даже теоретическую возможность возникновения подобной ситуации.
Для этого он должен искусственно занизить коэффициент на фаворита. Букмекер заранее не знает, как в точности распределятся ставки, но знает наверняка, что игроки будут "грузить" на фаворита, поэтому для страховки завышает вероятность победы фаворита.
В реальности ни реальные шансы, ни распределение средств игроками точно рассчитать невозможно, всегда существует некоторая погрешность. Поэтому букмекеры стараются изначально занизить коэффициенты на фаворита, чтобы гарантировать себе прибыль, т.е. определяют шансы команд и добавляют к рассчитанной вероятности победы фаворита 10-20%. А по мере поступления ставок, в зависимости от их реального текущего распределения, варьируют коэффициентами, чтобы прибыль была наибольшей.
Вывод: основной принцип, которым руководствуется букмекер - распределение финансов между двумя или более группами игроков таким образом, чтобы выплачивать выигрыши за счет средств проигравших, оставляя определенный процент себе. Очень часто полученные таким образом коэффициенты не имеют ничего общего с вероятностями тех или иных событий. Поэтому нужно иметь собственную систему оценки спортивных событий.
Спасибо за внимание!
В математических описаниях часто фигурирует термин «числовой коэффициент», например, в работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными. Материал статьи ниже раскрывает понятие этого термина, в том числе, на примере решения задач на нахождение числового коэффициента.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Определение числового коэффициента. Примеры
Учебник Н.Я. Виленкина (учебный материал для учащихся 6 классов) задает такое определение числового коэффициента выражения:
Определение 1
Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения .
Числовой коэффициент зачастую называют просто коэффициентом.
Данное определение дает возможность указать примеры числовых коэффициентов выражений.
Пример 1
Рассмотрим произведение числа 5 и буквы a , которое будет иметь следующий вид: 5 · a . Число 5 является числовым коэффициентом выражения согласно определению выше.
Еще пример:
Пример 2
В заданном произведении x · y · 1 , 3 · x · x · z десятичная дробь 1 , 3 – единственным числовой множитель, который и будет служить числовым коэффициентом выражения.
Также разберем такое выражение:
Пример 3
7 · x + y . Число 7 в данном случае не служит числовым коэффициентом выражения, поскольку заданное выражение не является произведением. Но при этом число 7 – числовой коэффициент первого слагаемого в заданном выражении.
Пример 4
Пусть дано произведение 2 · a · 6 · b · 9 · c .
Мы видим, что запись выражения содержит три числа, и, чтобы найти числовой коэффициент исходного выражения, его следует переписать в виде выражения с единственным числовым множителем. Собственно, это и является процессом нахождения числового коэффициента.
Отметим, что произведения одинаковых букв могут быть представлены как степени с натуральным показателем, поэтому определение числового коэффициента верно и для выражений со степенями.
К примеру:
Пример 5
Выражение 3 · x 3 · y · z 2 – по сути оптимизированная версия выражения 3 · x · x · x · y · z · z , где коэффициент выражения – число 3 .
Отдельно поговорим о числовых коэффициентах 1 и - 1 . Они очень редко записаны в явном виде, и в этом их особенность. Когда произведение состоит из нескольких букв (без явного числового множителя), и перед ним обозначен знак плюс или вовсе нет никакого знака, мы можем говорить, что числовым коэффициентом такого выражения является число 1 . Когда перед произведением букв обозначен знак минус, можно утверждать, что в этом случае числовой коэффициент – число - 1 .
Пример 6
К примеру, в произведении - 5 · x + 1 число - 5 будет служить числовым коэффициентом.
По аналогии, в выражении 8 · 1 + 1 x · x число 8 – коэффициент выражения; а в выражении π + 1 4 · sin x + π 6 · cos - π 3 + 2 · x числовой коэффициент - π + 1 4 .
Нахождение числового коэффициента выражения
Выше мы говорили о том, что если выражение представляет собой произведение с единственным числовым множителем, то этот множитель и будет являться числовым коэффициентом выражения. В случае, когда выражение записано в ином виде, предстоит совершить ряд тождественных преобразований, который приведет заданное выражение к виду произведения с единственным числовым множителем.
Пример 7
Задано выражение − 3 · x · (− 6) . Необходимо определить его числовой коэффициент.
Решение
Осуществим тождественное преобразование, а именно произведем группировку множителей, являющихся числами, и перемножим их. Тогда получим: − 3 · x · (− 6) = ((− 3) · (− 6)) · x = 18 · x .
В полученном выражении мы видим явный числовой коэффициент, равный 18 .
Ответ: 18
Пример 8
Задано выражение a - 1 2 · 2 · a - 6 - 2 · a 2 - 3 · a - 3 . Необходимо определить его числовой коэффициент.
Решение
С целью определения числового коэффициента преобразуем в многочлен заданное целое выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:
a - 1 2 · 2 · a - 6 - 2 · a 2 - 3 · a - 3 = = 2 · a 2 - 6 · a - a + 3 - 2 · a 2 + 6 · a - 3 = - a
Числовым коэффициентом полученного выражения будет являться число - 1 .
Ответ: - 1 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
